金融工程10-BSM模型ppt課件

1、1第13章 BSM模型范 閩金融工程研討中心Dr. Fan.Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的根本思緒期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)錢動(dòng)搖的來(lái)源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢的變化，期權(quán)價(jià)錢遭到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢的影響。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢的變化過程是一個(gè)隨機(jī)過程。因此，期權(quán)價(jià)錢變化也是一個(gè)相應(yīng)的隨機(jī)過程。金融學(xué)家發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)錢的變化可以用Ito過程來(lái)描畫。而數(shù)學(xué)家Ito發(fā)現(xiàn)的Ito引理可以從股票價(jià)錢的Ito過程推導(dǎo)出衍生證券價(jià)錢所遵照的隨機(jī)過程。在股票價(jià)錢遵照的隨機(jī)過程和衍生證券價(jià)錢遵照的隨機(jī)過程中， Black-Scholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只遭到同一種不確定性的影響，假設(shè)經(jīng)過買入和賣空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的

2、證券，建立一定的組合，可以消除這個(gè)不確定性，從而使整個(gè)組合只獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。從而得到一個(gè)重要的方程： Black-Scholes微分方程。求解這一方程，就得到了期權(quán)價(jià)錢的解析解。.313.1 Black-Scholes模型的假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)錢變動(dòng)符合幾何布朗寧運(yùn)動(dòng)，其主要特點(diǎn)是：每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布，且不同的兩個(gè)區(qū)間內(nèi)的收益率相互獨(dú)立。期權(quán)是歐式期權(quán)賣空的收益可以完全由賣空者支配沒有買賣本錢或者稅務(wù)本錢一切證券都是無(wú)限可分的在期權(quán)到期之前，股票不支付紅利證券的買賣是延續(xù)的過程，即標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢的變動(dòng)是延續(xù)的，在一段極短的時(shí)間內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)錢只能有極微小的變動(dòng)，亦即排除了跳

3、空上漲或跳空下跌的能夠性。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率在各個(gè)期限都相等，且是個(gè)常數(shù)Dr. Fan.4Black-Scholes微分方程：根本思緒思緒：由于衍生證券價(jià)錢和標(biāo)的證券價(jià)錢都受同一種不確定性dz影響，假設(shè)匹配適當(dāng)?shù)脑?，這種不確定性就可以相互抵消。因此布萊克和舒爾斯就建立起一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和假設(shè)干單位標(biāo)的證券多頭的投資組合。假設(shè)數(shù)量適當(dāng)?shù)脑?，?biāo)的證券多頭盈利或虧損總是會(huì)與衍生證券空頭的虧損或盈利相抵消，因此在短時(shí)間內(nèi)該投資組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。那么，在無(wú)套利時(shí)機(jī)的情況下，該投資組合在短期內(nèi)的收益率一定等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 Dr. Fan.5股票價(jià)錢和期權(quán)價(jià)錢服從的隨機(jī)過程Dr. Fan.6Black-Sc

4、holes微分方程推導(dǎo)過程根據(jù)1和2，在一個(gè)很小的時(shí)間間隔里S和f的變化值分別為為了消除 ，我們可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。Dr. Fan.7引見：構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合組合期權(quán)：空頭1份，即-f；股票：多頭 份，即組合價(jià)值也就是說(shuō)組合的價(jià)值變動(dòng)只跟時(shí)間有關(guān)，為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合Dr. Fan.8為什么我們可以構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合?股票價(jià)錢和期權(quán)價(jià)錢的不確定性都來(lái)自股票價(jià)錢動(dòng)搖任何短時(shí)期內(nèi),call option的價(jià)錢與標(biāo)的股票價(jià)錢高度正相關(guān)(put那么是負(fù)相關(guān))所以,建立一個(gè)適宜的股票和期權(quán)組合時(shí),股票頭寸的損益就可以抵消期權(quán)頭寸的損益,從而構(gòu)造了一個(gè)沒有風(fēng)險(xiǎn)的組合.而這個(gè)組

