高一數(shù)學(xué)用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征4

1、2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)2. 標(biāo)準(zhǔn)差眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)一 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念 中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù) 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛.平均數(shù): 一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即 x= 練習(xí): 在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動會上，參加男子跳高的17名運(yùn)動員的成績?nèi)缦卤硭荆撼煽?單位:米)150160165170175180185190人數(shù)23234

2、111 分別求這些運(yùn)動員成績的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù) 解：在17個數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75上面表里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是答：17名運(yùn)動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）. 頻率組距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)例如，在上一節(jié)調(diào)查的100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)

3、是2.25t.如圖所示： 二 、 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系 1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 2、在樣本中，有50的個體小于或等于中位數(shù)，也有50的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計中位數(shù)的值。下圖中虛線代表居民月均用水量的中位數(shù)的估計值，此數(shù)據(jù)值為2.03t. 頻率組距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)說明: 2.03這個中位數(shù)的估計值,與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣,這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖,只

4、是直觀地表明分布的形狀,但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計值往往與樣本的實(shí)際中位數(shù)值不一致. 3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點(diǎn). n 個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)由公式: 給出X=下圖顯示了居民月均用水量的平均數(shù):x=1.973頻率組距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)三 三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn) 1、眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對其它數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征.如上例中眾數(shù)是2.25t,它告訴我們,月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其它數(shù)值

5、的居民數(shù)多,但它并沒有告訴我們多多少. 2、中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點(diǎn)。如上例中假設(shè)有某一用戶月均用水量為10t，那么它所占頻率為0.01,幾乎不影響中位數(shù),但顯然這一極端值是不能忽視的。 3、由于平均數(shù)與每一個樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì)。也正因如此 ，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計時可靠性降低。 四 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應(yīng)用例 某工廠人員

6、及工資構(gòu)成如下：人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學(xué)徒合計周工資2200250220200100人數(shù)16510123合計22001500110020001006900（1）指出這個問題中周工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（2）這個問題中，工資的平均數(shù)能客觀地反映該廠的工資水平嗎？為什么？ 解：眾數(shù)為200，中位數(shù)為220，平均數(shù)為300。 因平均數(shù)為300，由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平。標(biāo)準(zhǔn)差平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是平均有時也會使我們作出對總體的片面判斷因?yàn)檫@個平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況，而這些極端情

7、況顯然是不能忽的因此，只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài)如：有兩位射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：乙：如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價?如果看兩人本次射擊的平均成績,由于 兩人射擊 的平均成績是一樣的.那么兩個人的水平就沒有什么差異嗎?(甲)45678910環(huán)數(shù)頻率0.10.20.3頻率(乙)456789100.10.20.30.4環(huán)數(shù) 直觀上看,還是有差異的.如:甲成績比較分散,乙成績相對集中(如上圖所示). 因此,我們還需要從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù).例如:在作統(tǒng)計圖表時提到過的極差. 甲的環(huán)數(shù)極差=10-4=6 乙的環(huán)數(shù)極差=9-5=4.

8、它們在一定程度上表明了樣本數(shù)據(jù)的分散程度,與平均數(shù)一起,可以給我們許多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息.顯然,極差對極端值非常敏感,注意到這一點(diǎn),我們可以得到一種“去掉一個最高分,去掉一個最低分”的統(tǒng)計策略. 考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是樣本平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示所謂“平均距離”，其含義可作如下理解： 由于上式含有絕對值，運(yùn)算不太方便，因此，通常改用如下公式來計算標(biāo)準(zhǔn)差一個樣本中的個體與平均數(shù)之間的距離關(guān)系可用下圖表示:考慮一個容量為2的樣本: 顯然,標(biāo)準(zhǔn)差越大,則a越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.用計算器可算出甲,乙兩人的的成績的標(biāo)準(zhǔn)差

9、由 可以知道,甲的成績離散程度大,乙的成績離散程度小.由此可以估計,乙比甲的射擊成績穩(wěn)定.上面兩組數(shù)據(jù)的離散程度與標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系可用圖直觀地表示出來.45678910a例題1:畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖,說明它們的異同點(diǎn).(1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;(2) 4, 4, 4, 5 , 5, 5, 6, 6, 6;(3) 3 , 3 , 4 , 4 , 5, 6 , 6, 7 , 7;(4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ;解:四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖是:頻率o123456780.10.20.30.40.50.60.70.80.9

10、1.0S=0.00(1)12345678頻率o0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=1.490.20.30.40.50.60.70.80.91.0(2)頻率o12345678S=0.82頻率o123456780.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=2.83四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5.0,標(biāo)準(zhǔn)差分別是0.00,0.82,1.49,2.83.雖然它們有相同的平均數(shù),但是它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差,說明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的.標(biāo)準(zhǔn)差還可以用于對樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋.例如:在關(guān)于居民月均用水量的例子中,平均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差s=0.868 所以例2 甲乙兩人同時生產(chǎn)內(nèi)

11、徑為25.40mm的一種零件.為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評比,從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件,量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位:mm)甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.

