考點(diǎn)38 復(fù)數(shù)（解析版）

1、考點(diǎn)38復(fù)數(shù)在考點(diǎn)詳解【命題解讀】考查復(fù)數(shù)的概念、幾何意義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算.常見(jiàn)題型有選擇題、填空題，重點(diǎn)考查除法、乘法等運(yùn)算, 同時(shí)考查復(fù)數(shù)的模、共貌復(fù)數(shù)等概念.【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】.復(fù)數(shù)(1)復(fù)數(shù)的意義：形如z=a+b/(a bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2= 1 5 a叫做實(shí) 部，b叫做虛部，復(fù)數(shù)集記作C，數(shù)集N、Z、Q、R、C的關(guān)系是：N漕Z淆Q淆R漕C.(2)復(fù)數(shù)的模：z=+Ai，團(tuán)=、濟(jì)+。2.(3)復(fù)數(shù)相等：z=a+b 5 Z2=ai+b2 ? zi=Z2 5 那么 a=ai，b=bi.(4)共輒復(fù)數(shù)：z=a+b 5 z=ah- z與z互為共輒復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算(1)

2、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法那么.設(shè) zi=a+bi，Z2=c+dz(a，b，c，dR)，那么加法：zi+z2=(+/?i) + (c+di) = (+c) + S+t/)i；減法：zi-Z2=(a+bi) (c+di) = mc) + Sdf)i；乘法：zi Z2=(a- /?/) (c+di) = (acbet) + (ad + /?c)i；z a+bi (，+bi) (c-di)除法：-=c+di= (c+di) (cdi)Qac+bd) + bead i=c2+(c+di W 0),.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面的概念：建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.(2)實(shí)軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi)

3、，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)以外，虛 軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及平面向量&=(a，b)(a，bR)是對(duì)應(yīng)關(guān)系.營(yíng)熱身訓(xùn)練1、假設(shè)復(fù)數(shù)其中i為虛數(shù)單位，貝丘=()A. 1 + iB. 1 iC. -1 + iD. -1 i【答案】A【解析】z = 捻 =湍蒿=1T那么共輾復(fù)數(shù)W = 1 + i.2、假設(shè)復(fù)數(shù)2 = 22 +根+ (勿2+1萬(wàn)是純虛數(shù)，其中相是實(shí)數(shù)，那么等于()211、【2018年高考浙江卷】復(fù)數(shù)一Ji為虛數(shù)單位）的共加復(fù)數(shù)是 1-1A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i【答案】B【解

4、析】二二型tD = l + i, 共鈍復(fù)數(shù)為1 i，應(yīng)選B.1-12A. iB. -iC. 2iD. -2i【答案】B【解析】 復(fù)數(shù)z=m(m+l) + (m+l)i是純虛數(shù)，故 m(m+ 1)=0 且(加+1)0,解得 m=0,1 bi故2= 故三=j=T=i.應(yīng)選B.3、設(shè)z =，+，：,那么z的虛部是+ 2i4,A. -1B. iC. -2iD. -25【答案】D【解析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算，那么o2iz =產(chǎn) +l + 2i= .2x,+ (2-0(1-20 (l + 2i)(l-2i) =I=2i根據(jù)虛部定義，那么虛部為22-3i4、(多項(xiàng)選擇題)復(fù)數(shù)z滿足一r2-31 = 2

5、,那么以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A.z的實(shí)部為3B.z的虛部為2C.z = -3 + 2iD.忖=回【答案】BD【解析】由號(hào)v 于=2得,z =【解析】由號(hào)v 于=2得,z =(2 + 3i)(3 + 2i)13i13i-(2 + 3i)2-3i2-3i (2 3i)(2 + 3i)= i(2 + 3i) = 3 + 2i所以z的實(shí)部為3虛部為2,z = -3-2i,|z| = V13，應(yīng)選BD.所以z的實(shí)部為3虛部為2,z = -3-2i,|z| = V13，應(yīng)選BD.25、(多項(xiàng)選擇題)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)”不(為虛數(shù)單位)命題，其中真命題為()A. z = 2A. z = 2B.z2=2iC z

6、的共鈍復(fù)數(shù)為1 + iD. z的虛部為7【答案】BD【解析】2 _2(-1-/)-1 + z-(-1 + 0C-1-0z2 =23 B 正確;Z的共貌復(fù)數(shù)為-1+i, C錯(cuò)誤；z的虛部為1, D正確.6、復(fù)數(shù)z = 口的共粗復(fù)數(shù)為二那么的虛部為o2 + 1【答案】-1【解析】z = 會(huì)=(=段二: = T + i,所以T_i,那么、的虛部為T。Z +1 (，+ 1)(，一 1)，+#i7、。R, i是虛數(shù)單位，假設(shè)復(fù)數(shù)z=仍+ i R,那么復(fù)數(shù)z=.【答案】小a+gi (+仍。(小i)【解析】二復(fù)數(shù)z= + i =(小+。(仍_0小(l+a)+3-i S(1+。)3a=4=4+ 4 i 6 R