5、合中,股票與期權(quán)的比例在圖形上就是call option價(jià)錢曲線的切線斜率.Dr. Fan.9看漲期權(quán)價(jià)值與股票價(jià)錢看漲期權(quán)價(jià)值股票現(xiàn)貨價(jià)錢施權(quán)價(jià)斜率就是c/ SDr. Fan.10期權(quán)價(jià)值方程是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合所以將與的公式代入，得到：去掉tBlack-Scholes Differential EquationDr. Fan.11這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它現(xiàn)實(shí)上適用于其價(jià)錢取決于標(biāo)的證券價(jià)錢S的一切衍生證券的定價(jià)。值得強(qiáng)調(diào)的是：上述投資組合只是在極短的時(shí)間內(nèi)才是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。 會(huì)不斷地發(fā)生變化。Dr. Fan.參數(shù)的了解：幾何布朗運(yùn)動(dòng)中的期望收益率，短時(shí)期內(nèi)的期望值。根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)原理

6、， 取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率程度、以及市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。由于后者涉及客觀要素，因此的決議本身就較復(fù)雜。然而僥幸的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率是無(wú)關(guān)的。較長(zhǎng)時(shí)間段后的延續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于 ，這是由于較長(zhǎng)時(shí)間段后的延續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時(shí)間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時(shí)間內(nèi)的收益率那么是算術(shù)平均的結(jié)果。：是證券價(jià)錢的年動(dòng)搖率，又是股票價(jià)錢對(duì)數(shù)收益率的年規(guī)范差因此普通從歷史的價(jià)錢數(shù)據(jù)中計(jì)算出樣本對(duì)數(shù)收益率的規(guī)范差，再對(duì)時(shí)間規(guī)范化，得到年規(guī)范差，即為動(dòng)搖率的估計(jì)值。普通來(lái)說(shuō)，時(shí)間越近越好；時(shí)間窗口太長(zhǎng)也不好；采用買賣天數(shù)而不采用日歷天數(shù)。.13

7、.2 BSM模型中的收益率如前述，我們用幾何布朗運(yùn)動(dòng)描畫標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢變動(dòng)軌跡的緣由在于：投資者感興趣的不是股票價(jià)錢S，而是獨(dú)立于價(jià)錢的收益率。投資者不是期望股票價(jià)錢以一定的絕對(duì)價(jià)錢增長(zhǎng)，而是期望股票價(jià)錢以一定的增長(zhǎng)率在增長(zhǎng)。因此需求用百分比收益率替代絕對(duì)的股票價(jià)錢。幾何布朗運(yùn)動(dòng)最終隱含的是：股票價(jià)錢的延續(xù)復(fù)利收益率而不是百分比收益率為正態(tài)分布；股票價(jià)錢為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這比較符合現(xiàn)實(shí)。.百分比收益率與延續(xù)復(fù)利收益率百分比收益率：延續(xù)復(fù)利收益率:百分比收益率的缺陷與延續(xù)復(fù)利收益率的優(yōu)點(diǎn)：有限責(zé)任原那么：金融學(xué)中經(jīng)常存在對(duì)實(shí)踐收益率近似服從正態(tài)分布的隱含假定，但是在有限責(zé)任投資者頂多賠償全部的投資，

8、不會(huì)損失更多原那么下，百分比收益率只在1和 之間變化，不符合正態(tài)分布假定。對(duì)數(shù)收益率 ， ：更適宜于建立正態(tài)分布的金融資產(chǎn)行為模型。多期收益率問題：即使假設(shè)單期的百分比收益率服從正態(tài)分布，多期的百分比收益率是單期百分比收益率的乘積，n個(gè)正態(tài)分布變量的乘積并非正態(tài)分布變量。從而產(chǎn)生悖論。多期的對(duì)數(shù)收益率是單期的對(duì)數(shù)收益率之和，依然服從正態(tài)分布。.百分比收益率與延續(xù)復(fù)利收益率假設(shè)用百分比表示，例如美圓對(duì)日元匯率變化收益率、日元對(duì)美圓匯率變化收益率，兩者絕對(duì)值不會(huì)相等；而且其中一個(gè)服從正態(tài)分布，另一個(gè)就無(wú)法服從正態(tài)分布；交叉匯率的收益率難以直接計(jì)算。假設(shè)用對(duì)數(shù)收益率表示，兩個(gè)相互的匯率收益率絕對(duì)值正

