八年級春季預(yù)習(xí)課程 第4講矩形、菱形、正方形知識點(diǎn)綜合梳理

1、第二十二講 矩形(jxng)、菱形、正方形共四十九頁1.了解：矩形、菱形、正方形的概念； 2.理解：矩形、菱形、正方形與平行四邊形之間的關(guān)系；3.掌握：矩形、菱形、正方形的性質(zhì)(xngzh)和判定的推導(dǎo)，以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系；4.會(huì)：利用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證明；5.能：利用四邊形的性質(zhì)和判定結(jié)合三角形的中位線對中點(diǎn)四邊形進(jìn)行證明.共四十九頁一、矩形的定義、性質(zhì)和判定(pndng)1.定義：有一個(gè)角是直角的_是矩形.2.性質(zhì)：(1)矩形的四個(gè)角都是_；(2)矩形的對角線_.3.判定：(1)定義法；(2)對角線相等的_是矩形；(3)有三個(gè)角是_的四邊形是矩形.平行四邊形直

2、角(zhjio)相等平行四邊形直角共四十九頁1.矩形的面積(min j)為48，一條邊長為6，則與它相鄰的一邊長為_，對角線為_.2.在矩形ABCD中，兩條對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，AB=OA=4 cm，則BD=_ cm，AD=_ cm.8108【即時(shí)(jsh)應(yīng)用】共四十九頁二、菱形的定義、性質(zhì)和判定(pndng)1.定義：有一組鄰邊相等的_是菱形.2.性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都_；(2)菱形的兩條對角線互相_，每一條對角線平分_；(3)菱形的面積等于兩條對角線_.3.判定：(1)定義法；(2)對角線互相_的平行四邊形是菱形；(3)四條邊都_的四邊形是菱形.平行四邊形相等(xingdng)

3、垂直一組對角乘積的一半垂直相等共四十九頁【即時(shí)應(yīng)用】1.在菱形ABCD中，AB=5 cm，則此菱形的周長為_.2.已知菱形的兩條對角線長分別為2 cm，3 cm，則它的面積是_ cm2.3.如圖，ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，添加一個(gè)(y )條件，能使ABCD成為菱形你添加的條件是：_(不再添加輔助線和字母).20 cm3AB=AD或ACBD共四十九頁三、正方形的定義、性質(zhì)和判定(pndng)1.定義：有一組鄰邊_并且有一個(gè)角是_的平行四邊形叫做正方形.2.性質(zhì)：(1)正方形的四個(gè)角都是_；(2)正方形的四條邊都_；(3)正方形的兩條對角線_且互相_，每一條對角線平分一組對角.3.判

4、定：(1)定義法；(2)一組_的矩形是正方形；(3)一個(gè)角是_的菱形是正方形；(4)對角線_的平行四邊形是正方形.相等(xingdng)直角直角相等相等垂直平分鄰邊相等直角相等且垂直共四十九頁【即時(shí)應(yīng)用】1.若一個(gè)正方形的邊長為a，則這個(gè)正方形的周長為_.2.正方形的兩條對角線長的和為8 cm，則其邊長為_cm.3.如圖，菱形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，請你添加一個(gè)條件(tiojin)：_，使得該菱形為正方形4aAC=BD或ABC=90共四十九頁【記憶助手】矩形的性質(zhì)與判定矩形就是長方形，周長、面積仍然用.平行四邊形性質(zhì)它均用，四角相等皆直角，對角線平分又相等.判定圖形為矩形，先看條件方法定，

5、三角均直是矩形.對角線相等尚不行，前提(qint)平行四邊形，解決問題常轉(zhuǎn)化，三角形中覓思路. 共四十九頁【核心點(diǎn)撥】1.矩形、菱形、正方形都是特殊(tsh)的平行四邊形，既有平行四邊形的性質(zhì)，也有自己的獨(dú)特的性質(zhì).2.正方形既是特殊的菱形又是特殊的矩形，因此它既具有菱形的性質(zhì)又具有矩形的性質(zhì).3.特殊平行四邊形的問題常轉(zhuǎn)化為特殊三角形來解決.共四十九頁 矩形的性質(zhì)(xngzh)和判定中考指數(shù)：知識點(diǎn)睛1.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸.2.面積S=ab(a，b表示長和寬).3.兩條對角線將矩形分成四個(gè)面積相等的等腰三角形.4.矩形的判別(1)若四邊形為(或可證為)平行四邊形，