7、，3a1 4 =。, 即。=3.小 1 +a 4v5那么復(fù)數(shù)z=-4 = 4 =小.考向一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念77127m+6例1、復(fù)數(shù)2=_m2_ +(77Z2 5/72 6)i(/72 R),試求實(shí)數(shù)機(jī)分別取什么值時(shí)，Z分別為:(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).【解析工(1)當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，in15m6=0,m= - 1 或 2=6,那么有2知,所以升1,所以根=6,即機(jī)=6時(shí)，z為實(shí)數(shù).nr 7m+6(2)當(dāng)z為虛數(shù)時(shí)，那么有序5m6加且-m2-l-有意義，所以2彳一1且機(jī)彳6且相彳1.加，1 且/%，6.所以當(dāng)相(8, 1)U ( 1, 1)U(1, 6)U(6,+8)時(shí)，z 為虛數(shù).m2

8、5 m6,0,（3）當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，那么有評(píng)7加+6加 2-1 =，X-一 1 日加6,所以m=6旦加丹1.故不存在實(shí)數(shù)相使z為純虛數(shù).變式1.（2019蘇北四市、蘇中三市三調(diào)）復(fù)數(shù)2 =言宗（i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)。的值為.JL I /JL【答案】-3Q +， （ + 0（1-3/） （tz + 3） + （l-3a）z【解機(jī)工 z=mi+3，）（3，）=io由z是純虛數(shù)，貝iJq + 3 = 0,故q = 3.變式2、（2019南京三模）假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=l,其中i為虛數(shù)單位，那么z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一A 象限.【答案四【解析】因?yàn)閦=L=3=LJ,所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（

9、,），故在第四象限. l + i 22 22 2z變式3、（2019南京、鹽城二模）假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足胸豆=i（i為虛數(shù)單位），且實(shí)部和虛部相等，那么實(shí)數(shù)a的值為.【答案】-2z【解析】由a+2i=l得z = （a+2i）i=2+ai,又z實(shí)部和虛部相等，所以a=-2.變式4、.假設(shè)a = x + yi（。辦”R）,且孫1,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）。l + iA.（2a/2,+oo）B. （-oo,-2V2） u （2 +oo）(2.(-2衣2)526+8)D.(yo,2)d(2,+qo)【答案】：B TOC o 1-5 h z 2 + 濟(jì)x y 2,2 +a 2【解析】因?yàn)槿?1+同（。/,

10、丁：）,所以2 +山=工丁 + （工+月）所以7解得x = .1+1x+y =。，222因?yàn)镻1,所以巴或1,解得-20或”2a。那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-8,-2血）u（2&,+8）。方法總結(jié)：（1）解決復(fù)數(shù)問(wèn)題，首先要看復(fù)數(shù)是否為a+bz（a，bR）的形式，以確定實(shí)部和虛部.（2）對(duì)于 復(fù)數(shù)的分類問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和 虛部滿足的方程（不等式）組.特別要注意：純虛數(shù)的充要條件是：。=。且匕二0.考向二復(fù)數(shù)的運(yùn)算例 2、設(shè)復(fù)數(shù) z=+/?i (a, bRR),z假設(shè)1 + i，貝Iz=( 2-iA.C.3 1 .v i5 5D.3

11、1 .15 5【答案】【解析】i+7-27_/(! + /) _(-l + z)(2 + z) z -2-i3 1 .F -Z5 5,z+L.5 5應(yīng)選：c.3 + 4i變式1、（2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）復(fù)數(shù)2 = ,其中i是虛數(shù)單位，那么2=5i【答案】.13 + 4/ 4 3因?yàn)閺?fù)數(shù)z = =z,所以5i5 5解法2：根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì):【解析】解法1：2i變式2、（2019南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)）復(fù)數(shù)z=03為虛數(shù)單位），那么復(fù)數(shù)z的模為.【答案】.鄧2z2i （1 + i）2 + 2i【解析】z=_j_3i= （li）（1 + z） 3z= 2 3z= 12z,所以|z|=N （ 1） 2+

12、（2） 2=鄧， 故答案為書.變式3、（2019泰州期末）復(fù)數(shù)z滿足zi=4+3i（，是虛數(shù)單位），那么|z|=.【答案】.54+3i（4+3i） i 3+4i【解析】由得，z=i =-=34/,那么憶|=、/32+（-4） 2=5.變式4、（2019揚(yáng)州期末）假設(shè)i是虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z滿足（l + i）z = 2,那么憶|=.【答案】也2解法1（定義法）z=i+/=lz,所以憶|=也.解法2（復(fù)數(shù)模的性質(zhì)）對(duì)（l + i）z=2兩邊同時(shí)取模，即|（l+i）z| = 2,結(jié)合模的運(yùn)算性質(zhì)有|（l + i）|z| = 2,即w 憶| = 2,所以憶|=也.2變式5、（1）復(fù)數(shù)廠的為虛數(shù)單位）的共