9、好相等而符號(hào)相反；可以滿足同時(shí)服從正態(tài)分布的假設(shè)；交叉匯率收益率可以直接相加計(jì)算。延續(xù)復(fù)利收益率的問題：雖然時(shí)間序列的收益率加總可以很容易的實(shí)現(xiàn)；但是橫截面的收益率加總那么不是單個(gè)資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均值，由于對(duì)數(shù)之和不是和的對(duì)數(shù)。但是在很短時(shí)間內(nèi)幾乎可以以為是近似。JP摩根銀行的RiskMetrics方法就假定組合的收益率是單個(gè)資產(chǎn)延續(xù)復(fù)利收益率的加權(quán)平均。.實(shí)踐實(shí)現(xiàn)的收益率：課本(13.6)收益率分布：課本(13.7)16Dr. Fan.13.3 股票價(jià)錢動(dòng)搖率及其估計(jì)：是證券價(jià)錢的年動(dòng)搖率，又是股票價(jià)錢對(duì)數(shù)收益率的年規(guī)范差動(dòng)搖率的計(jì)算方法1：從歷史數(shù)據(jù)進(jìn)展估計(jì)可以從歷史的價(jià)錢數(shù)據(jù)中計(jì)算出樣

10、本對(duì)數(shù)收益率的規(guī)范差，再對(duì)時(shí)間規(guī)范化，得到年規(guī)范差，即為動(dòng)搖率的估計(jì)值。普通來(lái)說(shuō)，時(shí)間越近越好；時(shí)間窗口太長(zhǎng)也不好；采用買賣天數(shù)而不采用日歷天數(shù)。動(dòng)搖率的計(jì)算方法2：隱含動(dòng)搖率，伸引波幅.估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢的歷史動(dòng)搖率歷史動(dòng)搖率就是從標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢的歷史數(shù)據(jù)中計(jì)算出價(jià)錢收益率的規(guī)范差。計(jì)算動(dòng)搖率的方法：計(jì)算樣本均值和規(guī)范差的簡(jiǎn)一方法。步驟:(1) 從市場(chǎng)上獲得標(biāo)的資產(chǎn)如股票在固定時(shí)間間隔如每天、每周或每月等的價(jià)錢；(2) 對(duì)于每個(gè)時(shí)間段，求出該時(shí)間段末的股價(jià)與該時(shí)間段初的股價(jià)之比的自然對(duì)數(shù)；(3) 求出這些對(duì)數(shù)的規(guī)范差，再乘以一年中包含的時(shí)段數(shù)的平方根.詳細(xì)計(jì)算過程：規(guī)范差s的通常估計(jì)為：還需求換

11、算成年動(dòng)搖率：注：一切參數(shù)的定義見課本.關(guān)于n的選擇普通來(lái)說(shuō)，數(shù)據(jù)越多，計(jì)算精度越高。但同時(shí)，動(dòng)搖率本身也會(huì)隨著時(shí)間改動(dòng)而變化，因此過老的歷史數(shù)據(jù)對(duì)于預(yù)測(cè)未來(lái)的價(jià)錢變化，能夠不起任何作用。如何處理？一種做法是選擇90-180天的收盤價(jià)數(shù)據(jù)或者是將n設(shè)定為將運(yùn)用動(dòng)搖率的期限。例如，預(yù)測(cè)兩年期的期權(quán)估值，就用過去兩年的歷史數(shù)據(jù)。.【例】以煙臺(tái)萬(wàn)華為例引見歷史動(dòng)搖率確實(shí)定表13- 6 煙臺(tái)萬(wàn)華股票歷史動(dòng)搖率計(jì)算數(shù)據(jù)日期收盤價(jià)Pt(元)收益率ui 2005-2-2415.60 2005-2-2515.57-0.00190.0001 2005-2-2815.35-0.01420.0004 2005-3-

