5項(xiàng)目五軸向拉伸和壓縮

1、 軸向拉伸和壓縮工程五 軸向拉伸和壓縮課題5.1 軸向拉伸和壓縮的概念課題5.2 軸力、軸力圖課題5.3 拉(壓)桿內(nèi)的應(yīng)力與圣維南原理課題5.4 拉(壓)桿的變形課題5.5 材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能課題5.6 許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件課題5.7 應(yīng)力集中與材料疲勞課題5.8 拉壓桿的超靜定問題課題5.1 軸向拉伸和壓縮的概念 工程中有很多構(gòu)件，例如屋架中的桿，是等直桿，作用于桿上的外力的合力的作用線與桿的軸線重合。在這種受力情況下，桿的主要變形形式是軸向伸長(zhǎng)或縮短。課題5.2 軸力、軸力圖1、內(nèi)力的概念：內(nèi)力：外力作用引起的、構(gòu)件內(nèi)部互相之間分布內(nèi)力系的合力。(1)假想沿m-m橫截面將 桿切開

2、(2)留下左半段或右半段(3)將棄去局部對(duì)留下部 分的作用用內(nèi)力代替(4)對(duì)留下局部寫平衡方 程，求出內(nèi)力的值。求解內(nèi)力的方法截面法2、軸力 軸向拉壓桿的內(nèi)力稱為軸力.其作用線與桿的軸線重合,用符號(hào) 表示。截面法求軸力：FFmmFFNFFN(1)假想沿m-m橫截面將 桿切開(2)留下左半段或右半段(3)將棄去局部對(duì)留下局部 的作用用內(nèi)力代替(4)對(duì)留下局部寫平衡方程 求出內(nèi)力即軸力的值軸力的正負(fù)號(hào)規(guī)則同一位置處左、右側(cè)截面上內(nèi)力分量必須具有相同的正負(fù)號(hào)。拉力為正，即引起縱向伸長(zhǎng)變形的軸力為正壓力為負(fù),即引起縱向縮短變形的軸力為負(fù)課題5.3 拉(壓)桿內(nèi)的應(yīng)力與圣維南原理應(yīng)力就是單位面積上的內(nèi)力

3、?1、應(yīng)力的概念應(yīng)力受力桿件某截面上一點(diǎn)的內(nèi)力分布疏密程度，即內(nèi)力集度。F1FnF3F2 (工程構(gòu)件，大多數(shù)情形下，內(nèi)力并非均勻分布，集度的定義不僅準(zhǔn)確而且重要，因?yàn)椤?破壞或“ 失效往往從內(nèi)力集度最大處開始。)7應(yīng)力的國際單位為N/m2 （帕斯卡）1N/m2=1Pa1MPa=106Pa1N/mm21GPa=109PaF1F2ADFFQyFQzFNM垂直于截面的應(yīng)力稱為“ 正應(yīng)力”用 表示 與截面相切的應(yīng)力稱為“ 切應(yīng)力”用 表示82、拉(壓)桿橫截面上的應(yīng)力 在拉（壓）桿的橫截面上，與軸力FN對(duì)應(yīng)的應(yīng)力是正應(yīng)力 。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，橫截面上到處都存在著應(yīng)力。按照靜力學(xué)關(guān)系求合力：觀察變形： 幾

4、何關(guān)系和物理關(guān)系：確定 的分布情況平面假設(shè)變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線。橫向線ab、cd仍為直線，且仍垂直于桿軸線，只是分別平行移至ab、cd。 從平面假設(shè)可以判斷：（1）所有縱向纖維伸長(zhǎng)相等（2）因材料均勻，故各纖維受力相等（3）內(nèi)力均勻分布，各點(diǎn)正應(yīng)力相等，為常量 外力作用于桿端的方式不同（例如，外力作用在桿件端面的局部或者整個(gè)端面），在一般情況下只會(huì)影響外力作用處附近橫截面上的應(yīng)力分布情況，而影響范圍不大于桿的橫向尺寸。 注意上式只在桿上離外力作用點(diǎn)稍遠(yuǎn)的局部才正確，而在外力作用點(diǎn)附近的應(yīng)力情況比較復(fù)雜。圣維南原理：（7-3） 此最大軸力所在橫截面稱為危險(xiǎn)截面

