乘積季節(jié)模型

1、 乘積季節(jié)模型疏系數(shù)模型ARIMA(p,d,q)模型是指d階差分后自相關(guān)最高階數(shù)為p，移動(dòng)平均最高階數(shù)為q的模型，通常它包含p+q個(gè)獨(dú)立的未知系數(shù)：如果該模型中有部分自相關(guān)系數(shù) 或部分移動(dòng)平滑系數(shù) 為零，即原模型中有部分系數(shù)省缺了，那么該模型稱為疏系數(shù)模型。疏系數(shù)模型類型如果只是自相關(guān)部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡記為 為非零自相關(guān)系數(shù)的階數(shù)如果只是移動(dòng)平滑部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡記為 為非零移動(dòng)平均系數(shù)的階數(shù)如果自相關(guān)和移動(dòng)平滑部分都有省缺，可以簡記為3例4.8對(duì)1917年1975年美國23歲婦女每萬人生育率序列建模 一階差分建模定階ARIMA(1,4),1,0)參數(shù)估

2、計(jì)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ惋@著參數(shù)顯著10季節(jié)時(shí)間序列模型的分析方法一、季節(jié)時(shí)間序列表示 許多經(jīng)濟(jì)序列都具有一定的季節(jié)性，由于依賴天氣，農(nóng)業(yè)、建筑業(yè)、旅游業(yè)都具有明顯的季節(jié)特征。 實(shí)際上，一個(gè)序列的季節(jié)性變化可以解釋其總體方差偏大的現(xiàn)象，忽略季節(jié)性變化的預(yù)測會(huì)有較大的方差。 有些應(yīng)用中，季節(jié)性的重要性是次要的，此時(shí)我們從數(shù)據(jù)中消除，得到季節(jié)性調(diào)整后的時(shí)間序列，然后再做推斷。這個(gè)過程稱為季節(jié)調(diào)整。季節(jié)性存在使得同一經(jīng)濟(jì)活動(dòng)在不同季節(jié)不可比，所以季節(jié)調(diào)整可以消除季節(jié)影響。美國政府公布的多數(shù)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)是經(jīng)過季節(jié)調(diào)整的（如GDP增長和失業(yè)率）。 季節(jié)性的存在不利于短期數(shù)據(jù)分析 在其他一些應(yīng)用中，數(shù)據(jù)的季節(jié)性和其他特

3、征一樣重要，必須進(jìn)行相應(yīng)的處理。此時(shí)盡量避免使用季節(jié)調(diào)整后的數(shù)據(jù)。12季節(jié)時(shí)間序列模型的分析方法一、季節(jié)時(shí)間序列表示 單變量的時(shí)間序列為了分析方便，可以編制成一個(gè)二維的表格，其中一維表示周期，另一維表示某個(gè)周期的一個(gè)觀測值，如下表所示。 13 表1 單變量時(shí)間序列觀測數(shù)據(jù)表例如，19932000年各月中國社會(huì)消費(fèi)品零售總額序列，是一個(gè)月度資料，其周期S=12，起點(diǎn)為1993年1月。14 季節(jié)性時(shí)間序列的重要特征表現(xiàn)為周期性。在一個(gè)序列中，如果經(jīng)過S個(gè)時(shí)間間隔后觀測點(diǎn)呈現(xiàn)出相似性，比如同處于波峰或波谷，我們就說該序列具有以S為周期的周期特性。具有周期特性的序列稱為季節(jié)時(shí)間序列，S為周期的長度，不

4、同的季節(jié)時(shí)間序列會(huì)表現(xiàn)出不同的周期，季度資料的一個(gè)周期表現(xiàn)為一年的四個(gè)季度，月度資料的周期表現(xiàn)為一年的12各月，周資料表現(xiàn)為一周的7天或5天。季節(jié)時(shí)間序列的重要特征對(duì)1993年2000年中國社會(huì)消費(fèi)品零售總額序列（數(shù)據(jù)見附錄1.11）進(jìn)行確定性時(shí)序分析1516 1993年1月2000年12月的中國社會(huì)消費(fèi)品月銷售總額當(dāng)然影響一個(gè)季節(jié)性時(shí)間序列的因素除了季節(jié)因素外，還存在趨勢(shì)變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)等。我們研究季節(jié)性時(shí)間序列的目的就是分解影響經(jīng)濟(jì)指標(biāo)變量的季節(jié)因素、趨勢(shì)因素和不規(guī)則因素，據(jù)以了解它們對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響。季節(jié)模型簡單季節(jié)模型乘積季節(jié)模型 簡單季節(jié)模型簡單季節(jié)模型是指序列中的季節(jié)效應(yīng)和其它效應(yīng)之間