12、115.350.00000.0000 2005-3-215.29-0.00390.0001 2005-3-315.470.01170.0000 2005-3-415.570.00640.0000 2005-3-716.370.05010.0019 2005-3-816.460.00550.0000 2005-3-916.960.02990.0005 2005-3-1016.71-0.01490.0005合計(jì)0.06870.0036均值0.0069方差0.0004標(biāo)準(zhǔn)差(日)0.0200標(biāo)準(zhǔn)差(年)0.3175.隱含動(dòng)搖率即根據(jù)B/S期權(quán)定價(jià)公式，將公式中除了動(dòng)搖率以外的參數(shù)和市場(chǎng)上的期權(quán)報(bào)價(jià)代

13、入，計(jì)算得到的動(dòng)搖率可以看作是市場(chǎng)對(duì)未來(lái)動(dòng)搖率的預(yù)期。隱含動(dòng)搖率的計(jì)算普通需求經(jīng)過計(jì)算機(jī)完成。.2413.4 BSM模型與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理從BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價(jià)值決議公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià)S、時(shí)間t、證券價(jià)錢的動(dòng)搖率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于客觀變量風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。而受制于客觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決議公式中。由此我們可以利用BS公式得到的結(jié)論，作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們的任務(wù)的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，一切投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。Dr. Fan.25風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理所謂風(fēng)險(xiǎn)中性，即無(wú)論實(shí)踐風(fēng)險(xiǎn)如何，投資者都

14、只需求無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率報(bào)答。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的結(jié)果：我們進(jìn)入了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界一切證券的預(yù)期收益率都可以等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率一切現(xiàn)金流量都可以經(jīng)過無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)展貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。雖然風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但BS發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的一切情況。也就是說(shuō)，我們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適宜于現(xiàn)實(shí)世界。Dr. Fan.26An Example假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)錢要么是11元，要么是9元。如今我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)錢為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。

15、由于歐式期權(quán)不會(huì)提早執(zhí)行，其價(jià)值取決于3個(gè)月后股票的市價(jià)。假設(shè)3個(gè)月后該股票價(jià)錢等于11元，那么該期權(quán)價(jià)值為0.5元；假設(shè)3個(gè)月后該股票價(jià)錢等于9元，那么該期權(quán)價(jià)值為0。為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。假設(shè)3個(gè)月后該股票價(jià)錢等于11元時(shí)，該組合價(jià)值等于110.5元；假設(shè)3個(gè)月后該股票價(jià)錢等于9元時(shí)，該組合價(jià)值等于9元。為了使該組合價(jià)值處于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)形狀，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹担?個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著：110.5=9 =0.25因此，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無(wú)論3個(gè)月后股票價(jià)錢等于11元還是9元，該組

16、合價(jià)值都將等于2.25元。Dr. Fan.27在沒有套利時(shí)機(jī)情況下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。假設(shè)如今的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，那么該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：2.25e-0.10.25=2.19由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)價(jià)錢為10元，因此：100.25-f2.19; f0.31這就是說(shuō)，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元，否那么就會(huì)存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利時(shí)機(jī)。Dr. Fan.28從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需求知道股票價(jià)錢上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。現(xiàn)實(shí)上，只需股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率

17、也就確定了。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，那么股票上升的概率P可以經(jīng)過下式來(lái)求：10=e-0.10.2511p+9(1-p)P=62.66%。又如，假設(shè)在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，那么股票的上升概率可以經(jīng)過下式來(lái)求：10=e-0.150.2511p+9(1-p)P=69.11%?？梢?，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決議了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決議了股票升跌的概率。然而，無(wú)論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度如何，從而無(wú)論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價(jià)值都等于0.31元。Dr. Fan.29前文的兩個(gè)重要結(jié)論股票價(jià)錢服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理Dr. Fan.3013.5

