高一數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)典設(shè)計(jì)

1、高一數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)典設(shè)計(jì)高一數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)課題：函數(shù)的值域與最大(小)值一、基礎(chǔ)知識(shí)：(1)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性及互為反函數(shù)的關(guān)系。(2)由于圖象法是認(rèn)識(shí)函數(shù)性質(zhì)的重要方法，也是記憶和掌握函數(shù)性質(zhì)的有效工具。掌握下表內(nèi)容，有助于提高研究函數(shù)的能力，特別是有助于數(shù)形結(jié)合思想與方法融會(huì)貫通。二、目的要求：(1)使學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的值域及最大值或最小值的求法。(2)使學(xué)生掌握利用配方法、反函數(shù)法、判別式法、化歸法、換元法、單調(diào)性法及數(shù)形結(jié)合法求簡(jiǎn)單函數(shù)的值域。(3)要求學(xué)生學(xué)會(huì)利用求函數(shù)值域的方法配合定義域及題中具體的已知條件求簡(jiǎn)單函數(shù)的最大值或最小值。(4) 使學(xué)生理解函數(shù)的極值與最值是不同的

2、概念。(5)使學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合法(多變量)求函數(shù)的最值。(6)通過(guò)運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯思維能力;通過(guò)最值解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)的最值廣泛應(yīng)用于客觀實(shí)際，例如要使材料最省，工效最高，成本最低等等，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“效率”與“節(jié)儉”的意識(shí);培養(yǎng)學(xué)生解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的能力及實(shí)踐第一等觀點(diǎn)。三、 重點(diǎn)難點(diǎn)：1. 教學(xué)重點(diǎn)(1)在求函數(shù)的值域與最值時(shí)，大量的實(shí)際問(wèn)題中的變量關(guān)系多是采用二次函數(shù)表示之，使問(wèn)題得以解決;如是復(fù)雜函數(shù)多是經(jīng)過(guò)換元成二次函數(shù)，轉(zhuǎn)復(fù)雜為簡(jiǎn)單來(lái)解決問(wèn)題的。因此使學(xué)生熟練、牢固掌握二次函數(shù)的定義、性質(zhì)是本節(jié)的重點(diǎn)。(2)教學(xué)論中指出了教科書中現(xiàn)有理論知識(shí)，要有應(yīng)用

3、的技能、技巧教材的內(nèi)容、要有反映生活、建設(shè)上的實(shí)際材料。這一準(zhǔn)則對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)尤其重要。對(duì)于學(xué)習(xí)的學(xué)生，在教學(xué)中必須結(jié)合實(shí)際的、具體的教材，才能通過(guò)理解抽象的理論;才能通過(guò)學(xué)習(xí)獲得應(yīng)用技能、技巧并能熟悉抽象的理論的用途和用法;特別是才能達(dá)到思想性準(zhǔn)則的要求。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一。而函數(shù)最值問(wèn)題，它在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。例如，在制定生產(chǎn)計(jì)劃的時(shí)侯，要考慮怎樣合理安排勞動(dòng)力，才能使勞動(dòng)生產(chǎn)率最高;在調(diào)運(yùn)物資的時(shí)候，要考慮怎樣制定一個(gè)合理的方案，才能使運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用最省;成品的設(shè)計(jì)要考慮到怎樣才能使所用的材料最省等。也就是說(shuō)函數(shù)最值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中最體現(xiàn)理論與實(shí)踐相結(jié)合的教材之一。所以

4、，利用二次函數(shù)性質(zhì)、反函數(shù)法、判別式法、單調(diào)性法求函數(shù)的值域及最值是重點(diǎn)。2.教學(xué)難點(diǎn)(1)能充分地利用已知條件及題設(shè)中的隱條件(定義域及其變化等)來(lái)解題，為本節(jié)的難點(diǎn)。(2)函數(shù)最值求法甚多，各種方法都必須具備熟練的函數(shù)性質(zhì)及其它有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，有時(shí)還須應(yīng)用特殊方法才能使問(wèn)題得以解決。因而很容易造成學(xué)生在解題中解法不當(dāng)或束手無(wú)策。所以求函數(shù)最值為主要難點(diǎn)。三.解難指導(dǎo)：為了解決難點(diǎn)，提高教學(xué)效果。教學(xué)過(guò)程中力爭(zhēng)做到以下幾點(diǎn)：(1)著重注意從實(shí)際出發(fā)，從感性認(rèn)識(shí)提高到理性認(rèn)識(shí)。(2)注重運(yùn)用對(duì)比的方法，反復(fù)比較幾個(gè)解法相近或有從屬關(guān)系的方法的異同。(3)堅(jiān)持結(jié)合直觀圖形或函數(shù)圖象來(lái)說(shuō)明、解題的

