第二章有限元分析基本理論

1、. .PAGE27 / NUMPAGES22第二章有限元分析基本理論有限元法的基本思路是將一個連續(xù)求解區(qū)域分割成有限個不重疊且按一定方式相互連接在一起的子域(單元)，利用在每一個單元假設的近似函數來分片地表示全求解域上待求的未知場函數。單元的場函數通常由未知場函數或其導數在單元各個節(jié)點的數值和其插值函數來近似表示。這樣，未知場函數或其導數在各個節(jié)點上的數值即成為未知量(自由度)。根據單元在邊界處相互之間的連續(xù)性，將各單元的關系式集合成方程組，求出這些未知量，并通過插值函數計算出各個單元場函數的近似值，從而得到全求解域上的近似解。有限元將一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題進行求解。

2、如果將區(qū)域劃分成很細的網格，也即單元的尺寸變得越來越小，或隨著單元自由度的增加與插值函數精度的提高，解的近似程度將不斷被改進。如果單元是滿足收斂要求的，近似解最后可收斂于精確解。2.1 有限元分析的基本概念和計算步驟首先以求解連續(xù)梁為例，引出結構有限元分析的一些基本概念和計算步驟。如圖2-1，連續(xù)梁承受集中力矩作用。將結構離散為三個節(jié)點，兩個單元。結構中的節(jié)點編號為1、2、3；單元編號為、。圖2-1 受集中力矩作用的連續(xù)梁2.1.1單元分析在有限元分析過程中，第一步是進行結構離散，并對離散單元進行分析，分析的目的是得到單元節(jié)點的力與位移的關系。單元分析的方法有直接法和能量法，本節(jié)采用直接法。從

3、連續(xù)梁中取出一個典型單元e，左邊為節(jié)點i，右邊為節(jié)點j。將節(jié)點選擇在支承點處，單元兩端只產生轉角位移、，順時針轉動為正。獨立的單元桿端力為彎矩、，順時針為正。記：為單元e的節(jié)點位移向量；為單元e的桿端力向量。根據結構力學位移法可得如下平衡方程：(2-1)式中：，、分別為單元的抗彎剛度和長度。(i，j=1，2)的物理意義為單元處發(fā)生單位轉角引起的處的力矩，將式(2-1)寫成矩陣形式(2-2)或(2-3)式(2-2)、(2-3)稱為梁單元的剛度方程。式中，稱為梁單元的剛度矩陣，只要已知梁單元的、就可計算出單元剛度矩陣。以上分析實現(xiàn)了單元分析的目的，即得到單元剛度方程和單元剛度矩陣。2.1.2整體分

4、析有限元分析的第二步要將離散的單元集成整體，組集過程可見圖2-2。在組集過程中，必須滿足以下條件：圖2-2 離散的單元集成整體(1)變形協(xié)調(2-4)(2)節(jié)點平衡(2-5)式(2-2)代入(2-5)可得：(2-6)式(2-4)代入(2-6)整理可得：(2-7)寫成矩陣形式，得(2-8)式(2-8)稱為結構剛度方程，它實際上是結構的節(jié)點平衡方程，記為(2-9)式中：稱為該結構的原始剛度矩陣；稱為該結構的位移向量；稱為該結構的節(jié)點荷載向量。以上分析實現(xiàn)了整體分析，即得到結構原始剛度矩陣和結構剛度方程。2.1.3用直接剛度法形成結構剛度矩陣通過整體分析，建立了節(jié)點的平衡方程，即結構的剛度方程，從而

5、得到結構剛度矩陣。但是，要實現(xiàn)電算，不可能對每一具體結構都作一次總體分析，而應該找一種規(guī)律，在確定了節(jié)點位移和荷載的排序后，使計算機能夠直接由單元剛度矩陣集成結構剛度矩陣，從單元剛度方程得到結構的剛度方程，這一方法稱為直接剛度法。下面介紹用直接剛度法直接由單元剛度矩陣集成結構剛度矩陣的過程。確定結構剛度矩陣的階數。結構剛度方程中第i行，表示該結構第i個位移分量上力的平衡方程，因此，如果結構有N個獨立位移分量，就可列出N個獨立平衡方程，結構剛度矩陣就是NN階的。本例有3個獨立的位移分量，故總剛必然為33階的，寫成：(2-10)確定單元剛度矩陣中元素與結構剛度矩陣中元素的關系若將單元剛度矩陣下標寫

