高數(shù)二第九章多元函數(shù)微分學(xué)通用PPT課件

1、高數(shù)二第九章多元函數(shù)微分學(xué) 第八章 第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念 一、 區(qū)域1. 鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn) P0 的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成點(diǎn) P0 的去心鄰域記為在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.2. 區(qū)域(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點(diǎn) P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 E則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)；

2、則稱 P 為 E 的外點(diǎn) ;則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn) .的外點(diǎn) ,顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E . (2) 聚點(diǎn)若對任意給定的 ,點(diǎn)P 的去心鄰域內(nèi)總有E 中的點(diǎn) , 則稱 P 是 E 的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為 E 的導(dǎo)集 .E 的邊界點(diǎn) )D(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開集； 若點(diǎn)集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D

3、是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;。 。 E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域 整個平面 點(diǎn)集 是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域；但非區(qū)域 .o 對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) PD 與某定點(diǎn) A 的距離 AP K ,則稱 D 為有界域 , 界域 .否則稱為無3. n 維空間n 元有序數(shù)組的全體稱為 n 維空間,n 維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第 k 個坐標(biāo) .記作即一個點(diǎn), 當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為 中的零元,記作 O .的距離記作中點(diǎn) a 的 鄰域?yàn)橐?guī)定為 與零元 O 的距離為二、多元函數(shù)的概念 引例:

4、 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng) 三角形面積的海倫公式定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域 ; 數(shù)集稱為函數(shù)的值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時, 有二元函數(shù)當(dāng) n = 3 時, 有三元函數(shù)映射稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù) , 記作例如, 二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.的圖形一般為空間曲面 .三元函數(shù) 定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球三、多元函數(shù)的極限定義2. 設(shè) n 元函數(shù)點(diǎn) ,則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當(dāng) n =2 時, 記二元函數(shù)的極限可寫作：P0 是 D 的聚若存在常數(shù)

5、 A ,對一記作都有對任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切例1. 設(shè)求證：證:故總有要證 例2. 設(shè)求證：證：故總有要證 若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,在點(diǎn) (0, 0) 的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k 值不同極限不同 !在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于不存在 .例3. 討論函數(shù)函數(shù)例4. 求解: 因而此函數(shù)定義域不包括 x , y 軸則故僅知其中一個存在,推不出其它二者存在. 二重極限不同. 如果它們都存在, 則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3 知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在 .四、 多元函數(shù)的

6、連續(xù)性 定義3 . 設(shè) n 元函數(shù)定義在 D 上,如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點(diǎn) .則稱 n 元函數(shù)連續(xù).連續(xù), 例如, 函數(shù)在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如, 函數(shù)上間斷. 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).例 求解 這里 在區(qū)域 和區(qū)域 內(nèi)都有定義， 同時為 及 的邊界點(diǎn).但無論在 內(nèi)還是在 內(nèi)考慮，下列運(yùn)算都是正確的：定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則* (4) f (P) 必在D 上一致連續(xù) .在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對任意(有界

7、性定理) (最值定理) (介值定理) (一致連續(xù)性定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略) 解: 原式例5.求例6. 求函數(shù)的連續(xù)域.解: 例6. 證明在全平面連續(xù).證:為初等函數(shù) , 故連續(xù).又故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準(zhǔn)則得第二節(jié)一、 偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二 、高階偏導(dǎo)數(shù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 第八章 一、 偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法引例:研究弦在點(diǎn) x0 處的振動速度與加速度 ,就是中的 x 固定于求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).x0 處,關(guān)于 t 的將振幅定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)注意:同樣可定義對y 的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù) z = f ( x , y

8、) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對 x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù) ,記為或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn) (x , y , z) 處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) .偏導(dǎo)數(shù)定義為(請自己寫出)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn) M0 處的切線對 x 軸的斜率.在點(diǎn)M0 處的切線斜率.是曲線對 y 軸的函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).在上節(jié)已證 f (x , y) 在點(diǎn)(0 , 0)并不連續(xù)!例1 . 求解法1:解法2:在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).例2. 設(shè)證:例3. 求

9、的偏導(dǎo)數(shù) . 解:求證偏導(dǎo)數(shù)記號是一個例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R 為常數(shù)) , 不能看作分子與分母的商 !此例表明,整體記號,二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) .按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù):類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為z = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階偏導(dǎo)數(shù)為例5. 求函數(shù)解 :注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及 例如,二

10、者不等則定理.例如, 對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,說明:本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)時, 有而初等(證明略) 例6. 證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性 , 有方程備用題 設(shè)方程確定 u 是 x , y 的函數(shù) ,連續(xù), 且求解:證:令則則定理證明.令同樣在點(diǎn)連續(xù),得 第八章 *二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用 應(yīng)用 第三節(jié)一元函數(shù) y = f (x) 的微分近似計(jì)算估計(jì)誤差本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義

11、 全微分一、全微分的定義 定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)( x , y )可表示成其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn) (x, y) 的全微分, 記作若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微，處全增量則稱此函數(shù)在D 內(nèi)可微.(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微由微分定義 :得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即定理1(必要條件)若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)(x, y)