18、BS微分方程的運(yùn)用：1.期貨估值期貨可以用來(lái)做套期保值，也即組建無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合。因此實(shí)際上期貨合約的價(jià)值與現(xiàn)貨價(jià)值也應(yīng)該滿足Black Scholes Differential Equation。期貨合約價(jià)值公式：從而：BSDE右半部：BSDE左半部：Dr. Fan.31BS微分方程運(yùn)用2：Black-Scholes模型看漲期權(quán)的價(jià)錢為歐式期權(quán)到期時(shí)期望值在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的現(xiàn)值股票價(jià)錢的概率分布期權(quán)價(jià)錢的解Dr. Fan.闡明：Black-Scholes公式存在五個(gè)投入：S，當(dāng)前的股票價(jià)錢； K，期權(quán)的行權(quán)價(jià)錢； s，股票的動(dòng)搖率； r，延續(xù)復(fù)合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率； T，生命期假設(shè)需求思索紅利，那么引

19、入d，股票上的股利收益。 . 在Black-Scholes公式中，N(x)是累積正態(tài)分布函數(shù)，它是從一個(gè)規(guī)范正態(tài)分布即，一個(gè)均值為0和方差為1的正態(tài)分布中隨機(jī)抽取的一個(gè)將小于x的數(shù)字的概率。 任何x有1 N(x) = N(x)。.圖18-2 頂部面版：正態(tài)曲線下0.3左邊的面積。底部面版：累積正態(tài)分布。在x = 0.3處的高度，由N(0, 3)給出，是0.6179。. C(S, K, s, r, T, d) = SedT KerT.例12.1 令S = $41，K = $40，s = 0.30，r = 8%，T = 0.253個(gè)月和d = 0。計(jì)算Black-Scholes看漲期權(quán)價(jià)錢，我們得

20、到 $41 $40 = $3.399 .37Black-Scholes模型看跌期權(quán)的價(jià)錢為歐式期權(quán)到期時(shí)期望值的現(xiàn)值股票價(jià)錢的概率分布期權(quán)價(jià)錢的解Dr. Fan.38對(duì)B-S公式了解1N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，即是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率；Xe-r(T-t) N(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)e-r(T-t) STN(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。它代表這么一個(gè)變量，ST大于X時(shí)，該變量等于ST ，其他時(shí)候取值為0 。Dr. Fan.392N(d1)是復(fù)制買賣戰(zhàn)略中股票的數(shù)量，SN(d1)就是股票的市值。-e-r(T-t)XN(d2)那么是復(fù)制買賣戰(zhàn)

21、略中負(fù)債的價(jià)值。3從金融工程的角度來(lái)看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)(Assetornoting call option)多頭和現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)(cashornothing option)空頭。 Dr. Fan.40在標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益情況下，由于Cc，因此上式也給出了無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價(jià)值。根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系，可以得到無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式：pXe-r(T-t) N(-d2)SN(-d1)Dr. Fan.41Black-Scholes模型看跌期權(quán)的價(jià)錢為歐式期權(quán)到期時(shí)期望值的現(xiàn)值股票價(jià)錢的概率分布期權(quán)價(jià)錢的解Dr. Fan.42由于美式看

22、跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價(jià)關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)的定價(jià)還沒有得到一個(gè)準(zhǔn)確的解析公式。美式看跌期權(quán)可以用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數(shù)值方法以及解析近似方法求出。Dr. Fan.4313.6 期權(quán)方程的性質(zhì)S的大小當(dāng)S很大時(shí)d1和d2都很大，從而N(d1)和N(d2)都接近1那么cSXe-r(T-t)d1和d2都很大，從而N(-d1)和N(-d2)都接近0那么p000當(dāng)S很小時(shí)d1和d2都很小，從而N(d1)和N(d2)都接近0那么c000d1和d2都很小，從而N(-d1)和N(-d2)都接近1那么pXe-r(T-t) S Dr. Fan.44期權(quán)方程的性質(zhì)S的方差接近0Ser(

