九年級上冊各章內(nèi)容介紹及教學(xué)建議

1、第二十一章“一元二次方程”簡介一元二次方程是刻畫數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。一元二次方程的解法和實際 應(yīng)用是初中階段的核心內(nèi)容。前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組以及分式方程等，本章學(xué)習(xí)一元二次方程的解法，討論與方程的根有關(guān)的幾個基本問題（判別式與方程的根、根與系數(shù)的關(guān)系等），在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)利用一元二次方程模型解決簡單的實際問題。本章的學(xué)習(xí)將為后續(xù)的勾股定理、二次函數(shù)等打下學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在學(xué)生的“四基”、“四能”的發(fā)展，特別是在運算能力、推理能力、模型思想和應(yīng)用意識的培養(yǎng)上可以發(fā)揮較大作用。本章教學(xué)時間約需13課時，具體分配如下（僅供參考）：211 一元二次方程 1課時212 降次解一元二次方

2、程 7課時213 實際問題與一元二次方程 3課時數(shù)學(xué)活動小結(jié) 2課時一、教科書內(nèi)容和本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.本章知識結(jié)構(gòu)2.教科書內(nèi)容現(xiàn)實生活中，許多問題中的數(shù)量關(guān)系可以抽象為一元二次方程。因此，從深化數(shù)學(xué)模型思想、加強應(yīng)用意識的角度看，從實際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，求出它的根進而解決實際問題，是本章學(xué)習(xí)的一條主線。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)一元一次方程的解法和實際應(yīng)用，知道可以利用運算律、等式的基本性質(zhì)，通過去括號、移項、合并同類項等求出它的解。學(xué)生還學(xué)過二元一次方程組以及三元一次方程組的解法和實際應(yīng)用，知道可以通過消元，將它們轉(zhuǎn)化為一元一次方程。從數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部發(fā)展看，二元、三元一次方程組可以看

3、成是對一元一次方程在“元”上的推廣。自然地，如果在次數(shù)上做推廣，首先就是一元二次方程。類比二（三）元一次方程組的解法，可以想到：能否將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程？如何轉(zhuǎn)化？因此，利用什么方法將“二次”降為“一次”，這是本章學(xué)習(xí)的另一條主線。與一元一次方程、二元一次方程組的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知識，可以根據(jù)方程的具體特點，選擇相關(guān)的知識和方法，對方程進行求解。這是培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，特別是思維的敏捷性、靈活性、深刻性的機會。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）的規(guī)定，教科書著重介紹了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。解一元二次方程的基

4、本策略是降次，即通過配方、因式分解等，將一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解。具體地，根據(jù)平方根的意義，可得出方程x2=p和(x+n)2=p的解法；通過配方，可將一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x+n)2=p的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是對方程ax2+bx+c=0配方后得出的如能將ax2+bx+c分解為兩個一次因式的乘積，則可令每個因式為0來解一元二次方程的三種解法配方法、公式法和因式分解法各有特點一般地，配方法是推導(dǎo)一元二次方程求根公式的工具掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了當(dāng)然，也要根據(jù)方程的具體特點，選擇適當(dāng)?shù)慕夥?，因式分解法就顯示了這樣的靈活性配方法是一種重要的、應(yīng)

5、用廣泛的數(shù)學(xué)方法，如后面研究二次函數(shù)時也要用到它在推導(dǎo)求根公式的過程中，從x2=p到(x+n)2=p再到ax2+bx+c=0，是方程形式的不斷推廣，體現(xiàn)了從特殊到一般的過程；而求解方程的過程則是將推廣所得的方程轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會解的方程，體現(xiàn)了化歸思想。顯然，這個過程對于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、運算能力等都是很有作用的。與課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）相比，課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）重新強調(diào)了一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的重要性，要求“會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等”，“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”，這是需要注意的一個變化。這里不僅是為了一元二次方程理論的完整

6、性，更重要的是為了解決初高中銜接問題。實際上，一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系在高中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的必備基礎(chǔ)。教科書先以一個設(shè)計人體雕像的實際問題作為開篇，并在第一節(jié)中又給出兩個實際問題，通過建立方程，并引導(dǎo)學(xué)生思考這些方程的共同特點，從而歸納得出一元二次方程的概念、一般形式，給出一元二次方程根的概念。在這個過程中，通過歸納具體方程的共同特點，定義一元二次方程的概念，體現(xiàn)了研究代數(shù)學(xué)問題的一般方法；一般形式ax2+bx+c=0也是對具體方程從“元”（未知數(shù)的個數(shù)）、“次數(shù)”和“項數(shù)”等角度進行歸納的結(jié)果；a0的規(guī)定是由“二次”所要求的，這實際上也是從不同側(cè)

7、面理解一元二次方程概念的契機。一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是全章的重點內(nèi)容之一。教科書在第二節(jié)中，首先通過實際問題，建立了一個最簡單的一元二次方程，并利用平方根的意義，通過直接開平方法得到方程的解；然后將它一般化為x2=p，通過分類討論得到其解的情況，從而完成解一元二次方程的奠基。接著，教科書安排“探究”欄目，自然引出解(x+3)2=5并總結(jié)出“降次”的策略，從而為用配方法解比較復(fù)雜的一元二次方程做好鋪墊，然后教科書重點講解了配方的步驟，并歸納出通過配方將一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x+n)2=p后的解的情況。以配方法為基礎(chǔ)，教科書安排了“探究”欄目，引導(dǎo)學(xué)生自主地用配方法解

8、一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，得到求根公式。最后，通過實際問題，獲得一個顯然可以用“提取公因式法”而達到“降次”目的的方程，從而引出因式分解法解一元二次方程，并在“歸納”欄目中總結(jié)出幾種解法的基本思路、各自特點和適用范圍等。上述過程的思路自然，體現(xiàn)了從簡單的、特殊的問題出發(fā)，通過逐步推廣而獲得復(fù)雜的、一般的問題，并通過將一般性問題化歸為特殊問題，獲得這一類問題的解。這是具有普適性的數(shù)學(xué)思想方法。由于限定在實數(shù)范圍，因此對求根公式，首先要關(guān)注判別式=b24ac的討論。這是使學(xué)生領(lǐng)悟分類討論數(shù)學(xué)思想方法的契機。另一方面，求根公式不僅直接反映了方程的根由系數(shù)唯一確定（系數(shù)a，b

9、，c確定，方程就確定，其根自然就唯一確定），而且也反映了根與系數(shù)的聯(lián)系。這里體現(xiàn)了一種多角度看問題的思想觀點，而根與系數(shù)的聯(lián)系表達非常簡潔。教科書仍然采用從特殊到一般的方法，先討論“將方程(xx1) (xx2)=0化為x2+px+q=0的形式，x1，x2與p，q之間的關(guān)系”，在“x1+x2=p，x1x2=q”的啟發(fā)下，利用求根公式求x1+x2和x1x2，進而得到根與系數(shù)的關(guān)系。讓學(xué)生學(xué)習(xí)根與系數(shù)的關(guān)系，不僅能深化對一元二次方程的理解，提高用一元二次方程分析和解決問題的能力，而且也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力的機會。根與系數(shù)的關(guān)系是求根公式的自然延伸，得出它的過程并不復(fù)雜，而其中蘊含的思想很重

