第二章有限元分析基本理論

1、. .PAGE27 / NUMPAGES22第二章有限元分析基本理論有限元法的基本思路是將一個(gè)連續(xù)求解區(qū)域分割成有限個(gè)不重疊且按一定方式相互連接在一起的子域(單元)，利用在每一個(gè)單元假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片地表示全求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)。單元的場(chǎng)函數(shù)通常由未知場(chǎng)函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在單元各個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值和其插值函數(shù)來(lái)近似表示。這樣，未知場(chǎng)函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值即成為未知量(自由度)。根據(jù)單元在邊界處相互之間的連續(xù)性，將各單元的關(guān)系式集合成方程組，求出這些未知量，并通過(guò)插值函數(shù)計(jì)算出各個(gè)單元場(chǎng)函數(shù)的近似值，從而得到全求解域上的近似解。有限元將一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的有限自由度問(wèn)題進(jìn)行求解。

2、如果將區(qū)域劃分成很細(xì)的網(wǎng)格，也即單元的尺寸變得越來(lái)越小，或隨著單元自由度的增加與插值函數(shù)精度的提高，解的近似程度將不斷被改進(jìn)。如果單元是滿(mǎn)足收斂要求的，近似解最后可收斂于精確解。2.1 有限元分析的基本概念和計(jì)算步驟首先以求解連續(xù)梁為例，引出結(jié)構(gòu)有限元分析的一些基本概念和計(jì)算步驟。如圖2-1，連續(xù)梁承受集中力矩作用。將結(jié)構(gòu)離散為三個(gè)節(jié)點(diǎn)，兩個(gè)單元。結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為1、2、3；單元編號(hào)為、。圖2-1 受集中力矩作用的連續(xù)梁2.1.1單元分析在有限元分析過(guò)程中，第一步是進(jìn)行結(jié)構(gòu)離散，并對(duì)離散單元進(jìn)行分析，分析的目的是得到單元節(jié)點(diǎn)的力與位移的關(guān)系。單元分析的方法有直接法和能量法，本節(jié)采用直接法。從

3、連續(xù)梁中取出一個(gè)典型單元e，左邊為節(jié)點(diǎn)i，右邊為節(jié)點(diǎn)j。將節(jié)點(diǎn)選擇在支承點(diǎn)處，單元兩端只產(chǎn)生轉(zhuǎn)角位移、，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。獨(dú)立的單元桿端力為彎矩、，順時(shí)針為正。記：為單元e的節(jié)點(diǎn)位移向量；為單元e的桿端力向量。根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法可得如下平衡方程：(2-1)式中：，、分別為單元的抗彎剛度和長(zhǎng)度。(i，j=1，2)的物理意義為單元處發(fā)生單位轉(zhuǎn)角引起的處的力矩，將式(2-1)寫(xiě)成矩陣形式(2-2)或(2-3)式(2-2)、(2-3)稱(chēng)為梁?jiǎn)卧膭偠确匠?。式中，稱(chēng)為梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚕灰阎簡(jiǎn)卧?、就可?jì)算出單元?jiǎng)偠染仃?。以上分析?shí)現(xiàn)了單元分析的目的，即得到單元?jiǎng)偠确匠毯蛦卧獎(jiǎng)偠染仃嚒?.1.2整體分

4、析有限元分析的第二步要將離散的單元集成整體，組集過(guò)程可見(jiàn)圖2-2。在組集過(guò)程中，必須滿(mǎn)足以下條件：圖2-2 離散的單元集成整體(1)變形協(xié)調(diào)(2-4)(2)節(jié)點(diǎn)平衡(2-5)式(2-2)代入(2-5)可得：(2-6)式(2-4)代入(2-6)整理可得：(2-7)寫(xiě)成矩陣形式，得(2-8)式(2-8)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)剛度方程，它實(shí)際上是結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)平衡方程，記為(2-9)式中：稱(chēng)為該結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣；稱(chēng)為該結(jié)構(gòu)的位移向量；稱(chēng)為該結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)荷載向量。以上分析實(shí)現(xiàn)了整體分析，即得到結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣和結(jié)構(gòu)剛度方程。2.1.3用直接剛度法形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣通過(guò)整體分析，建立了節(jié)點(diǎn)的平衡方程，即結(jié)構(gòu)的剛度方程，從而

