第六章5含參變量的積分

1、含參變量的積分連續(xù)性可導(dǎo)性公式2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1一、含參變量積分的連續(xù)性a x b , b 設(shè)函數(shù) (f上的連續(xù)函數(shù).x, y在 ay 在, y是),在矩形R()b上任意確定x 的一個值, 于是上 的一個一元連續(xù)函數(shù), , (fx, y是)變量從而積分f定的 x 值.跟著改變.x()存dy在,這個積分的值依賴于取當(dāng) x 的值改變時,一般來說這個積分的值也這個積分確定一個定義在 a,b上 的 x的函把它記作(x ),即數(shù), dy( xa b( )xf,y). x2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2這里變量 x 在積分過程中是一個常量，通常稱它為參變量.如

2、果函數(shù) (fx, y 在) 矩形定理1, b a x bR()上連續(xù)，那么由積分) f x ()dy (x(y ,ax)b確定的函數(shù)(x在) a,b上 也連續(xù).上 的兩點，則)設(shè)(f證( xx,)y( f ,x)y.dy (12013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3由于 f ( x, y)在閉區(qū)域 R上連續(xù)，從而一致連續(xù).0 ,存在 0,使得對于 R內(nèi)因此對于任意取定的的任意兩點( x1 , y1 ) 及( x2 , y2 ) ,只要它們之間的距離小于 ,即 y )2 ,( x x )2 ( y2121就有f ( x , y ) f ( x , y ) .2211因為點( x x, y

3、)與 ( x, y) 的距離等于x,所以當(dāng)x 時,就有f ( x x, y) f ( x, y) .于是由（1）式有2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4(x)f()ydy( fx,x )在 ay),x).所以(,b上 連續(xù).定理得證b上 連續(xù),那么它在 a既然函數(shù)(x )在 a,b上注的積分存在,這個積分可以寫為bb( dx) fxx(,yx,)ydy . dydxabaf (dxa對 y 后對 x 的二次積分.右端積分式函數(shù) (fx, y先)2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5f ( x, y)在矩形定理2如果函數(shù)R(a x b, y )上連續(xù),則bbf ( x, y

4、)dydx f ( x, y)dxdy.(2)aa公式（2）也可寫成bb(2)f ( x, y)dy dxdyf ( x, y)dx.aa2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6在實際中還會遇到對于參變量 x的不同的值，積分限也不同的情形，這時積分限也是參變x量的函數(shù).這樣,積分 x x x ,ydy 3f x也是參變量 x 的函數(shù).下面考慮這種更為廣泛地依賴于參變量的積分的某些性質(zhì).2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7(fx, y 在)矩形定理3如果函數(shù)a x b, y R(上連續(xù)，又函數(shù)(),x )與( x 在)區(qū)間 ab上連續(xù)，并且 ( )x , (x ) a ( x

5、 bb上 也連續(xù).),則由積分（3）確定的函數(shù) (x 在) a,是 a,b上)dy)證設(shè)(的兩點，則(x( x )x) x(xyf,f ,x)y.(x( x )x)2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系8 xxx, fx(y )dyx)(x( x( x )x( y (f x ,fx,dy )xydy( x )(xx)(xx) f(x,)x(y)(d, y( x )x )f x( x,y)dyx)(x(xx) fx,x(y )dy( x )( x ) f (xx,)y( f , x)y.dy (4)( x )當(dāng)x 0時，上式右端最后一個積分的積分限不變，2013年4月南京航空航天大學(xué) 理

6、學(xué)院 數(shù)學(xué)系9根據(jù)證明定理1時同樣的理由，這個積分趨于零.又 ( x ) ( xx ) ( xx )f ( x x, y)dy M ( x x) ( x), ( x )f ( x x, y)dy M ( x x) ( x).f ( x, y) 在矩形 R上的最大值. 根據(jù) ( x)其中M是與 ( x) 在a,b上連續(xù)的假定，由以上兩式可見，當(dāng)x 0 時，（4）式右端的前兩個積分都趨于零.x 時0，于是，當(dāng)( x x) ( x) 0所以函數(shù)( x) 在a,b上連續(xù).(a x b),定理得證2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10二、含參變量的函數(shù)的微分下面考慮由積分(*)確定的函數(shù)(