12、47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48 從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看,誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高?分析:每一個工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個總體,由于零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出(內(nèi)徑25.40mm),生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個角度來衡量.總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸25.00mm的差異在時質(zhì)量低,差異小時質(zhì)量高;當(dāng)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很接近時,總體的標(biāo)準(zhǔn)差小的時候質(zhì)量高,標(biāo)準(zhǔn)差大的時候質(zhì)量低.這樣比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可.但是這兩個總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的,根據(jù)用樣本估計總體的思想,我

13、們可以通過抽樣分別獲得相應(yīng)的樣體數(shù)據(jù),然后比較這兩個樣本的平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差,以此作為兩個總體之間的估計值.解:用計算器計算可得: 從樣本平均數(shù)看,甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙生產(chǎn)的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40mm),但是差異很小;從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看,由于 從上述例子我們可以看到,對一名工人生產(chǎn)的零件內(nèi)徑(總體)的質(zhì)量判斷,與我們抽取的內(nèi)徑(樣本數(shù)據(jù))直接相關(guān).顯然,我們可以從這名工人生產(chǎn)的零件中獲取許多樣本(為什么?).這樣,盡管總體是同一個,但由于樣本不同,相應(yīng)的樣本頻率分布與平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差等都會發(fā)生改變,這就會影響到我們對總體情況的估計.如果樣本的的代表性差,那么對總體所作出的估計就會產(chǎn)生偏差;樣本沒有代

14、表性時,對總體作出錯誤估計的可能性就非常大.這也正是我們在前面講隨機(jī)抽樣時反復(fù)強(qiáng)調(diào)樣本代表性的理由.在實(shí)際操作中,為了減少錯誤的發(fā)生,條件許可時,通常采取適當(dāng)增加樣本容量的方法.當(dāng)然,關(guān)鍵還是要改進(jìn)抽樣方法,提高樣本的代表性.小結(jié)：1 . 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念2. 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系3. 三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)4. 什么是標(biāo)準(zhǔn)差?5. 如何利用標(biāo)準(zhǔn)差刻畫數(shù)據(jù)的離散程度? 作業(yè):P82練習(xí)1、2、3 ； 言情小說 ioq495fgk 得很，嘹扎了，就是今天的菜好，菜好得很，還有碎娃就是小孩。扎勢是擺譜的意思。馮工對陜西的方言十分精通，是個陜西通。”“我一句也聽不懂，就

15、好像馬啟明剛過來時聽我們的話一樣。”張鋼鐵笑著說道，沒想到陜西話里也有“鳥語”。要是馬啟明的“鳥語”和張鋼鐵的“鳥語”夾雜在一起吵架的話，那就是妖魔鬼話連篇了吧。吃完晚飯后，趙樹春提出到歌廳卡拉OK娛樂一下。趙樹春是單位的副總工程師，是馮力雄的副手，與馮力雄的情感很深厚。趙樹春在學(xué)校讀研究生的導(dǎo)師中國啤酒大王顧*就是馮力雄的師弟，所以，趙樹春尊稱馮力雄尊敬的老師。在卡拉OK，馮力雄興致十分高，唱了一曲又一曲。當(dāng)他和大家一齊唱完夢駝鈴，趙樹春關(guān)心地問道：“馮工，小心你的心臟病，你要不要歇一會兒？”馮力雄一看表：“都12點(diǎn)多了，今天就到這里吧。多謝各位，今后你們?nèi)舻胶萦浀玫轿壹依飦碜蛔??！薄?/p>

16、馮工，您也?；貜S里來看看！再見！再見！”第三炮是洋啤酒。一談起洋啤酒，就使人浮想聯(lián)翩，洋槍洋炮，洋妞洋酒外國的啤酒都是頂呱呱的，國外品牌啤酒就意味著高品質(zhì)，高質(zhì)量。在碰到某國純種酵母釀制的小麥啤酒之前，花開啤酒單位干部職工都天真地認(rèn)為這個是絕對正確的，都一直信奉這句話。外國工程師亨利想在中國露一手，曾夸下?？冢阂坏┲袊M(fèi)者喝到小麥啤酒，就會大吃一驚，果真如此嗎？在大銀馬投資無限單位的大力推薦下，花開啤酒單位與某國外啤酒單位簽訂了技術(shù)合作協(xié)議，開發(fā)小麥啤酒。這種啤酒采用某國外啤酒單位提供的上面酵母（國內(nèi)都采用下面酵母）和釀造工藝，生產(chǎn)一種跟國內(nèi)啤酒風(fēng)味完全不同的新型啤酒，這種啤酒風(fēng)味跟國內(nèi)啤酒不同，有一股濃濃的酯香味，據(jù)說在國外銷售得十分火爆。當(dāng)時中國很多消費(fèi)者都瘋狂搶購?fù)鈬放频漠a(chǎn)品，所以單位在啤酒市場上沒有做任何市場調(diào)研就直接推向了國內(nèi)市場。大家憧憬著火爆搶購小麥啤酒的場面，可盼月亮、盼星星，花開小麥啤酒銷售市場剛一啟動就如在湖中投入了一粒石子，轉(zhuǎn)瞬間便很快地平靜下來?；ㄩ_小麥啤酒