5、，由此式算得的正應(yīng)力即危險(xiǎn)截面上的正應(yīng)力，稱為最大工作應(yīng)力。 當(dāng)桿受幾個(gè)軸向外力作用時(shí)，從截面法可求得其最大軸力；對(duì)等直桿來講，將它代入公式 ，即得桿內(nèi)的最大應(yīng)力為： 一橫截面面積 A=400mm2 的等直 桿，其受力如下圖。試求此桿的最大工作應(yīng)力。解：此桿的最大軸力為：最大工作應(yīng)力為：例題 一橫截面為正方形的磚柱分上下兩段，其受力情況、各段長(zhǎng)度及橫截面尺寸如下圖。 F=50kN，試求荷載引起的最大工作應(yīng)力。 解：首先作軸力圖。由于此柱為變截面桿，因此要求出每段柱的橫截面上的正應(yīng)力，從而確定全柱的最大工作應(yīng)力。例題例題最大工作應(yīng)力為：例題 最大應(yīng)力 smax與按等截面桿算得的應(yīng)力s0 之比即應(yīng)

6、力集中系數(shù)a ：課題5.4 拉(壓)桿的變形桿件在軸向拉壓時(shí)： 沿軸線方向產(chǎn)生伸長(zhǎng)或縮短縱向變形 1、縱向變形xyCOABxz線應(yīng)變:當(dāng)桿沿長(zhǎng)度非均勻變形時(shí)ACBxx絕對(duì)變形受力物體變形時(shí)，一點(diǎn)處沿某一方向微小線段的相對(duì)變形當(dāng)桿沿長(zhǎng)度均勻變形時(shí)縱向線應(yīng)變 (無量綱)，且伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)。 20實(shí)驗(yàn)說明：在材料的線彈性范圍內(nèi)，L與外力F和桿長(zhǎng)L成正比，與橫截面面積A成反比。胡克定律在材料的線彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與縱向線應(yīng)變呈正比關(guān)系。 ：拉抗（壓）剛度 當(dāng)拉（壓）桿有兩個(gè)以上的外力作用時(shí)，需要先畫出軸力圖，然后分段計(jì)算各段的變形，各段變形的代數(shù)和即為桿的總伸長(zhǎng)量。在計(jì)算L的L長(zhǎng)度內(nèi)，F(xiàn)N,E

7、,A均為常數(shù)。212、橫向變形橫向線應(yīng)變，且拉桿為負(fù)，壓桿為正b=b1b泊松比bb1由于橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變的正負(fù)號(hào)恒相反，故試驗(yàn)表明，橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變的比的絕對(duì)值為一常數(shù) ，即22課題5.5 材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能一. 材料的拉伸和壓縮試驗(yàn) 圓截面試樣：l = 10d 或 l = 5d(工作段長(zhǎng)度稱為標(biāo)距)。 矩形截面試樣： 或 。 拉伸試樣 試驗(yàn)設(shè)備 ：(1) 萬能試驗(yàn)機(jī)：強(qiáng)迫試樣變形并測(cè)定試樣的抗力。 (2) 變形儀：將試樣的微小變形放大后加以顯示的儀器。 圓截面短柱(用于測(cè)試金屬材料的力學(xué)性能) 正方形截面短柱(用于測(cè)試非金屬材料的力學(xué)性能) 壓縮試樣 實(shí)驗(yàn)裝置（萬能試驗(yàn)

8、機(jī)）2. 低碳鋼試樣的拉伸圖及低碳鋼的力學(xué)性能 拉伸圖 縱坐標(biāo)試樣的抗力F(通常稱為荷載) 橫坐標(biāo)試樣工作段的伸長(zhǎng)量 低碳鋼試樣在整個(gè)拉伸過程中的四個(gè)階段： (1) 階段彈性階段 變形完全是彈性的，且l與F 成線性關(guān)系，即此時(shí)材料的力學(xué)行為符合胡克定律。 (2) 階段屈服階段 在此階段伸長(zhǎng)變形急劇增大，但抗力只在很小范圍內(nèi)波動(dòng)。 此階段產(chǎn)生的變形是不可恢復(fù)的所謂塑性變形；在拋光的試樣表面上可見大約與軸線成45的滑移線( ，當(dāng)=45時(shí)a 的絕對(duì)值最大)。(3) 階段強(qiáng)化階段 試件的變形主要是塑性變形，且變形過程中不斷發(fā)生強(qiáng)化，使抗力增加。整個(gè)試件的橫向尺寸在縮小。卸載及再加載規(guī)律 若在強(qiáng)化階段卸

