數(shù)列綜合題習(xí)題課畢業(yè)論文

1、 .PAGE38 / NUMPAGES42畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目：數(shù)列綜合題習(xí)題課數(shù)列綜合題習(xí)題課摘要數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要容之一，它的基礎(chǔ)性和發(fā)展性是不言而喻的，由于數(shù)列與函數(shù)、三角、不等式、解析幾何、立體幾何等有廣泛的聯(lián)系，有很強(qiáng)的綜合性，是高中代數(shù)中培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的好素材。本文通過對(duì)歷年高考題的分析與講解，希望能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，自始至終貫穿觀察、分析、歸納、類比、運(yùn)算、概括、應(yīng)用等能力。其次，數(shù)列這一章蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想與方法，如函數(shù)思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教學(xué)本身也包含著豐富的數(shù)學(xué)方法，掌握這些思想方法不僅可以增進(jìn)對(duì)數(shù)列概念、公式的理解，而且運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題

2、的過程，往往能誘發(fā)知識(shí)的遷移，使學(xué)生產(chǎn)生舉一反三、融會(huì)貫通的解決數(shù)列問題。然而數(shù)列綜合題的學(xué)習(xí)與理解對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說卻是很困難的，本文將數(shù)列綜合題進(jìn)行了歸類,想通過這幾類的題型的講解，讓同學(xué)們了解和認(rèn)識(shí)到數(shù)列，也希望通過所列舉的例題與習(xí)題來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入數(shù)列綜合題的研究與學(xué)習(xí)。關(guān)鍵詞：數(shù)列；函數(shù)；不等式；幾何；數(shù)學(xué)思想 ；數(shù)學(xué)方法PROBLEMSETSWILLSEQUENCESYNTHESISPROBLEMABSTRACTThe sequence is one of the important contents of high school mathematics, whose foundat

3、ion and development is evident, because it has a wide connection with function, inequality, triangle, analytic geometry, and solid geometry, which is very comprehensive and is a good material to cultivate comprehensive ability of students in high school algebra. Based on the analysis and explanation

4、 of the questions in the college entrance examination, this article aims to cultivate students mathematical thinking, observation, analysis, induction, analogy, computing, generalization and application ability, etc. Secondly, the chapter of sequence contains a variety of mathematical ideas and meth

5、ods, such as function, equation ideology, and the basic concept, formula teaching itself contains abundant mathematical methods. To master these methods not only can improve the understanding of the concept and the formula and the use of mathematical thought and method to solve the problem, but also

6、 contribute to the migration of knowledge, enable students to infer other things from one fact, and achieve mastery through a comprehensive study of the sequence questions. However sequence synthesis problem of learning and understanding is very difficult for most of the students, this paper compare

7、d the sequence synthesis problem, want to through this a few kinds of questions of interpretation, let students understand and recognize the series, also hope that through cited examples and exercises to lead the students into sequence synthesis problem in the research and study.Keywords: sequence;

8、function; inequality; geometric; mathematical thinking; mathematical methods目 錄1前言12 教學(xué)過程2 2.1 第一講：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題22.1.1 等差數(shù)列的綜合問題32.1.2 等比數(shù)列的綜合問題52.1.3 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題7 2.2 第二講： 數(shù)列的求和92.2.1 公式法求和92.2.2 錯(cuò)位相減法求和122.2.3 數(shù)列求和的其他方法14 2.3 第三講：數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何的綜合問題172.3.1 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題182.3.2數(shù)列與解析幾何的綜合問題21 2

9、.4 第四講：其他數(shù)列綜合問題242.4.1遞推公式與通項(xiàng)公式242.4.2數(shù)列與存在性問題262.4.3數(shù)列、極限、解析幾何的綜合題292.4.4 數(shù)列構(gòu)造法與最值問題的應(yīng)用312.4.5 數(shù)列與向量、概率的綜合問題323 結(jié)論36參考文獻(xiàn)37致381 前言數(shù)列是高中階段重要的 HYPERLINK :/ lw54 /html/shuxue/ t _blank 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，在我們的日常生活中，數(shù)列模型可以幫助我們解決如存款利息、購房貸款、資產(chǎn)折舊等實(shí)際問題，學(xué)習(xí)它，研究它，主要是想利用它來解決一些實(shí)際問題，讓其為我們的生活更好地服務(wù)。也就是說，我們

10、所學(xué)知識(shí)都來源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活。其次學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)對(duì)進(jìn)一步理解函數(shù)的概念和體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值也具有重要的意義。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要容，也是很多數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，它具有豐富的現(xiàn)實(shí)背景，在現(xiàn)實(shí)問題的解決中有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)列作為離散函數(shù)的模型，具有函數(shù)的性質(zhì)，又有自己獨(dú)特的遞推關(guān)系，使得他與高中數(shù)學(xué)的其他部分有著密切的聯(lián)系，又具有自己鮮明的特征，因此是高考重點(diǎn)考察的容之一。對(duì)于數(shù)列綜合題的學(xué)習(xí)需要學(xué)生具有一定的綜合能力，本文正是為了培養(yǎng)與鍛煉學(xué)生這種綜合能力而進(jìn)行編寫的。文中所選習(xí)題與例題均出自歷年高考真題與各省的模擬題，圍基本覆蓋數(shù)列的所有知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于學(xué)習(xí)者來說，或許有些難度，但是

11、我相信讀者們一定可以跨過這道門檻，走進(jìn)數(shù)列豐富多彩的殿堂。2 教學(xué)過程2.1 第一講：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題授課題目等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題課型習(xí)題課年級(jí)高三教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能熟練運(yùn)用等差、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式以與遞推公式的有關(guān)性質(zhì)，分析和解決等差、等比數(shù)列的綜合問題.過程與方法通過對(duì)等差、等比數(shù)列綜合題的分析、探究，提高學(xué)生的觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的能力；利用例題來培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、概括、歸納的能力.情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過具體問題，發(fā)現(xiàn)等差等比數(shù)列之間的關(guān)系以與同其他知識(shí)的關(guān)系，并利用相關(guān)知識(shí)予以解決，感受數(shù)列的應(yīng)用價(jià)值；培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)心觀察的科學(xué)態(tài)度.學(xué)情分析在本節(jié)

12、課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差、等比數(shù)列的所有基本知識(shí)，對(duì)于基本概念以與相關(guān)知識(shí)都比較熟悉，同時(shí)學(xué)生已有了函數(shù)與方程知識(shí)，因此在教學(xué)中可適當(dāng)滲透函數(shù)與方程思想。然而將這些知識(shí)綜合在一起來考查，學(xué)生們往往感覺比較困難，針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，本節(jié)課采取了循序漸進(jìn)、層層深入的教學(xué)方式，以問題解答的形式，通過分析、討論、歸納、探索而獲得知識(shí)，為學(xué)生積極思考、自主探究搭建了理想的平臺(tái)，讓學(xué)生見識(shí)到這類題型的考查方式與解題的基本思路，為學(xué)生后來更深一層的研究數(shù)列問題打下基礎(chǔ).教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)通過對(duì)等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，滲透函數(shù)與方程思想，以與對(duì)數(shù)列前項(xiàng)和與數(shù)列之間的關(guān)系理解.教學(xué)方法講授法教具粉筆、直尺2.