6、成位移分量編號的形式。單元1：，(2-11)單元2：，(2-12)有：，?？梢?，若將單元剛度矩陣中元素下標寫成位移分量編號的形式，則結構剛度矩陣中任一剛度元素與單元剛度矩陣中元素有如下關系：(2-13)式中：單元號，結構單元總數因此，用直接剛度法集成總剛，可歸納為以下幾步：結構未知量進行編號，確定各未知量在結構剛度方程中的位置(行號)；確定結構剛度矩陣的階數N；對單元e進行循環(huán)，尋找e單元剛度矩陣中各元素下標對應于整體剛度方程中的未知量編號；并按此編號，根據式(2-13)分別疊加到結構總體剛度矩陣中的對應位置上去。對單元循環(huán)完畢時，結構剛度矩陣就形成了。形成結構剛度矩陣是有限元分析過程中十分重

7、要的環(huán)節(jié)，為了節(jié)約計算機存儲空間，加快剛度方程求解速度，我們還必須了解結構剛度矩陣具有如下性質：結構剛度矩陣是NN階的方陣，N為結構的未知量總數。結構剛度矩陣是對稱陣，即，這一性質由力位移互等定理決定。處于同一單元上的兩個未知量稱相關未知量。若兩個未知量不相關，則。由式(2-13)可知，兩個未知量不相關，就沒有單元剛度矩陣貢獻，因此，如本例中。結構剛度矩陣為帶狀矩陣，其非0元素分布在主對角線元素附近。結構剛度矩陣是稀疏陣，非0元素很少。對于較大規(guī)模的結構，結構剛度矩陣中的非0元素只占總元素的10%左右。結構剛度矩陣是非負定矩陣，即對任意不為0的N維向量有：。2.1.4支承條件的引入在有限元分析

8、過程中，通常在結構原始剛度矩陣建立以后，才引入支承條件。下面仍對本例進行討論。如果改變本例中節(jié)點3的邊界條件，如圖2-3所示，在節(jié)點1和2處轉角、是未知量，節(jié)點力、是已知量，節(jié)點3是固端，為未知量，轉角是已知量，即。圖2-3 改變節(jié)點邊界條件的連續(xù)梁計算時，我們分兩步來進行： 第一步，暫不引入支承條件和荷載情況，先建立原始剛度方程，即式(2-8)； 第二步，在固定端引入支承條件即將式(2-8)修改為：(2-14)為了求解、，可從矩陣方程中取出前面兩個方程：(2-15)即(2-16)式(2-16)就是引入支承條件和荷載情況后得到的位移法基本方程，由此可解出基本未知量、。將式(2-16)與(2-8

9、)比較，可以看出，如果在式(2-8)中把K的第3行和第3列劃去，同時把右邊向量中的相應元素劃去，就可直接得出式(2-16)。因此，引入支承條件的問題就歸結為劃去對應未知量的行與列的問題，這種方法稱為劃行劃列法。有時，為了能方便地計算出支反力，我們可以將式(2-8)寫成(2-17)式中： 未知位移量；已知位移；已知荷載向量；未知荷載向量或支反力。式(2-17)可寫成如下兩個獨立方程組：(2-18)(2-19)由于，所以式(2-18)等價于式(2-16)。當求得后，代入式(2-19)則可求得支反力：(2-20)對于本例，即(2-21)由此可見，要計算支反力，必須先將已知位移對應的剛度矩陣元素提取出