23、T-t)X 0那么ln(S/X)+r(T-t)0，d1和d2均趨于無(wú)窮大看漲期權(quán)的價(jià)錢 cSXe-r(T-t)看跌期權(quán)的價(jià)錢 p0含義：當(dāng)股票價(jià)錢沒有動(dòng)搖風(fēng)險(xiǎn)，并且在未來(lái)一定大于施權(quán)價(jià)時(shí)，看漲期權(quán)等于價(jià)差的折現(xiàn)值，看跌期權(quán)沒有價(jià)值。Ser(T-t)X 0那么ln(S/X)+r(T-t)0，那么查表所得概率應(yīng)加上0.5； 假設(shè)d S(tn)DnXe-r(T-tn)假設(shè) S(tn)DnXe-r(T-tn) S(tn)X期權(quán)就不會(huì)被執(zhí)行，此時(shí)Dn S(ti)X那么期權(quán)不會(huì)被執(zhí)行，此時(shí)Di X1-e-r(ti+1ti)Xr(ti+1ti)0t1t1tn期權(quán)到期D1D2DnDr. Fan.62例如：美式

24、期權(quán)某股票美式看漲期權(quán)將在6個(gè)月后到期，該股票將在2個(gè)月和5個(gè)月后分別發(fā)放0.5元的紅利。股票現(xiàn)價(jià)40元，施權(quán)價(jià)40元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為9%，股票價(jià)錢年度規(guī)范差為30%，問該期權(quán)的價(jià)值為多少？首先計(jì)算X1-e-r(t2t1)40(1e-0.09(5-2)/120.89X1-e-r(Tt2) 40(1e-0.09(6-5)/120.300.50D2所以，期權(quán)會(huì)在第二次發(fā)紅利時(shí)5個(gè)月后被執(zhí)行。假設(shè)存在一個(gè)歐式看漲期權(quán)，期限還有5個(gè)月，2個(gè)月后發(fā)放一次紅利，其他條件與此題一樣。這個(gè)期權(quán)在價(jià)值上應(yīng)該等同于5個(gè)月以后執(zhí)行的美式期權(quán)。經(jīng)計(jì)算得出此歐式期權(quán)價(jià)值為3.52。Dr. Fan.63例2假設(shè)一種1年期的

25、美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在5個(gè)月和11個(gè)月后各有一個(gè)除權(quán)日，每個(gè)除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價(jià)為50元，期權(quán)協(xié)議價(jià)錢為50元，標(biāo)的股票動(dòng)搖率為每年30，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)延續(xù)復(fù)利年利率為10，求該期權(quán)的價(jià)值。 Dr. Fan.64首先我們要看看該期權(quán)能否應(yīng)提早執(zhí)行。根據(jù)前面的結(jié)論，美式看漲期權(quán)不能提早執(zhí)行的條件是： Dr. Fan.65在本例中，D1=D21.0元。第一次除權(quán)日前不等式右邊為X1-e-r(t1-t2)50(1e0.10.5)2.4385由于2.43851.0元，因此在第一個(gè)除權(quán)日前期權(quán)不該當(dāng)執(zhí)行.第二次除權(quán)日前不等右邊為：X1-e-r(T-t2)50(1e0.10.08

26、33)0.4148由于0.41481.0元，因此在第二個(gè)除權(quán)日前有能夠提早執(zhí)行然后，要比較1年期和11個(gè)月期歐式看漲期權(quán)價(jià)錢。 Dr. Fan.66對(duì)于1年期歐式看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，由于紅利的現(xiàn)值為：1.0e-0.10.4167十1.060.10. 91671.8716元因此S=48.1284，代入式(10)得：c1248.1284N(d1)一50e0.11N(d2)48.1284 N(d1)一45.2419 N(d2) 其中d1 =1n(48.128450)十(0.1十0.092)1 /0.31= 0.3562d2=0.3526-0.310.0562由于N(0.3562)0.6392N(0.056

27、2)0.5224c1248.12840.639245.24190.52247.1293元Dr. Fan.67對(duì)于11個(gè)月期的歐式看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，由于紅利的現(xiàn)值為：1.0e-0.10.4167=0.9592元因此S=49.0408元，代入式(10)得c1149.0408N(d1)一50e0.10.9167N(d2)49.0408N(d1)一45.6203N(d2) 其中：d1 =1n(49.040850)十(0.1十0.092)0.9167 /0.30.9167= 0.3952d2=0.3952-0.30.91677.2824c1149.04040.653645.62030.5437.2824由于