5、得到結(jié)構(gòu)剛度矩陣。但是，要實(shí)現(xiàn)電算，不可能對(duì)每一具體結(jié)構(gòu)都作一次總體分析，而應(yīng)該找一種規(guī)律，在確定了節(jié)點(diǎn)位移和荷載的排序后，使計(jì)算機(jī)能夠直接由單元?jiǎng)偠染仃嚰山Y(jié)構(gòu)剛度矩陣，從單元?jiǎng)偠确匠痰玫浇Y(jié)構(gòu)的剛度方程，這一方法稱(chēng)為直接剛度法。下面介紹用直接剛度法直接由單元?jiǎng)偠染仃嚰山Y(jié)構(gòu)剛度矩陣的過(guò)程。確定結(jié)構(gòu)剛度矩陣的階數(shù)。結(jié)構(gòu)剛度方程中第i行，表示該結(jié)構(gòu)第i個(gè)位移分量上力的平衡方程，因此，如果結(jié)構(gòu)有N個(gè)獨(dú)立位移分量，就可列出N個(gè)獨(dú)立平衡方程，結(jié)構(gòu)剛度矩陣就是NN階的。本例有3個(gè)獨(dú)立的位移分量，故總剛必然為33階的，寫(xiě)成：(2-10)確定單元?jiǎng)偠染仃囍性嘏c結(jié)構(gòu)剛度矩陣中元素的關(guān)系若將單元?jiǎng)偠染仃囅聵?biāo)寫(xiě)

6、成位移分量編號(hào)的形式。單元1：，(2-11)單元2：，(2-12)有：，?？梢?jiàn)，若將單元?jiǎng)偠染仃囍性叵聵?biāo)寫(xiě)成位移分量編號(hào)的形式，則結(jié)構(gòu)剛度矩陣中任一剛度元素與單元?jiǎng)偠染仃囍性赜腥缦玛P(guān)系：(2-13)式中：?jiǎn)卧?hào)，結(jié)構(gòu)單元總數(shù)因此，用直接剛度法集成總剛，可歸納為以下幾步：結(jié)構(gòu)未知量進(jìn)行編號(hào)，確定各未知量在結(jié)構(gòu)剛度方程中的位置(行號(hào))；確定結(jié)構(gòu)剛度矩陣的階數(shù)N；對(duì)單元e進(jìn)行循環(huán)，尋找e單元?jiǎng)偠染仃囍懈髟叵聵?biāo)對(duì)應(yīng)于整體剛度方程中的未知量編號(hào)；并按此編號(hào)，根據(jù)式(2-13)分別疊加到結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣中的對(duì)應(yīng)位置上去。對(duì)單元循環(huán)完畢時(shí)，結(jié)構(gòu)剛度矩陣就形成了。形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣是有限元分析過(guò)程中十分重

7、要的環(huán)節(jié)，為了節(jié)約計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間，加快剛度方程求解速度，我們還必須了解結(jié)構(gòu)剛度矩陣具有如下性質(zhì)：結(jié)構(gòu)剛度矩陣是NN階的方陣，N為結(jié)構(gòu)的未知量總數(shù)。結(jié)構(gòu)剛度矩陣是對(duì)稱(chēng)陣，即，這一性質(zhì)由力位移互等定理決定。處于同一單元上的兩個(gè)未知量稱(chēng)相關(guān)未知量。若兩個(gè)未知量不相關(guān)，則。由式(2-13)可知，兩個(gè)未知量不相關(guān)，就沒(méi)有單元?jiǎng)偠染仃囏暙I(xiàn)，因此，如本例中。結(jié)構(gòu)剛度矩陣為帶狀矩陣，其非0元素分布在主對(duì)角線(xiàn)元素附近。結(jié)構(gòu)剛度矩陣是稀疏陣，非0元素很少。對(duì)于較大規(guī)模的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的非0元素只占總元素的10%左右。結(jié)構(gòu)剛度矩陣是非負(fù)定矩陣，即對(duì)任意不為0的N維向量有：。2.1.4支承條件的引入在有限元分析

8、過(guò)程中，通常在結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣建立以后，才引入支承條件。下面仍對(duì)本例進(jìn)行討論。如果改變本例中節(jié)點(diǎn)3的邊界條件，如圖2-3所示，在節(jié)點(diǎn)1和2處轉(zhuǎn)角、是未知量，節(jié)點(diǎn)力、是已知量，節(jié)點(diǎn)3是固端，為未知量，轉(zhuǎn)角是已知量，即。圖2-3 改變節(jié)點(diǎn)邊界條件的連續(xù)梁計(jì)算時(shí)，我們分兩步來(lái)進(jìn)行： 第一步，暫不引入支承條件和荷載情況，先建立原始剛度方程，即式(2-8)； 第二步，在固定端引入支承條件即將式(2-8)修改為：(2-14)為了求解、，可從矩陣方程中取出前面兩個(gè)方程：(2-15)即(2-16)式(2-16)就是引入支承條件和荷載情況后得到的位移法基本方程，由此可解出基本未知量、。將式(2-16)與(2-8