10、來，然后再劃行劃列。在程序計算中，希望將引入支座后的矩陣仍保留原來的階數且未知量排列順序不變，為此，可將式(2-16)擴大成如下形式：(2-22)即：對原始剛度矩陣先提取對應于已知位移向量的剛度元素，以備計算支座反力用，再將原始剛度矩陣中這些元素全部置0，對角線元素置1。荷載向量中對應的元素也置零。這種處理約束的方法稱為充0置1法。2.1.5非節(jié)點荷載的處理如果在單元有非節(jié)點荷載，就不可能直接建立結構剛度方程，因為結構剛度方程表示的是節(jié)點力的平衡方程。圖2-4(a)所示結構具有3個節(jié)點，2個單元，、為節(jié)點荷載，、為非節(jié)點荷載。圖2-4 單元有非節(jié)點荷載作用的連續(xù)梁要解決這個問題，需用等效節(jié)點荷

11、載來代替非節(jié)點荷載來分析整體結構受力，處理原則為在等效節(jié)點荷載作用下的結構節(jié)點位移與實際荷載作用下結構的節(jié)點位移應相等。具體可按如下步驟處理：(1)求等效節(jié)點荷載計算非節(jié)點荷載的等效節(jié)點荷載時可分兩步進行：第一步：在各節(jié)點加上約束，阻止節(jié)點發(fā)生位移，計算結構上所有非節(jié)點荷載的效應，如圖2-4(b)所示，其中、為非結點荷載在增加的約束中引起的反力(彎矩)。單元(1)、(2)產生的固端力矩(加腳標0表示固端力矩)為：，(2-23)各節(jié)點增加的約束中的反力分別為與該節(jié)點相關聯(lián)單元的固端力矩之和：(2-24)第二步，去掉各節(jié)點的約束，相當于在各節(jié)點施加外力矩向量P-M0；再疊加上原有的節(jié)點荷載、，總的

12、節(jié)點荷載如圖2-4(c)所示。顯然，把圖2-4(b)和(c)兩種情況疊加就得到圖2-4(a)給出的情況。圖2-4(c)中的節(jié)點荷載P稱為結構非節(jié)點荷載的等效節(jié)點荷載，而式(2-24)中的單元固端力矩M0(1)、M0(2)的反號力叫做相應單元荷載的等效節(jié)點荷載。(2)求各桿端彎矩連續(xù)梁在非節(jié)點荷載作用下的桿端彎矩由兩部分組成，一部分是在節(jié)點加阻止位移的約束時非節(jié)點荷載作用下的桿端彎矩，另一部分是在等效節(jié)點力荷載作用下的桿端彎矩。第二部分的計算方法在前面已詳細討論，即先由式(2-8)求出結構的位移向量，然后代入式(2-2)計算桿端力。將兩部分桿端力進行疊加，即得非節(jié)點荷載作用下各桿的桿端彎矩。()

13、(2-25)2.1.6有限元分析的基本步驟有限元分析的實施過程可分為三個階段。前處理階段：將整體結構或其一部分簡化為理想的數學力學模型，用離散化的單元代替連續(xù)實體結構或求解區(qū)域；分析計算階段：運用有限元法對結構離散模型進行分析計算；后處理階段：對計算結果進行分析、整理和歸納。以上討論盡管只是針對兩跨連續(xù)梁進行的，但其分析階段的思想與計算步驟卻代表了所有復雜結構的有限元靜力分析過程。因此，讀者必須熟練掌握這一過程的每一環(huán)節(jié)，領會其分析思路。為了便于理解，將有限元分析的基本步驟歸納成以下幾點：(1)結構簡化與離散化，并對離散結構進行單元、節(jié)點編號；(2)整理原始數據，包括單元、節(jié)點、材料、幾何特性

