2021-2022學(xué)年上海市外國語附屬高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱中，點是平面內(nèi)一點，則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為（ ）A2B3C4D52在中，D為的中點，E為上靠近點B的三等分點，且，相交于點P，則（ ）ABCD3已知中，則（ ）A1BCD4已知我市某居

2、民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取的戶主進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為A240，18B200，20C240，20D200，185命題：的否定為ABCD6設(shè)集合Ay|y2x1，xR，Bx|2x3，xZ，則AB（ ）A（1，3B1，3C0，1，2，3D1，0，1，2，37若的展開式中含有常數(shù)項，且的最小值為，則（ ）ABCD8對兩個變量進行回歸分析，給出如下一組樣本數(shù)據(jù)：，下列函數(shù)模型中擬合較好的是（ ）ABCD9函數(shù)的大致圖象是（ ）ABCD10若函數(shù)（）的圖象過點，則（ ）A函數(shù)的值域是

3、B點是的一個對稱中心C函數(shù)的最小正周期是D直線是的一條對稱軸11已知雙曲線的右焦點為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD12已知復(fù)數(shù)z，則復(fù)數(shù)z的虛部為（ ）ABCiDi二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知數(shù)列的前項和且，設(shè)，則的值等于_ .14在中，角所對的邊分別為，為的面積，若，則的形狀為_，的大小為_15已知隨機變量服從正態(tài)分布，則_16從2、3、5、7、11、13這六個質(zhì)數(shù)中任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是_（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

4、驟。17（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）時，若對一切恒成立，求a的取值范圍.18（12分）如圖，已知橢圓的右焦點為，為橢圓上的兩個動點，周長的最大值為8.（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）直線經(jīng)過，交橢圓于點，直線與直線的傾斜角互補，且交橢圓于點，求證：直線與直線的交點在定直線上.19（12分）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1+a3=10，S4=24(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列1Sn的前n項和Tn20（12分）已知函數(shù)，其中為實常數(shù).（1）若存在，使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點，證明：.21（12分）某廣告商

5、租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成在此區(qū)域內(nèi)原有一個以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎(chǔ)上,將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點已知長為40米,設(shè)為（上述圖形均視作在同一平面內(nèi)）（1）記四邊形的周長為,求的表達式;（2）要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值22（10分）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，離心率是，動點在橢圓上運動，當(dāng)軸時，.（1）求橢圓的方程；（2）延長分別交橢圓于點（不重合）.設(shè)，求的最小值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

6、一項是符合題目要求的。1A【解析】根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀，結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知，三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為高為的三角形，其面積都是，正視圖與側(cè)視圖的面積之和為，故選：A.【點睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和，解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2B【解析】設(shè)，則，由B，P，D三點共線，C，P，E三點共線,可知，,解得即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，因為B，P，D三點共線，C，P，E三點共線，所以，所以，.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題

7、.3C【解析】以為基底，將用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律，即可求解.【詳解】,.故選:C.【點睛】本題考查向量的線性運算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運算，屬于中檔題.4A【解析】利用統(tǒng)計圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)【詳解】樣本容量為：（150+250+400）30%240，抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為：故選A【點睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意統(tǒng)計圖的性質(zhì)的合理運用5C【解析】命題為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結(jié)論否定，可知命題的否定為，故選C6

8、C【解析】先求集合A，再用列舉法表示出集合B，再根據(jù)交集的定義求解即可【詳解】解：集合Ay|y2x1，xRy|y1，Bx|2x3，xZ2，1，0，1，2，3，AB0，1，2，3，故選：C【點睛】本題主要考查集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題7C【解析】展開式的通項為，因為展開式中含有常數(shù)項，所以，即為整數(shù)，故n的最小值為1所以.故選C點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).8D【解析】作出四個函數(shù)的圖象及給出的四個

9、點，觀察這四個點在靠近哪個曲線【詳解】如圖，作出A，B，C，D中四個函數(shù)圖象，同時描出題中的四個點，它們在曲線的兩側(cè)，與其他三個曲線都離得很遠，因此D是正確選項，故選：D【點睛】本題考查回歸分析，擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點越多，說明擬合效果好9A【解析】用排除B，C；用排除；可得正確答案.【詳解】解：當(dāng)時，所以，故可排除B，C；當(dāng)時，故可排除D故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題10A【解析】根據(jù)函數(shù)的圖像過點，求出，可得，再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)（）的圖象過點，可得，即，故，對于A，由，則，故A正確；對于B，當(dāng)時，故B錯誤；對于C，故C錯誤；對于D，當(dāng)

10、時，故D錯誤；故選：A【點睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記性質(zhì)與公式，屬于基礎(chǔ)題.11B【解析】先求出直線l的方程為y（xc），與yx聯(lián)立，可得A，B的縱坐標(biāo)，利用，求出a，b的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率【詳解】雙曲線1（ab0）的漸近線方程為yx，直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，kl，直線l的方程為y（xc），與yx聯(lián)立，可得y或y，2，ab，c2b，e故選B【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查向量知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題12B【解析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出【詳解】，則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選：B.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的