9、)比較，可以看出，如果在式(2-8)中把K的第3行和第3列劃去，同時(shí)把右邊向量中的相應(yīng)元素劃去，就可直接得出式(2-16)。因此，引入支承條件的問(wèn)題就歸結(jié)為劃去對(duì)應(yīng)未知量的行與列的問(wèn)題，這種方法稱(chēng)為劃行劃列法。有時(shí)，為了能方便地計(jì)算出支反力，我們可以將式(2-8)寫(xiě)成(2-17)式中： 未知位移量；已知位移；已知荷載向量；未知荷載向量或支反力。式(2-17)可寫(xiě)成如下兩個(gè)獨(dú)立方程組：(2-18)(2-19)由于，所以式(2-18)等價(jià)于式(2-16)。當(dāng)求得后，代入式(2-19)則可求得支反力：(2-20)對(duì)于本例，即(2-21)由此可見(jiàn)，要計(jì)算支反力，必須先將已知位移對(duì)應(yīng)的剛度矩陣元素提取出

10、來(lái)，然后再劃行劃列。在程序計(jì)算中，希望將引入支座后的矩陣仍保留原來(lái)的階數(shù)且未知量排列順序不變，為此，可將式(2-16)擴(kuò)大成如下形式：(2-22)即：對(duì)原始剛度矩陣先提取對(duì)應(yīng)于已知位移向量的剛度元素，以備計(jì)算支座反力用，再將原始剛度矩陣中這些元素全部置0，對(duì)角線(xiàn)元素置1。荷載向量中對(duì)應(yīng)的元素也置零。這種處理約束的方法稱(chēng)為充0置1法。2.1.5非節(jié)點(diǎn)荷載的處理如果在單元有非節(jié)點(diǎn)荷載，就不可能直接建立結(jié)構(gòu)剛度方程，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)剛度方程表示的是節(jié)點(diǎn)力的平衡方程。圖2-4(a)所示結(jié)構(gòu)具有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，2個(gè)單元，、為節(jié)點(diǎn)荷載，、為非節(jié)點(diǎn)荷載。圖2-4 單元有非節(jié)點(diǎn)荷載作用的連續(xù)梁要解決這個(gè)問(wèn)題，需用等效節(jié)點(diǎn)荷

11、載來(lái)代替非節(jié)點(diǎn)荷載來(lái)分析整體結(jié)構(gòu)受力，處理原則為在等效節(jié)點(diǎn)荷載作用下的結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移與實(shí)際荷載作用下結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移應(yīng)相等。具體可按如下步驟處理：(1)求等效節(jié)點(diǎn)荷載計(jì)算非節(jié)點(diǎn)荷載的等效節(jié)點(diǎn)荷載時(shí)可分兩步進(jìn)行：第一步：在各節(jié)點(diǎn)加上約束，阻止節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移，計(jì)算結(jié)構(gòu)上所有非節(jié)點(diǎn)荷載的效應(yīng)，如圖2-4(b)所示，其中、為非結(jié)點(diǎn)荷載在增加的約束中引起的反力(彎矩)。單元(1)、(2)產(chǎn)生的固端力矩(加腳標(biāo)0表示固端力矩)為：，(2-23)各節(jié)點(diǎn)增加的約束中的反力分別為與該節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)單元的固端力矩之和：(2-24)第二步，去掉各節(jié)點(diǎn)的約束，相當(dāng)于在各節(jié)點(diǎn)施加外力矩向量P-M0；再疊加上原有的節(jié)點(diǎn)荷載、，總的

12、節(jié)點(diǎn)荷載如圖2-4(c)所示。顯然，把圖2-4(b)和(c)兩種情況疊加就得到圖2-4(a)給出的情況。圖2-4(c)中的節(jié)點(diǎn)荷載P稱(chēng)為結(jié)構(gòu)非節(jié)點(diǎn)荷載的等效節(jié)點(diǎn)荷載，而式(2-24)中的單元固端力矩M0(1)、M0(2)的反號(hào)力叫做相應(yīng)單元荷載的等效節(jié)點(diǎn)荷載。(2)求各桿端彎矩連續(xù)梁在非節(jié)點(diǎn)荷載作用下的桿端彎矩由兩部分組成，一部分是在節(jié)點(diǎn)加阻止位移的約束時(shí)非節(jié)點(diǎn)荷載作用下的桿端彎矩，另一部分是在等效節(jié)點(diǎn)力荷載作用下的桿端彎矩。第二部分的計(jì)算方法在前面已詳細(xì)討論，即先由式(2-8)求出結(jié)構(gòu)的位移向量，然后代入式(2-2)計(jì)算桿端力。將兩部分桿端力進(jìn)行疊加，即得非節(jié)點(diǎn)荷載作用下各桿的桿端彎矩。()