14、、荷載信息等；(3)形成各單元的單元剛度矩陣；(4)形成結構原始剛度矩陣；(5)形成結構荷載向量，它是節(jié)點力與非節(jié)點力的總效應；(6)引入支承條件；(7)解方程計算節(jié)點位移；(8)求各單元力和各支承反力。不同結構的有限元分析具有以下區(qū)別：(1)描述結構的單元形式不同一種單元將對應一種單剛；(2)單元的節(jié)點未知量個數不同平面剛架單元為3，空間剛架單元為6等等。針對具體結構形式，可以作具體的有限元分析。橋梁結構一般為空間復合結構，它的離散模型可由梁、板、殼以與三維實體單元組合而成，復雜結構的單元分析一般采用能量法推導。但為了簡化計算，一般可近似為桿系結構，因此，下一節(jié)將用能量法描述有限元分析原理和

15、單元分析方法。2.2 基于最小勢能原理的有限元法2.2.1基本理論采用最小勢能原理建立有限元方程可以歸結為以下步驟：(1)以單元坐標系中的單元節(jié)點位移為待定參數，引入插值函數，給出單元的位移函數：(2-26)(2)用單元節(jié)點位移表示單元應變和單元應力(2-27)(2-28)式中：，稱為應變(幾何)矩陣，為一階微分算子；為彈性矩陣。(3)每個單元的勢能為：(2-29)式中：為單元的體積力，為單元的表面力，為單元的節(jié)點力。(4)根據最小勢能原理，建立單元坐標系的單元剛度方程(2-30)(2-31)(2-32)式中：為單元坐標系中的單元剛度矩陣；為單元坐標系中的右端荷載向量。(5)用結構坐標系的節(jié)點

16、位移表示單元坐標系的節(jié)點位移(2-33)式中：為單元的轉換矩陣。(6)得到系統(tǒng)總勢能的離散形式(2-34)(7)根據最小勢能原理，建立結構的總體剛度方程(2-35)(2-36)(2-37)式中：為總體剛度矩陣；為總體右端荷載向量。(8)在式(2-35)中引入強制邊界條件，解方程得到節(jié)點位移。(9)作必要的輔助計算得到結構中的力、應力以與約束反力等。2.2.2二力桿單元的剛度方程假設應力在截面上均勻分布，原來垂直于軸線的截面變形后仍保持和軸線垂直，問題可以簡化為一維問題?；疚粗渴禽S向位移函數，承受軸向荷載的等截面二力桿單元的基本方程如下：幾何方程：(2-38)物理方程：(2-39)平衡方程：

17、 或 (2-40)邊界條件：(端部給定位移)(2-41)(端部給定荷載)(2-42)與上述方程等效，可將問題轉換為求解泛函(勢能)的極值問題：(2-43)式中：為單元上的分布荷載，集中荷載(包括節(jié)點荷載)作為分布荷載的特殊情況也包括在。對二力桿單元，桿端有兩個位移(2-44)取插值函數為(2-45)有，代入泛函并從得到單元剛度方程為：(2-46)式中：為等截面二力桿單元的單元剛度矩陣，為單元右端荷載向量(2-47)(2-48)2.2.3自由扭轉桿單元的剛度方程在自由扭轉情況下，等截面直桿承受扭矩荷載作用，基本未知量是轉角位移函數，其基本方程為：幾何方程：(2-49)物理方程：(2-50)平衡方

18、程：(2-51)邊界條件：(端部給定轉角)(2-52)(端部給定扭矩)(2-53)與上述方程等效，可將問題轉換為求解泛函(勢能)：(2-54)的極值問題。式中：為單元的分布扭矩，集中扭矩(包括節(jié)點扭矩)作為分布扭矩的特殊情況也包括在。對兩節(jié)點扭轉桿單元，桿端有兩個位移(2-55)取插值函數為(2-56)有，代入泛函并從得到單元剛度方程為：(2-57)式中：為等截面自由扭轉桿單元的單元剛度矩陣，為單元右端荷載向量(2-58)(2-59)2.2.4平面梁單元的剛度方程在經典的梁彎曲理論中，假設變形前垂直于直梁中心線的截面變形后仍保持為平面，且仍垂直于中心線，從而使梁彎曲問題簡化為一維問題?；疚粗?/p>