9、載，則卸載過程中Fl關(guān)系為直線?？梢娫趶?qiáng)化階段中，l=le+lp。 卸載后立即再加載時(shí)，F(xiàn)l關(guān)系起初根本上仍為直線(eb)，直至當(dāng)初卸載的荷載冷作硬化現(xiàn)象。試樣重新受拉時(shí)其在線彈性范圍內(nèi)所能承受的最大荷載將增大，而斷裂前所能產(chǎn)生的塑性變形則減小。 (4) 階段局部變形階段 試樣上出現(xiàn)局部收縮頸縮，并導(dǎo)致斷裂。 低碳鋼的應(yīng)力應(yīng)變曲線(s e 曲線) 為消除試件尺寸的影響，將低碳鋼試樣拉伸圖中的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)換算為應(yīng)力s 和應(yīng)變e，即 ， 其中：A試樣橫截面的原面積， l試樣工作段的原長(zhǎng)。 低碳鋼 se 曲線上的特征點(diǎn)： 比例極限sp 彈性極限se屈服極限ss (屈服的低限)強(qiáng)度極限sb(拉伸強(qiáng)度

10、)Q235鋼的主要強(qiáng)度指標(biāo)：ss = 240 MPa，sb = 390 MPa低碳鋼拉伸試件 低碳鋼拉伸破壞演示低碳鋼拉伸試件破壞斷口低碳鋼的塑性指標(biāo)： 伸長(zhǎng)率 斷面收縮率：A1斷口處最小橫截面面積。 Q235鋼：y60%Q235鋼： (通常d 5%的材料稱為塑性材料)注意： (1) 低碳鋼的ss，sb都還是以相應(yīng)的抗力除以試樣橫截面的原面積所得，實(shí)際上此時(shí)試樣直徑已顯著縮小，因而它們是名義應(yīng)力。 (2) 低碳鋼的強(qiáng)度極限sb是試樣拉伸時(shí)最大的名義應(yīng)力，并非斷裂時(shí)的應(yīng)力。 (3)超過屈服階段后的應(yīng)變還是以試樣工作段的伸長(zhǎng)量除以試樣的原長(zhǎng)而得， 因而是名義應(yīng)變。 (4) 伸長(zhǎng)率是把拉斷后整個(gè)工作

11、段的均勻塑性伸長(zhǎng)變形和頸縮局部的局部塑性伸長(zhǎng)變形都包括在內(nèi)的一個(gè)平均塑性伸長(zhǎng)率。標(biāo)準(zhǔn)試樣所以規(guī)定標(biāo)距與橫截面面積(或直徑)之比，原因在此。 思考： 低碳鋼的同一圓截面試樣上，若同時(shí)畫有兩種標(biāo)距（l = 10d 和 l = 5d )，試問所得伸長(zhǎng)率d10和d5哪一個(gè)大？ 3. 其他金屬材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能 由se曲線可見： 材料錳鋼強(qiáng)鋁退火球墨鑄鐵彈性階段屈服階段強(qiáng)化階段局部變形階段伸長(zhǎng)率5%5%5%sp0.2(規(guī)定非比例伸長(zhǎng)應(yīng)力，屈服強(qiáng)度)用于無屈服階段的塑性材料 割線彈性模量 用于根本上無線彈性階段的脆性材料 脆性材料拉伸時(shí)的唯一強(qiáng)度指標(biāo)： sb根本上就是試樣拉斷時(shí)橫截面上的真實(shí)應(yīng)力。 鑄

12、鐵拉伸破壞試驗(yàn)演示4. 金屬材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能 低碳鋼拉、壓時(shí)的ss根本相同。 低碳鋼壓縮時(shí)s-e的曲線 低碳鋼材料軸向壓縮時(shí)的試驗(yàn)現(xiàn)象低碳鋼壓縮試驗(yàn)演示鑄鐵壓縮時(shí)的sb和d 均比拉伸時(shí)大得多；不管拉伸和壓縮時(shí)在較低應(yīng)力下其力學(xué)行為也只近似符合胡克定律。灰口鑄鐵壓縮時(shí)的se曲線 試樣沿著與橫截面大致成5055的斜截面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)而破壞。 材料依在常溫(室溫)、靜荷載(徐加荷載)下由拉伸試驗(yàn)所得伸長(zhǎng)率d和斷面的收縮率y區(qū)分為塑性材料和脆性材料。 塑性材料d，y兩數(shù)值均較高，例如低碳鋼等；脆性材料d25%，例如灰口鑄鐵等。鑄鐵壓縮破壞演示鑄鐵壓縮破壞斷口拉壓破壞試件5. 幾種非金屬材料的力學(xué)性能