13、(2-25)2.1.6有限元分析的基本步驟有限元分析的實(shí)施過(guò)程可分為三個(gè)階段。前處理階段：將整體結(jié)構(gòu)或其一部分簡(jiǎn)化為理想的數(shù)學(xué)力學(xué)模型，用離散化的單元代替連續(xù)實(shí)體結(jié)構(gòu)或求解區(qū)域；分析計(jì)算階段：運(yùn)用有限元法對(duì)結(jié)構(gòu)離散模型進(jìn)行分析計(jì)算；后處理階段：對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析、整理和歸納。以上討論盡管只是針對(duì)兩跨連續(xù)梁進(jìn)行的，但其分析階段的思想與計(jì)算步驟卻代表了所有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的有限元靜力分析過(guò)程。因此，讀者必須熟練掌握這一過(guò)程的每一環(huán)節(jié)，領(lǐng)會(huì)其分析思路。為了便于理解，將有限元分析的基本步驟歸納成以下幾點(diǎn)：(1)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化與離散化，并對(duì)離散結(jié)構(gòu)進(jìn)行單元、節(jié)點(diǎn)編號(hào)；(2)整理原始數(shù)據(jù)，包括單元、節(jié)點(diǎn)、材料、幾何特性

14、、荷載信息等；(3)形成各單元的單元?jiǎng)偠染仃嚕?4)形成結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣；(5)形成結(jié)構(gòu)荷載向量，它是節(jié)點(diǎn)力與非節(jié)點(diǎn)力的總效應(yīng)；(6)引入支承條件；(7)解方程計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移；(8)求各單元力和各支承反力。不同結(jié)構(gòu)的有限元分析具有以下區(qū)別：(1)描述結(jié)構(gòu)的單元形式不同一種單元將對(duì)應(yīng)一種單剛；(2)單元的節(jié)點(diǎn)未知量個(gè)數(shù)不同平面剛架單元為3，空間剛架單元為6等等。針對(duì)具體結(jié)構(gòu)形式，可以作具體的有限元分析。橋梁結(jié)構(gòu)一般為空間復(fù)合結(jié)構(gòu)，它的離散模型可由梁、板、殼以與三維實(shí)體單元組合而成，復(fù)雜結(jié)構(gòu)的單元分析一般采用能量法推導(dǎo)。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，一般可近似為桿系結(jié)構(gòu)，因此，下一節(jié)將用能量法描述有限元分析原理和

15、單元分析方法。2.2 基于最小勢(shì)能原理的有限元法2.2.1基本理論采用最小勢(shì)能原理建立有限元方程可以歸結(jié)為以下步驟：(1)以單元坐標(biāo)系中的單元節(jié)點(diǎn)位移為待定參數(shù)，引入插值函數(shù)，給出單元的位移函數(shù)：(2-26)(2)用單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變和單元應(yīng)力(2-27)(2-28)式中：，稱(chēng)為應(yīng)變(幾何)矩陣，為一階微分算子；為彈性矩陣。(3)每個(gè)單元的勢(shì)能為：(2-29)式中：為單元的體積力，為單元的表面力，為單元的節(jié)點(diǎn)力。(4)根據(jù)最小勢(shì)能原理，建立單元坐標(biāo)系的單元?jiǎng)偠确匠?2-30)(2-31)(2-32)式中：為單元坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?；為單元坐?biāo)系中的右端荷載向量。(5)用結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的節(jié)點(diǎn)

16、位移表示單元坐標(biāo)系的節(jié)點(diǎn)位移(2-33)式中：為單元的轉(zhuǎn)換矩陣。(6)得到系統(tǒng)總勢(shì)能的離散形式(2-34)(7)根據(jù)最小勢(shì)能原理，建立結(jié)構(gòu)的總體剛度方程(2-35)(2-36)(2-37)式中：為總體剛度矩陣；為總體右端荷載向量。(8)在式(2-35)中引入強(qiáng)制邊界條件，解方程得到節(jié)點(diǎn)位移。(9)作必要的輔助計(jì)算得到結(jié)構(gòu)中的力、應(yīng)力以與約束反力等。2.2.2二力桿單元的剛度方程假設(shè)應(yīng)力在截面上均勻分布，原來(lái)垂直于軸線(xiàn)的截面變形后仍保持和軸線(xiàn)垂直，問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題?；疚粗渴禽S向位移函數(shù)，承受軸向荷載的等截面二力桿單元的基本方程如下：幾何方程：(2-38)物理方程：(2-39)平衡方程：