12、 可微 ,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證: 由全增量公式必存在,且有得到對 x 的偏增量因此有 反例: 函數(shù)易知 但因此,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微 .注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即:定理2 (充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.所以函數(shù)在點(diǎn)可微.注意到, 故有推廣: 類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如, 三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是例1. 計(jì)算函數(shù)在點(diǎn) (2,1) 處的全微分. 解:例2. 計(jì)算函數(shù)的全微分. 解: 思考與練習(xí)函數(shù)在可微的充分條件是( )的某鄰域內(nèi)存在 ;時

13、是無窮小量 ;時是無窮小量 .1. 選擇題2. 設(shè)解: 利用輪換對稱性 , 可得注意: x , y , z 具有 輪換對稱性 在點(diǎn) (0,0) 可微 .在點(diǎn) (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證: 1)因故函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 連續(xù) ; 但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不連 3. 證明函數(shù)所以同理極限不存在 ,在點(diǎn)(0,0)不連續(xù) ;同理 ,在點(diǎn)(0,0)也不連續(xù).2)3)4) 下面證明可微 :說明: 此題表明, 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則內(nèi)容小結(jié)1. 微分定義:2. 重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合

14、函數(shù)的全微分微分法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 第八章 一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理. 若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù), 在點(diǎn) t 可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)證: 設(shè) t 取增量t ,則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t有增量u ,v ,( 全導(dǎo)數(shù)公式 )(t0 時,根式前加“”號)若定理中 說明: 例如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在, 則定理結(jié)論不一定成立.推廣:1) 中間變量多于兩個的情形. 例如,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,又如,當(dāng)它們都具有可微條件時, 有注意:這里表示固定 y 對 x 求導(dǎo),表示固定 v 對 x 求導(dǎo)口訣 :分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉

15、路偏導(dǎo)與不同,例1. 設(shè)解:例2.解:例3. 設(shè) 求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到,下列例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.為簡便起見 , 引入記號例4. 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解: 令則二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論 u , v 是自變量還是中間變量, 則復(fù)合函數(shù)都可微, 其全微分表達(dá) 形式都一樣, 這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.例1 .例 .利用全微分形式不變性再解例1. 解:所以例已知求解: 由兩邊對 x 求導(dǎo), 得例 求在點(diǎn)處可微 , 且設(shè)函數(shù)解: 由題設(shè)練習(xí)題練習(xí)題 第八章 第五節(jié)一、一個方程所確定的

16、隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 本節(jié)討論 :1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .例如, 方程當(dāng) C 0 時, 不能確定隱函數(shù);2) 在方程能確定隱函數(shù)時,研究其連續(xù)性、可微性 及求導(dǎo)方法問題 .一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1. 設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) ,并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足滿足條件導(dǎo)數(shù)兩邊對 x 求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù) :則還有例1. 驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可

17、確定一個單值可導(dǎo)隱函數(shù)解: 令連續(xù) ,由 定理1 可知,導(dǎo)的隱函數(shù) 則在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求兩邊對 x 求導(dǎo)兩邊再對 x 求導(dǎo)令 x = 0 , 注意此時導(dǎo)數(shù)的另一求法 利用隱函數(shù)求導(dǎo)定理2 .若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確兩邊對 x 求偏導(dǎo)同樣可得則例2. 設(shè)解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對 x 求導(dǎo)解法2 利用公式設(shè)則兩邊對 x 求偏導(dǎo)例3.設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知

18、方程故對方程兩邊求微分:解法2 微分法.二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例 ,即定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式下：有隱函數(shù)組則兩邊對 x 求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P 的某鄰域內(nèi)故得系數(shù)行列式同樣可得例4. 設(shè)解:方程組兩邊對 x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí): 求答案:由題設(shè)故有例5.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v) 的某一1) 證明函數(shù)組(

19、x, y) 的某一鄰域內(nèi)2) 求解: 1) 令對 x , y 的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn) (u, v) 對應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)式兩邊對 x 求導(dǎo), 得則有由定理 3 可知結(jié)論 1) 成立.2) 求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). 從方程組解得同理, 式兩邊對 y 求導(dǎo), 可得例5的應(yīng)用: 計(jì)算極坐標(biāo)變換的反變換的導(dǎo)數(shù) .同樣有所以由于備用題分別由下列兩式確定 :又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,1. 設(shè)解: 兩個隱函數(shù)方程兩邊對 x 求導(dǎo), 得解得因此2. 設(shè)是由方程和所確定的函數(shù) , 求解法1 分別在各方程兩端對 x 求導(dǎo), 得解法2 微分法.對各方程兩邊分別求微分

20、:化簡得消去可得第六節(jié)一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 第八章 設(shè)空間曲線的方程(1)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo).一、空間曲線的切線與法平面考察割線趨近于極限位置切線的過程上式分母同除以割線 的方程為曲線在M處的切線方程切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. 法平面：過M點(diǎn)且與切線垂直的平面.解切線方程法平面方程2.空間曲線方程為法平面方程為3.空間曲線方程為切線方程為法平面方程為所求切線方程為法平面方程為設(shè)曲面方程為曲線在M處的切向量在曲面上任取一條通過點(diǎn)M的曲線二、曲面的切平面與法線令則切平面方程為法線方程為曲面在M處的法向量即垂直于曲面上切平面的向量

