一元二次方程根分布講課

1、關(guān)于一元二次方程根的分布講課第1頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四 對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的定義：等價(jià)關(guān)系一、復(fù)習(xí)第2頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四結(jié)論xy0ab.零點(diǎn)存在定理(1) 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線：(2) f(a)f(b)0）的 根的分布1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)兩根均為正根（負(fù)根）yx1x2ox第5頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)

2、5分，星期四例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范圍 （2）有兩個(gè)負(fù)根第6頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四2.一元二次方程ax2+bx+c=0一根為正,另一根為負(fù)x1x2yoxx1x2yox或af（0） 第7頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四問題的引入：1、若關(guān)于x的方程 的兩 個(gè)根都大于1，則實(shí)數(shù) 的取值范圍 是 . 2、關(guān)于x的方程 的兩個(gè) 根均大于 - 2小于4，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.第8頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四問題的解決：例1、若關(guān)于x的方程 的兩個(gè)根都大于1，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 . 分析（1）方程有根，與

3、 有關(guān).僅僅靠韋達(dá)定理是不夠的. (2)方程有什么樣的根，可以結(jié)合對應(yīng)的二次函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合解決.此時(shí)與 有 有關(guān)，及 有關(guān).判別式端點(diǎn)的函數(shù)值對稱軸 如圖，函數(shù) 的圖象決定著：（1）最小值的正負(fù)，與判別式有關(guān);（2）對稱軸；（3）函數(shù)值 的正負(fù).第9頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四問題的解決：例1、若關(guān)于x的方程 的兩個(gè)根都大于1，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 . 解：令 ，則 第10頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四問題的解決： 例2、關(guān)于x的方程 的兩個(gè)根均大于 - 2小于4，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍. 解：令 ，則 所以,實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .第1

4、1頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四問題的解決：其實(shí),有那么復(fù)雜嗎? 例2、關(guān)于x的方程 的兩個(gè)根均大于 - 2小于4，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.另解: 原方程的兩個(gè)根分別為 而 ， 所以 ，由此可得 . 所以,實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .第12頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四問題的啟示：學(xué)會具體問題具體分析. 對于這道題而言,后一種辦法比較簡單,但是要會前一種通法. 例如, 關(guān)于x的方程 在區(qū)間 上有兩個(gè)不同的解, 求實(shí)數(shù) 的 取值范圍. 用后一種方法解答比較困難. 兩種方法都要會,我們提倡具體問題具體分析,哪一種解法簡單就用哪一種. 第13頁，共34頁

5、，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四問題的根源：方程根的分布問題， 與對應(yīng)的二次函數(shù)圖象有關(guān).（1） 函數(shù)的性質(zhì)決定函數(shù)的圖象,函數(shù)的圖象反映函數(shù)的性質(zhì). （2）方程有根，與判別式有關(guān).對應(yīng)的二次函數(shù)圖象與 軸有交點(diǎn).（3）方程有什么樣的根，與端點(diǎn)的函數(shù)值有關(guān)，與二次函數(shù)圖象的對稱軸有關(guān).僅僅靠韋達(dá)定理是不夠的. 注:拋物線就象一根電線,函數(shù)值（包括最小值）就象鉚釘一樣,決定著它的走向. 第14頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四結(jié)論：我們從上面的例子總結(jié)一下解決這類問 題的步驟：1.根據(jù)題意大致畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象。2.列出不等式組(一般重點(diǎn)考慮下面四個(gè)方面)

6、 判別式 對稱軸 端點(diǎn) 開口方向3.解不等式組，得出結(jié)論。思路說明第15頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四第16頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四考慮：a0的一元二次方程，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0時(shí)，先化為正。強(qiáng)調(diào)：把一元二次方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式： ax2+bx+c=0 (a0)第17頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四一、若關(guān)于x的方程ax2 +bx + c=0(a0)的兩個(gè)根都小于m，求a,b,c滿足的條件。1類型一：第18頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四二、若關(guān)于x的方程ax2 +bx + c=0(a0)的一個(gè)

7、根大于m,另一個(gè)根小m,求a,b,c滿足的條件。類型二：第19頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四例3、若關(guān)于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的兩根一個(gè)小于1，另一根大于1，試求實(shí)數(shù)k 的取值范圍。1第20頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四例1、若關(guān)于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的兩根一個(gè)小于1，另一根大于1，試求實(shí)數(shù)k 的取值范圍。1第21頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四三、若關(guān)于x的方程ax2 +bx + c=0(a0)的一個(gè)根在 (m,n)，另一根在(p,q)，求a,b,c滿足的條件。1類型三：第22頁，共34

8、頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四例4、若關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3，試求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。1第23頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四四、若關(guān)于x的方程ax2 +bx + c=0(a0)有且僅有一個(gè)根在 (m,n) ，求a,b,c滿足的條件。類型四：第24頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四五、若關(guān)于x的方程ax2 +bx + c=0(a0)的兩個(gè)根都在 (m，n)內(nèi),求a,b,c滿足的條件。1類型五：第25頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四例4、已知關(guān)于x的方程4x

9、2-4x+m=0在-1，1上有兩個(gè)根，求m的取值范圍。1第26頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四一元二次方程根的分布（一）與0比較（1）有兩正根（2）有兩負(fù)根（3）一正一負(fù)（二）與k比較（1）有兩個(gè)大于k的根（2）有兩個(gè)小于k的根（3）一個(gè)大于k，一個(gè)小于k（4）有一個(gè)根在區(qū)間(k1,k2)內(nèi)（5）區(qū)間(k1,k2)內(nèi)有兩個(gè)根第27頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0）的 根的分布兩個(gè)正根 兩個(gè)負(fù)根一正根一負(fù)根一根為零 一正一負(fù)，且負(fù)的絕對值大 C0 考慮：判別式、兩根之和、兩根之積第28頁，共34頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)5分，星期四一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的 根的分布兩個(gè)根都小于k兩個(gè)根都大于k一個(gè)根小于k,一個(gè)根大于k yxkoyxkoyxkof(k)0）的 根的分布兩個(gè)根都在（k1 , k2 )內(nèi)兩個(gè)根有且僅有一個(gè)在(k1 , k2 )內(nèi)x1k1 k2 x2 yxk2ok1yxk2ok1yxk2ok1考慮：判別式、開口方向、對稱軸、端點(diǎn)值的正負(fù)第30頁，共34頁，