17、 或 (2-40)邊界條件：(端部給定位移)(2-41)(端部給定荷載)(2-42)與上述方程等效，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解泛函(勢(shì)能)的極值問(wèn)題：(2-43)式中：為單元上的分布荷載，集中荷載(包括節(jié)點(diǎn)荷載)作為分布荷載的特殊情況也包括在。對(duì)二力桿單元，桿端有兩個(gè)位移(2-44)取插值函數(shù)為(2-45)有，代入泛函并從得到單元?jiǎng)偠确匠虨椋?2-46)式中：為等截面二力桿單元的單元?jiǎng)偠染仃?，為單元右端荷載向量(2-47)(2-48)2.2.3自由扭轉(zhuǎn)桿單元的剛度方程在自由扭轉(zhuǎn)情況下，等截面直桿承受扭矩荷載作用，基本未知量是轉(zhuǎn)角位移函數(shù)，其基本方程為：幾何方程：(2-49)物理方程：(2-50)平衡方

18、程：(2-51)邊界條件：(端部給定轉(zhuǎn)角)(2-52)(端部給定扭矩)(2-53)與上述方程等效，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解泛函(勢(shì)能)：(2-54)的極值問(wèn)題。式中：為單元的分布扭矩，集中扭矩(包括節(jié)點(diǎn)扭矩)作為分布扭矩的特殊情況也包括在。對(duì)兩節(jié)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)桿單元，桿端有兩個(gè)位移(2-55)取插值函數(shù)為(2-56)有，代入泛函并從得到單元?jiǎng)偠确匠虨椋?2-57)式中：為等截面自由扭轉(zhuǎn)桿單元的單元?jiǎng)偠染仃嚕瑸閱卧叶撕奢d向量(2-58)(2-59)2.2.4平面梁?jiǎn)卧膭偠确匠淘诮?jīng)典的梁彎曲理論中，假設(shè)變形前垂直于直梁中心線(xiàn)的截面變形后仍保持為平面，且仍垂直于中心線(xiàn)，從而使梁彎曲問(wèn)題簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題?；疚粗?/p>

19、函數(shù)是中面撓曲函數(shù)，彎曲問(wèn)題的基本方程如下：幾何關(guān)系：(2-60)物理方程：(2-61)平衡方程：(2-62)邊界條件：且(或)或：且(或)或：且(或)(2-63)式中：是梁中面的曲率，三種邊界條件為零時(shí)分別對(duì)應(yīng)于固定端、簡(jiǎn)支端、自由端。與上述方程等效，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解泛函(勢(shì)能)(2-64)的極值問(wèn)題。式中：為單元的分布荷載，、分別為集中橫向力和集中彎矩。在分析梁彎曲問(wèn)題時(shí)，通常采用兩節(jié)點(diǎn)Hermite彎曲梁?jiǎn)卧?，桿端有四個(gè)位移(2-65)插值函數(shù)為：(2-66)有，代入泛函并從得到單元?jiǎng)偠确匠虨椋?2-67)式中：為等截面梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃?，為單元右端荷載向量(2-68)(2-69)2

20、.3 桿系結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性分析理論2.3.1概述固體力學(xué)中有三組基本方程，即本構(gòu)方程、幾何運(yùn)動(dòng)方程和平衡方程。經(jīng)典線(xiàn)性理論基于三個(gè)基本假定，即材料的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系滿(mǎn)足廣義虎克定律；位移是微小的；約束是理想約束。這些假定使得三組基本方程成為線(xiàn)性。只要基本假定中任何一個(gè)失效時(shí)，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為非線(xiàn)性。表2-1給出了非線(xiàn)性問(wèn)題的分類(lèi)與基本特點(diǎn)。幾何非線(xiàn)性理論將平衡方程建立在結(jié)構(gòu)變形后位置上。以圖2-5所示結(jié)構(gòu)為例，按線(xiàn)性理論求解就無(wú)法找到平衡位置。按幾何非線(xiàn)性分析方法處理，在外力P作用下，B點(diǎn)產(chǎn)生豎向位移，當(dāng)位移達(dá)到一定值時(shí)，AB、BC兩桿件中軸力的豎向分力與P平衡， 即為B點(diǎn)位移的解?？梢?jiàn)，受力狀態(tài)因變形