13、1.1 等差數(shù)列的綜合問題方法引導(dǎo)：解決等差數(shù)列的綜合問題時(shí)，首先要熟練掌握等差數(shù)列的定義，能夠用定義法或等差中項(xiàng)法判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列；其次要熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，能夠用等差數(shù)列的性質(zhì)解決相關(guān)問題。例1 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知且，其中A、B為常數(shù)。求A與B的值；證明數(shù)列為等差數(shù)列；證明不等式對(duì)任何正整數(shù)、都成立。選題意圖：此題以方程為背景，綜合考查了數(shù)列與其前項(xiàng)和之間的關(guān)系、等差數(shù)列的定義、以與不等式的相關(guān)知識(shí)，對(duì)于學(xué)生的方程與函數(shù)思想、歸納與分析能力的訓(xùn)練都有一定的好處，此題屬于常規(guī)題型，具有代表性，且問題也不是很難，學(xué)生可以接受，解法也很普遍，具有示性。解析：首

14、先看看三個(gè)問題，第一問是要求A與B的值，第二問要證明數(shù)列為等差數(shù)列，第三問是要證明不等式對(duì)任何正整數(shù)、都成立，針對(duì)第一問，這里同學(xué)們很容易盯著不放，而忽視，導(dǎo)致此題無從下手，這就是沒有理解題意的表現(xiàn)，我們往往只盯著題目中比較大，比較長的式子，而忽視一些細(xì)節(jié)，所以在作題時(shí)，要把題設(shè)中所有對(duì)象“是什么，有什么性質(zhì)，如何表示”盡可能理清楚的寫下來。仔細(xì)分析后，我們很容易想到把的值代入已知等式，建立A與B的方程組，求得A與B的值。這里我們對(duì)于題意的表層理解就是找出了與的關(guān)系，其實(shí)只要我們更深一層的理解，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這里其實(shí)所要表達(dá)的是等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)與方程思想的運(yùn)用。于是有 得 把 分別代入 得解得到此

15、第一問解決，絕大多數(shù)同學(xué)，我想都能做出來。而第二問要我們證明數(shù)列為等差數(shù)列，而條件給我們的只是有關(guān)前項(xiàng)和之間的關(guān)系，所以第二問解題的關(guān)鍵就是要找出與之間的關(guān)系，這里仍然考察與的關(guān)系。于是由（1）知，即這里出現(xiàn)了與之間的關(guān)系，結(jié)合，遞推思想的運(yùn)用在此油然而生，很自然想到將向前加一位或向后減一位。故得則得，即還是這種想法，將向前加一位得則得，這里我們已經(jīng)將開始條件里的之間的關(guān)系，徹底轉(zhuǎn)化為了之間的關(guān)系，充分體現(xiàn)了解題基本路徑中的“變更問題”思想，這種轉(zhuǎn)化使得問題的初始狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)愈來愈接近。觀察式又等差數(shù)列最鮮明的特征在此處展現(xiàn)出來了。數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為5的等差數(shù)列。對(duì)于第三問是證明不等式，

16、我們可以從這個(gè)式子入手分析，要想證明只要證明即只要證又由（2）知， 考慮即因此這種“執(zhí)果索因”的分析方法，在今后的學(xué)習(xí)中將被經(jīng)常用到，同學(xué)們要好好體會(huì)。能力考察：在數(shù)列中判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列；若對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，數(shù)的取值圍。2.1.2 等比數(shù)列的綜合問題方法引導(dǎo)：解決等比數(shù)列的綜合問題時(shí)，首先要深刻理解等比數(shù)列的定義，能夠用定義法或等比中項(xiàng)法判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列；其次要熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，能夠用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題。閑話不多說我們來看看這道題。例2 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為求的通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：選題意圖：此題依然是想考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列

17、與之間關(guān)系的理解，第二問的直觀的感覺很復(fù)雜，可是只要我們算下去，就會(huì)“由難變易”。對(duì)于不等式考查同學(xué)們函數(shù)思想的應(yīng)用。這里也再次強(qiáng)調(diào)，對(duì)于數(shù)列問題而言，函數(shù)思想是必須具備的。解析：還是一樣，先看看問題。第一問是求的通項(xiàng)公式，第二問證明不等式。針對(duì)第一問，條件告訴我們是一個(gè)等比數(shù)列，如果我們知道首項(xiàng)與公比，那么第一問就沒有問題，關(guān)鍵題目給的條件還是和有關(guān)，結(jié)合，我們依然采取例1的思想，于是，當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，由于是等比數(shù)列，所以因此有 解得這時(shí)到此第一問就解決了。這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的元認(rèn)知中的“控制”，即當(dāng)我們遇到一道新題目時(shí)，對(duì)如何入手、如何策劃、如何構(gòu)思、如何選擇、如何組織、如何猜想、如何修正等

18、都應(yīng)該作出基本策劃和安排。對(duì)于第二問，由于，這個(gè)關(guān)系式很復(fù)雜，我們可以不關(guān)注其“長相”，依然從深層去理解，緊抓問題之間的關(guān)系，聯(lián)系第一問我們可得，故，從而到這里我們就把剛剛題目中的“隱性信息”轉(zhuǎn)化成了“顯性信息”，接下來的求解就可水到渠成。所以觀察的構(gòu)造，很自然想到用錯(cuò)位相減法求出，即則得所以，要證即要證，很顯然要考慮的取值情況，即考查它的單調(diào)性。不妨令，顯然隨著的增大而減小，故，故，即等比數(shù)列的綜合問題，其實(shí)并不是很難，然而這類問題的考察，常常會(huì)伴有大量的計(jì)算與“丑陋”而又“粗獷”的式子。同學(xué)們往往被這些附帶的東西迷惑，致使解題出現(xiàn)困難。其實(shí)只要抓住問題的本源，掌握數(shù)列的性質(zhì)，就一定能找出頭

