電磁場及電磁波課后習(xí)題及答案四章習(xí)題解答

1、-. z.四章習(xí)題解答4.1如題4.1圖所示為一長方形截面的導(dǎo)體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為，求槽的電位函數(shù)。解根據(jù)題意，電位滿足的邊界條件為根據(jù)條件和，電位的通解應(yīng)取為題4.1圖由條件，有兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到槽的電位分布 4.2 兩平行無限大導(dǎo)體平面，距離為，其間有一極薄的導(dǎo)體片由到。上板和薄片保持電位，下板保持零電位，求板間電位的解。設(shè)在薄片平面上，從到，電位線性變化，。yoyboydy題 4.2圖解應(yīng)用疊加原理，設(shè)板間的電位為其中，為不存在薄片的平行無限大導(dǎo)體平面間電壓為的電位，即；是兩個電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片

2、時的電位，其邊界條件為：根據(jù)條件和，可設(shè)的通解為 由條件有 兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到 4.3求在上題的解中，除開一項(xiàng)外，其他所有項(xiàng)對電場總儲能的奉獻(xiàn)。并按定出邊緣電容。解在導(dǎo)體板上，相應(yīng)于的電荷面密度則導(dǎo)體板上沿方向單位長相應(yīng)的總電荷相應(yīng)的電場儲能為 其邊緣電容為 4.4 如題4.4圖所示的導(dǎo)體槽，底面保持電位，其余兩面電位為零，求槽的電位的解。解根據(jù)題意，電位滿足的邊界條件為題4.4圖根據(jù)條件和，電位的通解應(yīng)取為由條件，有 兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到槽的電位分布為 4.5 一長、寬、高分別為、的長方體外表保持零電位，體積填充密度為的電荷。求體積的電位。解在體積，電位

3、滿足泊松方程1長方體外表上，電位滿足邊界條件。由此設(shè)電位的通解為代入泊松方程1，可得由此可得或2由式2，可得故4.6 如題4.6圖所示的一對無限大接地平行導(dǎo)體板，板間有一與軸平行的線電荷，其位置為。求板間的電位函數(shù)。解由于在處有一與軸平行的線電荷，以為界將場空間分割為和兩個區(qū)域，則這兩個區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度。電位的邊界條件為題 4.6圖由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為由條件，有12由式1，可得 3將式2兩邊同乘以，并從到對積分，有4由式3和4解得故b題4.7圖4.7如題4.7圖所示的矩形導(dǎo)體槽的電位為零，槽中有一與槽平行的線電荷。求

4、槽的電位函數(shù)。解由于在處有一與軸平行的線電荷，以為界將場空間分割為和兩個區(qū)域，則這兩個區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度，電位的邊界條件為，由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為由條件，有12由式1，可得3將式2兩邊同乘以，并從到對積分，有4由式3和4解得故假設(shè)以為界將場空間分割為和兩個區(qū)域，則可類似地得到4.8如題4.8圖所示，在均勻電場中垂直于電場方向放置一根無限長導(dǎo)體圓柱，圓柱的半徑為。求導(dǎo)體圓柱外的電位和電場以及導(dǎo)體外表的感應(yīng)電荷密度。解在外電場作用下，導(dǎo)體外表產(chǎn)生感應(yīng)電荷，圓柱外的電位是外電場的電位與感應(yīng)電荷的電位的疊加。由于導(dǎo)體圓柱為無限長

5、，所以電位與變量無關(guān)。在圓柱面坐標(biāo)系中，外電場的電位為常數(shù)的值由參考點(diǎn)確定，而感應(yīng)電荷的電位應(yīng)與一樣按變化，而且在無限遠(yuǎn)處為0。由于導(dǎo)體是等位體，所以滿足的邊界條件為題4.8圖由此可設(shè) 由條件，有 于是得到 故圓柱外的電位為假設(shè)選擇導(dǎo)體圓柱外表為電位參考點(diǎn)，即，則。導(dǎo)體圓柱外的電場則為導(dǎo)體圓柱外表的電荷面密度為 4.9在介電常數(shù)為的無限大的介質(zhì)中，沿軸方向開一個半徑為的圓柱形空腔。沿軸方向外加一均勻電場，求空腔和空腔外的電位函數(shù)。解在電場的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔外表形成極化電荷，空腔、外的電場為外加電場與極化電荷的電場的疊加。外電場的電位為而感應(yīng)電荷的電位應(yīng)與一樣按變化，則空腔、外的電位分