21、稱為曲面的法向量.特殊地：空間曲面方程形為曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量因?yàn)榍嬖贛處的切平面方程為其中解切平面方程為法線方程為解令切平面方程法線方程解設(shè) 為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得因?yàn)?是曲面上的切點(diǎn)，所求切點(diǎn)為滿足方程切平面方程(1)切平面方程(2)思考題思考題解答設(shè)切點(diǎn)依題意知切向量為切點(diǎn)滿足曲面和平面方程備用題. 求曲線在點(diǎn)M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. 切線方程解法1 令則即切向量法平面方程即解法2. 方程組兩邊對 x 求導(dǎo), 得曲線在點(diǎn) M(1,2, 1) 處有:切向量解得切線方程即

22、法平面方程即點(diǎn) M (1,2, 1) 處的切向量備用題. 確定正數(shù) 使曲面在點(diǎn)解: 二曲面在 M 點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn) M 相切, 故又點(diǎn) M 在球面上,于是有相切.與球面, 因此有證明 曲面上任一點(diǎn)處的切平面都通過原點(diǎn).提示: 在曲面上任意取一點(diǎn)則通過此備用題. 設(shè) f ( u ) 可微,證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程 .點(diǎn)的切平面為 1. 證明曲面與定直線平行,證: 曲面上任一點(diǎn)的法向量取定直線的方向向量為則(定向量)故結(jié)論成立 .的所有切平面恒備用題2. 求曲線在點(diǎn)(1,1,1) 的切線解: 點(diǎn) (1,1,1) 處兩曲面的法向量為因此切線的方向向量為由此得切線:法平面:即與法平面. 第八

23、章 第七節(jié)一、方向?qū)?shù) 二、梯度 三、物理意義 方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)定義: 若函數(shù)則稱為函數(shù)在點(diǎn) P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù).在點(diǎn) 處沿方向 l (方向角為 ) 存在下列極限: 記作 定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,證明: 由函數(shù)且有在點(diǎn) P 可微 ,得故對于二元函數(shù)為, ) 的方向?qū)?shù)為特別: 當(dāng) l 與 x 軸同向 當(dāng) l 與 x 軸反向向角例1. 求函數(shù) 在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿向量3) 的方向?qū)?shù) .解: 向量 l 的方向余弦為例2. 求函數(shù) 在點(diǎn)P(2, 3)沿曲線朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點(diǎn) P 的切向量為例3.

24、 設(shè)是曲面在點(diǎn) P(1, 1, 1 )處指向外側(cè)的法向量,解: 方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點(diǎn)P 處沿求函數(shù)二、梯度 方向?qū)?shù)公式令向量這說明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：1. 定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù) f (P) 在點(diǎn) P 處的梯度記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度 說明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量2. 梯度的幾何意義函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面(或等值線) ,稱為函數(shù) f 的等值線 . 則L*上點(diǎn)P 處的法向量為 同樣, 對應(yīng)函數(shù)有等值面(等量面)當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時為零時, 其上 點(diǎn)P處的法向量為指向函數(shù)增大的

25、方向.3. 梯度的基本運(yùn)算公式練習(xí)題 1. 函數(shù)在點(diǎn)處的梯度解:則注意 x , y , z 具有輪換對稱性指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .在點(diǎn)A( 1 , 0 , 1) 處沿點(diǎn)A2. 函數(shù)提示:則三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場 (數(shù)性函數(shù))場向量場(矢性函數(shù))可微函數(shù)梯度場( 向量場的勢 )如: 溫度場, 電位場等如: 力場,速度場等(向量場；勢場) 注意: 任意一個向量場不一定是某個數(shù)量函數(shù)的梯度場.內(nèi)容小結(jié)1. 方向?qū)?shù) 三元函數(shù) 在點(diǎn)沿方向 l (方向角的方向?qū)?shù)為 二元函數(shù) 在點(diǎn)的方向?qū)?shù)為沿方向 l (方向角為2. 梯度 三元函數(shù) 在點(diǎn)處的梯度為 二元函數(shù)

26、 在點(diǎn)處的梯度為3. 關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微梯度在方向 l 上的投影. 第八章 第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問題三、條件極值多元函數(shù)的極值及其求法一、 多元函數(shù)的極值 定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 例如,定理1 (必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ),

27、 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 ,則有存在故時, 具有極值定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A0 時取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)例1.求函數(shù)解: 第一步 求駐點(diǎn).得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解: 顯然 (0,0) 是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此

28、 z(0,0) 不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能為二、最值應(yīng)用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點(diǎn)P 時, 為極小 值為最小 值(大)(大)依據(jù)例3.解: 設(shè)水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.例4. 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 ,把它折起來做成解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,積最大. 為問怎樣折法才能使斷面面令解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.三、條件極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法1 代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化方法2 拉