19、緒。 能力考察： 已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，其中為正實(shí)數(shù)。用表示；若，記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明2.1.3 等差數(shù)列的綜合問題與等比數(shù)列的綜合問題方法引導(dǎo)：解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系。如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或成等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來，研究這些項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系；如果兩個(gè)數(shù)列通過運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開，弄清兩個(gè)數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解。例3 假設(shè)是一個(gè)等差數(shù)列，且滿足若給出以下命題：（1）數(shù)列是等比數(shù)列；（2）；（3）；（4）。其中正確的個(gè)數(shù)

20、是A.1 B.2 C.3 D.4選題意圖：此題以等差數(shù)列為面等比數(shù)列為里綜合而成的。重點(diǎn)是對(duì)等差等比數(shù)列性質(zhì)的考查，對(duì)于這種選擇題型，抓住題目所給條件，細(xì)心分析，關(guān)注兩種數(shù)列之間的聯(lián)系，就一定能得出結(jié)論。分析解答：四個(gè)命題我們一個(gè)一個(gè)看，首先第一個(gè)命題說數(shù)列是等比數(shù)列，由條件知.不妨設(shè)的公差為，則，又，所以.易知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，故（1）正確；其次第二個(gè)命題，由于，所以，故（2）正確；再次第三個(gè)命題，由于，所以，故（3）正確；最后第四個(gè)命題因?yàn)?，所以，故?）正確.故四個(gè)命題都是正確的，選D.等差與等比數(shù)列的綜合問題，我們只要能熟悉它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，按部就班地從基本的想法試下去，就一

21、定可以做出來.能力考察： 已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則其公比等于A.1 B.1 C.1或1 D.2.2 第二講： 數(shù)列的求和授課題目數(shù)列求和課型習(xí)題課年級(jí)高三教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能熟悉各種求和方法的定義以與運(yùn)用的條件，能熟練地運(yùn)用各種求和方法來求數(shù)列的和.過程與方法通過對(duì)數(shù)列的各種求和公式的運(yùn)用來培養(yǎng)學(xué)生歸納、分類討論、遷移的能力.情感、態(tài)度與價(jià)值觀在解決實(shí)際問題的過程中，體會(huì)如何去分析問題、解決問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力.學(xué)情分析在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了各種求和公式的推導(dǎo)以與主要的求和思想，本節(jié)是對(duì)學(xué)生能否用已學(xué)知識(shí)來解決問題的一次考查。通過上節(jié)的講解與練

22、習(xí)，學(xué)生們已經(jīng)對(duì)等差等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)相當(dāng)熟悉，各種思想方法也得到了一次訓(xùn)練，對(duì)于數(shù)列求和，因?yàn)橛泻芏喾椒?，致使學(xué)生在解題時(shí)不知道用哪種方法，所以本文從最基本的求和方法開始講解，層層遞進(jìn)地介紹了包括錯(cuò)位相減法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法的相關(guān)應(yīng)用，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)會(huì)用各種求和方法進(jìn)行求和，理解公式法求和，錯(cuò)位相減法求和，倒序相加法求和，裂項(xiàng)相消法求和，并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和的基本思想以與會(huì)靈活運(yùn)用.教學(xué)方法講授法教具粉筆、直尺2.2.1 公式法求和方法引導(dǎo)：所謂公式法，就是直接應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，以與正整數(shù)的平方和公式、立方和公式等公式求解。而我們常用的幾個(gè)求和

23、公式如下：（1）（2）（3）熟練這些公式，是能求出數(shù)列前項(xiàng)和的保障。所以公式的記憶是很重要的。例1 已知函數(shù)（1）若函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，試證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)到軸的距離構(gòu)成數(shù)列，試求數(shù)列的前項(xiàng)和。選題意圖：此題是在數(shù)列的知識(shí)框里鑲上了函數(shù)知識(shí)，兩類知識(shí)結(jié)合的天衣無縫，即考查了數(shù)列求和的知識(shí)，又考查了函數(shù)的最值點(diǎn)等相關(guān)知識(shí)。這種結(jié)合在數(shù)列綜合題問題的考查中時(shí)有發(fā)生，屬于常規(guī)考法，比較典型。解析：首先分析問題,對(duì)于第一問說是由函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成的，這里充分的利用了數(shù)列的函數(shù)特點(diǎn)，成功地將數(shù)列問題“嫁接”在了我們已經(jīng)非常熟悉的一元二次方程的“樹干”上，

24、這類題型在高考中很是常見，只要學(xué)生們能從熟悉的知識(shí)入手，從而聯(lián)想到一個(gè)可行的解決方案，那么接下來的事，就水到渠成了。接著看，既然說是由函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成的，所以我們要看看的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是什么。由（這里還可以直接用對(duì)稱軸為），于是可得，我們知道題目是要我們證數(shù)列是等差數(shù)列，這里只要考慮一下等差數(shù)列通項(xiàng)的特征，就能立即得到結(jié)果，當(dāng)然如果你不放心，也可以檢驗(yàn)相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，即，隱藏的等差數(shù)列終于暴露出來了，到此就證明了數(shù)列是等差數(shù)列。而對(duì)于第二個(gè)問題，又出現(xiàn)了另一個(gè)數(shù)列，其實(shí)只要對(duì)第一問很熟悉，我們自己都可以“猜測(cè)”到第二問的問題，一個(gè)框架，造出來的樓也是很相似的，由上面的分析可得很顯然下一

25、步我們要去掉絕對(duì)值，于是當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列，由公式,；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，這里的首項(xiàng)是，共有項(xiàng)，到此問題就全部解決了。從某種意義上說，這里我們只是再認(rèn)了一個(gè)由舊問題“喬裝打扮”而成的新問題而已，需要提醒的是用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式時(shí)，一定要看清數(shù)列的哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列。在第（2）問的求解中，或時(shí)，都可以用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，但當(dāng)時(shí)，不要誤求為數(shù)列的前2項(xiàng)和；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的首項(xiàng)為，項(xiàng)數(shù)為，不要誤求為項(xiàng)的和，也不要誤求為項(xiàng)的和。能力考察：已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列。（1）求公比；（2）設(shè)，求2.2.2 錯(cuò)位相減法求和方法引導(dǎo)：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)