6、別為和的邊界條件為時，；時，為有限值；時，由條件和，可設(shè)帶入條件，有 ，由此解得 ，所以題4.10圖4.10一個半徑為、無限長的薄導(dǎo)體圓柱面被分割成四個四分之一圓柱面，如題4.10圖所示。第二象限和第四象限的四分之一圓柱面接地，第一象限和第三象限分別保持電位和。求圓柱面部的電位函數(shù)。解由題意可知，圓柱面部的電位函數(shù)滿足邊界條件為為有限值；由條件可知，圓柱面部的電位函數(shù)的通解為代入條件，有 由此得到故4.11如題4.11圖所示，一無限長介質(zhì)圓柱的半徑為、介電常數(shù)為，在距離軸線處，有一與圓柱平行的線電荷，計算空間各局部的電位。解在線電荷作用下，介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化，介質(zhì)圓柱外的電位均為線電荷的電位與極

7、化電荷的電位的疊加，即。線電荷的電位為 1題4.11圖而極化電荷的電位滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數(shù)。介質(zhì)圓柱外的電位和滿足的邊界條件為分別為為有限值；時，由條件和可知，和的通解為23將式13帶入條件，可得到45當(dāng)時，將展開為級數(shù)，有 6帶入式5，得 7由式4和7，有 由此解得 ，故得到圓柱、外的電位分別為89討論：利用式6，可將式8和9中得第二項(xiàng)分別寫成為其中。因此可將和分別寫成為由所得結(jié)果可知，介質(zhì)圓柱的電位與位于0的線電荷的電位一樣，而介質(zhì)圓柱外的電位相當(dāng)于三根線電荷所產(chǎn)生，它們分別為：位于0的線電荷；位于的線電荷；位于的線電荷。4.12 將上題的介質(zhì)圓柱改為導(dǎo)體圓柱，重新計算。解導(dǎo)體圓

8、柱的電位為常數(shù)，導(dǎo)體圓柱外的電位均為線電荷的電位與感應(yīng)電荷的電位的疊加，即。線電荷的電位為1而感應(yīng)電荷的電位滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數(shù)。滿足的邊界條件為；。由于電位分布是的偶函數(shù)，并由條件可知，的通解為2將式1和2帶入條件，可得到3將展開為級數(shù)，有4帶入式3，得5由此可得 ，故導(dǎo)體圓柱外的電為6討論：利用式4，可將式6中的第二項(xiàng)寫成為其中。因此可將寫成為由此可見，導(dǎo)體圓柱外的電位相當(dāng)于三根線電荷所產(chǎn)生，它們分別為：位于0的線電荷；位于的線電荷；位于的線電荷。4.13在均勻外電場中放入半徑為的導(dǎo)體球，設(shè)1導(dǎo)體充電至；2導(dǎo)體上充有電荷。試分別計算兩種情況下球外的電位分布。解1這里導(dǎo)體充電至應(yīng)理

9、解為未加外電場時導(dǎo)體球相對于無限遠(yuǎn)處的電位為，此時導(dǎo)體球面上的電荷密度，總電荷。將導(dǎo)體球放入均勻外電場中后，在的作用下，產(chǎn)生感應(yīng)電荷，使球面上的電荷密度發(fā)生變化，但總電荷仍保持不變，導(dǎo)體球仍為等位體。設(shè)，其中是均勻外電場的電位，是導(dǎo)體球上的電荷產(chǎn)生的電位。電位滿足的邊界條件為時，；時，其中為常數(shù)，假設(shè)適中選擇的參考點(diǎn)，可使。由條件，可設(shè)代入條件，可得到 ，假設(shè)使，可得到 2導(dǎo)體上充電荷時，令，有 利用1的結(jié)果，得到4.14如題4.14圖所示，無限大的介質(zhì)中外加均勻電場，在介質(zhì)中有一個半徑為的球形空腔。求空腔、外的電場和空腔外表的極化電荷密度介質(zhì)的介電常數(shù)為。解在電場的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔

