電子商務(wù)項(xiàng)目策劃與設(shè)計(jì)第三篇-運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力分析

1、第十一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力分析第十二章 剛體基本運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力分析 第十三章 點(diǎn)和剛體的復(fù)合運(yùn)動(dòng)分析 第三篇 運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力分析一、自然法求點(diǎn)的速度和加速度二、直角坐標(biāo)法求點(diǎn)的速度和加速度三、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力分析基本定律四、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程第十一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力分析第十一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力分析 本章將介紹研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的二種方法，即：直角坐標(biāo)法和自然法。 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間所占的位置隨時(shí)間連續(xù)變化而形成的曲線，稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可按軌跡形狀分為直線運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)軌跡為圓時(shí)稱為圓周運(yùn)動(dòng)。 表示點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)方程稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 本章研究的內(nèi)容為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度，以及

2、它們之間的關(guān)系。11-1 自然法求點(diǎn)的速度和加速度度點(diǎn)的弧坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程 自然法是以點(diǎn)的軌跡作為自然坐標(biāo)軸來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)位置的方法。這就是自然坐標(biāo)形式的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為如圖所示的曲線，則動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的位置可以這樣確定：在軌跡上任選一點(diǎn)O為參考點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)O的某一側(cè)為正向，動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的位置由弧長(zhǎng)s確定，視弧長(zhǎng)s為代數(shù)量，稱它為動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的弧坐標(biāo)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，s隨著時(shí)間變化，它是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即 MOs(-)(+)點(diǎn)的速度描述點(diǎn)沿軌跡運(yùn)動(dòng)的快慢及方向的物理量即為點(diǎn)的速度，用矢量表示。 在曲線運(yùn)動(dòng)中，點(diǎn)的速度是矢量。它的大小等于弧坐標(biāo)對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，它的方向沿軌跡的切

3、線，并指向運(yùn)動(dòng)的一方。已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡及沿此軌跡的運(yùn)動(dòng)方程為 則速度可以表示為：點(diǎn)的加速度 描述點(diǎn)的速度大小和方向隨時(shí)間而變化的物理量即為點(diǎn)的加速度，用矢量表示。如圖所示，在矢量1上截取數(shù)值上等于矢量的MC，BC段代表速度大小的改變量，用表示；AC段則代表速度方向的改變量，用n表示。即 11-2 直角坐標(biāo)法求點(diǎn)的速度和加速度 點(diǎn)的直角坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程 當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡未知時(shí)，常用直角坐標(biāo)法描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，即根據(jù)投影原理，通過(guò)動(dòng)點(diǎn)的位置、速度、加速度矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影，將其矢量形式變?yōu)榇鷶?shù)量形式。如圖所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在直角坐標(biāo)平面內(nèi)作曲線運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)M在任一瞬時(shí)的位置可由坐標(biāo)來(lái)確定。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，其坐

4、標(biāo)隨時(shí)間而變化，而且均為時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，其表達(dá)式為 上式稱為以直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。從上式中消去時(shí)間參數(shù)，便可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程點(diǎn)的速度 點(diǎn)的速度也可分解為沿軸兩個(gè)方向的分量 上式表明：動(dòng)點(diǎn)速度在直角坐標(biāo)系各軸上的投影，分別等于其相應(yīng)的位置坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。根據(jù)和可求出速度的大小和方向。其大小為其方向?yàn)?點(diǎn)的加速度 點(diǎn)的加速度也分解為沿軸兩個(gè)方向的分量 上式表明：動(dòng)點(diǎn)加速度在直角坐標(biāo)系各軸上的投影，分別等于其相應(yīng)的速度投影對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，或等于其相應(yīng)的位置坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。同理，根據(jù)和可求出全加速度的大小和方向。其大小為其方向?yàn)槠渲袨槿铀俣萢與軸所夾的銳角，a的指向由和的