13、(1) 混凝土壓縮時(shí)的力學(xué)性能 使用標(biāo)準(zhǔn)立方體試塊測(cè)定端面潤(rùn)滑時(shí)的破壞形式端面未潤(rùn)滑時(shí)的破壞形式 壓縮強(qiáng)度sb及破壞形式與端面潤(rùn)滑情況有關(guān)。以se曲線上s = 0.4sb的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線確定“割線彈性模量。 混凝土的標(biāo)號(hào)系根據(jù)其壓縮強(qiáng)度標(biāo)定，如C20混凝土是指經(jīng)28 天養(yǎng)護(hù)后立方體強(qiáng)度不低于20 MPa的混凝土。 壓縮強(qiáng)度遠(yuǎn)大于拉伸強(qiáng)度。 木材的力學(xué)性能具有方向性，為各向異性材料。如認(rèn)為木材任何方面的力學(xué)性能均可由順紋和橫紋兩個(gè)相互垂直方向的力學(xué)性能確定，則又可以認(rèn)為木材是正交異性材料。 松木在順紋拉伸、壓縮和橫紋壓縮時(shí)的s e曲線如圖。(2) 木材拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能 木材的橫紋拉伸強(qiáng)度很

14、低(圖中未示)，工程中也防止木材橫紋受拉。木材的順紋拉伸強(qiáng)度受木節(jié)等缺陷的影響大。(3) 玻璃鋼（玻璃纖維與熱固性樹脂粘合而成的復(fù)合材料） 纖維單向排列的玻璃鋼沿纖維方向拉伸時(shí)的 s e曲線如圖中(c)，纖維增強(qiáng)復(fù)合材料所用的纖維尚有碳纖維、硼纖維等。6. 平安因數(shù)和許用應(yīng)力 拉壓桿強(qiáng)度計(jì)算時(shí)的許用應(yīng)力 ，式中su對(duì)于塑性材料取屈服極限ss，對(duì)脆性材料，取強(qiáng)度極限sb。引入安全因數(shù)n考慮兩方面原因： (1) 材料力學(xué)性能、荷載和其他數(shù)據(jù)的不確定性，以及計(jì)算圖式、計(jì)算公式的近似。 (2) 根據(jù)構(gòu)件的重要性等給以一定的安全儲(chǔ)備。 塑性材料拉壓許用應(yīng)力相同，脆性材料許用拉應(yīng)力st遠(yuǎn)小于許用壓應(yīng)力sc

15、課題5.6 許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件 為使桿件在外力作用下不致發(fā)生斷裂或者顯著的永久變形（即塑性變形），即不致發(fā)生強(qiáng)度破壞，桿件內(nèi)最大工作應(yīng)力smax不能超過桿件材料所能承受的極限應(yīng)力su，而且要有一定的平安儲(chǔ)藏。這一強(qiáng)度條件可用下式來表達(dá) 上式中，n 是大于 1 的因數(shù)，稱為平安因數(shù)，其數(shù)值通常是由設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的。它包括了兩方面的考慮。 一方面是強(qiáng)度條件中有些量的本身就存在著主觀認(rèn)識(shí)與客觀實(shí)際間的差異，另一方面則是給構(gòu)件以必要的平安儲(chǔ)藏。 材料受拉伸（壓縮）時(shí)的極限應(yīng)力要通過試驗(yàn)來測(cè)定。 極限應(yīng)力除以平安因數(shù)得到材料能平安工作的許用應(yīng)力s 。于是強(qiáng)度條件又可寫作 應(yīng)用強(qiáng)度條件可對(duì)拉、壓桿件進(jìn)行如下

16、三類計(jì)算：3. 確定許用荷載桿件的橫截面積 A、材料的許用應(yīng)力s 以及桿件所承受的荷載的情況，根據(jù)強(qiáng)度條件確定此桿所能容許的軸力，從而計(jì)算荷載的最大容許值。2. 選擇截面尺寸荷載及許用應(yīng)力，根據(jù)強(qiáng)度條件選擇截面尺寸。1. 校核強(qiáng)度 桿件的橫截面面積A、材料的許用應(yīng)力s 以及桿件所承受的荷載，檢驗(yàn)是否滿足下式，從而判定桿件是否具有足夠的強(qiáng)度。 一橫截面為矩形的鋼制階梯狀直桿，其受力情況、各段長(zhǎng)度如圖(a)所示。BC 段和CD 段的橫截面面積是AB 段橫截面面積的兩倍。矩形截面的高度與寬度之比 h/b=1.4，材料的許用應(yīng)力s=160 MPa。試選擇各段桿的橫截面尺寸h 和b。 例題解：首先作桿的

