2021-2022學年上海閔行區(qū)高考壓軸卷數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1函數(shù)的圖象大致為（ ）ABCD2已知集合，將集合的所有元素從小到大一次排列構成一個新數(shù)列，則（ ）A1194B1695C311D10953已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為

2、9，若點， 則的最大值為（ ）A3B6C9D124已知函數(shù)（，），將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的部分圖象如圖所示，則是的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件5已知集合，則集合的真子集的個數(shù)是（ ）A8B7C4D36已知點是雙曲線上一點，若點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD27記的最大值和最小值分別為和若平面向量、，滿足，則（ ）ABCD8已知命題：，則為( )A，B，C，D，9在直三棱柱中，己知，則異面直線與所成的角為（ ）ABCD10已知函數(shù)，以下結論正確的個數(shù)為（ ）當時，函數(shù)的圖象的對稱中心為；當時，函數(shù)在上

3、為單調(diào)遞減函數(shù)；若函數(shù)在上不單調(diào)，則；當時，在上的最大值為1A1B2C3D411設，為兩個平面，則的充要條件是A內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B內(nèi)有兩條相交直線與平行C，平行于同一條直線D，垂直于同一平面12已知雙曲線C：=1(a0，b0)的右焦點為F，過原點O作斜率為的直線交C的右支于點A，若|OA|=|OF|，則雙曲線的離心率為（ ）ABC2D+1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知三棱錐，是邊長為4的正三角形，分別是、的中點，為棱上一動點（點除外），若異面直線與所成的角為，且，則_.14若函數(shù)為奇函數(shù)，則_.15在三棱錐中，兩兩垂直且，點為的外接球上任意一點，則的最大值為_.1

4、6函數(shù)在區(qū)間上的值域為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知凸邊形的面積為1，邊長，其內(nèi)部一點到邊的距離分別為.求證：.18（12分）設函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（）若在上存在兩個極值點，求的取值范圍；（）若，函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，且線段的中點為，證明：.19（12分）已知首項為2的數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列（2）令，求數(shù)列的前項和.20（12分）設橢圓：的左、右焦點分別為，下頂點為，橢圓的離心率是，的面積是.（1）求橢圓的標準方程.（2）直線與橢圓交于，兩點（異于點），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標

5、.21（12分）某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一：每滿100元減20元；方案二：滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球（逐個有放回地抽取），所得結果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）紅球個數(shù)3210實際付款7折8折9折原價（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？22（10分）已知數(shù)列滿足,，數(shù)列滿足.（）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的前項和.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分

6、。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，排除錯誤選項，從而得出正確選項.【詳解】因為，所以是偶函數(shù)，排除C和D.當時，令，得，即在上遞減；令，得，即在上遞增.所以在處取得極小值，排除B.故選：A【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識別，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題.2D【解析】確定中前35項里兩個數(shù)列中的項數(shù)，數(shù)列中第35項為70，這時可通過比較確定中有多少項可以插入這35項里面即可得，然后可求和【詳解】時，所以數(shù)列的前35項和中，有三項3，9，27，有32項，所以故選：D【點睛】本題考查數(shù)列分組求和，掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前

7、項和公式是解題基礎解題關鍵是確定數(shù)列的前35項中有多少項是中的，又有多少項是中的3C【解析】分析：先畫出滿足約束條件對應的平面區(qū)域，利用平面區(qū)域的面積為9求出，然后分析平面區(qū)域多邊形的各個頂點，即求出邊界線的交點坐標，代入目標函數(shù)求得最大值.詳解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖所示：則，所以平面區(qū)域的面積，解得，此時，由圖可得當過點時，取得最大值9，故選C.點睛：該題考查的是有關線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應的可行域，之后根據(jù)目標函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標，代入求值，要明確目標函數(shù)

8、的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應用相應的方法求解.4B【解析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式,再由平移知識得到的解析式,然后分別找出和的等價條件,即可根據(jù)充分條件,必要條件的定義求出.【詳解】設,根據(jù)圖象可知,再由, 取,.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,.,令,則,顯然,是的必要不充分條件.故選：B【點睛】本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)的圖形變換, 二倍角公式的應用,充分條件,必要條件的定義的應用,意在考查學生的數(shù)學運算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.5D【解析】轉(zhuǎn)化條件得，利用元素個數(shù)為n的集合真子集個數(shù)為個即可得解.【詳

9、解】由題意得，集合的真子集的個數(shù)為個.故選：D.【點睛】本題考查了集合的化簡和運算，考查了集合真子集個數(shù)問題，屬于基礎題.6A【解析】設點的坐標為，代入橢圓方程可得，然后分別求出點到兩條漸近線的距離，由距離之積為，并結合，可得到的齊次方程，進而可求出離心率的值.【詳解】設點的坐標為，有，得.雙曲線的兩條漸近線方程為和，則點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，所以，則，即，故，即，所以.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率，構造的齊次方程是解決本題的關鍵，屬于中檔題.7A【解析】設為、的夾角，根據(jù)題意求得，然后建立平面直角坐標系，設，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算得出點的軌跡方程，將和轉(zhuǎn)化為圓上

10、的點到定點距離，利用數(shù)形結合思想可得出結果.【詳解】由已知可得，則，建立平面直角坐標系，設，由，可得，即，化簡得點的軌跡方程為，則，則轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離，轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離，.故選：A.【點睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.8C【解析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，且命題：，.故選：.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，屬于基礎題.9C【解析】由條件可看出，則為異面直線與所成的角，可證得三角形