21、而發(fā)生明顯改變時(shí)，就必須用幾何非線(xiàn)性方法進(jìn)行分析。凡是在本構(gòu)關(guān)系中放棄材料線(xiàn)性關(guān)系假定的理論，均屬材料非線(xiàn)性疇。根據(jù)不同的材料性態(tài)，又可以分成表2-2給出的幾種不同的材料非線(xiàn)性問(wèn)題。橋梁結(jié)構(gòu)以鋼和混凝土作為主要建材，因此，涉與的材料非線(xiàn)性主要是非線(xiàn)性彈塑性問(wèn)題和混凝土徐變問(wèn)題。非線(xiàn)性問(wèn)題的分類(lèi)與基本特點(diǎn)表2-1非線(xiàn)性問(wèn)題定義特點(diǎn)橋梁工程中的典型問(wèn)題材料非線(xiàn)性由材料的非線(xiàn)性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系引起基本控制方程的非線(xiàn)性問(wèn)題。材料不滿(mǎn)足虎克定律?；炷列熳?、收縮和彈塑性問(wèn)題。幾何非線(xiàn)性放棄小位移假設(shè)，從幾何上嚴(yán)格分析單元體的尺寸、形狀變化，得到非線(xiàn)性的幾何運(yùn)動(dòng)方程，由此造成基本控制方程的非線(xiàn)性問(wèn)題。幾何運(yùn)

22、動(dòng)方程為非線(xiàn)性。平衡方程建立在結(jié)構(gòu)變形后的位置上，結(jié)構(gòu)剛度除了與材料與初始構(gòu)形有關(guān)外，與受載后的應(yīng)力、位移也有關(guān)。柔性結(jié)構(gòu)的恒載狀態(tài)確定問(wèn)題，柔性結(jié)構(gòu)的恒、活載計(jì)算問(wèn)題；橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定分析問(wèn)題。接觸問(wèn)題不滿(mǎn)足理想約束假定而引起的邊界約束方程的非線(xiàn)性問(wèn)題。受力后的邊界條件在求解前未知。懸索橋主纜與鞍座的接觸狀態(tài)；支架上預(yù)應(yīng)力梁拉后的部分落架現(xiàn)象。圖2-5 受集中力的二力桿幾種材料非線(xiàn)性問(wèn)題表2-2材料非線(xiàn)性問(wèn)題特征非線(xiàn)性彈性1.本構(gòu)方程僅有應(yīng)力、應(yīng)變兩參數(shù)2.卸載后無(wú)殘余應(yīng)變存在非線(xiàn)性塑性1.本構(gòu)方程僅有應(yīng)力、應(yīng)變兩參數(shù)2.卸載后有殘余應(yīng)變存在金屬蠕變與混凝土徐變即使荷載不變，隨著時(shí)間的變化，結(jié)

23、構(gòu)也會(huì)發(fā)生明顯的變形粘彈性1.應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為彈性性質(zhì)2.應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載速率有關(guān)粘塑性1.超過(guò)屈服應(yīng)力時(shí)，材料呈彈塑性性質(zhì)；2.應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與應(yīng)變率有關(guān)2.3.2幾何非線(xiàn)性分析在整個(gè)分析過(guò)程中，以t=0時(shí)的構(gòu)形作為參考，且參考位形保持不變，這種列式稱(chēng)為總體拉格朗日列式(T.L列式)。以桿系結(jié)構(gòu)為例，對(duì)于任意應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與幾何運(yùn)動(dòng)方程，桿單元的平衡方程可由虛功原理推導(dǎo)得到：(2-70)式中：?jiǎn)卧膽?yīng)力向量； f單元桿端力向量； V 單元體積分域，對(duì)T.L列式V是變形前的單元體積域； B應(yīng)變矩陣，是單元應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系矩陣。即：(2-71) 桿端位移向量。在有限位移情況下B是位移的函數(shù)矩陣，

24、可分解為與桿端位移無(wú)關(guān)的部分B0和與桿端位移有關(guān)的部分BL兩部分，即：(2-72)采用增量列式法將式(2-70)寫(xiě)成微分形式：(2-73)或：(2-74)根據(jù)式(2-72)，式(2-74)左邊第一項(xiàng)可寫(xiě)成：(2-75) 當(dāng)材料滿(mǎn)足線(xiàn)彈性時(shí)，有：(2-76)式中：?jiǎn)卧某鯌?yīng)變向量；單元的初應(yīng)力向量。D彈性矩陣。于是，單元的應(yīng)力、應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系可表示成：(2-77)式中：將式(2-71)、(2-72)代入式(2-77)得：(2-78)于是，式(2-74)左邊第二項(xiàng)可表示為：(2-79)記：(2-80)(2-81)則式(2-74)最后可表達(dá)為：(2-82)式(2-82)就是增量形式T.L列式的單元平衡