17、軸力圖。對(duì)于AB段，要求：例題對(duì)于CD段，要求由題意知CD 段的面積是AB 段的兩倍，應(yīng)取例題可得AB 段橫截面的尺寸b1及h1：由由可得CD段橫截面的尺寸b2及h2：例題 解：要研究自重對(duì)桿的強(qiáng)度的影響，應(yīng)探討自重與桿內(nèi)最大正應(yīng)力的關(guān)系，為此可先算出桿的任一橫截面上的軸 力，從而求出桿的最大軸力。例題 圖示一等直桿在自重和力 作用下的示意圖。已知桿的橫截面面積為A，材料密度為r ，許用應(yīng)力為s 。試分析桿的自重對(duì)強(qiáng)度的影響。作軸力圖如下：例題 由此可見，若桿的rg l與其材料的s 相比很小，則桿的自重影響很小而可忽略不計(jì)。例題 有一三角架如圖所示，其斜桿由兩根 等邊角鋼組成，橫桿由兩根10號(hào)

18、槽鋼組成，材料均為Q235 鋼，許用應(yīng)力s =120 MPa。 求許用荷載 F 。例題解：(1)首先求斜桿和橫桿的軸力與荷載的關(guān)系。例題 (2) 計(jì)算許用軸力。由型鋼表查得：知許用軸力為：例題(3) 計(jì)算許用荷載。故斜桿和橫桿都能平安工作的許用荷載應(yīng)取例題課題5.7 應(yīng)力集中與材料疲勞一、應(yīng)力集中由桿件截面驟然變化而引起的局部應(yīng)力驟增現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中。應(yīng)力集中的程度用所謂理論應(yīng)力集中因數(shù)表示，其定義為式中， 為最大局部應(yīng)力； 為該截面上的名義應(yīng)力(軸向拉壓時(shí)即為截面上的平均應(yīng)力)。二、應(yīng)力集中對(duì)構(gòu)件強(qiáng)度的影響對(duì)于由脆性材料制成的構(gòu)件，當(dāng)由應(yīng)力集中所形成的最大局部應(yīng)力到達(dá)強(qiáng)度極限時(shí)，構(gòu)件即發(fā)生

19、破壞。因此，在設(shè)計(jì)脆性材料構(gòu)件時(shí)，應(yīng)考慮應(yīng)力集中的影響。 對(duì)于由塑性材料制成的構(gòu)件，應(yīng)力集中對(duì)其在靜荷載作用下的強(qiáng)度則幾乎無影響。一、 超靜定的根本概念1. 靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)由靜力平衡方程可求出全部未知力。(a)(b)(c)課題5.8 拉壓桿的超靜定問題超靜定結(jié)構(gòu)僅由靜力平衡方程不能求出全部未知力。超靜定的次數(shù)未知量數(shù)目與獨(dú)立平衡方程數(shù)目之差。一次超靜定結(jié)構(gòu)二、多余約束與超靜定次數(shù)超靜定結(jié)構(gòu) = 靜定結(jié)構(gòu) + 多余約束多余約束其對(duì)于保證結(jié)構(gòu)的平衡與幾何不變而言是多余的。多余約束的數(shù)目超靜定次數(shù)。超靜定次數(shù) = 全部未知力數(shù)目獨(dú)立的平衡方程數(shù)求解超靜定問題的根本方法1. 求解任何超靜定問題，都必須同時(shí)考慮三個(gè)方面條件:(3) 靜力學(xué)方面（平衡條件）(1) 幾何方面（變形相容條件）(2) 物理方面（力與變形的關(guān)系）2. 解題步驟(1) 畫受力圖，列出獨(dú)立的平衡方程，并確定超靜定次數(shù);(2) 畫變形關(guān)系圖，列出變形協(xié)調(diào)方程;(3) 根據(jù)胡克定律，列出物理方程;(4) 將物理方程代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程;(5) 聯(lián)立求解平衡方程和補(bǔ)充方程，解出全部未知力。荷載作用下的拉壓桿超靜定問題解: 此