全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試(上海卷)數(shù)學(xué)理

1、考試結(jié)束前機(jī)密2006年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）考生注意：1答卷前，考生務(wù)必將姓名、高考準(zhǔn)考證號、校驗碼等填寫清楚2本試卷共有22道試題，滿分150分，考試時間120分鐘請考生用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上一填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分1已知集合A1，3，21，集合B3，若BA，則實數(shù) 。2已知圓440的圓心是點P，則點P到直線10的距離是 。3若函數(shù)（0，且1）的反函數(shù)的圖像過點（2，1），則 。4計算： 。5若復(fù)數(shù)同時滿足2，（為虛數(shù)單位），則 。6如果，且是第四象限的角，那么 。7已

2、知橢圓中心在原點，一個焦點為F（2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。8在極坐標(biāo)系中，O是極點，設(shè)點A（4，），B（5，），則OAB的面積是 。9兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本。將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌牛筮?本恰好都屬于同一部小說的概率是 （結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）。10如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”。在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是 。11若曲線|1與直線沒有公共點，則、分別應(yīng)滿足的條件是 。12三個同學(xué)對問題“關(guān)于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求實數(shù)

3、的取值范圍”提出各自的解題思路。甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”。乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”。丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”。參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即的取值范圍是 。二選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必本大題滿分16分）須把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內(nèi)），一律得零分。13如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是 （ ）ABC

4、D（A）；（B）；（C）；（D）14若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面上”的 （ ）（A）充分非必要條件；（B）必要非充分條件；（C）充要條件；（D）非充分非必要條件15若關(guān)于的不等式4的解集是M，則對任意實常數(shù)，總有 （ ）（A）2M，0M； （B）2M，0M； （C）2M，0M； （D）2M，0M16如圖，平面中兩條直線和相交于點O，對于平面上任意一點M，若、分別是M到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實數(shù)對（，）是點M的“距離坐標(biāo)”已知常數(shù)0，0，給出下列命題：若0，則“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點有且僅有1個；若0，且0，則“距離坐標(biāo)”為（，）的點有且僅有

5、2個；若0，則“距離坐標(biāo)”為（，）的點有且僅有4個上述命題中，正確命題的個數(shù)是 （ ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3三解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。17（本題滿分12分）求函數(shù)2的值域和最小正周期。18（本題滿分12分）北2010ABC如圖，當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救。甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到1）？19（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）PAB

6、CDOE在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB60，對角線AC與BD相交于點O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60。（1）求四棱錐PABCD的體積；（2）若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）。20（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線2相交于A、B兩點。（1）求證：“如果直線過點T（3，0），那么3”是真命題；（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由。21（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小

7、題滿分6分）已知有窮數(shù)列共有2項（整數(shù)2），首項2設(shè)該數(shù)列的前項和為，且2（1，2，21），其中常數(shù)1。（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若2，數(shù)列滿足（1，2，2），求數(shù)列的通項公式；（3）若（2）中的數(shù)列滿足不等式|4，求的值。22（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)0，那么該函數(shù)在0，上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)。（1）如果函數(shù)（0）的值域為6，求的值；（2）研究函數(shù)（常數(shù)0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；（3）對函數(shù)和（常數(shù)0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論

8、，不必證明），并求函數(shù)（是正整數(shù)）在區(qū)間，2上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）。2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）理科數(shù)學(xué)參考答案一、(第1題至笫12題)1. 1 2. 3. 4. 5. 1+i 6. 7. 8. 5 9. 10. 36 11. k=0,1b1 12. a10二、(第13題至笫16題)13. C 14. A 15. A 16. D三、(第17題至笫22題)17.解：y=cos(x+) cos(x)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)函數(shù)y=cos(x+) cos(x)+sin2x的值域是2,2,最小正周期是.18.解：連接BC,由余弦定理

9、得BC2=202+10222010COS120=700.于是,BC=10., sinACB=,ACB90 ACB=41乙船應(yīng)朝北偏東71方向沿直線前往B處救援.19.解：(1) 在四棱錐P-ABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB與平面ABCD所成的角, PBO=60.在RtAOB中BO=ABsin30=1, 由POBO,于是,PO=BOtg60=,而底面菱形的面積為2.四棱錐P-ABCD的體積V=2=2.(2)解法一：以O(shè)為坐標(biāo)原點,射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.在RtAOB中OA=,于是,點A、B、D、P的坐標(biāo)分別是A(0,0),B(1,0,0

10、),D(1,0,0)P(0,0, ).E是PB的中點,則E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).設(shè)的夾角為,有cos=,=arccos,異面直線DE與PA所成角的大小是arccos. 解法二：取AB的中點F,連接EF、DF.由E是PB的中點,得EFPA,FED是異面直線DE與PA所成角(或它的補角).在RtAOB中AO=ABcos30=OP,于是, 在等腰RtPOA中,PA=,則EF=.在正ABD和正PBD中,DE=DF=.cosFED=異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.20.證明：（1）設(shè)過點T(3,0)的直線l交拋物線y2=2x于點A(x1,y1)、B(x12,y2)

11、.當(dāng)直線l的鈄率下存在時,直線l的方程為x=3,此時,直線l與拋物線相交于點A(3,)、B(3,).=3當(dāng)直線l的鈄率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x3),其中k0.當(dāng) y2=2x y=k(x3) 得ky22y6k=0,則y1y2=6. 又x1=y, x2=y, =x1x2+y1y2=3.綜上所述, 命題“如果直線l過點T(3,0),那么=3”是真命題.(2)逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果=3,那么該直線過點T(3,0).該命題是假命題.例如：取拋物線上的點A(2,2),B(,1),此時=3,直線AB的方程為Y=(X+1),而T(3,0)不在直線AB上.說明：由拋物線

12、y2=2x上的點A(x1,y1)、B(x12,y2)滿足=3,可得y1y2=6.或y1y2=2,如果y1y2=6.,可證得直線AB過點(3,0)；如果y1y2=2, 可證得直線AB過點(1,0),而不過點(3,0).21.證明(1)當(dāng)n=1時,a2=2a,則=a；2n2k1時, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2,an+1an=(a1) an, =a, 數(shù)列an是等比數(shù)列.解(2)由(1)得an=2a, a1a2an=2a=2a=a,bn=(n=1,2,2k).（3）設(shè)bn,解得nk+,又n是正整數(shù),于是當(dāng)nk時, bn.原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k)=(bk+1+b2k)(b1+bk)=.當(dāng)4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立.22.解(1) 函數(shù)y=x+(x0)的最小值是2,則2=6, b=log29. (2)設(shè)0 x1x2,y2y1=.當(dāng)x1y1, 函數(shù)y=在,+)上是增函數(shù)；當(dāng)0 x1x2時y20