10、要。所以，對于根與系數(shù)的關(guān)系，教科書著重在其數(shù)學(xué)思想的啟發(fā)和引導(dǎo)上，而對用根與系數(shù)的關(guān)系去解決問題，嚴(yán)格地控制了難度。前已述及，用一元二次方程解決實際問題是本章內(nèi)容的一條主線。為了更好地體現(xiàn)這一思想，教科書除在一元二次方程的概念、表示和解法研究中注重從實際問題出發(fā)外，在第三節(jié)還專門安排了三個“探究”，讓學(xué)生建立一元二次方程模型解決實際問題，再一次經(jīng)歷如下過程：最后，在本章小結(jié)中，教科書通過知識結(jié)構(gòu)圖，再次強調(diào)建立一元二次方程模型解決實際問題的基本過程，并在“回顧與思考”中梳理了“降次”的基本思路、過程以及具體方法。3.本章學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元

11、二次方程。（2）會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等。（3）了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。（4）能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理。（5）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程，并利用一元二次方程模型解決簡單的實際問題。二、編寫時考慮的幾個問題1注重聯(lián)系實際，體現(xiàn)建模思想，發(fā)展應(yīng)用意識一元二次方程是初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)模型之一，它有豐富的實際背景。通過建立一元二次方程模型解決實際問題，可以使學(xué)生更深入地體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識。因此，本章的編寫，自始至終都注重聯(lián)系實際，從實際問題中引出一元二次方程的有關(guān)知識，并最終回到建立一元二

12、次方程模型解決實際問題中去。本章開篇，教科書利用人體雕像這一典型的黃金分割問題，通過建立數(shù)學(xué)模型得到一個一元二次方程，由此引發(fā)學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的需要。接著，通過制作無蓋方盒問題和邀請參賽球隊的個數(shù)問題，又得到兩個一元二次方程，然后引導(dǎo)學(xué)生從“未知數(shù)的個數(shù)”和“最高次數(shù)”兩個方面進行歸納，抽象出一元二次方程的概念及其數(shù)學(xué)符號表示（一元二次方程的一般形式）。在討論一元二次方程的解法時，教科書又通過簡單的實際問題，引導(dǎo)學(xué)生分析其中的已知量、未知量和等量關(guān)系，建立一元二次方程，得出方程的解，并檢驗所得的結(jié)果是否符合實際，最終將問題推廣，得出具有一般意義的一元二次方程的解法。在掌握解法的基礎(chǔ)上，專門安排了“

13、實際問題與一元二次方程”，以“探究”的方式提出問題，使學(xué)生完整地經(jīng)歷“問題情境建立模型求解驗證”的數(shù)學(xué)活動過程。這樣編排，不僅可以使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)一元二次方程是解決實際問題的需要，而且還可以使學(xué)生在學(xué)會一元二次方程解法的過程中，體驗運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的基本過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從而培養(yǎng)模型思想，逐步形成應(yīng)用意識。2重視相關(guān)的知識聯(lián)系，建立合理的邏輯過程，突出解方程的基本策略對于方程及其解法，學(xué)生從小學(xué)就開始接觸。進入初中后，學(xué)生又學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組以及可化為一元一次方程的分式方程。因此，學(xué)生對于解方程涉及的數(shù)學(xué)思想（化歸）、理論依據(jù)（等式的性質(zhì)、運算律）以及基本思路（通

14、過恒等變形，把方程逐步化為的形式）等都已比較熟悉。對于一元二次方程的解法，基本思路仍然是“設(shè)法把方程化為的形式”，而一元二次方程與熟悉的方程比較，差異在“次數(shù)”。因此，將“二次”降為“一次”就能使“新方程”轉(zhuǎn)化為“舊方程”，這樣就明確了解一元二次方程的關(guān)鍵問題如何降次。教科書采用從特殊到一般、從具體到抽象的方法，從熟悉的方程x2=p出發(fā)，經(jīng)過不斷推廣而得到一般的ax2+bx+c=0；探究解法時，則利用“配方法”，把“新方程”化歸為已解決的形式。具體過程如下：首先，根據(jù)平方根的意義，通過直接開平方得到方程x2=25的解，再推廣到求方程x2=p的解，引導(dǎo)學(xué)生對p0，p0和p0三種情況進行討論。然后

15、，通過分析變式(x+3)2=5的解決過程，歸納出“把一個一元二次方程降次，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程”的思路，再給出(x+3)2=5的等價形式x2+6x+4=0，并用框圖表示將x2+6x+4=0轉(zhuǎn)化為(x+3)2=5的過程，最后歸納出“配方法”。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生討論通過配方將一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x+n)2=m的形式后的解，讓他們再次經(jīng)歷分類討論過程。接著，再通過“探究：任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式ax2+bx+c=0(a0)，能否也用配方法得出它的解呢？”讓學(xué)生借助用配方法解一元二次方程的已有經(jīng)驗，自主推導(dǎo)出求根公式。上述過程，讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷了“具體抽象”、“配方分類討論”的過程，不

16、僅獲得了求根公式，而且有利于突破兩個難點：針對一般形式的一元二次方程的配方，分類討論。再接著，通過實際問題得到方程10 x4.9x2=0，學(xué)生很容易想到，這個方程不需要通過配方、開平方降次，只要通過因式分解，將方程化為x(104.9x)=0，就能實現(xiàn)降次。然后再進行歸納，得出針對某些方程的簡便解法因式分解法。實際上，這是一個“從一般到特殊”的過程，針對某些特殊形式的一元二次方程的特殊解法。數(shù)學(xué)中，一般都要在研究一般情況后，再看看有什么特殊情況?？疾臁疤乩币彩菙?shù)學(xué)研究的基本思路之一。最后進行根與系數(shù)關(guān)系的研究。從“發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題”的角度看，研究一元二次方程的解法是“給定方程的系數(shù)，求未知數(shù)

17、的值”。另一方面，我們也可以這樣提出問題：已知一元二次方程的兩個根，能否求出它的系數(shù)的值？事實上，方程ax2+bx+c=0(a0)總可以化為x2+px+q=0的形式。如果x2+px+q=0的兩個根為x1，x2，則有(xx1)(xx2)=0，展開并比較方程的系數(shù)，就容易得到p=(x1+x2)，q=x1x2。由此得到啟發(fā)，利用求根公式求x1+x2和x1x2，可得到根與系數(shù)的關(guān)系。教科書在一定程度上體現(xiàn)了上述邏輯思考過程。3注重培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力因為學(xué)生已經(jīng)具備研究一元二次方程的概念、解法的知識基礎(chǔ)，只要他們能把這些知識調(diào)動起來，應(yīng)用到研究中去，他們就能獨立地發(fā)現(xiàn)解法，所以教科