11、中，解得從而得出異面直線與所成的角【詳解】連接，如圖：又，則為異面直線與所成的角.因為且三棱柱為直三棱柱，面，又，解得.故選C【點睛】考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質(zhì)，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題10C【解析】逐一分析選項，根據(jù)函數(shù)的對稱中心判斷；利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；先求函數(shù)的導數(shù)，若滿足條件，則極值點必在區(qū)間；利用導數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】為奇函數(shù)，其圖象的對稱中心為原點，根據(jù)平移知識，函數(shù)的圖象的對稱中心為，正確由題意知因為當時，又，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，正確由題意知，當時，此時在上為增函數(shù)，不合題意，故令，解得因

12、為在上不單調(diào)，所以在上有解，需，解得，正確令，得根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在上的最大值只可能為或因為，所以最大值為64，結論錯誤故選：C【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎題型.11B【解析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主

13、觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤12B【解析】以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，可求出點，則，整理計算可得離心率.【詳解】解：以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，取第一象限的解得，即，則，整理得，則（舍去），.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，考查學生的計算能力，是中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】取的中點，連接，取的中點，連接，直線與所成的角為，計算，根據(jù)余弦定理計算得到答案。【詳解】取的中點，連接，依題意可得，所以平面，所以，因為，分別、的中點，所以，因為，所以，所以平面，故，故，故兩兩垂直。取的中點，連接，因為，所以直線與所成的角為，設

14、，則，所以，化簡得，解得，即.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長度，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.14-2【解析】由是定義在上的奇函數(shù),可知對任意的,都成立,代入函數(shù)式可求得的值.【詳解】由題意,的定義域為,是奇函數(shù),則,即對任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)的應用,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.15【解析】先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì)，求出外接球的半徑，結合向量的運算，將問題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點到外心距離最大的問題，即可求得結果.【詳解】因為兩兩垂直且，故三棱錐的外接球就是對應棱長為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對

15、角線的中點，如下圖所示：容易知外接球半徑為.設線段的中點為，故可得，故當取得最大值時，取得最大值.而當在同一個大圓上，且，點與線段在球心的異側(cè)時，取得最大值，如圖所示：此時，故答案為：.【點睛】本題考查球體的幾何性質(zhì)，幾何體的外接球問題，涉及向量的線性運算以及數(shù)量積運算，屬綜合性困難題.16【解析】由二倍角公式降冪，再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，結合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域【詳解】，則，.故答案為：【點睛】本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值求解三角函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后

16、結合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結論三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17證明見解析【解析】由已知，易得，所以利用柯西不等式和基本不等式即可證明.【詳解】因為凸邊形的面積為1，所以，所以（由柯西不等式得）（由均值不等式得）【點睛】本題考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式的問題，考查學生對不等式靈活運用的能力，是一道容易題.18（）；（）詳見解析.【解析】（）依題意在上存在兩個極值點，等價于在有兩個不等實根，由參變分類可得，令，利用導數(shù)研究的單調(diào)性、極值，從而得到參數(shù)的取值范圍；（）由題解得，要證成立，只需證：，即：，只需證：，設，即證：，再分別證明，即可；【詳解】解：（）

17、由題意可知，在上存在兩個極值點，等價于在有兩個不等實根，由可得，令，則，令，可得，當時，所以在上單調(diào)遞減，且當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；所以是的極大值也是最大值，又當，當大于0趨向與0，要使在有兩個根，則，所以的取值范圍為；（）由題解得，要證成立，只需證：即：，只需證：設，即證：要證，只需證：令，則在上為增函數(shù)，即成立；要證，只需證明：令，則在上為減函數(shù)，即成立成立，所以成立.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，利用導數(shù)證明不等式，屬于難題;19（1）見解析；（2）【解析】（1）由原式可得,等式兩端同時除以,可得到,即可證明結論;（2）由（1）可求得的表達式,進而可求得的表達式

18、,然后求出的前項和即可.【詳解】（1）證明:因為,所以,所以,從而,因為,所以,故數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可知,則,因為,所以,則.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的證明,考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項和公式的應用,考查了學生的計算求解能力,屬于中檔題.20（1）； （2）證明見解析，.【解析】（1）根據(jù)離心率和的面積是得到方程組，計算得到答案.（2）先排除斜率為0時的情況，設，聯(lián)立方程組利用韋達定理得到，根據(jù)化簡得到，代入直線方程得到答案.【詳解】（1）由題意可得，解得，則橢圓的標準方程是.（2）當直線的斜率為0時，直線與直線關于軸對稱，則直線與直線的斜率之和為零，與題設條件矛盾，故直線的斜率不為0.設，直線的方程為聯(lián)立，整理得則，.因為直線與直線的斜率之和為1，所以，所以，將，代入上式，整理得.所以，即，則直線的方程為.故直線恒過定點.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程，直線過定點問題，計算出是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.21（1）（2）選擇方案二更為劃算【解析】（1）計算顧客獲得7折優(yōu)惠的概率，獲得8折優(yōu)惠的概率，相加得到答案.（2）選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為126，144，162，180.，計算概率得到數(shù)學期望，比較大小得到答案.【詳解】（1）該顧客獲得7折優(yōu)惠的概率，該顧客獲得