25、方程。式中0KT是三個(gè)剛度矩陣之和，稱(chēng)為單元切線(xiàn)剛度矩陣，它表示荷載增量與位移增量之間的關(guān)系，也可理解為單元在特定應(yīng)力、變形下的瞬時(shí)剛度。0k0與單元節(jié)點(diǎn)位移無(wú)關(guān)，是單元彈性剛度矩陣，0kL稱(chēng)為單元初位移剛度矩陣或單元大位移剛度矩陣，是由大位移引起的結(jié)構(gòu)剛度變化，是d的函數(shù)。0k稱(chēng)為初應(yīng)力剛度矩陣，它表示初應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響，當(dāng)應(yīng)力為壓應(yīng)力時(shí)，單元切線(xiàn)剛度減小，反之單元切線(xiàn)剛度增加。將各單元切線(xiàn)剛度方程按節(jié)點(diǎn)力平衡條件組集成結(jié)構(gòu)增量剛度方程，即有：(2-83)式中：0KT為結(jié)構(gòu)切線(xiàn)剛度矩陣，可以由單元切線(xiàn)剛度矩陣按常規(guī)方法進(jìn)行組集形成；dP為荷載增量。由于荷載增量一般取為有限值而不可能取成微

26、分形式，結(jié)構(gòu)在求得的位移狀態(tài)下，抗力與總外荷載之間有一差量，即失衡力，結(jié)構(gòu)必須產(chǎn)生相應(yīng)位移以改變結(jié)構(gòu)的抗力來(lái)消除這個(gè)失衡力。在計(jì)算中，一般通過(guò)迭代法來(lái)求解。在建立t+t時(shí)刻物體平衡方程時(shí)，如果我們選擇的參照構(gòu)形不是未變形狀態(tài)t=0時(shí)的構(gòu)形，而是最后一個(gè)已知平衡狀態(tài)，即以本增量步的起始時(shí)刻t的構(gòu)形作為參照構(gòu)形，這種列式法稱(chēng)為更新的拉格朗日列式法(U.L列式)。由于采用了U.L列式，平衡方程式(2-74)中的積分須在t時(shí)刻單元體積進(jìn)行，且tkL的積分式是tk0的一階或二階小量，因此，代表kL的積分式可以略去。這是U.L列式與T.L列式的一個(gè)重要區(qū)別。最后增量形式的U.L列式平衡方程可寫(xiě)成：(2-8

27、4)2.3.3材料非線(xiàn)性分析橋梁結(jié)構(gòu)材料非線(xiàn)性主要是非線(xiàn)性彈塑性問(wèn)題和混凝土徐變問(wèn)題，本節(jié)介紹非線(xiàn)性彈塑性問(wèn)題的分析方法，混凝土徐變問(wèn)題將在第七章中介紹。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，單軸應(yīng)力下材料的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系可歸結(jié)為如下幾點(diǎn)：(1)應(yīng)力在達(dá)到比例極限前，材料為線(xiàn)彈性；應(yīng)力在比例極限和彈性極限之間，材料為非線(xiàn)性彈性。(2)應(yīng)力超過(guò)屈服點(diǎn)，材料應(yīng)變中出現(xiàn)不可恢復(fù)的塑性應(yīng)變：(2-85)應(yīng)力和應(yīng)變間為非線(xiàn)性關(guān)系：(2-86)(3)應(yīng)力在某一應(yīng)力(，為材料的屈服點(diǎn))下卸載，則應(yīng)力增量與應(yīng)變?cè)隽恐g存在線(xiàn)性關(guān)系，即：(2-87)為了判斷是加載還是卸載，用如下加載準(zhǔn)則：當(dāng)時(shí)為加載，滿(mǎn)足式(2-86)；當(dāng)時(shí)為卸載，滿(mǎn)

28、足式(2-87)。(4)在卸載后某應(yīng)力下重新加載，則：時(shí)，(2-88)為卸載前材料曾經(jīng)受到過(guò)的最大應(yīng)力值，稱(chēng)后屈服應(yīng)力，若：，則材料稱(chēng)為理想塑性的；，則材料稱(chēng)為硬化的。(5)從卸載轉(zhuǎn)入反向力加載，應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系繼續(xù)采用式(2-87)或(2-88)，一直到反向屈服。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，判斷材料是否屈服，可以用應(yīng)力的某種函數(shù)表示：(2-89)式中：應(yīng)力狀態(tài)；K硬化函數(shù)若以為坐標(biāo)軸建立一坐標(biāo)空間，則式(2-89)的幾何意義為空間超曲面。任一應(yīng)力狀態(tài)在此空間中代表一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)此點(diǎn)落在屈服面之時(shí)，材料呈彈性狀態(tài)；時(shí)，材料開(kāi)始進(jìn)入塑性。常用的屈服條件有：(1)屈雷斯卡(Tresca)屈服條件：假定最大剪應(yīng)力達(dá)