5、思路及結(jié)果。(4)特別注意從已有知識(shí)出發(fā)，講清推理層次，啟發(fā)學(xué)生探索解題的途徑，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力。四.教學(xué)用具：三角板與圓規(guī)。五.教學(xué)過(guò)程：開(kāi)始教師提問(wèn)六.教案：(一)復(fù)習(xí)舊知識(shí)1.提問(wèn)：(1)二次函數(shù)圖象有哪些性質(zhì)?(2)求函數(shù)值域有哪些方法?2.回顧：例1 求函數(shù)y=x12x的值域。(換元法)令12x =t (t0)，222則 12x =t， x=(1-t)/2，22 y=f(t)=(1-t)/2-t=-1/2(t+1)+1。 t0， 如左圖所示函數(shù)y=f(t)在0，+)上單調(diào)遞減， 在0，+)上，t=0時(shí)，函數(shù)y有最大值，2又 f(0)=-1/2(0+1)+1=1/2 函數(shù)值

6、域?yàn)?y1/2 。3.小結(jié)：(二)引入新課：1.在解題中遇到求復(fù)合函數(shù)(或復(fù)雜函數(shù))的值域時(shí)，我們可用換元法使之化為簡(jiǎn)單、熟悉的函數(shù)后再求之。一般地說(shuō)，多是化為二次函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的值域：可先由函數(shù)y=f(x)的定義域H求出內(nèi)函數(shù)t=(x)的值域C，再由tC和外函數(shù)y=f(t)的解析式可求出函數(shù)y=f(t)的值域D，即為求復(fù)合函數(shù)的值域。2 例2 求函數(shù)y=lg(x+4)值域。2 分析 本題可看出函數(shù)y=lg(x+4)是由函數(shù)y=lgt和函數(shù)22 t= x+4復(fù)合而成的。首先，由函數(shù)y=lg(x+4)定義域和函數(shù)2 t= x+4的值域求出它們的交集確定為t的取值范圍;再由t的取值范圍和函數(shù)y=l

7、gt的單調(diào)性即可。注意 考慮函數(shù)y=lgt2 解：要使式子lg(x+4)有意義，2 必須 x+40 當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)22 x0; x+42 函數(shù)y=lg(x+4)的定義域?yàn)?xR，2 二次函數(shù)t= x+4的圖象 為(0，4) (如右圖)2 函數(shù)t= x+4的值域?yàn)?t4，2 函數(shù)y=lg(x+4)的定義域?yàn)?xR， t的取值范圍為 t4，又 在4，+)上函數(shù)y=lgt是單調(diào)遞增， ylg4 (應(yīng)說(shuō)明理由)2 即 函數(shù)y=lg(x+4)的值域是 yOylg4。注： 應(yīng)使學(xué)生理解利用換元法變換的原理，并熟悉基本函數(shù)(二次函數(shù)為主)的圖象，才能借助它們?nèi)パ芯磕承?fù)雜函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題;才能得心應(yīng)手地解決

8、復(fù)雜函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題。在上題解題過(guò)程中出現(xiàn)過(guò)這樣的一個(gè)命題(因果關(guān)系)：又 在4，+)上函數(shù)y=lgt ylg4此命題成立的理由(已講)中內(nèi)含著一個(gè)新內(nèi)容，它就是函數(shù)的最大值和最小值2.函數(shù)的的最大值和最小值，簡(jiǎn)稱為最值。(1)函數(shù)的極值與最值是不同的概念。函數(shù)的極值是局部概念。對(duì)于函數(shù)定義域而言，極大值或極小值都可能不止一個(gè)。而最大值或最小值是整體概念，在整個(gè)定義域內(nèi)，最大值或最小值都至多有一個(gè)。有的函數(shù)存在極值卻不存在最值。(2)函數(shù)的最值廣泛應(yīng)用于客觀實(shí)際，例如要使材料最省，工效最高，成本最低等等。所以它是中學(xué)數(shù)學(xué)中，最理論結(jié)合實(shí)際教材之一。故要求學(xué)生學(xué)會(huì)利用求函數(shù)值域的方法配合定義域及題