26、是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的，此時(shí)可把式子的兩邊同乘以公比，得到，兩式錯(cuò)位相減整理即可求出。利用錯(cuò)位相減法求和是一種非常重要的求和方法，這種方法的計(jì)算過程較為復(fù)雜，對(duì)計(jì)算能力的要求較高，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練，并注意通過訓(xùn)練，掌握在錯(cuò)位相減過程中幾個(gè)容易出錯(cuò)的環(huán)節(jié)。下面就來看看錯(cuò)位相減法求和是怎么一回事。例2 已知數(shù)列是首項(xiàng)、公比都為的等比數(shù)列，.（1）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和（2）當(dāng)時(shí)，若，求的最小值。選題意圖：從一看便知，此題是借著對(duì)數(shù)模型發(fā)揮，綜合考查學(xué)生對(duì)于與之間的關(guān)系的理解、錯(cuò)位相減法的應(yīng)用、以與比較大小的處理方法。構(gòu)造簡單，思路也很明顯，對(duì)于大多數(shù)同學(xué)來說，容易接受。也希望通過

27、此題讓同學(xué)們類比函數(shù)模型與數(shù)列結(jié)合這一類問題的解題思路。解析：等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和，對(duì)于我們來說是很容易的，畢竟我們有現(xiàn)成的公式可以套用，那么如果把等差與等比數(shù)列糅合在一起，導(dǎo)致項(xiàng)與項(xiàng)之間沒有了明顯的關(guān)系，你還能作出來嗎？錯(cuò)位相減法，就是為了培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的“創(chuàng)造”思想的。依然分析一下問題，第一問想求數(shù)列的前項(xiàng)和，想求，就得求，想求就得求，這里依然遵循“從基本的想法試下去”這一原則，所以由題得,，要求出,關(guān)鍵是求出.故可設(shè)，（這里出現(xiàn)了運(yùn)用錯(cuò)位相減法的時(shí)機(jī)）故，于是由得到此第一問運(yùn)用錯(cuò)位相減法就解決了。而第二問是解不等式，對(duì)于解不等式，我們常常能想到是作差和相除，不妨我們嘗試一下相除，于是

28、，即取時(shí)，。當(dāng)然也可通過作差的方法，建立關(guān)于的不等式，求出的取值圍，即，此處的式子乍一看很復(fù)雜，其實(shí)仔細(xì)分析一下就變成了的樣子。，即取時(shí)，故所求的的最小值是15，結(jié)論與上所求一致。此類問題應(yīng)該從整體進(jìn)行觀察、分析、處理，從全局把握條件與結(jié)論間的聯(lián)系，抓住問題的本質(zhì)，使問題變得簡潔、明晰，從中發(fā)現(xiàn)解決問題的辦法，即“整體化策略”。 能力考察：已知函數(shù)滿足且（1）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式；（2）設(shè)，求證：；（3）設(shè)為的前項(xiàng)和，當(dāng)最大時(shí)，求的值。2.2.3 數(shù)列求和的其他方法方法引導(dǎo)：數(shù)列求和的方法有很多，這里再重點(diǎn)說說倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法這三種方法。所謂倒序相加法即如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等

29、距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫和倒著寫的兩個(gè)式子相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，進(jìn)而求出數(shù)列的前項(xiàng)和。當(dāng)然運(yùn)用倒序相加法求和具有一定的局限性，只有與首尾兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和是常數(shù)時(shí)才可以用。而裂項(xiàng)相消法就是把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前項(xiàng)和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，從而求出數(shù)列的前項(xiàng)和。這里列舉了一些常用的裂項(xiàng)技巧：（1）（2）（3）（4）（5）（6）最后看看并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法，即在求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的，尤其是當(dāng)各項(xiàng)的絕對(duì)值又構(gòu)成等差數(shù)列時(shí)，可以先將相鄰的兩項(xiàng)或幾項(xiàng)合并，然后再利用其他相關(guān)的方法進(jìn)行求和。說了這么多，接著我們來看看下面的

30、這道例題。例3 二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的函數(shù)值中所有整數(shù)值的個(gè)數(shù)為，則A. B. C. D.選題意圖：此題依然是將數(shù)列問題“嫁接”在函數(shù)的“樹干”上，對(duì)于此類問題的解決，一定要從函數(shù)的思想方法入手，深入研究，找出那些被函數(shù)所隱藏的信息。只要找出了“隱藏性信息”，剩下的就是對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力的考察。同時(shí)本題對(duì)于并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和的訓(xùn)練也是相當(dāng)?shù)挠猩疃鹊?，希望同學(xué)們能體會(huì)。解析：先考慮的對(duì)稱軸為，即在時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)。故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值隨的增大而增大，則的值域?yàn)椋?既然已經(jīng)求出，所以可得.此處求出了。下面要分析一下的構(gòu)造，由于受的影響，必須對(duì)其進(jìn)行討論，故先考慮當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，再考慮當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故選A。注意在利用并

31、項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)進(jìn)行分類討論，但最終的結(jié)果卻往往可以用一個(gè)公式來表示。能力考察：設(shè)函數(shù)，若已知，且數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和=2.3 第三講：數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何的綜合問題授課題目數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何的綜合問題課型習(xí)題課年級(jí)高三教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能使學(xué)生了解數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何之間的關(guān)系，掌握這類題型的解題思路和常規(guī)解題方法，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系.過程與方法結(jié)合實(shí)例，通過觀察、分析、歸納、猜想，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何綜合問題的解題過程，發(fā)現(xiàn)此類問題的命題特點(diǎn)與考查方式，以與體驗(yàn)函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討

32、論等數(shù)學(xué)思想.情感、態(tài)度與價(jià)值觀在解決實(shí)際問題的過程中，體會(huì)如何去分析問題、解決問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力.學(xué)情分析本節(jié)課的學(xué)習(xí)是對(duì)以前所學(xué)知識(shí)的一個(gè)總結(jié)與考查，學(xué)生對(duì)于數(shù)列、函數(shù)、不等式、解析幾何的相關(guān)知識(shí)也已經(jīng)相當(dāng)熟悉，然而將這些知識(shí)綜合起來，題型是什么樣的，到底會(huì)如何考查，基本的解題思路是什么，該如何分析問題，從何處下手等問題，是每個(gè)學(xué)生的困惑，而且由于學(xué)生對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系不夠清楚，雖然具有一定的分析和解決問題的能力，邏輯思維能力也已經(jīng)形成，但缺乏冷靜、深刻，思維上具有片面性、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，對(duì)問題解決的一般性思維過程認(rèn)識(shí)比較模糊等情況，往往會(huì)導(dǎo)致解題失敗. 教學(xué)重點(diǎn)與