29、到某一極限值時(shí)，材料開(kāi)始屈服，相當(dāng)于材料力學(xué)中的第三強(qiáng)度理論。(2)密賽斯(Von Mises)屈服條件：假定偏應(yīng)力量的第二不變量達(dá)到某一極限時(shí)，材料開(kāi)始屈服，相當(dāng)于材料力學(xué)中的第四強(qiáng)度理論。此外還有Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則，Zienkiewicz-Pande屈服準(zhǔn)則等。在彈塑性增量理論中，討論仍限于小變形情況。于是，其應(yīng)變位移幾何運(yùn)動(dòng)方程和平衡方程一樣于線(xiàn)性問(wèn)題，不需要作任何變動(dòng)。需要改變的只是在塑性區(qū)圍用塑性材料的本構(gòu)關(guān)系矩陣Dep代替原來(lái)的彈性系數(shù)矩陣De。因此，可直接得到彈塑性分析有限元平衡方程：(2-90)式中：(2-91)(2-92) 其中，和分別表示與結(jié)構(gòu)面荷載f與體

30、荷載t對(duì)應(yīng)的等效節(jié)點(diǎn)力增量；為節(jié)點(diǎn)集中外荷載增量；為初應(yīng)力或初應(yīng)變?cè)隽恳鸬耐夂奢d增量，它們?cè)趖-至t時(shí)間的增量為：(2-93)(2-94)對(duì)于初應(yīng)力問(wèn)題：(2-95)對(duì)于初應(yīng)變問(wèn)題：(2-96)式(2-90)(2-96)給出了小變形彈塑性分析的有限元方程，式中tKT代表了荷載與位移增量的切線(xiàn)剛度，隨不同加載歷程而變化。求解這一問(wèn)題的關(guān)鍵是計(jì)算單元的切線(xiàn)剛度矩陣和應(yīng)力，由于本構(gòu)關(guān)系是當(dāng)前應(yīng)力的函數(shù)，即當(dāng)前位移的隱函數(shù)，所以計(jì)算時(shí)要引入一個(gè)材料模型的子程序來(lái)處理塑性問(wèn)題。這個(gè)子程序的主要計(jì)算容與步驟如下： (1)由前邊迭代的位移結(jié)果計(jì)算應(yīng)變?cè)隽浚?2-97)式中：、與時(shí)刻結(jié)構(gòu)的位移。 (2)暫假

31、定是彈性的，計(jì)算(2-98) (3)由此推出新的應(yīng)力狀態(tài)為(2-99) (4)核對(duì)在第二步中的假設(shè)是否符合事實(shí)。將式(2-99)代入加載函數(shù)中，計(jì)算當(dāng)前的加載函數(shù)值：(2-100) (5)若，說(shuō)明t確實(shí)是彈性的，第二、三步中的計(jì)算正確，此子程序的執(zhí)行可以結(jié)束。 (6)若，說(shuō)明t中包括了(或甚至全部是)塑性變形，則改變執(zhí)行以下計(jì)算： (7)若本次迭代開(kāi)始時(shí)的應(yīng)力是彈性的，則本次迭代的應(yīng)力增量中有一部分是彈性的，而另一部分是彈塑性的。將彈性部分記為：(2-101)顯然，mP1之后不論P(yáng)值多大，壓桿直線(xiàn)形式的平衡都是不穩(wěn)定的。這個(gè)結(jié)論和事實(shí)完全一致。由于橋梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，不可能單靠上述方法來(lái)解決其穩(wěn)定問(wèn)題。大量使用的是穩(wěn)定問(wèn)題的近似求解方法，歸結(jié)起來(lái)主要有兩種類(lèi)型：一類(lèi)是從微分方程出發(fā)，通過(guò)數(shù)學(xué)上的各種近似方法求解，如逐次漸近法。另一類(lèi)是基于能量變分原理的近似法，如Ritz法，有限元方法可以看成是Ritz法的特殊形式。當(dāng)今非線(xiàn)性力學(xué)將有限元與計(jì)算機(jī)結(jié)合，得以將穩(wěn)定問(wèn)題當(dāng)作非線(xiàn)性力學(xué)的特殊問(wèn)題，用計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)求解，取得了巨大的成功。2.4.2第一類(lèi)穩(wěn)定有限元分析根據(jù)有限元平衡方程可以表達(dá)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的物理現(xiàn)象。在T.L列式下，結(jié)構(gòu)增量形式的平衡方程為：(2-118)U.L列式下，結(jié)構(gòu)的平衡方程為：(2-119)發(fā)生第一類(lèi)失穩(wěn)前，結(jié)構(gòu)處于初始構(gòu)形線(xiàn)性平衡狀態(tài)，因此，式(2-11