19、函數是中面撓曲函數，彎曲問題的基本方程如下：幾何關系：(2-60)物理方程：(2-61)平衡方程：(2-62)邊界條件：且(或)或：且(或)或：且(或)(2-63)式中：是梁中面的曲率，三種邊界條件為零時分別對應于固定端、簡支端、自由端。與上述方程等效，可將問題轉換為求解泛函(勢能)(2-64)的極值問題。式中：為單元的分布荷載，、分別為集中橫向力和集中彎矩。在分析梁彎曲問題時，通常采用兩節(jié)點Hermite彎曲梁單元，桿端有四個位移(2-65)插值函數為：(2-66)有，代入泛函并從得到單元剛度方程為：(2-67)式中：為等截面梁單元的單元剛度矩陣，為單元右端荷載向量(2-68)(2-69)2

20、.3 桿系結構的非線性分析理論2.3.1概述固體力學中有三組基本方程，即本構方程、幾何運動方程和平衡方程。經典線性理論基于三個基本假定，即材料的應力、應變關系滿足廣義虎克定律；位移是微小的；約束是理想約束。這些假定使得三組基本方程成為線性。只要基本假定中任何一個失效時，問題就轉化為非線性。表2-1給出了非線性問題的分類與基本特點。幾何非線性理論將平衡方程建立在結構變形后位置上。以圖2-5所示結構為例，按線性理論求解就無法找到平衡位置。按幾何非線性分析方法處理，在外力P作用下，B點產生豎向位移，當位移達到一定值時，AB、BC兩桿件中軸力的豎向分力與P平衡， 即為B點位移的解。可見，受力狀態(tài)因變形

21、而發(fā)生明顯改變時，就必須用幾何非線性方法進行分析。凡是在本構關系中放棄材料線性關系假定的理論，均屬材料非線性疇。根據不同的材料性態(tài)，又可以分成表2-2給出的幾種不同的材料非線性問題。橋梁結構以鋼和混凝土作為主要建材，因此，涉與的材料非線性主要是非線性彈塑性問題和混凝土徐變問題。非線性問題的分類與基本特點表2-1非線性問題定義特點橋梁工程中的典型問題材料非線性由材料的非線性應力、應變關系引起基本控制方程的非線性問題。材料不滿足虎克定律。混凝土徐變、收縮和彈塑性問題。幾何非線性放棄小位移假設，從幾何上嚴格分析單元體的尺寸、形狀變化，得到非線性的幾何運動方程，由此造成基本控制方程的非線性問題。幾何運

22、動方程為非線性。平衡方程建立在結構變形后的位置上，結構剛度除了與材料與初始構形有關外，與受載后的應力、位移也有關。柔性結構的恒載狀態(tài)確定問題，柔性結構的恒、活載計算問題；橋梁結構的穩(wěn)定分析問題。接觸問題不滿足理想約束假定而引起的邊界約束方程的非線性問題。受力后的邊界條件在求解前未知。懸索橋主纜與鞍座的接觸狀態(tài)；支架上預應力梁拉后的部分落架現(xiàn)象。圖2-5 受集中力的二力桿幾種材料非線性問題表2-2材料非線性問題特征非線性彈性1.本構方程僅有應力、應變兩參數2.卸載后無殘余應變存在非線性塑性1.本構方程僅有應力、應變兩參數2.卸載后有殘余應變存在金屬蠕變與混凝土徐變即使荷載不變，隨著時間的變化，結

23、構也會發(fā)生明顯的變形粘彈性1.應力應變關系為彈性性質2.應力應變關系與加載速率有關粘塑性1.超過屈服應力時，材料呈彈塑性性質；2.應力應變關系與應變率有關2.3.2幾何非線性分析在整個分析過程中，以t=0時的構形作為參考，且參考位形保持不變，這種列式稱為總體拉格朗日列式(T.L列式)。以桿系結構為例，對于任意應力應變關系與幾何運動方程，桿單元的平衡方程可由虛功原理推導得到：(2-70)式中：單元的應力向量； f單元桿端力向量； V 單元體積分域，對T.L列式V是變形前的單元體積域； B應變矩陣，是單元應變與節(jié)點位移的關系矩陣。即：(2-71) 桿端位移向量。在有限位移情況下B是位移的函數矩陣，