10、外表形成極化電荷，空腔、外的電場為外加電場與極化電荷的電場的疊加。設(shè)空腔、外的電位分別為和，則邊界條件為時，；時，為有限值；時，由條件和，可設(shè)題4.14圖帶入條件，有，由此解得 ，所以 空腔、外的電場為空腔外表的極化電荷面密度為4.15如題4.15圖所示，空心導(dǎo)體球殼的、外半徑分別為和，球的中心放置一個電偶極子，球殼上的電荷量為。試計算球、外的電位分布和球殼上的電荷分布。解導(dǎo)體球殼將空間分割為外兩個區(qū)域，電偶極子在球殼外表上引起感應(yīng)電荷分布，但外表上的感應(yīng)電荷總量為零，因此球殼外外表上電荷總量為，且均勻分布在外外表上。球殼外的場可由高斯定理求得為題 4.15圖外外表上的電荷面密度為 設(shè)球的電位

11、為，其中是電偶極子的電位，是球殼外表上的感應(yīng)電荷的電位。滿足的邊界條件為為有限值；，即，所以由條件可知的通解為 由條件，有 比擬兩端的系數(shù)，得到，最后得到 球殼外表上的感應(yīng)電荷面密度為 感應(yīng)電荷的總量為 題 4.16圖 4.16 欲在一個半徑為的球上繞線圈使在球產(chǎn)生均勻場，問線圈應(yīng)如何繞即求繞線的密度？解設(shè)球的均勻場為，球外的場為，如題4.16圖所示。根據(jù)邊界條件，球面上的電流面密度為假設(shè)令，則得到球面上的電流面密度為 這說明球面上的繞線密度正比于，則將在球產(chǎn)生均勻場。4.17一個半徑為的介質(zhì)球帶有均勻極化強(qiáng)度。1證明：球的電場是均勻的，等于；2證明：球外的電場與一個位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場

12、一樣，。題 4.17圖 解1當(dāng)介質(zhì)極化后，在介質(zhì)中會形成極化電荷分布，此題中所求的電場即為極化電荷所產(chǎn)生的場。由于是均勻極化，介質(zhì)球體不存在極化電荷，僅在介質(zhì)球面上有極化電荷面密度，球、外的電位滿足拉普拉斯方程，可用別離變量法求解。建立如題4.17圖所示的坐標(biāo)系，則介質(zhì)球面上的極化電荷面密度為介質(zhì)球、外的電位和滿足的邊界條件為為有限值；因此，可設(shè)球、外電位的通解為由條件，有 ，解得 ，于是得到球的電位 故球的電場為 2介質(zhì)球外的電位為其中為介質(zhì)球的體積。故介質(zhì)球外的電場為可見介質(zhì)球外的電場與一個位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場一樣。4.18 半徑為的接地導(dǎo)體球，離球心處放置一個點(diǎn)電荷，如題4.18圖

13、所示。用別離變量法求電位分布。解球外的電位是點(diǎn)電荷的電位與球面上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位的疊加，感應(yīng)電荷的電位滿足拉普拉斯方程。用別離變量法求解電位分布時，將點(diǎn)電荷的電位在球面上按勒讓德多項(xiàng)式展開，即可由邊界條件確定通解中的系數(shù)。設(shè)，其中是點(diǎn)電荷的電位，是導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位。電位滿足的邊界條件為時，；時，。 題4.18圖由條件，可得的通解為為了確定系數(shù)，利用的球坐標(biāo)展開式將在球面上展開為 代入條件，有 比擬的系數(shù)，得到 故得到球外的電位為 討論：將的第二項(xiàng)與的球坐標(biāo)展開式比擬，可得到由此可見，的第二項(xiàng)是位于的一個點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位，此電荷正是球面上感應(yīng)電荷的等效電荷，即像電荷。題4.19圖4

14、.19 一根密度為、長為2的線電荷沿軸放置，中心在原點(diǎn)上。證明：對于的點(diǎn)，有解線電荷產(chǎn)生的電位為對于的點(diǎn)，有故得到4.20 一個半徑為的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)，環(huán)與平面重合，中心在原點(diǎn)上，環(huán)上總電荷量為，如題4.20圖所示。證明：空間任意點(diǎn)電位為解以細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)所在的球面把場區(qū)分為兩局部，分別寫出兩個場域的通解，并利用函數(shù)將細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)上的線電荷表示成球面上的電荷面密度題 4.20圖再根據(jù)邊界條件確定系數(shù)。設(shè)球面、外的電位分別為和，則邊界條件為：為有限值；，根據(jù)條件和，可得和的通解為12代入條件，有34將式4兩端同乘以，并從0到對進(jìn)展積分，得5其中由式3和5，解得 ，代入式1和2，即得到4.21一個點(diǎn)電荷與無