5、是加法關(guān)系簡單季節(jié)模型通過簡單的趨勢(shì)差分、季節(jié)差分之后序列即可轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)，它的模型結(jié)構(gòu)通常如下 18例: 對(duì) 1962.11975.12平均每頭奶牛月產(chǎn)奶量序列進(jìn)行分析19可以看出本序列既有長期趨勢(shì)又有周期性因素，因此我們首先進(jìn)行一階差分提取趨勢(shì)特征，再進(jìn)行12步周期差分提取周期信息。20一階差分提取線性趨勢(shì)21對(duì)一階差分序列進(jìn)行12步周期差分2223模型擬合定階 ARIMA(1,12),(1,12),0) ARIMA(0, (1,12),(1,12)參數(shù)估計(jì)24ARIMA(1,12),(1,12),0)25ARIMA(0, (1,12),(1,12)26例4.9擬合19621991年德國工人

6、季度失業(yè)率序列 27差分平穩(wěn)對(duì)原序列作一階差分消除趨勢(shì)，再作4步差分消除季節(jié)效應(yīng)的影響，差分后序列的時(shí)序圖如下 28白噪聲檢驗(yàn)延遲階數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值643.840.00011251.710.00011854.480.000129差分后序列自相關(guān)圖30差分后序列偏自相關(guān)圖31模型擬合定階ARIMA(1,4),(1,4),0)參數(shù)估計(jì)32模型檢驗(yàn)殘差白噪聲檢驗(yàn)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)延遲階數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值待估參數(shù) 統(tǒng)計(jì)量P值62.090.71915.480.00011210.990.3584-3.410.000133擬合效果圖3435 隨機(jī)季節(jié)模型季節(jié)性隨機(jī)時(shí)間序列時(shí)間間隔為周期長度S的兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)變量有

7、相對(duì)較強(qiáng)的相關(guān)性，或者說季節(jié)性時(shí)間序列表現(xiàn)出周期相關(guān)，比如對(duì)于月度數(shù)據(jù)，S=12， 與 有相關(guān)關(guān)系，于是我們可以利用這種周期相關(guān)性在 與 之間進(jìn)行擬合。隨機(jī)季節(jié)模型,是對(duì)季節(jié)性隨機(jī)序列中不同周期的同一周期點(diǎn)之間相關(guān)關(guān)系的擬合(列相關(guān))36 隨機(jī)季節(jié)模型 設(shè)一個(gè)季節(jié)性時(shí)間序列 通過D階的季節(jié)差分 后為一平穩(wěn)時(shí)間序列 ，即 ，則一階自回歸季節(jié)模型為 或 其中， 為白噪聲序列。將 代入式，得 37同樣的思路，一個(gè)一階移動(dòng)平均季節(jié)模型為 或 推廣之，季節(jié)性的SARIMA為 其中，38季節(jié)性SARIMA模型中，我們假定是 白噪聲序列，值得注意的是實(shí)際中 不一定是白噪聲序列。模型中季節(jié)差分僅僅消除了時(shí)間序

8、列的季節(jié)成分，自回歸或移動(dòng)平均僅僅消除了不同周期相同周期點(diǎn)之間具有的相關(guān)部分，時(shí)間序列還可能存在長期趨勢(shì)，相同周期的不同周期點(diǎn)之間也有一定的相關(guān)性，所以，模型可能有一定的擬合不足，如果假設(shè) 是ARIMA（p,d,q）模型，則式可以改為 乘積季節(jié)模型39其中，稱上式為乘積季節(jié)模型，記為 。如果將模型的AR因子和MA因子分別展開，可以得到類似的 模型，不同的是模型的系數(shù)在某些階為零，故 是疏系數(shù)模型或子集模型。乘積季節(jié)模型使用場合序列的季節(jié)效應(yīng)、長期趨勢(shì)效應(yīng)和隨機(jī)波動(dòng)之間有著復(fù)雜地相互關(guān)聯(lián)性，簡單的季節(jié)模型不能充分地提取其中的相關(guān)關(guān)系 構(gòu)造原理短期相關(guān)性用低階ARMA(p,q)模型提取季節(jié)相關(guān)性用

