2022年高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專(zhuān)題(文理通用)之專(zhuān)題02函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

1、第 PAGE11 頁(yè) 共 NUMPAGES11 頁(yè)2022年高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專(zhuān)題(文理通用)之專(zhuān)題02 函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題專(zhuān)題二函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)的零點(diǎn)作為函數(shù)、方程、圖象的交匯點(diǎn)，充分表達(dá)了函數(shù)與方程的聯(lián)絡(luò)，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)形結(jié)合思想諸如方程的根的問(wèn)題、存在性問(wèn)題、交點(diǎn)問(wèn)題等最終都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)展處理，因此函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題成為了近年來(lái)高考新的生長(zhǎng)點(diǎn)和熱點(diǎn)，且形式逐漸多樣化，備受青睞模塊1整理方法提升才能對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，其解題策略一般是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的選擇，有3種情況：一平一曲，一斜一曲，兩曲凸性一般要相反其中以一平一曲的情況最為常見(jiàn)別離參數(shù)法是處理零點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)方法，

2、其本質(zhì)是選擇一平一曲兩個(gè)函數(shù)；局部題目直接考慮函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)情況，其本質(zhì)是選擇一平一曲兩個(gè)函數(shù)；局部題目利用零點(diǎn)存在性定理并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性處理零點(diǎn)，其本質(zhì)是選擇一平一曲兩個(gè)函數(shù)函數(shù)的凸性1下凸函數(shù)定義設(shè)函數(shù)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，假設(shè)對(duì)上任意兩點(diǎn)，總有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，那么稱(chēng)為上的下凸函數(shù)2上凸函數(shù)定義設(shè)函數(shù)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，假設(shè)對(duì)上任意兩點(diǎn)，總有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，那么稱(chēng)為上的上凸函數(shù)3下凸函數(shù)相關(guān)定理定理：設(shè)函數(shù)為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，那么為上的下凸函數(shù)為上的遞增函數(shù)且不在的任一子區(qū)間上恒為零4上凸函數(shù)相關(guān)定理定理：設(shè)函數(shù)為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，那么為上的上凸函數(shù)為上的遞減函數(shù)且不在的

3、任一子區(qū)間上恒為零例1函數(shù)1討論的單調(diào)性；2假設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【解析】1，當(dāng)時(shí)，所以，所以在上遞減當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增2法1：當(dāng)時(shí)，由1可知，在上遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，令，那么，所以在上遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，從而沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，于是在上有個(gè)零點(diǎn)；因?yàn)?，且，所以在上有個(gè)零點(diǎn)綜上所述，的取值范圍為法2：令，那么，令，那么，所以在上遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，假設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)，那么與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍是法3：設(shè)，那么，于是，令，那么，令，那么，所以在上遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)

4、，當(dāng)時(shí)，假設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)，那么與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍是法4：設(shè)，那么，于是令，那么有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)因?yàn)?，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，是斜率為，過(guò)定點(diǎn)的直線當(dāng)與相切的時(shí)候，設(shè)切點(diǎn)，那么有，消去和，可得，即，即令，顯然是增函數(shù)，且，于是，此時(shí)切點(diǎn)，斜率所以當(dāng)與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，所以的取值范圍是法5：，令，那么有兩個(gè)零點(diǎn)與的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)令，那么，由可得，由可得，于是在上遞減，在上遞增，而，所以，因此與相切于點(diǎn)，除切點(diǎn)外，的圖象總在圖象的上方由1可知，當(dāng)時(shí)，將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)固定不動(dòng)，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，就得到了的圖象，此時(shí)與的圖象沒(méi)

5、有交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，的圖象就是的圖象，此時(shí)與的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)固定不動(dòng)，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，就得到了的圖象，此時(shí)與的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)綜上所述，的取值范圍是法6：，令，那么有兩個(gè)零點(diǎn)與的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，由1可知，所以是下凸函數(shù)，而是上凸函數(shù)當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，那么有，消去，可得，即，即令，顯然是增函數(shù)，而，于是，此時(shí)切點(diǎn)，所以當(dāng)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，所以的取值范圍是【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，其解題策略是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，三種方式中一平一曲、一斜一曲、兩曲最為常見(jiàn)的是一平一曲法1是直接考慮函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)情況，法2是

6、別離參數(shù)法，法3用了換元，3種方法的本質(zhì)都是一平一曲，其中法3將指數(shù)換成了對(duì)數(shù)，雖然沒(méi)有比法2簡(jiǎn)單，但是也提示我們某些函數(shù)或答應(yīng)以通過(guò)換元，降低函數(shù)的解決難度法4是一斜一曲情況，直線與曲線相切時(shí)的值是一個(gè)重要的分界值法5和法6都是兩曲的情況，但法6比法5要簡(jiǎn)單，其原因在于法5的兩曲凸性一樣而法6的兩曲凸性相反函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題對(duì)函數(shù)圖象說(shuō)明的要求很高，如解法2當(dāng)中的是先增后減且極大值，但和的狀態(tài)會(huì)影響的取值范圍，所以必需要說(shuō)清楚兩個(gè)趨勢(shì)的情況，才能得到最終的答案例2設(shè)函數(shù)設(shè)，1求；2證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)記為，且【解析】1因?yàn)椋杂?，得，所以【證明】2因?yàn)?，由零點(diǎn)存在性定理可知在內(nèi)至少存在一個(gè)