5、正負(fù)判斷。 例11-3 下圖為料斗提升機(jī)示意圖。料斗通過(guò)鋼絲繩由繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的卷筒提升。已知：卷筒的半徑為R16cm，料斗沿鉛垂提升的運(yùn)動(dòng)方程為y2t2，y以cm記，t 以s計(jì)。求卷筒邊緣一點(diǎn)M在t4s時(shí)的速度和加速度。解：此時(shí)M點(diǎn)的切向加速度為：v4416 cm/s當(dāng)t=4 s時(shí)速度為：OMRMA0AM0y11-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力分析基本定律 第一定律（慣性定律） 不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將永遠(yuǎn)保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。 物體保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（即速度的大小和方向）不變的性質(zhì)，稱為慣性。物體的勻速直線運(yùn)動(dòng)又稱為慣性運(yùn)動(dòng)，所以這一定律又稱為慣性定律。 慣性是物體的重要力學(xué)性質(zhì)，一切物體在任何情況下都有慣性。

6、當(dāng)物體不受外力作用時(shí)，慣性表現(xiàn)為保持其原有的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)物體受到外力作用時(shí)，慣性表現(xiàn)為物體對(duì)迫使它改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)具有反抗作用。 雖然任何物體都慣性，但不同的物體，其慣性大小不同。在相等的外力作用下，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)容易發(fā)生改變的物體慣性小，反之則慣性大。 這個(gè)定律還說(shuō)明力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因，如果要使物體改變其原有的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就必須對(duì)其施加外力。所以，第一定律定性地說(shuō)明了力和物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的關(guān)系。第二定律（動(dòng)力定律） 質(zhì)點(diǎn)受力作用時(shí)所產(chǎn)生的加速度，其方向與力相同，其大小與力的大小成正比，而與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比。上述定律可用矢量關(guān)系式表達(dá)為 上式是解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基本依據(jù)，故稱為動(dòng)力學(xué)基本方程。它建立

7、了質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量、力和加速度三者之間的關(guān)系。第二定律同時(shí)也定量地表明了力和加速度的關(guān)系是瞬時(shí)關(guān)系。力和加速度是同瞬時(shí)產(chǎn)生，同瞬時(shí)變化，同瞬時(shí)消失。由第二定律還可以看出，在相同的外力作用下，不同質(zhì)量的物體所產(chǎn)生的加速度各不相同。質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性大小的度量。由此可見(jiàn)，物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，不僅取決于作用在物體上的力，還跟物體的慣性有關(guān)。第三定律（作用與反作用定律） 兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一直線，且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。11-4 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的表達(dá)形式 1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的直角坐標(biāo)形式 .自然坐標(biāo)形式 ， ， ，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類問(wèn)題 1.第一

8、類問(wèn)題已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)所受的力。 在這類問(wèn)題中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程或速度函數(shù)是已知的，將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)后，即得加速度，將加速度代入質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，便可求出未知的作用力。2.第二類問(wèn)題已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。一般地，第二類問(wèn)題比第一類問(wèn)題要復(fù)雜些。因?yàn)樽饔迷谫|(zhì)點(diǎn)上的力是多種多樣的，可以是常力，也可以是變力或者是與時(shí)間、位置或速度等因素有關(guān)的力。求解這一類問(wèn)題時(shí)，通常將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行積分，而積分常數(shù)必須根據(jù)運(yùn)動(dòng)的初始條件來(lái)確定。11 小 結(jié)1. 求點(diǎn)的速度和加速度的常用方法有自然法和直角坐標(biāo)法。2. 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為動(dòng)點(diǎn)在空間的位置隨時(shí)間的變化規(guī)律。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)在空間

9、所描畫(huà)出的連續(xù)曲線，可由運(yùn)動(dòng)方程消去得到。3. 自然法 運(yùn)動(dòng)方程 點(diǎn)的速度 點(diǎn)的加速度4. 直角坐標(biāo)法運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)的速度點(diǎn)的加速度5. 動(dòng)力學(xué)基本定律，即牛頓運(yùn)動(dòng)三定律，是動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ)。第一定律（慣性定律）：不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將永遠(yuǎn)保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。 第二定律（動(dòng)力定律）：質(zhì)點(diǎn)受力作用時(shí)所產(chǎn)生的加速度，其方向與力相同，其大小與力的大小成正比，而與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比。 第三定律（作用與反作用定律）：兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一直線，且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。6. 動(dòng)力學(xué)的基本方程式是，它是力、質(zhì)量與加速度之間的關(guān)系的基本定律。7. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程有兩