33、難點(diǎn)熟練掌握函數(shù)、不等式、解析幾何、數(shù)列所涉與的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，能熟練運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)，以與有一定的綜合運(yùn)用能力，能掌握知識(shí)間的在聯(lián)系.教學(xué)方法講授法教具粉筆、直尺2.3.1 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題方法引導(dǎo)：數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式相當(dāng)于函數(shù)的解析式，我們可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來研究數(shù)列。例如要研究數(shù)列的單調(diào)性、周期性，可以通過研究其通項(xiàng)公式所對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、周期性來實(shí)現(xiàn)，但要注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特性。由于在等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中，是關(guān)于的一次函數(shù)，在前項(xiàng)和公式中，是關(guān)于的二次函數(shù)，在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式中，和的關(guān)系

34、類似于指數(shù)函數(shù)，所以等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)有著密切的關(guān)系。一方面我們要了解這種關(guān)系，另一方面也要能夠利用數(shù)列與函數(shù)的這種關(guān)系解決問題。由于圖像是函數(shù)的一種重要表示形式，所以有些數(shù)列問題借助其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像可以得到直觀形象的解答，同時(shí)有些函數(shù)問題，例如求函數(shù)解析式，也可以借助數(shù)列中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解。而數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點(diǎn)容?？疾榉绞街饕腥c(diǎn)，一是判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系，二是以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題，三是考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題。在解決這些問題時(shí)，要充分利用數(shù)列自身的特點(diǎn)，例如在需要用數(shù)列的單調(diào)性的時(shí)候，可以通過比較相鄰

35、兩項(xiàng)的大小進(jìn)行判斷。當(dāng)然這節(jié)的學(xué)習(xí)，可以幫助我們檢查自己對(duì)于以前學(xué)習(xí)過的知識(shí)的掌握程度。例1 已知二次函數(shù)同時(shí)滿足：不等式的解集有且只有一個(gè)元素；在定義域存在，使得，但。設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和。（1）求的表達(dá)式；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為對(duì)恒成立，求的取值圍。選題意圖：此題將函數(shù)、不等式與數(shù)列融合在一起進(jìn)行考查，綜合考查了不等式、函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的求和等知識(shí)。容豐富，知識(shí)點(diǎn)也比較多，通過此題的解答過程，想給同學(xué)們一些啟發(fā)。使同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中善于總結(jié)知識(shí)間的聯(lián)系。當(dāng)然裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，也是我們必須掌握的技能。解析：解決這類問題，同學(xué)們一定要在題目的文字中理解出一

36、個(gè)“表征方式”，可以是語義的、表象的、圖式的、圖表的，這里對(duì)于問題在學(xué)生頭腦中的“表征方式”就起著很重要的作用。依然是先分析一下問題，第一問求的表達(dá)式，關(guān)鍵是求出的值，從題目已知的條件不等式的解集有且只有一個(gè)元素，再結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)我們或許可以得到一些啟示，嘗試一下。的解集有且只有一個(gè)元素，也就是說圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn)?；蜻@里解出了的值。再看看條件說在定義域存在，使得，但。故可將的值代入之后一一驗(yàn)證即可。所以當(dāng)，函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，時(shí)必有。故不存在，使得，且這里“數(shù)形結(jié)合”思想的運(yùn)用，是很重要的。又當(dāng)時(shí)，函數(shù)，在定義域存在，使得，且滿足題設(shè)條件。故.對(duì)于第二問是求數(shù)列的通項(xiàng)

37、公式，由條件已知，故由第一問的結(jié)果可知，這里考查與之間的關(guān)系。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有，第三問又多出了兩個(gè)數(shù)列與數(shù)列，由條件知這里數(shù)列與數(shù)列可謂來勢(shì)洶洶，然而卻是一只紙老虎，我們不要自亂陣腳，來慢慢分析，此題是讓我們解不等式，很顯然我們要求出，由上可知當(dāng)時(shí)，觀察的形式，要考慮到用裂項(xiàng)求和法來求。數(shù)列的前項(xiàng)和即對(duì)恒成立，由于是想求出的取值，常用策略就是分離變量，于是分離變量之后可轉(zhuǎn)化為：對(duì)恒成立，此處要理解“恒成立”的意義，將問題轉(zhuǎn)化一下，其實(shí)就是考查的增減性，來找最值。是關(guān)于的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最小值18，本題將函數(shù)、不等式與數(shù)列融合在一起進(jìn)行考查，綜合考查了不等式、函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的求和

38、等知識(shí)。尤其是第（3）問，需要用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，這是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，需要我們慢慢體會(huì)與理解。能力考察：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，問是否存在正整數(shù)，對(duì)一切正整數(shù)，總有？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。2.3.2 數(shù)列與解析幾何的綜合問題方法引導(dǎo)：數(shù)列與解析幾何的綜合問題，尤其是解析幾何中的點(diǎn)列問題正成為高考的熱點(diǎn)容。解決點(diǎn)列問題的關(guān)鍵是充分利用解析幾何的有關(guān)性質(zhì)、公式，建立數(shù)列的遞推關(guān)系或通項(xiàng)公式之間的關(guān)系，然后借助數(shù)列的知識(shí)加以解決，這些都需要學(xué)習(xí)者有較高的融會(huì)貫通能力，比較困難。然而此節(jié)學(xué)習(xí)還有一處難點(diǎn)，就是對(duì)學(xué)習(xí)者計(jì)算能力的挑戰(zhàn)，解析幾何與數(shù)列中都

39、有較大量的計(jì)算，所以要求學(xué)習(xí)者的計(jì)算功底要相當(dāng)扎實(shí)，既要快又要準(zhǔn)，下面來看看例題。例2 已知拋物線，過原點(diǎn)作斜率為1的直線交拋物線與第一象限一點(diǎn)，又過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，再過作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，如此繼續(xù)，一般地，過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)（1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小。選題意圖：此題是解析幾何與數(shù)列結(jié)合考查的常見形式，求和、通項(xiàng)、比較大小也是大眾題型。同學(xué)們?nèi)菀捉邮?，思路也比較清晰，只要在解題中注意細(xì)節(jié)，解題就能很順利。解析：此類問題對(duì)于題意的理解很重要，一定要從題意中概括出大致意思，輔之于圖像，幫助自己理解題意?？梢酝ㄟ^“它

40、是什么？如何表示？能否畫出圖像？能否用其他形式表示？”這樣的話來提示自己挖掘題目的深層含義。話不多說先看看問題。第一問是要證數(shù)列是等比數(shù)列，那么要明確等比數(shù)列的定義與性質(zhì)，由題目條件可知都在直線與拋物線上，據(jù)此可建立與，與之間的關(guān)系式。即又直線的斜率為，即把代入式可得，到此得到了與之間的關(guān)系。再看看的構(gòu)造，故可得這里是一個(gè)思考難點(diǎn)，同學(xué)們很少能發(fā)現(xiàn)，其實(shí)只要仔細(xì)分析從上面得出相鄰項(xiàng)的關(guān)系，就能很自然的建立起這其中的“橋梁”。結(jié)合問題考慮，故得，等比數(shù)列最鮮明的特征已經(jīng)展現(xiàn)在我們眼前了，所以是以為公比的等比數(shù)列。第一問到此便解決了。針對(duì)第二問是比較與的大小，首先要求出，由（1）知，且,，,原題轉(zhuǎn)