7、零點(diǎn)又因?yàn)?，所以在?nèi)遞增，因此在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)由于，所以，由此可得，即因?yàn)?，所以，所以，所以【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)函數(shù)滿足兩個(gè)條件：連續(xù)不斷，那么可由零點(diǎn)存在性定理得到函數(shù)在上至少有1個(gè)零點(diǎn)零點(diǎn)存在性定理是高中階段一個(gè)比擬弱的定理，首先，該定理的兩個(gè)條件缺一不可，其次，就算滿足兩個(gè)條件，也只能得到有零點(diǎn)的結(jié)論，終究有多少個(gè)零點(diǎn)，也不確定零點(diǎn)存在性定理常與單調(diào)性綜合使用，這是處理函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的一種方法例3函數(shù)1設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性；2當(dāng)時(shí)，證明：【解析】1，由是的極值點(diǎn)，可得，解得于是，定義域?yàn)椋敲?，所以在上遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，在上遞增【證明】2法1：定義域?yàn)椋谑?/p>

8、在上遞增又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上有唯一的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，獲得最小值由可得，即，于是當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立的條件是，但顯然，所以等號(hào)不成立，即綜上所述，當(dāng)時(shí)，法2：當(dāng)，時(shí)，于是，所以只要證明，就能證明當(dāng)時(shí)，于是在上遞增又因?yàn)?，所以在上有唯一的?shí)根，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，獲得最小值由可得，即于是，于是綜上所述，當(dāng)時(shí)，法3：當(dāng)，時(shí)，于是，所以只要證明，就能證明當(dāng)時(shí)，由可得，又因?yàn)?，且兩個(gè)不等號(hào)不能同時(shí)成立，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)評(píng)】法1與法2中出現(xiàn)的的詳細(xì)數(shù)值是無(wú)法求解的，只能求出其范圍，我們把這種零點(diǎn)稱(chēng)為“隱性零點(diǎn)”法2比法1簡(jiǎn)單，

9、這是因?yàn)槔昧撕瘮?shù)單調(diào)性將命題加強(qiáng)為，轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)特例函數(shù)的問(wèn)題，從而大大降低了題目的難度法2中，因?yàn)榈谋磉_(dá)式涉及、，都是超越式，所以的值不好計(jì)算，由此，需要對(duì)“隱性零點(diǎn)”滿足的式子進(jìn)展變形，得到兩個(gè)式子和，然后進(jìn)展反代，從而將超越式轉(zhuǎn)化為初等式“反代”是處理“隱性零點(diǎn)”問(wèn)題的常用策略法3使用了與、有關(guān)的常用不等式，證明過(guò)程相當(dāng)快捷簡(jiǎn)單由于，且、的凸性相反，因此我們可以尋找兩個(gè)函數(shù)的公切線實(shí)現(xiàn)隔離放縮，事實(shí)上，就是、兩個(gè)函數(shù)的公切線不等式證明問(wèn)題詳見(jiàn)專(zhuān)題四模塊2練習(xí)穩(wěn)固整合提升練習(xí)1：設(shè)函數(shù)1討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；2證明：當(dāng)時(shí)，【解析】1的定義域?yàn)?，的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的根的個(gè)數(shù)與在上的交點(diǎn)的個(gè)

10、數(shù)因?yàn)椋栽谏线f增，又因?yàn)?，時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與有一個(gè)交點(diǎn)綜上所述，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【證明】2由1可知，在上有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，獲得最小值，且最小值為因?yàn)?，所以，所以練?xí)2：設(shè)函數(shù)為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)1當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2假設(shè)函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍【解析】1函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為2函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)在內(nèi)有兩個(gè)不同的根法1：?jiǎn)栴}在內(nèi)有兩個(gè)不同的根設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，所以在上遞增，所以在內(nèi)不存在兩個(gè)不同的根當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，所以的最小值為在內(nèi)有兩個(gè)不同的根，解得綜上所述，的取值范圍為法2：?jiǎn)栴}在內(nèi)有兩個(gè)不同的根與在內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，畫(huà)出在內(nèi)的圖象，可知要使與在內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，的取值范圍為練習(xí)3：函數(shù)和，直線：過(guò)點(diǎn)且與曲線相切1求切線的方程；2假設(shè)不等式恒成立，求的最大值；3設(shè)，假設(shè)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求證：【解析】1設(shè)直線與函數(shù)相切于點(diǎn)，那么切線方程為，即，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以切線的方程為2設(shè)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在時(shí)