6、則再證一角為直角或?qū)蔷€相等；(2)若直角較多，可證四邊形的三個(gè)角為直角.共四十九頁特別提醒判定矩形要首先分清楚所給的條件是四邊形還是平行四邊形，再確定判定矩形的方法.共四十九頁【例1】(2011南京中考)如圖，將ABCD的邊DC延長到點(diǎn)E，使CEDC，連接(linji)AE，交BC于點(diǎn)F.(1)求證：ABFECF.(2)若AFC2D，連接AC，BE.求證：四邊形ABEC是矩形.共四十九頁【思路(sl)點(diǎn)撥】共四十九頁【自主(zzh)解答】(1)四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABCD.ABFECF.EC=DC,AB=EC.在ABF和ECF中，ABFECF，AFBEFC，ABEC，ABF

7、ECF.共四十九頁(2)ABEC，ABEC，四邊形ABEC是平行四邊形，AFEF，BFCF.四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，又AFC2D，AFC2ABC.AFCABF+BAF，ABFBAF.FAFB.FAFEFBFC，AEBC.ABEC是矩形(jxng).共四十九頁【一題多解】(2)AB=EC ，ABEC，四邊形ABEC是平行四邊形四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，D=BCE又AFC=2D，AFC=2BCE，AFC=FCE+FEC，F(xiàn)CE=FECD=FECAE=AD又CE=DC，ACDE即ACE=90平行四邊形ABEC是矩形(jxng)共四十九頁【對點(diǎn)訓(xùn)練(xnlin)】1.(201

8、2南通中考)如圖，矩形ABCD的對角線AC8 cm，AOD120，則AB的長為( )【解析】選D在矩形ABCD中，AOD=120，AOB=180-120=60，AOB是等邊三角形，AB=AO=4 cm共四十九頁2.(2012黔東南中考)如圖，矩形ABCD邊AD沿拆痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC上的F處，已知AB=6，ABF的面積是24，則FC等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】選B.由ABF的面積是24，可得 ,即 ，所以BF=8，所以由勾股定理(u dn l)可得 ，由折疊可知AD=AF=10，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以BC=AD=10，所以CF=BC-BF=10-8=2

9、.共四十九頁3. (2012鹽城中考)如圖,在四邊形ABCD中,已知ABDC,AB=DC.在不添加任何(rnh)輔助線的前提下,要想該四邊形成為矩形,只需再加上的一個(gè)條件是_.(填上你認(rèn)為正確的一個(gè)答案即可)【解析】由題知四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)有一角為90的平行四邊形為矩形可得結(jié)論.答案:A=90(或A=B或A+C=180)共四十九頁4.(2011銅仁中考(zhn ko)已知：如圖，在ABC中，BAC=90，DE,DF是ABC的中位線，連接EF,AD.求證：EF=AD【證明】DE,DF是ABC的中位線，DEAB，DFAC. 四邊形AEDF是平行四邊形， 又BAC=90.平行四邊形A

10、EDF是矩形，EF=AD.共四十九頁 菱形的性質(zhì)(xngzh)和判定中考指數(shù)：知識點(diǎn)睛1.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.2.對角線將菱形分成四個(gè)全等的直角三角形.3.有一個(gè)內(nèi)角為60(或120)的菱形，連接對角線可構(gòu)成等邊三角形，可將菱形問題轉(zhuǎn)化到等邊三角形中解決.特別提醒要判定一個(gè)四邊形是菱形，可以先說明它是平行四邊形，再說明它的一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直；也可說明它的四條邊都相等或它的對角線互相垂直平分.在具體問題中，要注意根據(jù)題目選擇合適的方法.共四十九頁【例2】(2011肇慶中考)如圖，矩形(jxng)ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，DEAC，CEBD(1)求證：四邊形OCED是菱形；(