9、中具體的已知條件求簡(jiǎn)單函數(shù)的最大值或最小值。以培養(yǎng)學(xué)生解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的能力及實(shí)踐第一等觀點(diǎn)。例3 AB是半徑為R的半圓的直徑，ABCD是半圓的內(nèi)接梯形。試問(wèn)其中周長(zhǎng)最大的梯形是怎樣的?分析 本題首要問(wèn)題是利用已知條件，先建立周長(zhǎng)S與某一變量x(定義域的確定)之間的關(guān)系式;再由其函數(shù)的性質(zhì)以求解決問(wèn)題。由于圓內(nèi)接梯形必是等腰梯形，因?yàn)锳B是直徑，只要連DB就可得RtABD;再作高線DE，即可由射影定理(或相似三角形)求得腰AD與AE的關(guān)系，便可假設(shè)兩變量之一為x，最后利用等腰梯形的性質(zhì)不難得到用x和半徑R來(lái)表示周長(zhǎng)S的函數(shù)式。解： 連BD，作DE交于E 是直徑， DB=Rt在RtABD中， D

10、E22 由射影定理可得： AD=AEAB， 即AE=ADMAB， ABCD是圓內(nèi)接梯形， ABCD是等腰梯形設(shè)： 梯形腰AD=BC=x，(02 則： AE=xM2R，由等腰梯形性質(zhì)易得：2 DC=2(R-AE)=2(R-xM2R)，22 梯形周長(zhǎng)S=2R+2x+2(R-xM2R)=-1/Rx+2x+4R2 =-1/R(x-R)+5R (0 -1/R0， 圖象開(kāi)口向下， 在定義域內(nèi)取x=R時(shí)，S有最大值，2 AD=BC=R DC=2(R-xM2R)=R答：周長(zhǎng)最大的梯形是下底等于直徑，腰長(zhǎng)與上底均等于半徑的半圓內(nèi)接梯形。3.學(xué)生練習(xí) (練習(xí)題：第四大題)某生產(chǎn)隊(duì)要辦一個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)，準(zhǔn)備用籬笆圍成一個(gè)

11、矩形的場(chǎng)地?，F(xiàn)在有可以圍60米長(zhǎng)籬笆的材料，場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬應(yīng)當(dāng)各是多少米，才能使場(chǎng)地的面積為最大?簡(jiǎn)解 設(shè)：場(chǎng)地的長(zhǎng)為x米， 則：場(chǎng)地的寬為(30-x)米。22 場(chǎng)地的面積S=x(30-x)=-x+30 x=-(x-15)+225 a=-10， 拋物線開(kāi)口向下 當(dāng)x=15時(shí)，S有最大值，S最大值=225。且這時(shí)，場(chǎng)地的寬=(30-15)=15。答：場(chǎng)地應(yīng)當(dāng)是邊長(zhǎng)等于15米的正方形，才能使場(chǎng)地的面積為最大。4.備用例題(以時(shí)間而定)2 例4. 當(dāng)1x1000時(shí)，求 y=(lgx)-2lgx+3的最大值與最小值。分析 本題明顯可看出，函數(shù)y可視為以lgx為變量的二次函數(shù)形式，只要通過(guò)換元，再利用二次函數(shù)性質(zhì)可求得。但是，在解題的過(guò)程中必須考慮到對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及新函數(shù)的值域和定義域的變化，這也是此類題型的要點(diǎn)與難點(diǎn)。解：設(shè)t=lgx 則 y=t-2t+3=(t-1)+2， t=lgx在1，1000 且 lg1=0; lg1000=3 0t 如右圖所示，在區(qū)間0t3上， 圖象中A點(diǎn)最高，B點(diǎn)最低。2 當(dāng)t=3時(shí)，y=(3-1)+2=6當(dāng)t=1時(shí)，y=2 當(dāng)t=3時(shí)，y最大值為6;當(dāng)t=1時(shí)，y最小值為2。 又 當(dāng)t=3時(shí)，lgx=3 x=1000當(dāng)t=1時(shí)，lgx=1 x=