10、種不同形式：直角坐標(biāo)形式和自然坐標(biāo)形式9. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的自然坐標(biāo)形式8. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的直角坐標(biāo)形式一、 剛體的平動(dòng)二、 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)三、 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力分析基本方程四、 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量五、 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力分析方程的應(yīng)用第十二章剛體基本運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力分析 12-1剛體的平動(dòng)如果在物體內(nèi)任取一直線段，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中這條直線段始終與它的最初位置平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱平移。擺式輸送機(jī)的料槽夾板錘的錘頭直線行駛的列車車廂結(jié)論：當(dāng)剛體平行移動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的軌跡形狀相同；在每一瞬時(shí)，各點(diǎn)的速度相同，加速度也相同。因此，研究剛體的平移，可以歸結(jié)為研究剛體內(nèi)任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。yxz

11、aBvBvAaArArBABB1B2A2A1O12-2剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 在剛體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若剛體上或其延伸部分上有一條直線始終不動(dòng)，具有這樣一種特征的剛體的運(yùn)動(dòng)稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)動(dòng)。該固定不動(dòng)的直線稱為轉(zhuǎn)軸。如圖，兩平面間的夾角用j表示，稱為剛體的轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角j是一個(gè)代數(shù)量，它確定了剛體的位置，它的符號(hào)規(guī)定如下：自z軸的正端往負(fù)端看，從固定面起按逆時(shí)針轉(zhuǎn)向計(jì)算取正值；按順時(shí)針轉(zhuǎn)向計(jì)算取負(fù)值。并用弧度(rad)表示。當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，；轉(zhuǎn)角 是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。轉(zhuǎn)角 對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時(shí)角速度，用w表示:角速度表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢和方向，其單位

12、用rad/s (弧度/秒)表示。角速度是代數(shù)量，從軸的正端向負(fù)端看，剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度取正值，反之取負(fù)值。角速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時(shí)角加速度，用字母表示，即角加速度表征角速度變化的快慢，其單位用rad/s2 (弧度/秒2)表示。角加速度也是代數(shù)量。如果w與同號(hào)，則轉(zhuǎn)動(dòng)是加速的；如果w與異號(hào)，則轉(zhuǎn)動(dòng)是減速的。 工程上常用轉(zhuǎn)速n來(lái)表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢。n的單位是轉(zhuǎn)/分(r/min)， w與n的轉(zhuǎn)換關(guān)系為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度 當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任意一點(diǎn)都作圓周運(yùn)動(dòng)，圓心在軸線上，圓周所在的平面與軸線垂直，圓周的半徑R等于該點(diǎn)到軸線的垂直距離。動(dòng)點(diǎn)速度的

13、大小為設(shè)剛體由定平面A繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)任一角度j，到達(dá)B位置，其上任一點(diǎn)由O運(yùn)動(dòng)到M。以固定點(diǎn)O為弧坐標(biāo)s的原點(diǎn)，按j角的正向規(guī)定弧坐標(biāo)s的正向，于是轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度即：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度的大小等于剛體角速度與該點(diǎn)到軸線的垂直距離的乘積，它的方向沿圓周的切線而指向轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。點(diǎn)M的加速度有切向加速度和法向加速度，切向加速度為：即：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度(又稱轉(zhuǎn)動(dòng)加速度)的大小，等于剛體的角加速度與該點(diǎn)到軸線垂直距離的乘積，它的方向由角加速度的符號(hào)決定，當(dāng)a是正值時(shí)，它沿圓周的切線，指向角j的正向；否則相反。繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)點(diǎn)的加速度 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)點(diǎn)的加速度分布 法向加速度為

14、點(diǎn)的全加速度的大小和方向?yàn)槔?2-1 齒輪傳動(dòng)是工程上常見(jiàn)的一種傳動(dòng)方式，可用來(lái)改變轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。如圖，已知r1、 r2、 w1、 1，求w2、 2 。 解：因嚙合點(diǎn)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，所以由于于是可得即w11r1O1O2r2w22v1v2at1at2 例12-2 一半徑為R=0.2m的圓輪繞定軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為 ，單位為弧度。求t=1s時(shí)，輪緣上任一點(diǎn)M的速度和加速度（如圖）。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長(zhǎng)的繩子并在繩端懸一物體A，求當(dāng)t=1s時(shí)，物體A的速度和加速度。 解：圓輪在任一瞬時(shí)的角速度和角加速度為求當(dāng)t=1s時(shí)，則為 因此輪緣上任一點(diǎn)M的速度和加速度為方向如圖所示。 M點(diǎn)的全加速度及其偏角為