15、限大導(dǎo)體平面距離為，如果把它移到無窮遠(yuǎn)處，需要作多少功？ 題 4.21圖解利用鏡像法求解。當(dāng)點(diǎn)電荷移動到距離導(dǎo)體平面為的點(diǎn)處時，其像電荷，與導(dǎo)體平面相距為，如題4.21圖所示。像電荷在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場為所以將點(diǎn)電荷移到無窮遠(yuǎn)處時，電場所作的功為外力所作的功為 4.22如題4.22圖所示，一個點(diǎn)電荷放在的接地導(dǎo)體角域的點(diǎn)處。求：1所有鏡像電荷的位置和大??；2點(diǎn)處的電位。解1這是一個多重鏡像的問題，共有5個像電荷，分布在以點(diǎn)電荷到角域頂點(diǎn)的距離為半徑的圓周上，并且關(guān)于導(dǎo)體平面對稱，其電荷量的大小等于，且正負(fù)電荷交織分布，其大小和位置分別為 題 4.22圖2點(diǎn)處電位4.23 一個電荷量為、質(zhì)量為的小帶

16、電體，放置在無限大導(dǎo)體平面下方，與平面相距為。求的值以使帶電體上受到的靜電力恰與重力相平衡設(shè)，。解將小帶電體視為點(diǎn)電荷，導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷對的靜電力等于鏡像電荷對的作用力。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷為，位于導(dǎo)體平面上方為處，則小帶電體受到的靜電力為 令的大小與重力相等，即 題 4.24圖)圖 2.13題 4.24圖題 4.24圖)于是得到 4.24如題4.24圖所示，在的下半空間是介電常數(shù)為的介質(zhì)，上半空間為空氣，距離介質(zhì)平面距為處有一點(diǎn)電荷，求：1和的兩個半空間的電位；2介質(zhì)外表上的極化電荷密度，并證明外表上極化電荷總電量等于鏡像電荷。解1在點(diǎn)電荷的電場作用下，介質(zhì)分界面上出現(xiàn)極化電荷，利用

17、鏡像電荷替代介質(zhì)分界面上的極化電荷。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷分布為如題4.24圖、所示，位于，位于上半空間的電位由點(diǎn)電荷和鏡像電荷共同產(chǎn)生，即下半空間的電位由點(diǎn)電荷和鏡像電荷共同產(chǎn)生，即 2由于分界面上無自由電荷分布，故極化電荷面密度為極化電荷總電量為4.25 一個半徑為的導(dǎo)體球帶有電荷量為，在球體外距離球心為處有一個點(diǎn)電荷。1求點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球之間的靜電力；2證明：當(dāng)與同號，且成立時，表現(xiàn)為吸引力。 題 4.25圖解1導(dǎo)體球上除帶有電荷量之外，點(diǎn)電荷還要在導(dǎo)體球上感應(yīng)出等量異號的兩種不同電荷。根據(jù)鏡像法，像電荷和的大小和位置分別為如題4.25圖所示，導(dǎo)體球自身所帶的電荷則與位于球心的點(diǎn)電荷等效

18、。故點(diǎn)電荷受到的靜電力為2當(dāng)與同號，且表現(xiàn)為吸引力，即時，則應(yīng)有由此可得出 4.26兩個點(diǎn)電荷和，在一個半徑為的導(dǎo)體球直徑的延長線上，分別位于導(dǎo)體球的兩側(cè)且距球心為。1證明：鏡像電荷構(gòu)成一個電偶極子，位于球心，電偶極矩為；2令和分別趨于無窮，同時保持不變，計算球外的電場。解1點(diǎn)電荷和都要在球面上引起等量異號的感應(yīng)電荷，可分別按照點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體球面的鏡像確定其等效的像電荷。根據(jù)鏡像法，點(diǎn)電荷的像電荷為，位于：有題4.26圖，位于：而點(diǎn)電荷的像電荷為，位于：，位于：如題4.26圖所示。由此可見，像電荷和等值異號，且同時位于球心，故球心處總的像電荷為零；而像電荷和也等值異號，且位置關(guān)于球心對稱，故構(gòu)成位于球心的電偶極子，其電偶極矩為2球外的電位由和以及像電荷