24、可分解為與桿端位移無關的部分B0和與桿端位移有關的部分BL兩部分，即：(2-72)采用增量列式法將式(2-70)寫成微分形式：(2-73)或：(2-74)根據式(2-72)，式(2-74)左邊第一項可寫成：(2-75) 當材料滿足線彈性時，有：(2-76)式中：單元的初應變向量；單元的初應力向量。D彈性矩陣。于是，單元的應力、應變增量關系可表示成：(2-77)式中：將式(2-71)、(2-72)代入式(2-77)得：(2-78)于是，式(2-74)左邊第二項可表示為：(2-79)記：(2-80)(2-81)則式(2-74)最后可表達為：(2-82)式(2-82)就是增量形式T.L列式的單元平衡

25、方程。式中0KT是三個剛度矩陣之和，稱為單元切線剛度矩陣，它表示荷載增量與位移增量之間的關系，也可理解為單元在特定應力、變形下的瞬時剛度。0k0與單元節(jié)點位移無關，是單元彈性剛度矩陣，0kL稱為單元初位移剛度矩陣或單元大位移剛度矩陣，是由大位移引起的結構剛度變化，是d的函數。0k稱為初應力剛度矩陣，它表示初應力對結構剛度的影響，當應力為壓應力時，單元切線剛度減小，反之單元切線剛度增加。將各單元切線剛度方程按節(jié)點力平衡條件組集成結構增量剛度方程，即有：(2-83)式中：0KT為結構切線剛度矩陣，可以由單元切線剛度矩陣按常規(guī)方法進行組集形成；dP為荷載增量。由于荷載增量一般取為有限值而不可能取成微

26、分形式，結構在求得的位移狀態(tài)下，抗力與總外荷載之間有一差量，即失衡力，結構必須產生相應位移以改變結構的抗力來消除這個失衡力。在計算中，一般通過迭代法來求解。在建立t+t時刻物體平衡方程時，如果我們選擇的參照構形不是未變形狀態(tài)t=0時的構形，而是最后一個已知平衡狀態(tài)，即以本增量步的起始時刻t的構形作為參照構形，這種列式法稱為更新的拉格朗日列式法(U.L列式)。由于采用了U.L列式，平衡方程式(2-74)中的積分須在t時刻單元體積進行，且tkL的積分式是tk0的一階或二階小量，因此，代表kL的積分式可以略去。這是U.L列式與T.L列式的一個重要區(qū)別。最后增量形式的U.L列式平衡方程可寫成：(2-8

27、4)2.3.3材料非線性分析橋梁結構材料非線性主要是非線性彈塑性問題和混凝土徐變問題，本節(jié)介紹非線性彈塑性問題的分析方法，混凝土徐變問題將在第七章中介紹。根據實驗結果，單軸應力下材料的應力、應變關系可歸結為如下幾點：(1)應力在達到比例極限前，材料為線彈性；應力在比例極限和彈性極限之間，材料為非線性彈性。(2)應力超過屈服點，材料應變中出現(xiàn)不可恢復的塑性應變：(2-85)應力和應變間為非線性關系：(2-86)(3)應力在某一應力(，為材料的屈服點)下卸載，則應力增量與應變增量之間存在線性關系，即：(2-87)為了判斷是加載還是卸載，用如下加載準則：當時為加載，滿足式(2-86)；當時為卸載，滿