15、如圖。 現(xiàn)在求物體A的速度和加速度。因?yàn)?上式兩邊求一階及二階導(dǎo)數(shù)，則得因此12-3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力分析基本方程 若以表示所有外力對(duì)軸的力矩的代數(shù)和，以表示所有切向慣性力對(duì)軸的力矩的代數(shù)和，則有上式稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程 剛體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。質(zhì)量分布越靠近轉(zhuǎn)動(dòng)軸，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越小，反之越大。例如，機(jī)器中的飛輪，為了獲得較大的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量而使機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)，通常將其邊緣制成較厚而中間較薄，有些甚至將中間挖一些空洞，使質(zhì)量盡可能多地分布在飛輪的邊緣上，如圖所示。而儀表中的指針一般盡可能地做得小，以保證其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小，從而提高測(cè)量的靈敏度 。12-

16、4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量12-5 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力分析方程的應(yīng)用已知轉(zhuǎn)動(dòng)情況求轉(zhuǎn)矩 已知轉(zhuǎn)矩求轉(zhuǎn)動(dòng)情況12 小 結(jié)(第十三章 點(diǎn)和剛體的復(fù)合運(yùn)動(dòng)分析 一、點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)二、剛體的平面運(yùn)動(dòng)三、平面圖形上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析 13-1 點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng) 前面討論的點(diǎn)或剛體的運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)于固連在地球上的靜參考系而言的。但在實(shí)際工程中，經(jīng)常會(huì)遇到一些問(wèn)題，需要在運(yùn)動(dòng)著的參考系上來(lái)進(jìn)行觀察和研究。很顯然，對(duì)于同一物體的運(yùn)動(dòng)，在不同的參考系上觀察，其結(jié)論是不一樣的。比如，下雨時(shí)，靜立于地面上的人看到雨滴是鉛垂向下的，而坐在高速行駛著的汽車上的人看到雨滴是傾斜向后的，并且，車開(kāi)得越快，所看到的雨滴傾斜得越厲害。這兩種結(jié)論都是正確

17、的，但卻不相同。這是因?yàn)榍罢呤且造o止的地面為參考系，而后者是以運(yùn)動(dòng)著的汽車為參考系。本章將建立同一物體相對(duì)于不同參考系的運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，并利用這些關(guān)系研究點(diǎn)和剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)的概念 如圖所示，橋式起重機(jī)在吊起重物時(shí)，假設(shè)橫梁不動(dòng)，小車沿橫梁作水平運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，小車上懸掛的重物向上運(yùn)動(dòng)。站在地面上觀察重物時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線；而站在小車上觀察重物時(shí)，其運(yùn)動(dòng)則是垂直向上的。 在上述例子中，重物在空中是作曲線運(yùn)動(dòng)，但如果以小車為參考體，則重物相對(duì)于小車的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)單的直線運(yùn)動(dòng)，而小車相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)也是簡(jiǎn)單的直線運(yùn)動(dòng)。這樣，重物的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)可以看成為兩個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)的合成，即重物相對(duì)于小車作平動(dòng)，

18、小車相對(duì)于地面作平動(dòng)。 由此可以得出結(jié)論：相對(duì)于某一參考系的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)可看成相對(duì)于其他參考系的幾個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)組合而成，這種運(yùn)動(dòng)稱為合成運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以合成，自然也可以分解。在求解點(diǎn)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以將其分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)，先研究這些簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)，然后再把它們合成，從而解決復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)及牽連運(yùn)動(dòng) 習(xí)慣上把固定在地球上的坐標(biāo)系稱為定參考系，以oxy坐標(biāo)系表示；固定在其它相對(duì)于地球運(yùn)動(dòng)的參考體上的坐標(biāo)系稱為動(dòng)參考系，以oxy坐標(biāo)系表示。 用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)理論分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須選定兩個(gè)參考系，區(qū)分三種運(yùn)動(dòng)：(1) 動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定參考系的運(yùn)動(dòng)，稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)；(2) 動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系

