《數(shù)學歸納法》好

1、數(shù)學歸納法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法 結論一定可靠結論不一定可靠考察全體對象,得到一般結論的推理方法考察部分對象,得到一般結論的推理方法歸納法分為完全歸納法 和 不完全歸納法歸納法思考：歸納法有什么優(yōu)點和缺點？優(yōu)點：可以幫助我們從一些具體事 例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律缺點：僅根據(jù)有限的特殊事例歸納 得到的結論有時是不正確的解:猜想數(shù)列的通項公式為驗證:同理得啊,有完沒完啊? 正整數(shù)無數(shù)個!對于數(shù)列，已知， （1）求出數(shù)列前4項,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正確的嗎？情境二（一）視頻播放你見過多米諾骨牌游戲嗎?對我們解決本題證明有什么啟示？二、引導探究，尋求解決方法1、第一

2、塊骨牌倒下2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下條件（2）事實上給出了一個遞推關系，換言之就是假設第K塊倒下，則相鄰的第K+1塊也倒下請同學們思考所有的骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個條件(二)師生互助多米諾骨牌游戲原理（1）第一塊骨牌倒下。（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。根據(jù)（1）和 （2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當n=1時，猜想成立根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。通項公式為 的證明方法（2）若當n=k時猜想成立，即 ，則當n=k+1時猜想也成立，即 。 三、類比問題，師生合作探究（一）類比歸納當一個命題滿足上述（1）、（2

3、）兩個條件時，我們能把證明無限問題用有限證明解決嗎?（二）理解升華一般的，證明一個與正整數(shù)有關的命題，可按下列步驟進行：（1） 【歸納奠基】證明當n取第一個值n0(n0 N* ) 時命題成立;（2） 【歸納遞推】假設當n=k(kN* ,k n0)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.從而就可以斷定命題對于n0開始的所有正整數(shù)n都成立。 這種證明方法叫做 數(shù)學歸納法。（四）提煉概念對于數(shù)列，已知，寫出數(shù)列前4項,并猜想其通項公式 ;同學們,你能驗證你的猜想是不是正確嗎?四、例題研討，學生實踐應用（一）典例析剖（二）變式精煉用數(shù)學歸納法證明 135（2n1） 用數(shù)學歸納法證明n2即當n=k+1

4、時等式也成立。根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何都成立。證明：135（2k1）+2(k+1)1那么當n=k+1時（2）假設當nk時，等式成立，即（1）當n=1時，左邊1，右邊1，等式成立。135（2k1）k2 + 2(k+1)1k2 2k1k2（k+1）2（假設）（利用假設）注意：遞推基礎不可少， 歸納假設要用到， 結論寫明莫忘掉。證明傳遞性（湊結論）（三）能力提升用數(shù)學歸納法證明 證明：（1）當n=1時，左邊=12=1右邊=1等式成立(2)假設當n=k時等式成立,即那么,當n=k+1時即當n=k+1等式也成立根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何 都成立.湊出目標用到歸納假設數(shù)學歸納法步驟，用框

5、圖表示為： 驗證n=n0時命題成立。若n = k ( k n0 ) 時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。 命題對從n0開始的所有的正整數(shù)n都成立。歸納奠基歸納遞推 注：兩個步驟,一個結論,缺一不可思考1：試問等式2+4+6+2nn2+n+1成立嗎？某同學用數(shù)學歸納法給出了如下的證明，請問該同學得到的結論正確嗎？解:設nk時成立，即這就是說，nk+1時也成立2+4+6+2kk2+k+1則當n=k+1時 2+4+6+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1 所以等式對任何nN*都成立事實上，當n1時，左邊2，右邊3左邊右邊，等式不成立該同學在沒有證明當n=1時，

6、等式是否成立的前提下，就斷言等式對任何nN*都成立，為時尚早證明：當n=1時，左邊右邊假設n=k時，等式成立，那么n=k+1時等式成立這就是說，當n=k+1時，等式也成立根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何nN都成立即第二步的證明沒有在假設條件下進行，因此不符合數(shù)學歸納法的證明要求思考2：下面是某同學 用數(shù)學歸納法證明等式成立的過程,它符合數(shù)學歸納法的證明要求嗎？為什么？（nN）nn2112121212132-=L 因此，用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟，缺一不可。第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據(jù)。缺了第一步遞推失去基礎；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無法遞推下去。1.在應用數(shù)學歸納法證明凸

7、n邊形的對角線為 n(n3) 條時，第一步檢驗n等于 () A.1B.2 C.3 D.0解析：因為n3，所以，第一步應檢驗n3.答案：C2.用數(shù)學歸納法證明1aa2an1 (a1)， 在驗證n1時，等式左端計算所得的項是 () A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3解析：因為當n1時，an1a2，所以驗證n1時，等式左端計算所得的項是1aa2.答案：C3.利用數(shù)學歸納法證明“(n1)(n2)(nn) 2n13(2n1)，nN*”時，從“nk”變到“nk 1”時，左邊應增乘的因式是 () A.2k1 B.2(2k1) C. D.解析：當nk(kN*)時，左式為(k1)(k2)(kk)；當nk1時，左式為(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，則左邊應增乘的式子是 2(2k1).答案：B4.用數(shù)學歸納法證明： ， 第一步應驗證左式是， 右式是.解析：令n1則左式為1 ，右式為 .答案：5.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和 f(k1)f(k).解析：由凸k邊形變?yōu)橥筴1邊形時，增加了一個三角形，故f(k