18、書注重通過欄目和“邊空設(shè)問”等方式啟發(fā)學(xué)生的思維，為他們提供獨立探究的機會。例如：（1）引入一元二次方程概念的過程中，教科書在“邊空”中多次安排提示性設(shè)問“方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？”再在“思考”欄目中提出歸納幾個方程共同特點的學(xué)習(xí)任務(wù)；在給出一元二次方程概念、一般形式后，通過“為什么規(guī)定a0？”引導(dǎo)學(xué)生辨析概念；最后通過例題，讓學(xué)生用概念作判斷。這樣安排，體現(xiàn)了概念學(xué)習(xí)的一般過程，教科書在歸納具體方程的共同特點、辨析概念的關(guān)鍵詞等關(guān)鍵環(huán)節(jié)中設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生進行獨立思考與發(fā)現(xiàn)。（2）在探索一元二次方程解法的過程中，教科書在討論了“方程x2=p的解”以后，循序漸進地安排了如下欄目：

19、探究 對照上面解方程x2=p的過程，你認(rèn)為應(yīng)怎樣解方程(x+3)2=5的解？探究 怎樣解方程x2+6x+4=0？在上述兩個“探究”的基礎(chǔ)上，討論“如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成(x+n)2=p的形式，那么它的解有哪些情形？”。探究 任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式ax2+bx+c=0（a0）。能否也用配方法得出它的解？思考 除配方法和公式法以外，能否找到更簡便的方法解方程10 x4.9x2=0？上述過程中，教科書通過“一般化”、“推廣”、“特殊化”等，引導(dǎo)學(xué)生不斷地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。（3）在“實際問題與一元二次方程”中，教科書以“探究”欄目的方式給出例題，在分析題意、解決問題的過程

20、中，通過“邊空提問”提示學(xué)生思考數(shù)學(xué)結(jié)論的現(xiàn)實意義，并通過“思考”欄目進一步提出拓展性、開放性問題。例如，解決了“探究1 有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？”以后，教科書提出了兩個問題：通過對這個問題的探究，你對類似的傳播問題中的數(shù)量關(guān)系有新的認(rèn)識嗎？如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后共有多少人患流感？對這些問題的思考，可以加深學(xué)生對“傳播問題”的認(rèn)識，感受與“增長率”相關(guān)的數(shù)學(xué)模型中的數(shù)量關(guān)系，同時還能培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型解釋現(xiàn)實問題的能力，這就是一個培養(yǎng)分析和解決問題能力的過程。三、對教學(xué)的幾個建議1為學(xué)生構(gòu)建研究一元二次方程解法的

21、連貫過程宏觀而言，學(xué)生已具備解一元二次方程的基本思想化歸，即把方程轉(zhuǎn)化為一次方程，最終化為x=a；而且也具有將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程所需要的平方根、配方、因式分解等知識基礎(chǔ)。問題在于學(xué)生在面對解一元二次方程的任務(wù)時，不知道該用這些知識及其思想方法，也就是說他們“不是做不到，而是想不到”。因此，教學(xué)的關(guān)鍵是要通過適當(dāng)?shù)膯栴}提示，把這些知識調(diào)動起來，聯(lián)系起來，使它們在研究解法中發(fā)揮作用。具體而言，可以按如下線索安排：實際背景引入（如章引言中的方程）從已有經(jīng)驗中總結(jié)解方程的一般思想方法（化歸為一元一次方程）類比二元一次方程組的“消元”，得到解一元二次方程的思路“降次”從簡單、具體、特殊的一元二次

22、方程（如x2=25，x2=p；(x+3)2=5，x2+6x+4=0，(x+n)2=p等）探索“降次”的方法（直接開平方、配方法）用配方法推導(dǎo)求根公式（公式法）針對特殊的一元二方程的特殊解法（因式分解法）。教學(xué)過程中，要注意整體性，讓學(xué)生經(jīng)歷研究一元二次方程解法的完整過程，避免不同解法之間的割裂。其中，方程x2=p的解具有奠基作用，特別是對p的分類討論，蘊含了對判別式的分類討論，所以一定要認(rèn)真處理好；推廣的方程(x+3)2=5與x2+6x+4=0是獲得配方法的載體；配方法是公式法的基礎(chǔ)；公式法是直接利用公式求根，省略了配方過程；因式分解法是解特殊形式的一元二次方程的簡便方法。為了讓學(xué)生獲得解一元

23、二次方程的方法，教學(xué)中應(yīng)加強類比、從特殊到一般等思想方法的引導(dǎo)。2注重模型思想、應(yīng)用意識的培養(yǎng)，特別是數(shù)量關(guān)系的分析和數(shù)學(xué)模型的選擇許多現(xiàn)實問題的數(shù)量關(guān)系都可以抽象為一元二次方程，與前面所學(xué)的方程比較，一元二次方程有更廣泛的應(yīng)用，是初中學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的重要載體。教科書充分考慮到一元二次方程的這一地位，教學(xué)中要體現(xiàn)好這一編寫意圖，注意讓學(xué)生經(jīng)歷建立和求解一元二次方程模型的完整過程，即從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立一元二次方程表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義，從而把模型思想、應(yīng)用意識的培養(yǎng)落在實處。在建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的過程中，難點

24、在于數(shù)量關(guān)系的分析和數(shù)學(xué)模型的選擇，本章也不例外。教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析題意，借助適當(dāng)?shù)闹庇^工具，如畫圖、列表等，找出問題中的已知量、未知量，找到關(guān)鍵詞并由此確定等量關(guān)系，進而建立一元二次方程。要注意培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣，包括借助直觀方法分析題意、檢驗所得方程及其根的實際意義，找出合乎實際的結(jié)果等。3嚴(yán)格控制根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)等內(nèi)容的教學(xué)要求學(xué)習(xí)本章的主要目的是讓學(xué)生掌握一元二次方程模型并能靈活用于解決問題。其中，學(xué)習(xí)根與系數(shù)的關(guān)系的目的在于使學(xué)生更深入地體會根與系數(shù)的確定性關(guān)系，更全面地認(rèn)識一元二次方程。傳統(tǒng)上，針對判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等往往要進行大量的形式化訓(xùn)練，這

25、對鍛煉學(xué)生的思維有一定好處，但復(fù)雜的代數(shù)變形對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力（特別是數(shù)學(xué)建模能力）沒有多大幫助。因此，要注意把握好這些教學(xué)要求，控制好形式化訓(xùn)練的難度，特別是不要搞用根與系數(shù)的關(guān)系解決其他問題的訓(xùn)練。為了提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，可以把“根與系數(shù)的關(guān)系”設(shè)置為一個研究性學(xué)習(xí)課題。例如，引導(dǎo)學(xué)生思考“系數(shù)a，b，c確定，那么方程ax2+bx+c=0確定，它的兩個根也唯一確定。反之，如果已知一元二次方程的兩個根，系數(shù)是否也唯一確定？”然后展開研究。進一步地還可以讓學(xué)生思考幾個獨立條件確定一個一元二次方程、方程ax2+bx+c=0的兩個根與二次三項式ax2+bx+c的因式分解等問題。第二十