19、的運(yùn)動(dòng)，稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)； (3) 動(dòng)參考系相對(duì)于定參考系的運(yùn)動(dòng)，稱為牽連運(yùn)動(dòng)。定參考系動(dòng)參考系動(dòng)點(diǎn)牽連運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)一點(diǎn)、二系、三運(yùn)動(dòng) (1) 動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定參考系的速度、加速度和軌跡，稱為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度va、絕對(duì)加速度aa和絕對(duì)軌跡。 (2) 動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系的速度、加速度和軌跡，稱為動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度vr、相對(duì)加速度ar和相對(duì)軌跡 。 由于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)是剛體的運(yùn)動(dòng)而不是一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，所以除非動(dòng)參考系作平動(dòng)，否則其上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都不完全相同。因?yàn)閯?dòng)參考系與動(dòng)點(diǎn)直接相關(guān)的是動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的那一點(diǎn)(牽連點(diǎn))，因此定義：在動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的那一點(diǎn)(牽連點(diǎn))的速度和加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的牽連

20、速度(用ve表示)和牽連加速度(用ae表示) 。如果沒(méi)有牽連運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)就是它的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)；如果沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)隨同動(dòng)參考系所作的運(yùn)動(dòng)就是它的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)既取決于動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，也決定于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)即牽連運(yùn)動(dòng)，它是兩種運(yùn)動(dòng)的合成。 解：靜系取在地面上，動(dòng)系取在桿上，則重點(diǎn)要弄清楚牽連點(diǎn)的概念例1 如圖桿長(zhǎng)l，繞O軸以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤半徑為r，繞 軸以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)。求圓盤邊緣 和 點(diǎn)的牽連速度和加速度。點(diǎn)的速度合成定理即：動(dòng)點(diǎn)在某一瞬時(shí)的絕對(duì)速度等于它在該瞬時(shí)的牽連速度與相對(duì)速度的矢量和。這就是點(diǎn)的速度合成定理。處理具體問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：(1) 選取動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)參考系和定參考

21、系。 (2) 應(yīng)用速度合成定理時(shí),可利用速度平行四邊形中的幾何關(guān)系解出未知數(shù)。也可以采用投影法：即等式左右兩邊同時(shí)對(duì)某一軸進(jìn)行投影，投影的結(jié)果相等。 動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系應(yīng)分別選擇在兩個(gè)不同的剛體上。 動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的選擇應(yīng)使相對(duì)運(yùn)動(dòng)的軌跡簡(jiǎn)單直觀。在有的機(jī)構(gòu)中，一個(gè)構(gòu)件上總有一個(gè)點(diǎn)被另一個(gè)構(gòu)件所約束。這時(shí)，以被約束的點(diǎn)作為動(dòng)點(diǎn)，在約束動(dòng)點(diǎn)的構(gòu)件上建立動(dòng)系，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡便是約束構(gòu)件的輪廓線或者約束動(dòng)點(diǎn)的軌道。通常選動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系主要有以下幾種情況：1. 有一個(gè)很明顯的動(dòng)點(diǎn)，在題中很容易發(fā)現(xiàn)；2. 有一個(gè)不變的接觸點(diǎn)，可選該點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)；3. 沒(méi)有不變的接觸點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)選相對(duì)軌跡容易確定的點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)；4. 必須選某點(diǎn)為動(dòng)

22、點(diǎn)，而動(dòng)系要取兩次；5. 根據(jù)題意，必須取兩次動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系；6. 兩個(gè)不相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)，可根據(jù)題意來(lái)確定；例2 如圖所示，偏心距為e、半徑為R的凸輪，以勻角速度w 繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿AB能在滑槽中上下平動(dòng)，桿的端點(diǎn)A始終與凸輪接觸，且OAB成一直線。求在圖示位置時(shí)，桿AB的速度。 ABeCOqwvevavrq解：因?yàn)闂UAB作平動(dòng)。選取桿AB的端點(diǎn)A作為研究的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)參考系隨凸輪一起繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)是以凸輪中心C為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)則是凸輪繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。例3 刨床的急回機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄OA的角速度為w，通過(guò)滑塊A帶動(dòng)搖桿O1B擺動(dòng)。已知OA=r，OO1=l，求當(dāng)OA水