11、運算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。137【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時，可得，進而得數(shù)列為等比數(shù)列，再計算可得，進而可得結(jié)論.【詳解】由題意，當(dāng)時，又，解得，當(dāng)時，由，所以，即，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，又，所以，.故答案為：.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，計算得是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.14等腰三角形 【解析】根據(jù)正弦定理可得，即的形狀為等腰三角形由余弦定理可得，即故答案為等腰三角形，150.22.【解析】正態(tài)曲線關(guān)于x對稱，根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可。【詳解】【點

12、睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎(chǔ)題16【解析】依據(jù)古典概型的計算公式，分別求“任取兩個數(shù)”和“任取兩個數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù)，計算即可?！驹斀狻俊叭稳蓚€數(shù)”的事件數(shù)為，“任取兩個數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3個，所以任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是?！军c睛】本題主要考查古典概型的概率求法。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為 ；（2） 【解析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出.（2）解法一：分類討論：當(dāng)時，觀察式子可得恒成立；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)

13、為單調(diào)遞增，可知；當(dāng)時，令，由，根據(jù)零點存在性定理可得，進而可得在上，單調(diào)遞減，即不滿足題意；解法二：通過分離參數(shù)可知條件等價于恒成立，進而記，問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值問題，通過二次求導(dǎo)，結(jié)合洛比達法則計算可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)，令，解得，當(dāng)時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解法一：當(dāng)時，函數(shù)，若時，此時對任意都有， 所以恒成立；若時，對任意都有，所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即時滿足題意；若時，令，則，所以在上單調(diào)遞增，可知，一定存在使得，且當(dāng)時，所以在上，單調(diào)遞減，從而有時，不滿足題意；綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為. 解法二：當(dāng)時，函數(shù)，又當(dāng)時，對一切恒成立等價于恒成立，記，

14、其中，則，令，則，在上單調(diào)遞增，恒成立，從而在上單調(diào)遞增，由洛比達法則可知，解得. 實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問題，考查了分類與整合的解題思想，涉及分離參數(shù)法等技巧、涉及到洛比達法則等知識，注意解題方法的積累，屬于難題.18（）；（）詳見解析.【解析】（）由橢圓的定義可得，周長取最大值時，線段過點，可求出，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)直線，直線，.把直線與直線的方程分別代入橢圓的方程，利用韋達定理和弦長公式求出和，根據(jù)求出的值.最后直線與直線的方程聯(lián)立，求兩直線的交點即得結(jié)論.【詳解】（）設(shè)的周長為，則，當(dāng)且僅當(dāng)線段過點時“”成立.，又，橢圓的

15、標(biāo)準(zhǔn)方程為.（）若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線與直線相交于點矛盾，所以直線的斜率存在.設(shè)，.將直線的方程代入橢圓方程得：.，,.同理，.由得，此時.直線， 聯(lián)立直線與直線的方程得，即點在定直線.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力，屬于難題.19（1）an=2n+1；（2）Tn=12(32-1n+1-1n+2).【解析】(1)先設(shè)出數(shù)列的公差為d，結(jié)合題中條件，求出首項和公差，即可得出結(jié)果(2)利用裂項相消法求出數(shù)列的和【詳解】解：(1)設(shè)公差為d的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1+a3=10，S4=24則有：a1+

16、a1+2d=104a1+432d=24，解得：a1=3，d=2，所以：an=2n+1(2)由于：an=2n+1，所以：Sn=n2+2n，則：1Sn=1n2+2n=12(1n-1n+2)，則：Tn=12(1-13+12-14+1n-1-1n+1+1n-1n+2)，=12(32-1n+1-1n+2)【點睛】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型20（1）；（2）見解析.【解析】（1）將所求問題轉(zhuǎn)化為在上有解，進一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為，進一步轉(zhuǎn)化為，然后再通過構(gòu)造加以證明即可.【詳解】（1

17、），根據(jù)題意，在內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，則不等式在上有解，由得，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)時，所以存在，使得成立，所以的取值范圍為。（2）當(dāng)時，則，從而所證不等式轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則不等式轉(zhuǎn)化為，即，即，令，則不等式轉(zhuǎn)化為，因為，則，從而不等式化為，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以即不等式成立，故原不等式成立.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，這里要強調(diào)一點，在證明不等式時，通常是構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來處理，本題是一道有高度的壓軸解答題.21（1）,（2）【解析】（1）由余弦定理的,然后根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)求出,從而求出;（2）求得的表達式,通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最大值.【詳解】解：（1）連由條件得在三角形中,由余弦定理,得,因為與半圓相切于,所以,所以,所以所以四邊形的周長為,（2）設(shè)四邊形的面積為,則,所以,令,得列表：+0-增最大值減答：要使改