26、二章“二次函數(shù)”簡介函數(shù)是描述現(xiàn)實世界中變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。某些問題中的數(shù)量關(guān)系可以用二次函數(shù)表示。本章在八年級下冊已經(jīng)介紹函數(shù)的有關(guān)概念與一次函數(shù)的基礎(chǔ)上，介紹二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，討論二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些簡單的實際問題。本章教學(xué)時間約需12課時，具體分配如下（僅供參考）：22.1 二次函數(shù) 6課時22.2 用函數(shù)觀點看一元二次方程 1課時22.3 實際問題與二次函數(shù) 3課時數(shù)學(xué)活動小結(jié) 2課時一、教科書內(nèi)容和本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.本章知識結(jié)構(gòu)本章知識結(jié)構(gòu)如下圖所示： 2.教科書內(nèi)容本章共分三節(jié)。第一節(jié)介紹二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，第二節(jié)研究二次函

27、數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，第三節(jié)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實際問題。在第22.1節(jié)中，二次函數(shù)的概念是通過三個實例（正方體的表面積與棱長、比賽的場次數(shù)與球隊數(shù)、產(chǎn)量與計劃增產(chǎn)倍數(shù)）引入的。二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是按從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的順序討論的。先討論函數(shù)yax?的圖象和性質(zhì)。由于將二次函數(shù)的圖象上下、左右平移就得到函數(shù)的圖象，接下來研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)。以此為基礎(chǔ)討論二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（二次函數(shù)可以通過配方化成的形式）。在第22.1節(jié)最后，通過“探究”欄目安排了“知道給定不共線三點的坐標(biāo)可以確定一個二次函數(shù)”的選學(xué)內(nèi)容。讓學(xué)生類比由兩點（兩點的連線不與坐標(biāo)軸平行）的坐標(biāo)確定一次函數(shù)的方

28、法，找出由不共線三點的坐標(biāo)確定二次函數(shù)的方法。在第22.2節(jié)中，首先設(shè)置小球飛行問題。在這個問題中，將某一高度的值代入函數(shù)解析式，就得到一元二次方程，問題轉(zhuǎn)化為解一元二次方程。由此引出，已知二次函數(shù)的值求自變量的值，可以看作解一元二次方程；反過來，解方程ax2bxc=0可以看作已知二次函數(shù)y=ax2bxc的值為0，求自變量x的值。然后利用二次函數(shù)的圖象討論一元二次方程。由“思考”欄目引出，二次函數(shù)的圖象與x軸的公共點的橫坐標(biāo)是相應(yīng)一元二次方程的根；二次函數(shù)的圖象與x軸的三種位置關(guān)系對應(yīng)一元二次方程根的三種情況。最后通過例題介紹用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根的方法。在第22.2節(jié)后，教科書安

29、排了一個信息技術(shù)應(yīng)用“探究二次函數(shù)的性質(zhì)”，介紹了利用計算機軟件畫二次函數(shù)的圖象，探究它的性質(zhì)，以及利用圖象解一元二次方程等內(nèi)容。在第22.3節(jié)中，開頭的問題涉及求函數(shù)的最大值。從所給函數(shù)的圖象可以看出，當(dāng)自變量取頂點的橫坐標(biāo)時，函數(shù)值最大。由此引出直接根據(jù)函數(shù)解析式求二次函數(shù)的最?。ù螅┲档慕Y(jié)論，即當(dāng)x時，二次函數(shù)yax?bxc有最?。ù螅┲?。得出此結(jié)論后，就可以直接運用它求二次函數(shù)的最?。ù螅┲?。接下來，通過最大面積、最大利潤、水位變化等三個探究問題，展示二次函數(shù)與實際的聯(lián)系，并運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)加以解決，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。在第22.3節(jié)后，教科書安排了一個實驗

30、與探究“推測滑行距離與滑行時間的關(guān)系”。根據(jù)實際問題得到有關(guān)數(shù)據(jù)，數(shù)形結(jié)合地求出表示變量間關(guān)系的函數(shù)，這屬于建立模擬函數(shù)描述實際問題。3.本章學(xué)習(xí)目標(biāo)（1） 通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義。（2） 會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)。（3）會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)，能說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決簡單實際問題。（4）會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。 （5）*知道給定不共線三點的坐標(biāo)可以確定一個二次函數(shù)。二、編寫時考慮的幾個問題1體現(xiàn)類比、數(shù)形結(jié)合和歸納的

31、思想 在本章中，一般二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是從最簡單的二次函數(shù)出發(fā)逐步深入地探討的。在研究的過程中注意體現(xiàn)類比、數(shù)形結(jié)合和歸納的思想。 類比思想在討論過程中有多處體現(xiàn)。例如，在討論二次函數(shù)之前的一段話中指出，可以類比一次函數(shù)研究二次函數(shù)。又如，對于二次函數(shù)yax?是分a0和a0的情況，這樣，a0的情況進行討論。再如，先討論二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，再讓學(xué)生類比研究二次函數(shù)的方法研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)貫穿二次函數(shù)的討論的始終。對于最簡單的二次函數(shù)的研究就是從畫這個函數(shù)的圖象開始，然后通過圖象了解它的性質(zhì)。其后的二次函數(shù)的研究，也都展現(xiàn)了從解析式到圖象，從圖象到性質(zhì)的過程。包括第2

32、2.3節(jié)中，關(guān)于二次函數(shù)的最?。ù螅┲档慕Y(jié)論也是通過確定函數(shù)圖象的最低點或最高點獲得的。從特殊例子歸納一般結(jié)論也是常用的。例如，讓學(xué)生觀察函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的共同點與不同點，歸納函數(shù)(a0)的圖象特點；探究函數(shù)，的圖象的共同點與不同點，歸納函數(shù)（a0）的圖象特點。又如，說明拋物線y=與拋物線y=的關(guān)系，從而歸納出把拋物線向上（下）向左（右）平移，得到拋物線的結(jié)論。這樣循序漸進的安排，力圖使學(xué)生不僅學(xué)到二次函數(shù)的有關(guān)知識，而且在知識的學(xué)習(xí)過程中不斷提高學(xué)習(xí)的能力。2.重視知識之間的聯(lián)系學(xué)生在“一次函數(shù)”一章已經(jīng)了解了一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組的聯(lián)系。本章專設(shè)一節(jié)，