23、平時(shí)O1B的角速度w1。解： 在本題中應(yīng)選取滑塊A作為研究的動(dòng)點(diǎn)，把動(dòng)參考系固定在搖桿O1B上。 點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是以點(diǎn)O為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)是沿O1B方向的直線運(yùn)動(dòng)，而牽連運(yùn)動(dòng)則是搖桿繞O1軸的擺動(dòng)。jAO1OwBjvevavr例4 水平直桿AB在半徑為r的固定圓環(huán)上以勻速u豎直下落，如圖。試求套在該直桿和圓環(huán)交點(diǎn)處的小環(huán)M的速度。 解：以小環(huán)M為動(dòng)點(diǎn)，定系取在地面上，動(dòng)系取在AB桿上，動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。由圖可得：uABOMrjvrvave例5 求圖示機(jī)構(gòu)中OC桿端點(diǎn)C的速度。其中v與已知，且設(shè)OA=a, ACb。 解：取套筒A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系與OC固連，分析A點(diǎn)速度，有vAqBCO

24、vavevrvCwOC例6 圖示平底頂桿凸輪機(jī)構(gòu)，頂桿AB可沿導(dǎo)軌上下平動(dòng)，偏心凸輪以等角速度w繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，O軸位于頂桿的軸線上，工作時(shí)頂桿的平底始終接觸凸輪表面，設(shè)凸輪半徑為R，偏心距OC=e ，OC 與水平線的夾角為a，試求當(dāng)a =45時(shí)，頂桿AB的速度。 解：以凸輪圓心C為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系取在頂桿上，動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。vavevr例7 AB桿以速度v1向上作平動(dòng)，CD桿斜向上以速度v2作平動(dòng)，兩條桿的夾角為a，求套在兩桿上的小環(huán)M的速度。MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va解 取M為動(dòng)點(diǎn)，AB為動(dòng)坐標(biāo)系，相對(duì)速度、牽連速度如圖。取M為動(dòng)點(diǎn)，CD為動(dòng)坐標(biāo)系，相對(duì)

25、速度、牽連速度如圖。由上面兩式可得：其中將等式兩邊同時(shí)向y軸投影：則動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度為：MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2vay例8 在水面上有兩只艦艇A 和 B均以勻速度v =36 km/h 行駛，A 艦艇向東開(kāi)，B 艦艇沿以 O 為圓心、半徑R =100 m的圓弧行駛。在圖示瞬時(shí)，兩艇的位置S=50m, =30 ，試求：（1） B艇相對(duì) A艇的速度。（2）A艇相對(duì)B艇的速度。 東北BAROS東北=30BAROSVe1Va1Vr13030(1) 求B艇相對(duì)于是A艇的速度。以 B為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固連于A艇。由圖（b）的速度矢量 (2) 求A相對(duì)于B的速度，以A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固連于B艇。東北=

26、30BAROSVa2Vr2Ve2可見(jiàn)，A相對(duì)B的速度并不一定等于B相對(duì)A的速度。例9 如圖車A沿半徑為150m的圓弧道路以勻速 行駛，車B沿直線道路以勻速 行駛 ，兩車相距30m，求：（1）A車相對(duì)B車的速度；（2）B車相對(duì)A車的速度。 解：（1）以車A為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系取在車B上。動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。由圖可得：（2）以車B為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系取在車A上。動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。13-2 剛體的平面運(yùn)動(dòng) 剛體除了作平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)這兩種簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)外，還可以作一種較為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)。 在運(yùn)動(dòng)中，剛體上的任意一點(diǎn)與某一固定平面始終保持相等的距離，這種運(yùn)動(dòng)稱為平面運(yùn)動(dòng)。剛體平

