必考題型高考數學：如何用好基本不等式

1、第5練如何用好基本不等式題型一利用基本不等式求解最大值、最小值問題例1(1)設正實數x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當eq f(z,xy)取得最小值時，x2yz的最大值為()A0 B.eq f(9,8) C2 D.eq f(9,4)(2)函數yeq f(r(x1),x3r(x1)的最大值為_題型二利用基本不等式求最值的綜合性問題例2如圖所示，在直角坐標系xOy中，點P(1，eq f(1,2)到拋物線C：y22px(p0)的準線的距離為eq f(5,4).點M(t,1)是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB的中點Q(m，n)在直線OM上(1)求曲線C的方程及t的值；(2)記deq

2、f(|AB|,r(14m2)，求d的最大值整理得y22my2m2m0，1小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(ab)，其全程的平均時速為v，則()Aaveq r(ab) Bveq r(ab) C.eq r(ab)v2)在xa處取最小值，則a等于()A1eq r(2)B1eq r(3) C3D43設a0，b0，若eq r(3)是3a與3b的等比中項，則eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值為()A8 B4 C1 D.eq f(1,4)4已知maeq f(1,a2)(a2)，nx2(xeq f(1,2)，則m與n之間的大小關系為()Amn Cmn Dmn5已知正數x，y滿足x2eq r(2

3、xy)(xy)恒成立，則實數的最小值為()A1 B2 C3 D46已知a0，b0，若不等式eq f(m,3ab)eq f(3,a)eq f(1,b)0恒成立，則m的最大值為()A4 B16 C9 D37若正實數x，y滿足2xy6xy，則xy的最小值是_8已知a0，b0，函數f(x)x2(aba4b)xab是偶函數，則f(x)的圖象與y軸交點縱坐標的最小值為_9若對任意x0，eq f(x,x23x1)a恒成立，則a的取值范圍是_10(1)已知0 x1)的最小值11如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykxe

4、q f(1,20)(1k2)x2 (k0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(1)求炮的最大射程；(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由12為了響應國家號召，某地決定分批建設保障性住房供給社會首批計劃用100萬元購得一塊土地，該土地可以建造每層1000平方米的樓房，樓房的每平方米建筑費用與建筑高度有關，樓房每升高一層，整層樓每平方米建筑費用提高20元已知建筑第5層樓房時，每平方米建筑費用為800元(1)若建筑第x層樓時，該樓房綜合費用為y萬元(綜合費用是建筑費用與購地費用之和)，

5、寫出yf(x)的表達式；(2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費用最低，應把樓層建成幾層？此時平均綜合費用為每平方米多少元？第5練如何用好基本不等式題型一利用基本不等式求解最大值、最小值問題例1(1)設正實數x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當eq f(z,xy)取得最小值時，x2yz的最大值為()A0 B.eq f(9,8) C2 D.eq f(9,4)(2)函數yeq f(r(x1),x3r(x1)的最大值為_破題切入點(1)利用基本不等式確定eq f(z,xy)取得最小值時x，y，z之間的關系，進而可求得x2yz的最大值(2)可采用換元法，將函數解析式進行變形，利用基本不等式求解最值答

6、案(1)C(2)eq f(1,5)解析(1)eq f(z,xy)eq f(x23xy4y2,xy)eq f(x,y)eq f(4y,x)32eq r(f(x,y)f(4y,x)31，當且僅當x2y時等號成立，因此z4y26y24y22y2，所以x2yz4y2y22(y1)222.故選C.(2)令teq r(x1)0，則xt21，所以yeq f(t,t213t)eq f(t,t2t4).當t0，即x1時，y0；當t0，即x1時，yeq f(1,tf(4,t)1)，因為teq f(4,t)2eq r(4)4(當且僅當t2時取等號)，所以yeq f(1,tf(4,t)1)eq f(1,5)，即y的最