33、通過探討二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，再次展示函數(shù)與方程的聯(lián)系。這樣安排一方面可以深化學(xué)生對一元二次方程的認(rèn)識，另一方面又可以運用二次函數(shù)解決一元二次方程的有關(guān)問題。此外，還在以下各處注意聯(lián)系已學(xué)知識。例如，在第一節(jié)開頭，用函數(shù)的概念對正方體表面積、比賽場次數(shù)、產(chǎn)量增長等問題中變量之間的關(guān)系進行說明。又如，用關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)的關(guān)系說明y軸是拋物線的對稱軸。再如，用平移描述拋物線y=ax與拋物線y=a(xh)k 之間的關(guān)系。這樣處理有利于學(xué)生認(rèn)識新內(nèi)容，也使已學(xué)內(nèi)容得到復(fù)習(xí)鞏固。3.體現(xiàn)模型思想對于某些實際問題，如果其中變量之間的關(guān)系可以用二次函數(shù)模型來刻畫，就可以利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

34、來研究，從而使實際問題得到解決。這一過程體現(xiàn)了模型思想。例如，在日常生活、生產(chǎn)和科研中，常常會遇到求什么條件下可以使材料最省、時間最少、效率最高等問題，其中一些問題可以歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。本章用第三節(jié)中的探究1和探究2舉例說明此類問題的解決過程。此外，在函數(shù)y=a(xh)k的討論之后安排的修建噴水池時確定水管長度的問題，在第三節(jié)中安排的探究3（水位問題），也是運用二次函數(shù)解決實際問題的例子。這樣安排力圖加強二次函數(shù)與實際生活的聯(lián)系，使所學(xué)知識得到應(yīng)用，體現(xiàn)模型思想。三、對教學(xué)的幾個建議1注意復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容二次函數(shù)的學(xué)習(xí)是以已學(xué)函數(shù)內(nèi)容為基礎(chǔ)的。從八年級下冊“一次函數(shù)”的學(xué)習(xí)到九年級

35、上冊“二次函數(shù)”的學(xué)習(xí)，中間相隔了一段時間。函數(shù)的概念 ,描點法畫函數(shù)的圖象等在本章中都要用到。因此，要注意復(fù)習(xí)已學(xué)函數(shù)內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)好二次函數(shù)。二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=ax的圖象平移得到，這些內(nèi)容都涉及已學(xué)的圖形變化的內(nèi)容。復(fù)習(xí)對稱的坐標(biāo)表示等內(nèi)容，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)本章中的上述內(nèi)容。討論函數(shù)，關(guān)鍵是用配方法把它化為y=a(xh)k的形式。配方法曾用來解一元二次方程，學(xué)生已經(jīng)有所了解，要注意復(fù)習(xí)?？傊?，在本章學(xué)習(xí)過程中，注意復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，是順利完成本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。2關(guān)注數(shù)形結(jié)合的研究方法二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的討論運用了數(shù)形結(jié)合的研究方法，即先畫出二次函數(shù)的圖象，再結(jié)

36、合圖象討論二次函數(shù)的性質(zhì)。把握好數(shù)形結(jié)合的研究方法有利于本章教學(xué)的開展。在畫二次函數(shù)的圖象時，選取自變量的值很關(guān)鍵，例如，畫函數(shù)的圖象時，要根據(jù)對稱性取頂點的橫坐標(biāo)6并在6的左右取值。教學(xué)中要關(guān)注畫圖象的環(huán)節(jié)，為用圖象討論性質(zhì)打下基礎(chǔ)。圖象直觀展示了函數(shù)的變化情況。例如，函數(shù)圖象從左向右上升（或下降）對應(yīng)著函數(shù)隨自變量增大而增大（或減小）。又如，如果函數(shù)圖象與x軸有公共點，表明當(dāng)自變量取公共點的橫坐標(biāo)時，函數(shù)值為0，也就表明公共點的橫坐標(biāo)是相應(yīng)一元二次方程的根。教學(xué)中，要幫助學(xué)生完成好從對圖象的描述到對函數(shù)變化情況的描述的轉(zhuǎn)換，發(fā)揮好幾何直觀的作用。3加強對實際問題的分析運用二次函數(shù)解決實際問

37、題時，用二次函數(shù)表示問題中變量之間的關(guān)系是重要一環(huán)。要加強對實際問題的分析。例如，在22.3節(jié)的探究1中，用總長一定的籬笆圍成矩形場地，場地的面積隨矩形一邊長的變化而變化。場地的面積是矩形一邊長與它的鄰邊長的乘積，用矩形一邊長表示它的鄰邊長，從而得到場地面積隨矩形一邊長變化的函數(shù)解析式。教學(xué)中，加強對實際問題的分析，有助于學(xué)生順利解決實際問題。4重視信息技術(shù)的使用用某些計算機畫圖軟件（如幾何畫板），可以方便地畫出二次函數(shù)的圖象，進而從圖象探索二次函數(shù)的性質(zhì)。例如，用計算機軟件畫出函數(shù)的圖象，拖動圖象上的一點P, 讓這點沿拋物線移動，觀察動點坐標(biāo)的變化，可以發(fā)現(xiàn)：圖象最低點或最高點的坐標(biāo)，也就是

38、說，當(dāng)x取這點的橫坐標(biāo)時，有最小值或最大值；當(dāng)小于這點的橫坐標(biāo)時，隨的增大而減?。ㄔ龃螅?，當(dāng)大于這點的橫坐標(biāo)時，隨的增大而增大（減?。?。 利用計算機軟件的畫圖功能，很容易利用二次函數(shù)的圖象解一元二次方程。要解方程，只要用計算機軟件畫出相應(yīng)拋物線，再讓計算機軟件顯示拋物線與x軸的公共點的坐標(biāo)，就能得出要求的方程的根。 上述內(nèi)容安排在本章的選學(xué)欄目“信息技術(shù)應(yīng)用 探索二次函數(shù)的性質(zhì)”中，有條件的話，可以讓學(xué)生加以嘗試。九年級上冊第二十三章“旋轉(zhuǎn)”簡介旋轉(zhuǎn)是現(xiàn)實中廣泛存在的變換、運動現(xiàn)象。研究旋轉(zhuǎn)及其性質(zhì)具有重要的現(xiàn)實意義和實踐價值。本章主要介紹旋轉(zhuǎn)的概念、性質(zhì)，包括中心對稱的概念和性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)等

39、圖形的變化進行圖案的設(shè)計。本章教學(xué)時間約需7課時，具體分配如下（僅供參考）：23.1 圖形的旋轉(zhuǎn) 2課時23.2 中心對稱 3課時23.3 課題學(xué)習(xí) 圖案設(shè)計 1課時數(shù)學(xué)活動小結(jié) 1課時一、教科書內(nèi)容和本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 本章知識結(jié)構(gòu)本章知識結(jié)構(gòu)如下圖所示：2.教科書內(nèi)容按照全套教科書的內(nèi)容安排，本章學(xué)習(xí)第三種圖形變化旋轉(zhuǎn)。此前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平移和軸對稱兩種圖形變化.本章第一節(jié)學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)的有關(guān)內(nèi)容。在此基礎(chǔ)上，第二節(jié)學(xué)習(xí)特殊的旋轉(zhuǎn)中心對稱。第三節(jié)是課題學(xué)習(xí)，內(nèi)容是綜合運用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)進行圖案設(shè)計。在第一節(jié)中，首先通過時針、葉片等實例引出旋轉(zhuǎn)的概念。然后設(shè)置了一個“探究”欄目，讓學(xué)生探索在旋