41、化成比較與的大小。故只要比較與的大小即可。這里“轉(zhuǎn)化策略”的運(yùn)用，可以省去很多麻煩，由于是指數(shù)形式，是一次函數(shù)形式，考慮作差或者相除都必將導(dǎo)致運(yùn)算量增大，故索性就從“簡單自然”的方法考慮，即可對(duì)進(jìn)行討論，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)，時(shí)，。結(jié)論已經(jīng)得出，此題到此結(jié)束。能力考察：已知曲線過上一點(diǎn)作斜率為的直線交曲線于另一點(diǎn)，點(diǎn)列的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，其中。（1）求與的關(guān)系式；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求證：2.4 第四講：其他數(shù)列綜合問題授課題目其他數(shù)列綜合問題課型習(xí)題課年級(jí)高三教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能掌握各知識(shí)點(diǎn)之間的部聯(lián)系，能熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行解題.過程與方

42、法通過實(shí)例，幫助學(xué)生了解題型與考查方式，培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力.情感、態(tài)度與價(jià)值觀在解決問題的過程中，使學(xué)生認(rèn)識(shí)并感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.學(xué)情分析本節(jié)課是對(duì)上一節(jié)補(bǔ)充，也是對(duì)整個(gè)數(shù)列綜合題的總結(jié)。數(shù)列與很多知識(shí)都有關(guān)聯(lián)，有很強(qiáng)的綜合性，所出題型信息量較大，涉與知識(shí)面廣，復(fù)雜難懂，學(xué)生往往讀完題后沒有任何頭緒，使同學(xué)們苦不堪言，其實(shí)單個(gè)的知識(shí)點(diǎn)，同學(xué)們都非常熟悉，可是當(dāng)這些知識(shí)點(diǎn)“糾纏”在一起時(shí)，同學(xué)們或許是因?yàn)轭}意理解有障礙，或許是因?yàn)槟承┲R(shí)點(diǎn)不夠清晰，導(dǎo)致無法解題，本節(jié)再次以例題講解為主，來幫助同學(xué)們體會(huì)這類題的解題方法。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)掌握各知識(shí)點(diǎn)之間的部聯(lián)系，能熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行解題。教

43、學(xué)方法講授法教具粉筆、直尺2.4.1遞推公式與通項(xiàng)公式方法引導(dǎo)：如果一個(gè)數(shù)列的連續(xù)兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）的關(guān)系，可以用一個(gè)公式（或者）來表示，就稱該公式為數(shù)列的遞推公式；由數(shù)列的首項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），與遞推公式給出的數(shù)列，稱為遞推數(shù)列。遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法。如果說由通項(xiàng)公式給出的數(shù)列是直接的、具體的，那么相對(duì)而言遞推公式給出的數(shù)列則是間接的、抽象的。如何實(shí)現(xiàn)這種由“抽象”到“具體”的轉(zhuǎn)化乃是我們要研究的核心容，即求遞推數(shù)列的通項(xiàng)。此節(jié)容的學(xué)習(xí)會(huì)遇到很多關(guān)系式，可以利用函數(shù)的思想來進(jìn)行考慮，當(dāng)然也要求我們具有比較高的化簡與變形關(guān)系式的能力。除去偽裝，從而將那種隱藏的關(guān)系找出，解決問題。下面看看例

44、題。例1設(shè)（）令求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和.選題意圖：此題將兩個(gè)數(shù)列“糾纏”在一起，通過相互兩者之間的相互聯(lián)系，互相求出。設(shè)計(jì)新穎，問題層層遞進(jìn)很有層次感，且方法比較普遍具有代表性。通過此題希望同學(xué)們理解遞推公式的作用與處理方法。解析：首先分析一下問題，第一問是要求數(shù)列的通項(xiàng)公式，條件給出了與的關(guān)系，又給出了的遞推關(guān)系式，因此從此遞推關(guān)系式出發(fā)，想辦法求出是解出此題關(guān)鍵。這是一種比較常規(guī)的思考方向，我相信大部分同學(xué)都會(huì)想到這些。當(dāng)然這題還可以通過從這個(gè)關(guān)系式作為突破點(diǎn)來考慮，我們知道在高中學(xué)習(xí)階段，我們所學(xué)習(xí)的數(shù)列中特殊的不多，常見的就是等差與等比數(shù)列，能求出通項(xiàng)的也就只有這兩種，本

45、題是要我們求通項(xiàng)公式，是否可以考慮是等差或等比數(shù)列呢？可以嘗試一下。于是可以尋找一下與之間的關(guān)系。由，這里出現(xiàn)了等比數(shù)列的典型特點(diǎn)，我們的嘗試有了結(jié)果。所以是公比為的等比數(shù)列，且首項(xiàng)是由此可寫出。到此第一問我們便解決了。對(duì)于第二問，是要我們求數(shù)列的前項(xiàng)和。想求出，那么我們就要知道的“樣子”?；仡^看看題目已知條件與第一問的結(jié)論。我們很容易由第一問的結(jié)論得出與之間的關(guān)系，即, 注意到由等比數(shù)列的意義可得,，這里我們求出數(shù)列，當(dāng)然就知道了的“樣子”，所以，要求的前項(xiàng)和，分析一下的結(jié)構(gòu)，它是由兩部分組成的。對(duì)于我們很容易求出它的前項(xiàng)和，比較困難的是的前項(xiàng)和，可以把它單獨(dú)分離出來考慮，化繁為簡。不妨記數(shù)

46、列的前項(xiàng)和為，則這個(gè)式子的特征在前幾節(jié)數(shù)列求和中講過，可以利用錯(cuò)位相減法來求和。于是可得 兩式相減得,故所有的準(zhǔn)備工作都做好了，下面來求。由上可得。到這里我們就完整的把問題全部解決了，對(duì)于此類問題的解決，化“抽象”為“具體”、化繁為簡、先分后和以與正難則反等策略的運(yùn)用是非常有效的，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要注意體會(huì)。能力考察：設(shè)數(shù)列、滿足：，（）,證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（）.2.4.2數(shù)列與存在性問題方法引導(dǎo)：近年來,隨著高考改革的深化和新教材中研究性課題的不斷引入,探索題正逐漸成為高考的熱點(diǎn),尤其是以數(shù)列存在性問題為代表、考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與研究性學(xué)習(xí)能力的題目倍受命題者的青

