2014屆華附、省實(shí)、深中、廣雅高三年級四校聯(lián)考（理數(shù)）

1、PAGE PAGE 162014屆華附、省實(shí)、深中、廣雅 高三年級四校聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號、座位號等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4考

2、生必須保持答題卡的整潔.第一部分選擇題（共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求1若集合，則“”是“”的 A. 充要條件 B. 既不充分也不必要條件 C. 必要不充分條件 D. 充分不必要條件2. 若，則AB CD3函數(shù)的部分圖象如圖所示，則A B. C. D. 4已知圓及以下個函數(shù)：；其中圖像能等分圓面積的函數(shù)有A個 B. 個 C. 個 D. 個 5. 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A B C D 6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為A B. C. D. 7. 已知數(shù)列滿足：對于任意的，則A B. C. D. 8點(diǎn)是平面內(nèi)的定點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)不同)

3、的“對偶點(diǎn)”是指：點(diǎn)在射線上且厘米.若平面內(nèi)不同四點(diǎn)在某不過點(diǎn)的直線上,則它們相應(yīng)的“對偶點(diǎn)”在 A一個過點(diǎn)的圓上 B一個不過點(diǎn)的圓上C一條過點(diǎn)的直線上 D一條不過點(diǎn)的直線上第二部分非選擇題（110分）二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9. 某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取 名學(xué)生10. 若向量，且與的夾角為則 . _俯視圖_側(cè)視圖_正視圖_2_2_4_211. 某幾何體的三視圖如圖所示,其中正（主）視圖與側(cè)（左）視圖的邊界均為直角三角形，俯視圖的邊界為直角梯形，則該幾何體的體積為 .

4、12. 已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線圍成的平面區(qū)域的面積為則_ ， . 13. 已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是 . 選做題（請考生在以下兩小題中任選一題做答，若兩小題都做，則按第14題記分）.14（幾何證明選講選做題） 如圖，過點(diǎn)作的外接圓的切線交的延長線 于點(diǎn).若， ，則 . 15(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為 . 三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.16(本小題滿分12分)在中,三個內(nèi)角所對的邊分別為已知，.求；(2) 設(shè)求的值.17.（本小題滿分12分）盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡

5、片上分別標(biāo)有數(shù)其中是虛數(shù)單位稱“從盒中隨機(jī)抽取一張，記下卡片上的數(shù)后并放回”為一次試驗(yàn)（設(shè)每次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響） （1）求事件 “在一次試驗(yàn)中，得到的數(shù)為虛數(shù)”的概率與事件 “在四次試驗(yàn)中，至少有兩次得到虛數(shù)” 的概率；（2）在兩次試驗(yàn)中，記兩次得到的數(shù)分別為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望18.（本小題滿分14分）如圖，四邊形是正方形，平面，EAPD,， 分別為，的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的大小. 19. （本小題滿分14分） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為記（1）若數(shù)列是首項(xiàng)與公差均為的等差數(shù)列， 求；（2）若且數(shù)列均是公比為的等比數(shù)列，求證：對任意正整數(shù)，20. （本小題

6、滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)及直線，曲線是滿足下列兩個條件的動點(diǎn)的軌跡：其中是到直線的距離； (1) 求曲線的方程;(2) 若存在直線與曲線、橢圓均相切于同一點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.21. （本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若對任意均有兩個極值點(diǎn)，一個在區(qū)間內(nèi)，另一個在區(qū)間外，求的取值范圍；（3）已知且函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，探究函數(shù)的單調(diào)性. 參考答案 說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則二、對計算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答

7、未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分?jǐn)?shù)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求題號12345678答案 DCBBBCDA1【解析】2. 【解析】 3【解析】由圖知在時取到最大值，且最小正周期滿足 故，.所以 或由逐個檢驗(yàn)知4【解析】圓關(guān)于原點(diǎn)對稱. 函數(shù)與函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱, 能等分圓面積；而是上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對稱，且

8、當(dāng)時不能等分圓面積5. 【解析】展開式中的通項(xiàng)為為常數(shù)項(xiàng)的充要條件是常數(shù)項(xiàng)6【解析】 7. 【解析】 由數(shù)學(xué)歸納法可證明:當(dāng)為大于的奇數(shù)時, ；當(dāng)為正偶數(shù)時, 故8【解析】過作與直線垂直的直線以為原點(diǎn)，直線為軸，單位為厘米，建立平面直角平面坐標(biāo)系. 設(shè)直線,是直線上任意一點(diǎn),它的“對偶點(diǎn)”為,則存在使得,即,又,消去,得.故在過點(diǎn)的圓上.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 9. 【解析】根據(jù)分層抽樣的方法步驟，按照一定比例抽取，樣本容量為，那么根據(jù)題意得：從高三一共可以抽取人數(shù)為：.10. 【解析】由與的夾角為知,11. 【解