40、轉(zhuǎn)中對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點和旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)。接下來，安排了一個按要求畫出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形的例題。最后說明利用旋轉(zhuǎn)進行簡單的圖案設(shè)計的內(nèi)容。在本節(jié)中，旋轉(zhuǎn)的概念、性質(zhì)以及有關(guān)作圖的內(nèi)容環(huán)環(huán)相扣：由概念得出性質(zhì)；由性質(zhì)得出有關(guān)作圖的方法。應(yīng)關(guān)注這些內(nèi)容之間的聯(lián)系，使前一部分內(nèi)容為后一部分內(nèi)容作好準(zhǔn)備，使后一部分內(nèi)容復(fù)習(xí)鞏固前一部分內(nèi)容。第二節(jié)有三部分內(nèi)容：中心對稱的概念、性質(zhì)和有關(guān)畫圖；中心對稱圖形的概念；關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)的關(guān)系。對中心對稱，課本首先通過具體例子給出中心對稱的概念，然后探究中心對稱的性質(zhì)，最后說明畫和已知圖形中心對稱的圖形的方法。對中心

41、對稱圖形，主要讓學(xué)生通過線段、平行四邊形加以認(rèn)識，并了解中心對稱和中心對稱圖形的聯(lián)系和區(qū)別。關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)的關(guān)系是很基本的坐標(biāo)關(guān)系，教學(xué)中可以讓學(xué)生自行探究得出，由此得到利用這一關(guān)系畫和已知圖形關(guān)于原點對稱的圖形的方法。第三節(jié)是“課題學(xué)習(xí)”的內(nèi)容，要求學(xué)生探索圖形之間的變換關(guān)系（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合），靈活運用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)的組合進行圖案設(shè)計。在本節(jié)中，首先通過一個例子讓學(xué)生對此課題有所了解，然后讓學(xué)生搜集圖案，設(shè)計圖案.搜集圖案并加以分析，了解圖形之間的變換關(guān)系有助于學(xué)生自己進行圖案設(shè)計。在設(shè)計圖案的過程中，應(yīng)關(guān)注構(gòu)思、實施、合作交流等環(huán)節(jié)。3.本章學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）通過具體實

42、例認(rèn)識平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)，探索并理解旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形中，旋轉(zhuǎn)中的對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點和旋轉(zhuǎn)中心所連的線段形成的角彼此都相等。（2）能夠按要求畫出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，欣賞旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。（3）通過具體實例認(rèn)識中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它們的基本性質(zhì)：成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分。了解線段、平行四邊形是中心對稱圖形。認(rèn)識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的中心對稱圖形。（4）探索圖形之間的變換關(guān)系（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合），會運用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)的組合進行圖案設(shè)計。二、編寫本章時考慮的問題1

43、.加強聯(lián)系實際學(xué)數(shù)學(xué)的根本目的是用數(shù)學(xué)知識解決各種實際問題，這就決定了教材必須密切聯(lián)系實際，揭示教學(xué)內(nèi)容和實際的聯(lián)系。本章的內(nèi)容，主要包括旋轉(zhuǎn)、中心對稱、中心對稱圖形、圖案設(shè)計，教科書在編寫中重視揭示這些內(nèi)容和實際的種種聯(lián)系，讓學(xué)生認(rèn)識知識的實際背景和應(yīng)用價值。本章各部分列舉了許多旋轉(zhuǎn)的實例，如水車、風(fēng)力發(fā)電機、螺旋漿等等。本次教材修訂中還增寫了“閱讀與思考 旋轉(zhuǎn)對稱”,介紹了旋轉(zhuǎn)對稱性質(zhì)的廣泛應(yīng)用。中心對稱和中心對稱圖形在現(xiàn)實生活中也很常見，教科書介紹了雪花、工藝美術(shù)品、部分交通標(biāo)志等圖案，教學(xué)中還可以通過更多的具體實例加深學(xué)生對中心對稱的認(rèn)識。許多美麗的圖案可以借助旋轉(zhuǎn)設(shè)計而成。讓學(xué)生利用

44、旋轉(zhuǎn)進行圖案設(shè)計，可以復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)的知識，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。讓學(xué)生運用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)的組合進行圖案設(shè)計，可以進一步深化學(xué)生所學(xué)知識，加強圖形變換與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。2.適當(dāng)安排對結(jié)論的探究過程本章著重介紹了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中心對稱的性質(zhì)、關(guān)于原點對稱的兩點坐標(biāo)的關(guān)系等結(jié)論，在以上結(jié)論的教學(xué)中，教科書重視讓學(xué)生通過畫圖、分析、歸納等，適當(dāng)?shù)匕才帕藢Y(jié)論的探究活動。圖23.1-3中，ABC由ABC旋轉(zhuǎn)而成，讓學(xué)生結(jié)合此圖探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。對于中心對稱的性質(zhì)，應(yīng)該與軸對稱的性質(zhì)作類比進行教學(xué)。學(xué)生已經(jīng)知道，成軸對稱的兩點所連線段被對稱軸垂直平分。在圖23.2-3中，ABC與ABC關(guān)于點O中心對稱，應(yīng)

45、該引導(dǎo)學(xué)生從中心對稱的概念出發(fā)進行思考，發(fā)現(xiàn)成中心對稱的兩點所連線段與對稱中心的關(guān)系。對于在平面直角坐標(biāo)系中兩個關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)間的關(guān)系，教科書首先安排了一個探究活動，讓學(xué)生通過探究，歸納得到有關(guān)結(jié)論。在本章中，許多圖形可以看成由基本圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到。為了更好地認(rèn)識圖形，本章在例題和習(xí)題中安排了許多探索和發(fā)現(xiàn)圖形之間變換關(guān)系的問題。探索和發(fā)現(xiàn)圖形之間的變換關(guān)系也有助于學(xué)生運用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)的組合進行圖案設(shè)計。3.完整介紹旋轉(zhuǎn)作為一種圖形變化的教學(xué)內(nèi)容在學(xué)習(xí)本章前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平移與軸對稱，對于圖形變化已經(jīng)有所認(rèn)識。一般地，學(xué)習(xí)一種圖形變化大致包括以下內(nèi)容：（1）通過具體實例認(rèn)識這種