11、2)若ACB30，菱形OCED的面積為 ，求AC的長【思路點(diǎn)撥】(1)共四十九頁(2)共四十九頁【自主解答(jid)】(1)DEAC ，CEBD，四邊形OCED是平行四邊形 四邊形ABCD是矩形， AOOCBOOD,四邊形OCED是菱形 (2)ACB30DCO90-3060，又OD OC，OCD是等邊三角形.連接OE交DC于點(diǎn)F，四邊形OCED是菱形，所以COF=30，DCOE，設(shè)CD=x，則 .由已知菱形OCED的面積為 ，得 ，即 解得x4，AC428.共四十九頁【對點(diǎn)訓(xùn)練】5.(2012宜昌中考)如圖，在菱形ABCD中，AB=5，BCD=120，則ABC的周長等于(dngy)( )(A)

12、20 (B)15 (C)10 (D)5【解析】選B.根據(jù)菱形的性質(zhì)及BCD=120，可得B=60，從而可得ABC為等邊三角形，又AB=5，所以ABC的周長為15.共四十九頁6.(2012威海中考)如圖，在ABCD中，AE，CF分別是BAD和BCD的平分線，添加一個(gè)條件,仍無法判斷(pndun)四邊形AECF為菱形的是( )(A)AE=AF(B)EFAC(C)B=60(D)AC是EAF的平分線【解析】選C.由題意易證四邊形AECF是平行四邊形，再由菱形的判定方法知A,B選項(xiàng)都可判定四邊形AECF是菱形;而D選項(xiàng)中AC是EAF的平分線易證AE=AF,故也能判定四邊形AECF是菱形;C選項(xiàng)不能判斷四

13、邊形AECF是菱形.共四十九頁7.(2011茂名中考)如圖，兩條筆直的公路l1，l2相交于點(diǎn)O，村莊C的村民在公路的旁邊建三個(gè)加工廠 A,B,D，已知ABBCCDDA5千米，村莊C到公路l1的距離為4千米，則村莊C到公路l2的距離是( )(A)3千米 (B)4千米 (C)5千米 (D)6千米【解析】選B.由ABBCCDDA知四邊形ABCD是菱形,連接(linji)AC，則AC平分DAB,根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”得,村莊C到公路l2的距離等于村莊C到公路l1的距離,等于4千米.共四十九頁 正方形的性質(zhì)(xngzh)和判定中考指數(shù)：知識點(diǎn)睛1.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，有四

14、條對稱軸.2.對角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.3.對角線與邊的夾角為45.4.面積S=a2(a是正方形的邊長)或 (l是正方形的對角線長).5.判定正方形的三步法：(1)先證明它是平行四邊形；(2)再證明有一組鄰邊相等(或一個(gè)角是直角)；(3)最后證明它有一個(gè)角是直角(或有一組鄰邊相等). 共四十九頁特別提醒當(dāng)已知中出現(xiàn)對角線的相關(guān)條件時(shí)，常用“對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形”來證. 共四十九頁【例3】(2011嘉興中考)以四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA為斜邊分別向外側(cè)(wi c)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，順次連接這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH

15、共四十九頁(1)如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請判斷：四邊形EFGH的形狀(不要求證明)；(2)如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)ADC=(090)， 試用(shyng)含的代數(shù)式表示HAE； 求證：HE=HG； 四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由 共四十九頁【思路(sl)點(diǎn)撥】共四十九頁共四十九頁【自主解答(jid)】(1)四邊形EFGH是正方形(2)HAE=90+.在平行四邊形ABCD中ABCD，BAD=180-ADC=180-，HAD和EAB是等腰直角三角形，HAD=EAB=45，HAE=360-HA