9、以周期步長S為單位的ARMA(P,Q)模型提取假設(shè)短期相關(guān)和季節(jié)效應(yīng)之間具有乘積關(guān)系，模型結(jié)構(gòu)如下 4041常見的隨機(jī)季節(jié)模型為了讀者學(xué)習(xí)起來方便，這里列舉幾個(gè)常見的隨機(jī)季節(jié)模型，并簡介其生成的過程。在實(shí)際問題中，季節(jié)性時(shí)間序列所含有的成分不同，記憶性長度各異，因而模型形式也是多種多樣的。這里以季節(jié)周期S=12為例，介紹幾種常見的季節(jié)模型。42模型一 上述模型先對(duì)時(shí)間序列 做雙重差分，移動(dòng)平均算子由 和 兩個(gè)因子構(gòu)成，該模型是交叉乘積模型 。實(shí)際上該模型是由兩個(gè)模型組合而成。由于序列存在季節(jié)趨勢(shì)，故先對(duì)序列進(jìn)行季節(jié)差分 ，差分后的序列是一階季節(jié)移動(dòng)平均模型，則 43但上式僅僅擬合了間隔時(shí)間為周

10、期長度點(diǎn)之間的相關(guān)關(guān)系，序列還存在非季節(jié)趨勢(shì)，相鄰時(shí)間點(diǎn)上的變量還存在相關(guān)關(guān)系，所以模型顯然擬合不足， 不僅是非白噪聲序列而且非平穩(wěn)， 如滿足以下的模型 擬合了序列滯后期為一期的時(shí)間點(diǎn)之間的相關(guān)， 為白噪聲序列.44模型二 模型也是由兩個(gè)模型組合而成，一個(gè)是 它刻畫了不同年份同月的資料之間的相關(guān)關(guān)系，但是又有欠擬合存在，因?yàn)?不是白噪聲序列。如果 滿足以下MA（1）的模型，則 代入得到模型二。 451. 季節(jié)性MA模型的自相關(guān)函數(shù) 假設(shè)某一季節(jié)性時(shí)間序列適應(yīng)的模型為 (1) (2) 是白噪聲序列。將式(2)代入(1)，可得整理后，有這實(shí)際上是一個(gè)疏系數(shù)的MA(S+1)模型，除滯后期為1，S和S

11、+1時(shí)的滑動(dòng)平均參數(shù)不為零以外，其余的均為零。根據(jù)前面討論，不難求出其自相關(guān)函數(shù)。4647482. 季節(jié)性AR模型的偏自相關(guān)函數(shù)假定 是一個(gè)季節(jié)時(shí)間序列，服從如果我們將上式展開整理后，可以得到這是一個(gè)階段為S+1的疏系數(shù)AR模型，根據(jù)偏自相關(guān)函數(shù)的定義，該模型的滯后期1，S和S+1不為零，其他的偏自相關(guān)函數(shù)可能會(huì)顯著為零。更一般的情形，如果一個(gè)時(shí)間序列服從模型 其中， ，整理后可以看到該時(shí)間序列模型是疏系數(shù)AR(kS+p)模型，求出其偏自相關(guān)函數(shù)，可以了解時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征。 49季節(jié)時(shí)間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)既不拖尾也不截尾，也不呈現(xiàn)出線性衰減趨勢(shì)，如果在滯后期為周期S的整倍數(shù)時(shí)

12、出現(xiàn)峰值，則建立乘積季節(jié)模型是適應(yīng)的，同時(shí)SAR算子 和SMA算子 的階數(shù)也可以通過自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)得到。關(guān)于差分階數(shù)和季節(jié)差分階數(shù)的選擇是試探性的，可以通過考察樣本的自相關(guān)函數(shù)來確定。一般情況下，如果自相關(guān)函數(shù)緩慢下降同時(shí)在滯后期為周期S的整倍數(shù)時(shí)出現(xiàn)峰值，通常說明序列同時(shí)有趨勢(shì)變動(dòng)和季節(jié)變動(dòng)，應(yīng)該做一階差分和季節(jié)差分。如果差分后的序列所呈現(xiàn)的自相關(guān)函數(shù)有較好的截尾和拖尾性，則差分階數(shù)是適宜的。 擬合19481981年美國女性月度失業(yè)率序列（附錄1.17）50例5.10 :擬合19481981年美國女性月度失業(yè)率序列 51差分平穩(wěn)一階、12步差分52差分后序列自相關(guān)圖53差分后序列偏自相關(guān)圖54AR(1,12)模型擬合序列 55簡單季節(jié)模型擬合結(jié)果延遲階數(shù)擬合模型殘差白噪聲檢驗(yàn)AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA(1,12),(1,12) 值P值 值P值 值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213結(jié)果擬合模型均不顯著56乘積季節(jié)模型ARIMA(1,1,1)(1,1,1)12 擬合序列57乘積季節(jié)模型擬合模型定階ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12參數(shù)估計(jì)58模型檢驗(yàn)殘