46、圖形變化；（2）探索這種圖形變化的性質(zhì)；（3）作出一個圖形經(jīng)過這種圖形變化后的圖形；（4）利用這種圖形變化進行圖案設(shè)計；（5）用坐標(biāo)表示這種圖形變化。本章“旋轉(zhuǎn)”的學(xué)習(xí)也是從以上幾個方面展開的，即介紹旋轉(zhuǎn)、中心對稱的概念、性質(zhì)，作出一個圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)（中心對稱）后的圖形，用旋轉(zhuǎn)（中心對稱）進行圖案設(shè)計，用坐標(biāo)表示這種圖形變化。當(dāng)然，由于一般旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)表示比較難，本章正文中只涉及了一些特殊角的旋轉(zhuǎn)用坐標(biāo)表示的問題，如以原點為對稱中心的中心對稱的坐標(biāo)表示，在數(shù)學(xué)活動和習(xí)題中則涉及用坐標(biāo)表示以原點為旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角為直角的旋轉(zhuǎn)。三、對本章教學(xué)的建議1.注意概念間的聯(lián)系與區(qū)別 與軸對稱和軸對稱圖形類似，

47、本章中心對稱概念和中心對稱圖形概念既不相同又聯(lián)系緊密。中心對稱和中心對稱圖形的區(qū)別：中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關(guān)系，成中心對稱的兩個圖形中，其中一個圖形上所有點關(guān)于對稱中心的對稱點都在另一個圖形上，反之，另一個圖形上所有點關(guān)于對稱中心的對稱點又都在這個圖形上；而中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱，中心圖形上所有點關(guān)于對稱中心的對稱點都仍在這個圖形本身上。中心對稱和中心對稱圖形的聯(lián)系：如果把關(guān)于某點中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱圖形；一個中心對稱圖形，也可以看成是關(guān)于某點對稱的兩個圖形。教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生弄清這兩個概念的區(qū)別和聯(lián)系，獲得正確的認(rèn)

48、識，能夠正確地使用這兩個概念。2.適當(dāng)運用計算機畫圖軟件進行旋轉(zhuǎn)的教學(xué)目前，計算機畫圖軟件的功能已經(jīng)很強大，應(yīng)該結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)?shù)剡\用計算機畫圖軟件來輔助教學(xué)。對本章，著重在兩方面來考慮軟件的應(yīng)用：發(fā)現(xiàn)有關(guān)的幾何結(jié)論、圖案設(shè)計。借助計算機畫圖軟件（如幾何畫板軟件），可以容易地作出圖形繞某一點O旋轉(zhuǎn)一個角度后的圖形，因而可以容易地作出一個圖形關(guān)于某點（如原點O）的中心對稱圖形。還可以借助軟件的度量功能,發(fā)現(xiàn)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。利用軟件的度量功能，容易發(fā)現(xiàn)：兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反。畫圖軟件的功能常常很強大，對于圖形性質(zhì)的探究和發(fā)

49、現(xiàn)會很有幫助。利用計算機畫圖軟件進行圖案設(shè)計常常很有效，能夠發(fā)揮軟件的強大功能，有時即使從一個很簡單的圖案出發(fā)，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)等進行圖案的設(shè)計，往往能得到很漂亮、多樣化的圖案。有條件的話，可以讓學(xué)生發(fā)揮自己的想象力，進行這方面的嘗試，這對培養(yǎng)學(xué)生的審美意識，發(fā)揮數(shù)學(xué)教育的美育功能會起一定的作用。3.注意知識的前后聯(lián)系同平移、軸對稱一樣，已知圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到一個新圖形。平移、軸對稱不改變圖形的形狀和大小，旋轉(zhuǎn)也具有這樣的性質(zhì)，實際上，平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)都是全等變換。以后要學(xué)的相似變換則不具有這個性質(zhì)。在本章的教學(xué)中，應(yīng)該注意知識的前后聯(lián)系，把旋轉(zhuǎn)和以前所學(xué)的兩個全等變換適當(dāng)?shù)刈黝惐?，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)本章的

50、知識。在作已知圖形平移后的簡單幾何圖形或作與已知簡單幾何圖形成軸對稱的圖形時，只要先確定已知圖形中的一些特殊點（如多邊形的頂點）的對應(yīng)點，就可以畫出整個圖形經(jīng)過變換后的圖形，這種方法對于作已知簡單幾何圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形也適用，教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生進行類比。從坐標(biāo)的關(guān)系來認(rèn)識幾何變換，對于更好地認(rèn)識幾何變換很有幫助，這在數(shù)學(xué)中是一個重要的課題，而在計算機技術(shù)廣泛應(yīng)用的現(xiàn)在，這方面的知識應(yīng)用相當(dāng)廣泛。本章在這方面比較重視，安排了一些有關(guān)內(nèi)容，如發(fā)現(xiàn)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，在本章的“數(shù)學(xué)活動”的兩個活動內(nèi)容都是這類問題，也增寫了一些相關(guān)的習(xí)題。本章的第2個數(shù)學(xué)活動就是從坐標(biāo)的角度揭示了中心對稱

51、與軸對稱的關(guān)系。一般地，點A（x，y）關(guān)于x軸的對稱點B的坐標(biāo)是（x，y），點B（x，y）關(guān)于y軸的對稱點C的坐標(biāo)是（x，y）。因為點A的坐標(biāo)是（x，y），點C的坐標(biāo)是（x，y），所以點A與點C關(guān)于原點對稱。由此可知，將一點作上述兩次軸對稱變換相當(dāng)于作出這個點關(guān)于原點的對稱點。在教學(xué)中對圖形變化后點的坐標(biāo)的變化規(guī)律問題要給以適度的重視。第二十四章“圓”簡介與三角形、四邊形等一樣，圓也是基本的平面圖形，是人們生活中常見的圖形，也是“圖形與幾何”的主要研究對象。本章將在學(xué)生前面學(xué)習(xí)了一些基本的直線形三角形、四邊形等的基礎(chǔ)上，進一步研究一個基本的曲線形圓，探索圓的有關(guān)性質(zhì)，了解與圓有關(guān)的位置關(guān)系等，

52、并結(jié)合一些圖形性質(zhì)的證明，進一步發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。本章共安排四節(jié)和三個選學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時間大約需要16課時，具體安排如下（僅供參考）：24.1 圓的有關(guān)性質(zhì) 5課時24.2 點和圓、直線和圓的位置關(guān)系 5課時24.3 正多邊形和圓 2課時24.4 弧長和扇形面積 2課時數(shù)學(xué)活動小結(jié) 2課時一、教科書內(nèi)容和本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1本章知識結(jié)構(gòu)本章知識結(jié)構(gòu)如下圖所示： 2教科書內(nèi)容本章在學(xué)習(xí)了直線圖形有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，研究一種特殊的曲線圖形圓的有關(guān)性質(zhì)。圓是常見的幾何圖形之一，不僅日常生活中有許多圓形物體，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運輸、土木建筑等方面都可以看到圓的形象。圓的有關(guān)性質(zhì)，也被廣泛應(yīng)用。圓也是平