13、輾復(fù)數(shù)是l+z 也+小i（2）（E+TF=(3)假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2z + z=3 2i，其中i為虛數(shù)單位，那么z = 【答案】(1) 1-Z (2) -1+z. (3) l-2i.【解析】(1)先分母實(shí)數(shù)化化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)共輒復(fù)數(shù)的定義確定結(jié)果.1，(1+，)2(也+小也 i)加+2，+3，一黃(2)原式J+(g)2+(的 2 =戶+5= - 1 +上(3)設(shè) z=a+bi(a，beR),那么 z=aAi，23+Ai)+(abi)=32i，整理得 3。+加=32i，3a=3，a= 1，b=-2 解得 b=一2，z=l -2i方法總結(jié)：(1)要熟練掌握復(fù)數(shù)的乘法、除法的運(yùn)算法那么.(2)遇到復(fù)數(shù)的

14、運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題，先設(shè)z=a+Oi，再通過(guò)四那么運(yùn)算，計(jì)算出a，b的值.考向三復(fù)數(shù)的幾何意義例3、(1)復(fù)數(shù)z=x+yi，且|z2|=仍，那么x的最大值為 【答案】小【解析】V|z-2| =yj (x 2) 2+y2=/3，maxmax，(x 2+y2 = 3 ,由圖可知變式1、如下圖,平行四邊形OABC，頂點(diǎn)0，A，C分別表示0，3 + 2,， 2+4,，試求：戢)，京所表示的復(fù)數(shù)；對(duì)角線C所表示的復(fù)數(shù)；B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【解析】屆=6人，X5所表示的復(fù)數(shù)為-32z.VBC=AO，反:所表示的復(fù)數(shù)為一3 一 2上C = CX反：，C所表示的復(fù)數(shù)為(3 + 2。一(一2+4i) = 5 2

15、i.西=6+油=6+氏，曲所表示的復(fù)數(shù)為(3 + 2i) + (2+旬=l+6i， 即B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為l+6i.變式2、(1)設(shè)(1i)x=l+yi,其中x, y是實(shí)數(shù)，那么x+yi在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(2)假設(shè)復(fù)數(shù)(1i)(+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，那么實(shí)數(shù)。的取值范圍是()A.(8, 1)B.( 8, -1)C.(1, +8)D.(-1, +8)【答案】(1) D (2) Bx= 1,x= 1,【解析】(1) Vx, y是實(shí)數(shù)，(li)x=xxi=l+yi, _丫=, 解得:.x+yi在復(fù)平 l A y yLz 工，面內(nèi)所對(duì)

16、應(yīng)的點(diǎn)為(1, -1),位于第四象限.應(yīng)選D.(2)因?yàn)?z=(li)(+i)=+l + (l)i,所以它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(。+1,1 ，+10,又此點(diǎn)在第二象限，所以解得4一1.方法總結(jié)：準(zhǔn)確理解復(fù)數(shù)的兒何意義(1)復(fù)數(shù)Z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量0Z相互聯(lián)系，即2=+bi(m bR)=Z(，b)OZ.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí) 可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀.進(jìn)行簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)數(shù)。十萬(wàn)(。1)與復(fù)平面上的點(diǎn)(，一一對(duì)應(yīng).在優(yōu)化提升-實(shí)戰(zhàn)演練

17、 -1、【2020年北京卷】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2),那么i.z=().A. 1 + 2zB. 2 + iC. 1 2zD. 2 i【答案】B【解析】由題意得z = l + 2i, .iz = i 2.應(yīng)選：B.2、【2020年江蘇卷】i是虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)z = (l + i)(2-i)的實(shí)部是.【答案】3【解析】.復(fù)數(shù)z = (l + i)(2 i)； z = 2 i + 2i r=3 + i，復(fù)數(shù)的實(shí)部為3.故答案為：3.3、【2020年全國(guó)1卷】假設(shè)z=l+那么|z2-2z|=()A.OB. 1C. V2D. 2【答案】D【解析】由題意可得：z2=(l +，)2=2

18、i,那么 z?-2z = 2i 2(1 +，) = 2.故 2 - 2z = 2 = 2.應(yīng)選：D.4、【2。2。年全國(guó)3卷】復(fù)數(shù)占的虛部是()3A.103A.101B.101C.10D.310【答案】D【答案】D一11 + 3/【解析】因?yàn)閦=_3i = (l_3i)(l+3i)13 .11,10 1013所以復(fù)數(shù)z = 的虛部為一.1-3/10應(yīng)選：D.5、【2020年浙江卷】,aR,假設(shè)-l+(a-2)i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù)，那么4=()A. 1A. 1B.-1C. 2D. -2【答案】C【解析】因?yàn)?a l) + (a 2為實(shí)數(shù)，所以 2 = 0,. =2,應(yīng)選：C6、【2020年山東卷】2二=()l + 2i【答案】C【解析】因?yàn)?a l) + (a 2為實(shí)數(shù)，所以 2 = 0,. =2,應(yīng)選：C6、【2020年山