28、C11C12，因此該美式看漲期權(quán)價(jià)值近似為7.2824元 Dr. Fan.682、美式看跌期權(quán)由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提早執(zhí)行的能夠性減小，但仍不排除提早執(zhí)行的能夠性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價(jià)值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能經(jīng)過較復(fù)雜的數(shù)值方法來(lái)求出。Dr. Fan.6913.10BS模型存在的主要問題中心思想: 在知股票價(jià)錢未來(lái)分布的假設(shè)下，可以用股票和一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券組合動(dòng)態(tài)復(fù)制期權(quán)的收益進(jìn)展避險(xiǎn)，而期權(quán)的價(jià)錢就等于動(dòng)態(tài)復(fù)制所需的本錢。BS 模型在實(shí)際運(yùn)用方面被廣泛采用。但實(shí)際本身涉及一些與實(shí)踐環(huán)境不相吻合的假設(shè)，導(dǎo)致BS 模型價(jià)錢與實(shí)踐期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)錢經(jīng)常有很大的差距，因此該模型價(jià)錢只能

29、作為參考價(jià)錢。Dr. Fan.70B-S模型實(shí)際價(jià)錢與實(shí)踐價(jià)錢不符合的兩個(gè)要素： 1、買賣本錢與買賣的不延續(xù)性。 BS模型中假設(shè)不存在買賣本錢且證券買賣是延續(xù)的, 因此人們可以不斷調(diào)整delta來(lái)執(zhí)行避險(xiǎn)戰(zhàn)略即構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合。 實(shí)務(wù)中，這種做法將導(dǎo)致累積買賣本錢很高，因此只能采取延續(xù)性買賣降低了買賣本錢，但誤差也隨之而來(lái)。 2、股價(jià)分布與動(dòng)搖率。 BS模型所假設(shè)的股票價(jià)錢的分布和實(shí)踐分布不同，根據(jù)模型得到的delta也就不準(zhǔn)確，這也呵斥動(dòng)態(tài)復(fù)制的本錢偏離期權(quán)價(jià)錢。 Dr. Fan.71B-S模型針對(duì)BS 模型的這些與實(shí)踐不符的假設(shè)條件，修正與推行主要地可分為兩類： (1)不完美市場(chǎng)，包括引入買

30、賣本錢及非延續(xù)避險(xiǎn)； (2)股價(jià)收益率及動(dòng)搖率分布過程，采用與BS 模型不同的假設(shè)。也存在其它一些修正，如針對(duì)BS 模型中利率固定的假設(shè)，引入隨機(jī)利率模型等默頓。 Dr. Fan.72不完美市場(chǎng) Leland(1985) 開創(chuàng)性地提出對(duì)BS模型采用一種修正的動(dòng)搖率，來(lái)處理買賣本錢帶來(lái)的避險(xiǎn)誤差問題。其根本思想是：在延續(xù)時(shí)間的BS模型框架下，假設(shè)在給定的時(shí)間間隔進(jìn)展避險(xiǎn)調(diào)整，經(jīng)過在動(dòng)搖率中參與包含買賣本錢的要素，使得期權(quán)價(jià)錢的添加恰好能抵消買賣本錢，從而對(duì)BS公式做出修正，使之仍可運(yùn)用于避險(xiǎn)操作。 Dr. Fan.73股價(jià)收益率及動(dòng)搖率分布 BS模型假設(shè)：S服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，動(dòng)搖率為常數(shù)。然而，

31、實(shí)證研討闡明，BS模型并不能很好的刻劃股價(jià)動(dòng)搖率的以下幾方面的特征： 1動(dòng)搖率淺笑 2厚尾 fat tail分布3群聚景象4均值回復(fù) 5杠桿作用6其他閱歷特征，如隱含動(dòng)搖率期限構(gòu)造、隔夜與周末效應(yīng)、分紅效應(yīng)、溢出效應(yīng)、信息到達(dá)效應(yīng)等。 7在我國(guó)還需思索：賣空、漲跌幅限制、買賣價(jià)差Dr. Fan.注：動(dòng)搖率淺笑：根據(jù)BS模型假設(shè)，動(dòng)搖率應(yīng)該與執(zhí)行價(jià)無(wú)關(guān)且是常數(shù)，而實(shí)踐上隱含動(dòng)搖率作為執(zhí)行價(jià)錢的函數(shù)曲線呈現(xiàn)兩頭上翹的形狀。見CH18(7th)或CH16(6th)。群聚景象 : 即動(dòng)搖率一個(gè)時(shí)期高而另一個(gè)時(shí)期低，且在不同時(shí)期間的變換是不可預(yù)測(cè)的.均值回復(fù): 動(dòng)搖率圍繞一個(gè)常數(shù)值震蕩，意味著動(dòng)搖率傾向