53、面幾何中基本的圖形之一，它不僅在幾何中有重要地位，而且是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)重要的基礎(chǔ)。圓的許多性質(zhì)，比較集中地反映了事物內(nèi)部量變與質(zhì)變、一般與特殊、矛盾的對立統(tǒng)一等關(guān)系。所以本章教學(xué)在初中占有重要地位。本章在小學(xué)學(xué)過圓的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)研究圓的概念和性質(zhì)，圓中有關(guān)的角，點與圓、直線與圓、圓與正多邊形之間的位置和數(shù)量關(guān)系。本章共分四節(jié)，第1節(jié)是“圓的有關(guān)性質(zhì)”，主要內(nèi)容是圓的概念和有關(guān)性質(zhì)，圓的概念和性質(zhì)是進一步研究圓與其他圖形位置和數(shù)量關(guān)系的主要依據(jù)，是全章的基礎(chǔ)。這一節(jié)包括“圓”“垂直于圓的直徑”“弧、弦、圓心角”“圓周角”四小節(jié)。“24.1.1 圓”的主要內(nèi)容是圓的概念和圓中一些相關(guān)概

54、念。圓的概念是研究圓的性質(zhì)的基礎(chǔ)，在小學(xué)，學(xué)生接觸過圓，對它有一定的認(rèn)識。教科書首先結(jié)合生活中一些圓的實際例子，在小學(xué)畫圓的基礎(chǔ)上，用“發(fā)生法”給出圓的概念。接下來教科書又分析了圓上每一點與圓心的距離都等于定長，同時到定點的距離等于定長的點都在圓上，這是從點和集合的角度進一步認(rèn)識圓。這樣的呈現(xiàn)過程，進一步加深學(xué)生對圓的認(rèn)識，同時強調(diào)確定一個圓的要素圓心和半徑。在認(rèn)識圓的概念的基礎(chǔ)上，教科書給出了半徑、直徑、弦、弧等概念。讓學(xué)生結(jié)合圖形認(rèn)識這些概念，注意進行比較，分清它們的異同。接下來教科書探究并證明了垂徑定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，圓周角定理及其推論等。垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論是本

55、節(jié)的重點。垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是圓的軸對稱性的具體化，也是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時為進行圓的計算和作圖提供了方法和依據(jù)；圓周角定理及其推論對于角的計算，證明角相等，證明弧、弦相等等問題提供了簡便的方法。由于垂徑定理及其推論的條件和結(jié)論比較復(fù)雜，容易混淆；圓周角定理的證明要用到完全歸納法，學(xué)生對分類證明的必要性難以理解，所以這兩部分內(nèi)容是本節(jié)教學(xué)的難點。第2節(jié)是“點和圓、直線和圓的位置關(guān)系”。當(dāng)點在圓上時，由這些點得到的多邊形（圓內(nèi)接多邊形）的角和邊的性質(zhì)更加豐富；同樣，當(dāng)直線和圓相切時，由這些直線得到的多邊形（多邊形的外切圓）的邊和角的性質(zhì)更加豐富。在“點

56、和圓的位置關(guān)系”中，教科書首先結(jié)合射擊問題，給出了點和圓的三種不同位置關(guān)系，接下來討論了過三點的圓及三角形的外接圓，并結(jié)合“過同一直線上的三點不能作圓”介紹了反證法。在“直線和圓的位置關(guān)系”中，教科書首先討論了直線和圓的三種位置關(guān)系，然后重點研究了直線和圓相切的情況，給出了直線和圓相切的判定定理、性質(zhì)定理，探索并證明了切線長定理，在此基礎(chǔ)上介紹了三角形的內(nèi)切圓。本節(jié)中，直線和圓的位置關(guān)系是中心內(nèi)容，切線的判定定理、性質(zhì)定理，切線長定理等是研究直線和圓的有關(guān)問題時常用的定理，是本節(jié)的重點內(nèi)容。反證法的思想在前面章節(jié)有所滲透，在這節(jié)正式提出。由于反證法是一種間接證法，學(xué)生接受有一定的困難，因此反證

57、法的教學(xué)是本節(jié)的一個難點；另外切線的判定定理和性質(zhì)定理的條件和結(jié)論容易混淆，證明性質(zhì)定理又要用到反證法，因此這兩個定理的教學(xué)也是本節(jié)的難點，同時是本章的難點。有了對于點和圓、直線和圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，對于圓和圓的位置關(guān)系，研究方法與研究點和圓、直線和圓的位置關(guān)系一脈相承，都是從幾何特征（交點個數(shù)）和代數(shù)特性（圓心的距離和半徑的關(guān)系）兩個角度考慮?？紤]到研究內(nèi)容和研究方法的連貫性，本節(jié)最后安排了“實驗與探究”的選學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生類比點和圓、直線和圓的位置關(guān)系，研究圓和圓的位置關(guān)系，進一步體會其中的研究方法。正多邊形是一種特殊的多邊形，在生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，它有一些類似于圓的性質(zhì)。例如，

58、圓有獨特的對稱性，它不僅是軸對稱圖形、中心對稱圖形，而且它的任意一條直徑所在直線都是它的對稱軸，繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度都能和原來的圖形重合。正多邊形也是軸對稱圖形，有n條對稱軸；當(dāng)n為偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，而且繞中心每旋轉(zhuǎn)，都能和原來的圖形重合。在第3節(jié)，教科書在回顧學(xué)生已經(jīng)了解的正多邊形概念的基礎(chǔ)上，以正五邊形為例，證明了利用等分圓周得到正五邊形的方法，接下來介紹了正多邊形的有關(guān)概念，如中心、半徑、中心角、邊心距等，并進一步介紹了畫正多邊形的方法。正多邊形的有關(guān)計算是本節(jié)的重點內(nèi)容，這些計算都是幾何中的基礎(chǔ)知識，正確掌握它們要綜合運用以前所學(xué)的知識，這些知識在生產(chǎn)和生活中也常用到。本節(jié)

59、教學(xué)難點在學(xué)生對正n邊形中“n”的接受和理解上。學(xué)生對三角形、四邊形、圓等具體圖形比較習(xí)慣，對于泛指的n邊形并不習(xí)慣。為了降低難度，教科書涉及的證明、計算等問題都結(jié)合具體的多邊形為例，教學(xué)時要注意把這種針對具體圖形的結(jié)論和方法推廣，使學(xué)生實現(xiàn)由具體到抽象、特殊到一般的認(rèn)識上的飛躍，提高學(xué)生的思維能力。第4節(jié)是“弧長和扇形的面積”，它包括“弧長和扇形的面積”“圓錐的側(cè)面積和全面積”兩部分。“弧長和扇形的面積”是在小學(xué)學(xué)過的圓周長、面積公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，應(yīng)用這些公式，可以計算一些與圓有關(guān)的簡單組合圖形的周長和面積。由于圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，所以教科書接下來介紹了圓錐的側(cè)面積和全面積的計算，

60、它們是圓的弧長和扇形面積的直接應(yīng)用。這些計算是幾何中基本的計算，在日常生活中也經(jīng)常用到，運用這些知識可以解決一些簡單的實際問題。圓錐側(cè)面積的計算還可以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，對這部分內(nèi)容的教學(xué)要重視。3本章學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點和圓的位置關(guān)系。（2）*探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧。（3）探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，理解并證明圓周角定理及其推論：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半；直徑所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的對角互補。（4）了