27、面運(yùn)動(dòng)概述和運(yùn)動(dòng)分解MNSA1A2A剛體上每一點(diǎn)都在與固定平面M平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。 若作一平面N與平面M平行,并以此去截割剛體得一平面圖形S。 可知該平面圖形S始終在平面N內(nèi)運(yùn)動(dòng)。因而垂直于圖形S的任一條直線A1A2必然作平動(dòng)。A1A2的運(yùn)動(dòng)可用其與圖形 S的交點(diǎn) A的運(yùn)動(dòng)來(lái)替代。剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形在其自身平面S內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。這就是平面圖形的運(yùn)動(dòng)方程。SMOyxOj平面圖形S在其平面上的位置完全可由圖形內(nèi)任意線段OM的位置來(lái)確定，而要確定此線段的位置，只需確定線段上任一點(diǎn)O的位置和線段OM與固定坐標(biāo)軸Ox間的夾角j即可。點(diǎn)O的坐標(biāo)和j角都是時(shí)間的函數(shù)，即平面圖形的運(yùn)動(dòng)方程可由兩部分組

28、成：一部分是平面圖形按點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)方程xO = f1(t), yO = f2(t)的平移，沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)；另一部分是繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)角為j = f3(t)的轉(zhuǎn)動(dòng)。平面運(yùn)動(dòng)的這種分解也可以按上一章合成運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)加以解釋。以沿直線軌道滾動(dòng)的車輪為例，取車廂為動(dòng)參考體，以輪心點(diǎn)O為原點(diǎn)取動(dòng)參考系Oxy，則車廂的平動(dòng)是牽連運(yùn)動(dòng)，車輪繞平動(dòng)參考系原點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng)，二者的合成就是車輪的平面運(yùn)動(dòng)(絕對(duì)運(yùn)動(dòng))。單獨(dú)輪子作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，可在輪心O處固連一個(gè)平動(dòng)參考系Oxy，同樣可把輪子這種較為復(fù)雜的平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)。yxOyxO對(duì)于任意的平面運(yùn)動(dòng)，可在平面圖形上任取一點(diǎn)O，稱為基點(diǎn)。在這一點(diǎn)假想地安上

29、一個(gè)平移參考系Oxy；平面圖形運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)坐標(biāo)軸方向始終保持不變，可令其分別平行于定坐標(biāo)軸Ox和Oy 。于是平面圖形的平面運(yùn)動(dòng)可看成為隨同基點(diǎn)的平移和隨基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)這兩部分運(yùn)動(dòng)的合成。yxOyxO三、平面圖形上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析OM 平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和,這就是平面運(yùn)動(dòng)的速度合成法或稱基點(diǎn)法。1. 基點(diǎn)法已知O點(diǎn)的速度及平面圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，求M點(diǎn)的速度。wvMvOvMOvO例8 橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖。已知連桿AB的長(zhǎng)度l = 20 cm，滑塊A的速度vA=10 cm/s ，求連桿與水平方向夾角為30時(shí)，滑塊B和連桿中點(diǎn)M的速度。 解: AB作平面運(yùn)動(dòng)，以A為

30、基點(diǎn)，分析B點(diǎn)的速度。由圖中幾何關(guān)系得：方向如圖所示。AvAvAvBvBABwAB30M30以A為基點(diǎn)，則M點(diǎn)的速度為將各矢量投影到坐標(biāo)軸上得：解之得AvAvAvMABwAB30MvMxya例9 行星輪系機(jī)構(gòu)如圖。大齒輪I固定，半徑為r1；行星齒輪II沿輪I只滾而不滑動(dòng)，半徑為r2。系桿OA角速度為wO。求輪II的角速度wII及其上B，C兩點(diǎn)的速度。解:行星齒輪II作平面運(yùn)動(dòng)，求得A點(diǎn)的速度為vAwOODACBvAvDAwIIIII以A為基點(diǎn)，分析兩輪接觸點(diǎn)D的速度。由于齒輪I固定不動(dòng)，接觸點(diǎn)D不滑動(dòng)，顯然vD0，因而有vDAvAwO(r1+r2)，方向與vA相反，vDA為點(diǎn)D相對(duì)基點(diǎn)A的速度，應(yīng)有vDA wIIDA。所以vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A為基點(diǎn)，分析點(diǎn)B的速度。vBA與vA垂直且相等，點(diǎn)B的速度以A為基點(diǎn)，分析點(diǎn)C的速度。vCA與vA方向一致且相等，點(diǎn)C的速度 同一平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在其連線