7、大值為eq f(1,5)(當t2，即x5時y取得最大值)題型二利用基本不等式求最值的綜合性問題例2如圖所示，在直角坐標系xOy中，點P(1，eq f(1,2)到拋物線C：y22px(p0)的準線的距離為eq f(5,4).點M(t,1)是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB的中點Q(m，n)在直線OM上(1)求曲線C的方程及t的值；(2)記deq f(|AB|,r(14m2)，求d的最大值破題切入點(1)依條件，構建關于p，t的方程；(2)建立直線AB的斜率k與線段AB中點坐標間的關系，并表示弦AB的長度，運用函數的性質或基本不等式求d的最大值解(1)y22px(p0)的準線xeq f

8、(p,2)，1(eq f(p,2)eq f(5,4)，peq f(1,2)，拋物線C的方程為y2x.又點M(t,1)在曲線C上，t1.(2)由(1)知，點M(1,1)，從而nm，即點Q(m，m)，依題意，直線AB的斜率存在，且不為0，設直線AB的斜率為k(k0)且A(x1，y1)，B(x2.y2)，由eq blcrc (avs4alco1(yoal(2,1)x1，,yoal(2,2)x2，)得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，所以直線AB的方程為ymeq f(1,2m)(xm)，即x2my2m2m0.由eq blcrc (avs4alco1(x2my2m2m0，,y2x)消去x，整

9、理得y22my2m2m0，所以4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.從而|AB|eq r(1f(1,k2)|y1y2|eq r(14m2)eq r(4m4m2)2eq r(14m2mm2)deq f(|AB|,r(14m2)2eq r(m1m)m(1m)1，當且僅當m1m，即meq f(1,2)時，上式等號成立又meq f(1,2)滿足4m4m20，d的最大值為1.總結提高(1)利用基本不等式求函數或代數式的最大值、最小值時，注意觀察其是否具有“和為定值”或“積為定值”的結構特點在具體題目中，一般很少直接考查基本不等式的應用，而是需要將式子進行變形，尋求其中的內在關系，然后利用基本不等

10、式求出最值(2)應用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”，所謂“一正”是指正數，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件若連續(xù)使用基本不等式求最值，必須保證兩次等號成立的條件一致，否則最值就取不到1小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(ab)，其全程的平均時速為v，則()Aaveq r(ab)Bveq r(ab)C.eq r(ab)veq f(ab,2)Dveq f(ab,2)答案A解析設甲、乙兩地之間的距離為s.ab，veq f(2s,f(s,a)f(s,b)eq f(2sab,abs)eq f(2ab,ab)eq f(a

11、2a2,ab)0，va.2若函數f(x)xeq f(1,x2) (x2)在xa處取最小值，則a等于()A1eq r(2)B1eq r(3)C3D4答案C解析x2，f(x)xeq f(1,x2)x2eq f(1,x2)22eq r(x2f(1,x2)24，當且僅當x2eq f(1,x2)，即x3時等號成立，即a3，f(x)min4.3設a0，b0，若eq r(3)是3a與3b的等比中項，則eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值為()A8B4C1D.eq f(1,4)答案B解析因為3a3b3，所以ab1.eq f(1,a)eq f(1,b)(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f

12、(1,a)f(1,b)2eq f(b,a)eq f(a,b)22eq r(f(b,a)f(a,b)4，當且僅當eq f(b,a)eq f(a,b)，即abeq f(1,2)時等號成立4已知maeq f(1,a2)(a2)，nx2(xeq f(1,2)，則m與n之間的大小關系為()AmnCmnDmn答案C解析maeq f(1,a2)(a2)eq f(1,a2)24(a2)，當且僅當a3時，等號成立由xeq f(1,2)得x2eq f(1,4)，nx2eq f(1,x2)4即n(0,4，mn.5已知正數x，y滿足x2eq r(2xy)(xy)恒成立，則實數的最小值為()A1B2C3D4答案B解析x