28、足式(2-87)。(4)在卸載后某應力下重新加載，則：時，(2-88)為卸載前材料曾經受到過的最大應力值，稱后屈服應力，若：，則材料稱為理想塑性的；，則材料稱為硬化的。(5)從卸載轉入反向力加載，應力、應變關系繼續(xù)采用式(2-87)或(2-88)，一直到反向屈服。在復雜應力狀態(tài)下，判斷材料是否屈服，可以用應力的某種函數表示：(2-89)式中：應力狀態(tài)；K硬化函數若以為坐標軸建立一坐標空間，則式(2-89)的幾何意義為空間超曲面。任一應力狀態(tài)在此空間中代表一個點，當此點落在屈服面之時，材料呈彈性狀態(tài)；時，材料開始進入塑性。常用的屈服條件有：(1)屈雷斯卡(Tresca)屈服條件：假定最大剪應力達

29、到某一極限值時，材料開始屈服，相當于材料力學中的第三強度理論。(2)密賽斯(Von Mises)屈服條件：假定偏應力量的第二不變量達到某一極限時，材料開始屈服，相當于材料力學中的第四強度理論。此外還有Drucker-Prager屈服準則，Zienkiewicz-Pande屈服準則等。在彈塑性增量理論中，討論仍限于小變形情況。于是，其應變位移幾何運動方程和平衡方程一樣于線性問題，不需要作任何變動。需要改變的只是在塑性區(qū)圍用塑性材料的本構關系矩陣Dep代替原來的彈性系數矩陣De。因此，可直接得到彈塑性分析有限元平衡方程：(2-90)式中：(2-91)(2-92) 其中，和分別表示與結構面荷載f與體

30、荷載t對應的等效節(jié)點力增量；為節(jié)點集中外荷載增量；為初應力或初應變增量引起的外荷載增量，它們在t-至t時間的增量為：(2-93)(2-94)對于初應力問題：(2-95)對于初應變問題：(2-96)式(2-90)(2-96)給出了小變形彈塑性分析的有限元方程，式中tKT代表了荷載與位移增量的切線剛度，隨不同加載歷程而變化。求解這一問題的關鍵是計算單元的切線剛度矩陣和應力，由于本構關系是當前應力的函數，即當前位移的隱函數，所以計算時要引入一個材料模型的子程序來處理塑性問題。這個子程序的主要計算容與步驟如下： (1)由前邊迭代的位移結果計算應變增量：(2-97)式中：、與時刻結構的位移。 (2)暫假

31、定是彈性的，計算(2-98) (3)由此推出新的應力狀態(tài)為(2-99) (4)核對在第二步中的假設是否符合事實。將式(2-99)代入加載函數中，計算當前的加載函數值：(2-100) (5)若，說明t確實是彈性的，第二、三步中的計算正確，此子程序的執(zhí)行可以結束。 (6)若，說明t中包括了(或甚至全部是)塑性變形，則改變執(zhí)行以下計算： (7)若本次迭代開始時的應力是彈性的，則本次迭代的應力增量中有一部分是彈性的，而另一部分是彈塑性的。將彈性部分記為：(2-101)顯然，mP1之后不論P值多大，壓桿直線形式的平衡都是不穩(wěn)定的。這個結論和事實完全一致。由于橋梁結構的復雜性，不可能單靠上述方法來解決其穩(wěn)定問題。大量使用的是穩(wěn)定問題的近似求解方法，歸結起來主要有兩種類型：一類是從微分方程出發(fā)，通過數學上的各種近似方法求解，如逐次漸近法。另一類是基于能量變分原理的近似法，如Ritz法，有限元方法可以看成是Ritz法的特殊形式。當今非線性力學將有限元與計算機結合，得以將穩(wěn)定問題當作非線性力學的特殊問題，用計算機程序實現(xiàn)求解，取得了巨大的成功。2.4.2第一類穩(wěn)定有限元分析根據有限元平衡方程可以表達結構失穩(wěn)的物理現(xiàn)象。在T.L列式下，結構增量形式的平衡方程為：(2-118)U.L列式下，結構的平衡方程為：(2-119)發(fā)生第一類失穩(wěn)前，結構處于初始構形線性平衡狀態(tài)，因此，式(2-11