9、析】由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐,根據(jù)“正側(cè)等高，正俯等長，側(cè)俯等寬”的規(guī)則，其體積為12. 【解析】拋物線的焦點(diǎn)為,知. 13. 【解析】如圖,在,上均單調(diào)遞增, 由及知的取值范圍14. 【解析】由知 ，解得 由得，即15. 【解析】如圖，在極坐標(biāo)系中，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為則，且從而即三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.16(本小題滿分12分)在中,三個內(nèi)角所對的邊分別為已知，.求；(2) 設(shè)求的值.解： (1) 2分 4分 6分(2)(解法一) 7分 9分 10分 , 12分 (2)(解法二) 7分 9分 10分 , 12分 (2)(解法

10、三) , 9分 10分 11分 12分17.（本小題滿分12分）盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)其中是虛數(shù)單位稱“從盒中隨機(jī)抽取一張，記下卡片上的數(shù)后并放回”為一次試驗(yàn)（設(shè)每次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響） （1）求事件 “在一次試驗(yàn)中，得到的數(shù)為虛數(shù)”的概率與事件 “在四次試驗(yàn)中，至少有兩次得到虛數(shù)” 的概率；（2）在兩次試驗(yàn)中，記兩次得到的數(shù)分別為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望解：（1）， 2分 5分（2）的可能取值如下左表所示：數(shù)6分由表可知： 9分所以隨機(jī)變量的分布列為（如上右表） 10分所以 12分18.（本小題滿分14分）如圖，四邊形是正方形，平面， 分別為，的中點(diǎn)（1）

11、求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的大小. (1）證明：,分別為，的中點(diǎn)，. 1分又平面，平面， 3分平面. 5分（2）解:平面，平面平面，. 四邊形是正方形，.以為原點(diǎn),分別以直線為軸, 軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) 7分,，, ,.， 分別為，的中點(diǎn)，, 8分（解法一)設(shè)為平面的一個法向量，則,即，令，得. 10分設(shè)為平面的一個法向量,則,即，令，得. 12分所以=. 13分所以平面與平面所成銳二面角的大小為（或）. 14分（解法二) ，,是平面一個法向量. 10分，,是平面平面一個法向量. 12分 13分平面與平面所成銳二面角的大小為（或）. 14分（解法三) 延長到使

12、得連，四邊形是平行四邊形，四邊形是正方形，分別為，的中點(diǎn)，平面，平面， 平面. 7分平面平面平面 9分故平面與平面所成銳二面角與二面角相等. 10分平面平面平面是二面角的平面角. 12分 13分平面與平面所成銳二面角的大小為（或）. 14分19. （本小題滿分14分） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為記（1）若數(shù)列是首項(xiàng)與公差均為的等差數(shù)列， 求；（2）若且數(shù)列均是公比為的等比數(shù)列，求證：對任意正整數(shù)，解：（1） 數(shù)列是首項(xiàng)與公差均為的等差數(shù)列， 1分 3分 5分 故 6分（2）由題意 7分 8分故 9分 10分（證法一）當(dāng)時，； 11分當(dāng)時， 12分 13分故對任意正整數(shù)， 14分（證法二） 11分，數(shù)列

13、是遞增數(shù)列. 12分 13分 14分20. （本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)及直線，曲線是滿足下列兩個條件的動點(diǎn)的軌跡：其中是到直線的距離； (1) 求曲線的方程；(2) 若存在直線與曲線、橢圓均相切于同一點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.解：（1）， ， 2分由得：， 即 4分將代入得：，解得： 所以曲線的方程為： 6分（2）(解法一)由題意，直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為， 則直線的方程為，即 7分 將代入橢圓 的方程，并整理得：由題意，直線與橢圓相切于點(diǎn)，則，即 9分又 即 聯(lián)解得： 10分由及得故， 12分得又故所以橢圓離心率的取值范圍是 14分（2）(解法二)設(shè)直線與曲線、橢圓 均相切于同一點(diǎn)則 7分由知;由知,故 9分聯(lián)解,得 10分由及得故， 12分得又故所以橢圓離心率的取值范圍是 14分21. （本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若對任意均有兩個極值點(diǎn)，一個在區(qū)間內(nèi)，另一個在區(qū)間外，求的取值范圍；（3）已知且函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，探究函數(shù)的單