47、睞。下面我們將結(jié)合具體實(shí)例談一談數(shù)列存在性問題的求解策略。例2 已知公比為的無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為。()求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；()對(duì)給定的,設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.求數(shù)列的前10項(xiàng)之和；()設(shè)為數(shù)列的第項(xiàng)，求，并求正整數(shù)，使得存在且不等于零。(注：無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，即當(dāng)時(shí)該無窮數(shù)列前項(xiàng)和的極限)選題意圖：此題放在這里，既能承接上文又能呼應(yīng)下文，且問題設(shè)計(jì)的很新穎，將大學(xué)課程中的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行了“下放”，對(duì)于題意的理解，相關(guān)方法的考查很到位，希望同學(xué)們能借此訓(xùn)練自己的思維能力。此題比較有深度，值得同學(xué)們仔細(xì)琢磨。解析：首先分析一下問題，第一問要我們求首項(xiàng)和公比，我

48、們知道是等比數(shù)列，所以也是等比數(shù)列，且首項(xiàng)是，公比是。條件已知與的各項(xiàng)和，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式與題目注解可得，這里，所以可得，到此第一問就解決了。這里的難點(diǎn)是對(duì)于極限的理解和運(yùn)用。對(duì)于第二問首先要讀懂題意，二問的意思是說，用重新構(gòu)造了一個(gè)數(shù)列，長什么樣子呢？題目說數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，再看看問題是讓我們求出的前10項(xiàng)和。首先我們來整理一下手上的“碎片”，我們知道了，是首項(xiàng)為，公差為，所以數(shù)列的首項(xiàng)為,公差,首項(xiàng)和公差都已經(jīng)知道了，又知道是等差數(shù)列，所以前10項(xiàng)和,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155?，F(xiàn)在就差最后一問了，依然先來看看題目，第三問里包括兩個(gè)問題，一問是求和，另一問是考查存在性

49、，首先看看一問，從題意可知，新出現(xiàn)的數(shù)列的特點(diǎn)就是為數(shù)列的第項(xiàng)，我們?cè)诘诙栆呀?jīng)熟悉了的構(gòu)造，即，其實(shí)“為數(shù)列的第項(xiàng)”的意思就是=，故.，這里求和仍要用到錯(cuò)位相減法，可見此法對(duì)于數(shù)列求和來說，相當(dāng)重要。于是可得.到此求出一問.對(duì)于二問求正整數(shù)，使得存在且不等于零，是比較困難的。下面我們來慢慢研究，首先利用一問的結(jié)論，可得=,分別考慮，的極限值：因?yàn)?所以，由上式可得：當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，；綜上：對(duì)于存在性問題的考察，往往會(huì)引入一些未知參數(shù)，所以對(duì)于分類討論思想、定量分析思想、等式轉(zhuǎn)化等思想考察尤為突出，當(dāng)然挖掘題意，從而理解“潛臺(tái)詞”，也是很重要的。能力考察：已知數(shù)列中, ，點(diǎn)在直線上,其中(1)

50、令， 求證:數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)；(3)設(shè)分別為數(shù)列、的前項(xiàng)和, 是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在, 試求出；若不存在, 請(qǐng)說明理由。2.4.3數(shù)列、極限、解析幾何的綜合題方法引導(dǎo)：數(shù)列極限問題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)容,值得引起關(guān)注的是高中數(shù)學(xué)新教材對(duì)這一部分容給與了前所未有關(guān)照；而解析幾何又是傳統(tǒng)的重點(diǎn)和難點(diǎn),把數(shù)列極限揉合到解析幾何中,新老交替必然會(huì)出現(xiàn)一類檔次較高、難度較大的綜合題,這類題在培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題以與提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的交叉、融合和滲透方面有獨(dú)特的作用。當(dāng)然，前面也說了，這類題難度也是很大的，對(duì)于同學(xué)們的知識(shí)水平與能力要求較高。下面僅僅選出一道例題來進(jìn)行說

51、明。例3 已知直線中,為中任取的兩個(gè)數(shù),且,所有不同形式的直線,其斜率構(gòu)成數(shù)集(取不同的值即為形式不同的直線)()求的所有項(xiàng)的和；()設(shè)數(shù)列,求。選題意圖：此題對(duì)于題意的分析很是重要，理解題意是解題的關(guān)鍵，問題將數(shù)列、極限、解析幾何的相關(guān)知識(shí)糅合在一起，問的很簡單，但是如果對(duì)于題意理解不到位，想解題就很困難，希望通過此題同學(xué)們能體會(huì)理解題意的重要性。解析：先來分析一下問題一，由題意在中,從中任取,且,直線的斜率為,所以,數(shù)集是由所有形如的真分?jǐn)?shù)組成。即數(shù)集的所有項(xiàng)為此處是一個(gè)思維難點(diǎn)，很多同學(xué)因?yàn)檎也坏脚c舊經(jīng)驗(yàn)意義上的聯(lián)系而束手無策，導(dǎo)致無法解答。接著本題要我們把的所有項(xiàng)之和求出來。即要求。要

52、將這個(gè)整體直接求出是很困難的，或者說根本求不出來。這里依然采用前面所講的“化繁為簡、先分后和”的思想，我們能不能將其進(jìn)行分解呢？首先觀察的形式，是否可以考慮分別求它們的和呢？只要能求出上面的式子的和，再將它們的和相加，就自然能得出的和。有了這個(gè)思想，下面我們就來嘗試一下。不妨設(shè),于是可得。所以?？磥砦覀兊膰L試成功了。下面來看看第二問，問題二構(gòu)造了一個(gè)新的數(shù)列，讓我們求出，即數(shù)列的所有項(xiàng)之和。還是老規(guī)矩，我們得先看看的樣子。由以與上一問的結(jié)論可得,。（此處對(duì)于進(jìn)行裂項(xiàng)也是一個(gè)難點(diǎn)，很多同學(xué)可能想不到這樣處理。）經(jīng)過裂項(xiàng)處理之后，很容易看出可用裂項(xiàng)求和法來求的所有項(xiàng)之和。即。所以仔細(xì)分析，我們發(fā)現(xiàn)