13、0，y0，x2y2eq r(2xy)(當且僅當x2y時取等號)又由x2eq r(2xy)(xy)可得eq f(x2r(2xy),xy)，而eq f(x2r(2xy),xy)eq f(xx2y,xy)2，當且僅當x2y時，eq blc(rc)(avs4alco1(f(x2r(2xy),xy)max2.的最小值為2.6已知a0，b0，若不等式eq f(m,3ab)eq f(3,a)eq f(1,b)0恒成立，則m的最大值為()A4B16C9D3答案B解析因為a0，b0，所以由eq f(m,3ab)eq f(3,a)eq f(1,b)0恒成立得m(eq f(3,a)eq f(1,b)(3ab)10e

14、q f(3b,a)eq f(3a,b)恒成立因為eq f(3b,a)eq f(3a,b)2eq r(f(3b,a)f(3a,b)6，當且僅當ab時等號成立，所以10eq f(3b,a)eq f(3a,b)16，所以m16，即m的最大值為16，故選B.7若正實數x，y滿足2xy6xy，則xy的最小值是_答案18解析x0，y0,2xy6xy，2eq r(2)eq r(xy)6xy，即xy2eq r(2)eq r(xy)60，解得xy18.xy的最小值是18.8已知a0，b0，函數f(x)x2(aba4b)xab是偶函數，則f(x)的圖象與y軸交點縱坐標的最小值為_答案16解析根據函數f(x)是偶函

15、數可得aba4b0，函數f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為ab.由aba4b0，得aba4b4eq r(ab)，解得ab16(當且僅當a8，b2時等號成立)，即f(x)的圖象與y軸交點縱坐標的最小值為16.9若對任意x0，eq f(x,x23x1)a恒成立，則a的取值范圍是_答案eq blcrc)(avs4alco1(f(1,5)，)解析aeq f(x,x23x1)eq f(1,xf(1,x)3)對任意x0恒成立，設uxeq f(1,x)3，只需aeq f(1,u)恒成立即可x0，u5(當且僅當x1時取等號)由u5知0eq f(1,u)eq f(1,5)，aeq f(1,5).10(1)已知0

16、 x1)的最小值解(1)y2x5x2x(25x)eq f(1,5)5x(25x)0 xeq f(2,5)，5x0，5x(25x)(eq f(5x25x,2)21，yeq f(1,5)，當且僅當5x25x，即xeq f(1,5)時，ymaxeq f(1,5).(2)設x1t，則xt1(t0)，yeq f(t127t110,t)teq f(4,t)52eq r(tf(4,t)59.當且僅當teq f(4,t)，即t2，且此時x1時，取等號，ymin9.11如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykxeq f(1

17、,20)(1k2)x2 (k0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(1)求炮的最大射程；(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由解(1)令y0，得kxeq f(1,20)(1k2)x20，由實際意義和題設條件知x0，又k0，故xeq f(20k,1k2)eq f(20,kf(1,k)eq f(20,2)10，當且僅當k1時取等號所以炮的最大射程為10千米(2)因為a0，所以炮彈可擊中目標存在k0，使3.2kaeq f(1,20)(1k2)a2成立關于k的方程a2k220aka264

18、0有正根判別式(20a)24a2(a264)00a6.所以當a不超過6千米時，可擊中目標12為了響應國家號召，某地決定分批建設保障性住房供給社會首批計劃用100萬元購得一塊土地，該土地可以建造每層1000平方米的樓房，樓房的每平方米建筑費用與建筑高度有關，樓房每升高一層，整層樓每平方米建筑費用提高20元已知建筑第5層樓房時，每平方米建筑費用為800元(1)若建筑第x層樓時，該樓房綜合費用為y萬元(綜合費用是建筑費用與購地費用之和)，寫出yf(x)的表達式；(2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費用最低，應把樓層建成幾層？此時平均綜合費用為每平方米多少元？解(1)由題意知建筑第1層樓房每平方米建筑費用為720元，建筑第1層樓房建筑費用為7201000720000(元)72(萬元)，樓房每升高一層，整層樓建筑