7、x)的微分問題.f ( x, y)都在f ( x, y)及其偏導(dǎo)數(shù)定理4如果函數(shù)x矩形 R(a x b, y )上連續(xù),那么由積分(1)確定的函數(shù) ( x) 在a,b上可微分,并且f ( x, y) dy.d ( x) f ( x, y)dy (5)xdx2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11() ) x因為(lim,證xx0為了求(x ，)先利用公式(1)作出增量之比f( x x,y ) f(xy(,) dy.xx日中值定理，以及 f 的一致連續(xù)性，由有xx ( xxfx ,x)y (ff(x, y)y,)xf (x , (y) ,x, y), x(6)x2013年4月南京航空航

8、天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系121， 其中0可小于任意給定的正數(shù)，只要x 小于某個正數(shù) . 因此x (y d) y ( dy),x,(x.x ( y , )dy這就是l說im,x0 x0綜上所述有 ) fx( y(,) (xy, dy,x)xx令x 0 取上式的極限，即得公式（5）.2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系13三、公式(fx, y)如果函數(shù) (fx, y 及) 其偏導(dǎo)數(shù)定理5在都x連) 續(xù)，又函數(shù) (a x b, y x )矩形上R(與( x 在)( )區(qū)間 a ,b上 可微，并且x , (x ) x 在) aa ( x bb上 可微，并且),則由積分(3)確定的函數(shù) (,)(

9、fdx, yx)( x)x(x() x )f, ydydydx(x)x) f ,f).2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14由(4)式有證f( x x) f(,yxy(,( x )dyxxdy(x )1(xx)x,fx(y )x1( x )( x )當(dāng),x ) yf ( x.dy(8)xx(xx)0時，上式右端的第一個積分的積分限不變，則x , xy) )(f(ff(xy, dy )x, y)( x)( xdy.xx( x )( x )2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15對于(8)右端的第二項，應(yīng)用積分中值定理得1(xx)x,fx(y )dyx(x) (),在(x x

10、 )之間. 當(dāng)x 0時,x與)其中1 ( )( x),x x ,x ) f, xf (x),2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系161 ( x x )f ( x x, y)dy f x, ( x) ( x).于是x ( x )類似地可證,當(dāng) x 0 時,1 ( xx )f x, ( x) ( x).f ( x x, y)dy x ( x )因此，令x 0 ，取(8)式的極限便得公式(7).公式(7)稱為萊布尼茨公式.2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17sin xyx 2設(shè) (求 (x )dy,例1x ).yx解應(yīng)用公式，得si22x) x(coxsydy1x2sin x

11、y2 xsinx3xs2in xxxx3sinx32x2sin.x2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18xaxb1I (0 a b).dx例2求ln x0 xax yxbbx ydy b,解aln yln xa1bI dxx dy.y0a這里函數(shù) f ( x, y) x y 在矩形R(0 x 1,0 a y b)上連續(xù)，根據(jù)定理2，可交換積分次序，由此有1 x dy y1dy ln b 1 .1b1I dybbyx dy y 1y 1a 1a0aa02013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系191 xln1 ()計算定積分 I 0dx.例31 x2解考慮含參變量( 的積分所確定

12、的函數(shù)1xln()1)dx.1 x20(顯然0 ，),0( 1I根)據(jù)公式.(5)得1) ( .(10)2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系20把被積函數(shù)分解為部分分式,得到 x1x.11 x1(2x2于是( dx dx1xdx1111 2 1x2) x1 x21000 , 11 )ln( 12ln1 2242013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系21上式在 0,1上對積分,得到1 ln(1 ) d0(1) (0) 1 2d d ,1 ln 2111 1 222400ln 2 4 ln 2ln 2I I I .即284242I ln 2.從而2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系22四、小結(jié)1、含參變量的積分所確定的函數(shù)的定義 ；2、含參變量的積分所確定的函數(shù)的連續(xù)性；3、含參變量的積分所確定的函數(shù)的微分；4、公式及其應(yīng)用.2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系23練習(xí)題一、求下列含參變量的積分所確定的函數(shù)的極限：dy1 x2y2 cos( xy)dy.1 lim;2 lim1 x2 y2x0 xx00二、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：x ln(1 xy)x 21 ( x) 0三、設(shè) F ( x) 2 ( x) xexy 2dy;dy.yx( x y) f (