16、D-EAB-BAD=360-45-45-(180-)=90+，答：用含的代數(shù)式表示HAE是90+共四十九頁AEB和DGC是等腰直角三角形，在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AE=DG，HAD和GDC是等腰直角三角形，HDA=CDG=45，HDG=HDA+ADC+CDG=90+=HAE，HAD是等腰直角三角形，HA=HD，HAEHDG，HE=HG共四十九頁四邊形EFGH是正方形，理由(lyu)是：由同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，HE=HG，GH=GF=EF=HE，四邊形EFGH是菱形，HAEHDG，DHG=AHE，AHD=AHG+DHG=90，EHG=AHG+AHE=90，四邊形EFGH是

17、正方形共四十九頁【對點(diǎn)訓(xùn)練】8.(2012黔東南中考)點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)(不與A，B重合(chngh)，連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得線段PE，連接BE，則CBE等于( )(A)75 (B)60 (C)45 (D)30共四十九頁【解析】選C.延長AB，過E作AB的延長線的垂線交于點(diǎn)F,由線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得線段PE，可知DP=EP,DPE=90，所以(suy)EPF+DPA=90,而ADP+DPA=90,所以EPF=ADP，又因?yàn)镈AP=PEF=90，所以ADPFPE,所以AP=EF,AD=FP=AB,所以BF+PB=AP+PB,所以BF=AP,所以EF=

18、BF,所以EBF=BEF=45，所以CBE=90-45=45.共四十九頁9.(2012江西中考)如圖，正方形ABCD與正三角形(zhn sn jio xn)AEF的頂點(diǎn)A重合,將AEF繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)BE=DF時(shí),BAE的大小可以是_. 共四十九頁【解析】由SSS知ABEADF, BAE=DAF,當(dāng)AEF在正方形內(nèi)部(nib)時(shí)，BAE=15,當(dāng)AEF在正方形外部時(shí)，如圖，BAE+DAF=270+60, BAE=165.答案：15或165共四十九頁10.(2012黃岡中考)如圖，在正方形ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E,F分別在OD,OC上,且DE=CF，連接DF,A

19、E，AE的延長線交DF于點(diǎn)M.求證(qizhng):AMDF.【證明】在正方形ABCD中,AO=DO=OC，ACBD，AOE=DOF=90,OAE+AEO=90.又DE=CF，OE=OF,AOEDOF，AEO=DFO，OAE+DFO=90，AMF=90，AMDF.共四十九頁【創(chuàng)新(chungxn)命題】中點(diǎn)四邊形【例】(2011邵陽中考)在四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，順次連接EF，F(xiàn)G，GH，HE.(1)請判斷四邊形EFGH的形狀，并給予證明；(2)試添加一個(gè)條件，使四邊形EFGH是菱形.(寫出你所添加的條件，不要求證明)【解題導(dǎo)引】(1)依題意，可連接

20、AC，BD，利用中位線的性質(zhì)證明.(2)從菱形的判定方法入手. 共四十九頁【規(guī)范解答】(1)四邊形EFGH是平行四邊形.證明如下：連接(linji)AC，BD，由E，F(xiàn)，G，H分別是所在邊的中點(diǎn)，知EFAC，且 ，GHAC，且GHEF，且GH=EF，四邊形EFGH是平行四邊形.(2)AC=BD.共四十九頁【名師(mn sh)點(diǎn)評】通過對中點(diǎn)四邊形試題的分析和總結(jié)，我們可以得到以下該類型題目的創(chuàng)新點(diǎn)撥和解題啟示.創(chuàng)新點(diǎn)撥1.中點(diǎn)四邊形不僅僅是考查四邊形的性質(zhì)和判定方法，也考查了對三角形中位線的性質(zhì)的理解與應(yīng)用.2.決定中點(diǎn)四邊形形狀的主要因素是原四邊形的對角線的長度和位置關(guān)系.解題啟示當(dāng)遇到與邊的中點(diǎn)有關(guān)的問題時(shí)，常常添加的輔助線是連接對角線，轉(zhuǎn)化為三角形的中位線來解決.共四十九頁1.(2012張家界中考)順次連接(linji)矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是( )(A)正方形 (B)矩形(C)菱