53、這類問題難就難在開頭的起步，這里解題的過程往往帶著“頓悟”的色彩，只要邁出了一步，后面的路就比較好走，可是這種“頓悟”的出現(xiàn)，卻不是那么容易的，這需要我們根據(jù)問題本身的提示來表征問題，并在相應(yīng)的問題空間中進(jìn)行搜索，在這個(gè)問題空間中，潛在可能的新表征方式很多，一旦在搜索中發(fā)現(xiàn)了對(duì)等性表征，頓悟就產(chǎn)生了，接下來的解題過程也變得很輕松。2.4.4 數(shù)列構(gòu)造法與最值問題的應(yīng)用方法引導(dǎo)：構(gòu)造法是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想經(jīng)過認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型從而使問題得以解決。構(gòu)造法的涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問題的特殊性為基礎(chǔ)，針對(duì)具體問題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的

54、解決辦法，基本的方法是：借用一類問題的性質(zhì)，來研究另一類問題的思維方法。在解題過程中，若按習(xí)慣定勢(shì)思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，可以根據(jù)題目特點(diǎn)，展開豐富的聯(lián)想拓寬自己思維圍，運(yùn)用構(gòu)造法來解題也能培養(yǎng)創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新思維，同時(shí)對(duì)提高解題能力也有所幫助。用構(gòu)造法求數(shù)列最值問題，其關(guān)鍵是要從問題的背景出發(fā)，根據(jù)題設(shè)與所求題目的結(jié)構(gòu)特征經(jīng)過合理的推理，探究出問題中隱藏的數(shù)列關(guān)系，列出符合題意的關(guān)系式，從而與數(shù)列的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來，以達(dá)到解題目的。下面我們來看例題。例4 已知實(shí)數(shù)滿足，且，求的最大值和最小值。選題意圖：本題問題簡潔，卻很復(fù)雜，通過此題我們能夠體會(huì)到數(shù)列的工具性特點(diǎn)，即有些問題通過數(shù)列這一

55、工具可以得到更簡潔的解答。同時(shí)也希望同學(xué)們通過此題體會(huì)問題之間的轉(zhuǎn)化。解析：觀察所給條件，因?yàn)?，所以，從而。從這一步變形，的“樣子”就變成了只和的乘積有關(guān)了，即問題轉(zhuǎn)化為求的取值圍從而求得的最值。此步的操作充分體現(xiàn)了“變更問題”這一解題思想。再回頭看看，這里是關(guān)鍵的一步，這里建立了所求問題與數(shù)列之間的聯(lián)系，故由等差數(shù)列的等差中項(xiàng)可知成等差數(shù)列，這里我們成功的構(gòu)造了一個(gè)等差數(shù)列，接下來就可以沿著等差數(shù)列這條“路”考慮，先設(shè)公差為，這里的形式比較“肥胖”，不妨設(shè)，則由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得觀察的形式，可采用相乘的方法將其“消去”，消元思想在此處產(chǎn)生了巨大的作用，所以，所以，從而解出，可得，即，故。因此。

56、到這里就完美地解決了此問。看到此題大多數(shù)同學(xué)都感覺無從下手，但通過變形，類比聯(lián)想到等差中項(xiàng)的形式，采用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)另辟蹊徑來解決問題，可謂獨(dú)具匠心。構(gòu)造法的應(yīng)用是極其廣泛的，這種方法即有利于學(xué)生融會(huì)貫通“基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能”，又有利于幫助學(xué)生提高綜合解題能力，對(duì)于啟迪學(xué)生思維，開拓學(xué)生視野均頗有益處。2.4.5 數(shù)列與向量、概率的綜合問題方法引導(dǎo)：向量因具有代數(shù)與幾何的雙重屬性與其他知識(shí)的綜合,成為高考命題的熱點(diǎn),尤其是向量與數(shù)列的綜合題,它能夠利用向量的性質(zhì)給出數(shù)列的關(guān)系式,再利用數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行求解,體現(xiàn)了考查能力的命題原則。數(shù)列是傳統(tǒng)高考重點(diǎn)容，概率是新生代，數(shù)列與概率的交匯可以迸發(fā)

57、出一類檔次較高的綜合題，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)造能力大有裨益。與數(shù)列、向量有關(guān)的概率綜合題頻頻出現(xiàn)在各類高考模擬試卷中，這類問題涵蓋的知識(shí)點(diǎn)多，構(gòu)思新穎。對(duì)這些問題的求解，需要有較強(qiáng)的思維能力以與運(yùn)算能力。然而很多同學(xué)感到難以下手，考試時(shí)經(jīng)常棄而不答，令人惋借。下面我們就以一道例題來談?wù)勥@類題的思想方法，希望同學(xué)們能從中受到啟發(fā)，掌握破解此類綜合題的通法。例5 已知數(shù)列與點(diǎn),對(duì)所有,滿足(1) (2) (3) 存在實(shí)數(shù),使。() 用表示；() 當(dāng)時(shí),在與兩項(xiàng)中,至少有一項(xiàng)是數(shù)列的最小項(xiàng),試數(shù)的取值圍；()設(shè)為正整數(shù),在()的條件下,試證：數(shù)列中的最小項(xiàng)為與最小項(xiàng)為的概率相等。選題意圖：此類題是高考題中

58、的“新星”，向量與概率問題與數(shù)列之間的綜合并不是很常見。這也恰恰體現(xiàn)出了數(shù)列知識(shí)的相容性。希望通過此題擴(kuò)展同學(xué)們的眼界也希望借此來向同學(xué)們展示數(shù)列知識(shí)的綜合性。解析：對(duì)于此類題的“病原”往往是信息量較大，涉與知識(shí)面廣?！安“Y”表現(xiàn)為復(fù)雜難懂，讀完題后或許沒有任何頭緒，讓很多同學(xué)苦不堪言.在這里我提供“良藥”一味“嘗試錯(cuò)誤式”，即遇到新的陌生問題時(shí)，將自己經(jīng)驗(yàn)中與新問題有關(guān)的知識(shí)，有關(guān)的問題類型和有關(guān)的方法集中起來做出嘗試，如果嘗試失敗，就進(jìn)行新的嘗試，從積累的全部經(jīng)驗(yàn)中做出一個(gè)又一個(gè)嘗試，直到問題解決。下面我們來分析一下這道題，首先看第一問，讓我們用表示，再看看題目所給條件，由條件(1) (2),可知數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,于是可以寫出,由題意我們可得四點(diǎn)的坐標(biāo)，而對(duì)于條件(3)，說明直線平行，現(xiàn)在我們來整理一下“手里的碎片”碎片一：是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列且；碎片二：四點(diǎn)坐標(biāo)；碎片三：直線平行。下面我們就開始嘗試吧，因?yàn)槠叫校?故。又，所以。這里出現(xiàn)