32、于回到長(zhǎng)期均值的程度 .杠桿作用: 動(dòng)搖率與股價(jià)運(yùn)動(dòng)之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系 .74Dr. Fan.75股價(jià)收益率及動(dòng)搖率分布Merton1976提出股價(jià)途徑應(yīng)是一個(gè)騰躍分散過程。假設(shè)資產(chǎn)價(jià)錢變化過程中的騰躍成分與整個(gè)市場(chǎng)無(wú)關(guān)的話，就屬于可分散風(fēng)險(xiǎn)，可分散風(fēng)險(xiǎn)不應(yīng)該獲得期望收益。利用幾何布朗運(yùn)動(dòng)描畫只需系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)價(jià)錢運(yùn)動(dòng)，用Poisson隨機(jī)過程描畫產(chǎn)生非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的偶爾的資產(chǎn)價(jià)錢的騰躍，并且假設(shè)騰躍幅度服從正態(tài)分布，經(jīng)過求解隨機(jī)方程可得出期權(quán)定價(jià)公式。Dr. Fan.76股價(jià)收益率及動(dòng)搖率分布對(duì)于BS 模型中動(dòng)搖率為常數(shù)的修正，大致上可根據(jù)所指定的動(dòng)搖率函數(shù)的特點(diǎn)分為兩類： 1確定性動(dòng)搖率模型：

33、這類模型是將動(dòng)搖率作為標(biāo)的股票價(jià)錢程度的函數(shù)，主要包括方差彈性為常數(shù)的CEV 不變方差彈性模型； 2隨機(jī)動(dòng)搖率模型：它們假設(shè)動(dòng)搖率服從一個(gè)隨機(jī)過程。這兩類模型均需求利用期權(quán)市場(chǎng)的數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)模型的參數(shù)。 Dr. Fan.13.11權(quán)證的估值權(quán)證的種類認(rèn)購(gòu)權(quán)證認(rèn)售權(quán)證1.按權(quán)益行使方向2. 按行使期間歐式權(quán)證美式權(quán)證3. 按發(fā)行人股本權(quán)證備兌權(quán)證由上市公司發(fā)行，行權(quán)后添加股份公司的股本由標(biāo)的資產(chǎn)發(fā)行人以外的第三方(如券商等金融機(jī)構(gòu))發(fā)行，認(rèn)兌的股票是曾經(jīng)上市流通的股票，不會(huì)呵斥總股本的添加。.Dr. Fan78認(rèn)股權(quán)證的價(jià)值認(rèn)購(gòu)權(quán)證與看漲期權(quán)的一個(gè)不同點(diǎn)：看漲期權(quán)執(zhí)行時(shí)，公司股票數(shù)量不會(huì)發(fā)生變化；

34、而權(quán)證以及雇員股票期權(quán)行權(quán)時(shí)，公司必需發(fā)行更多股票，再以執(zhí)行價(jià)錢售予權(quán)證/期權(quán)持有者。由于執(zhí)行價(jià)錢低于股票市場(chǎng)價(jià)錢留意是看漲期權(quán)，因此它們的行權(quán)將導(dǎo)致現(xiàn)有股票持有者的利益被稀釋稀釋效應(yīng)。.Dr. Fan79認(rèn)股權(quán)證的價(jià)值假設(shè)某公司當(dāng)前流通股總數(shù)為N，公司總價(jià)值為V。同時(shí)該公司還存在M份流通的認(rèn)股權(quán)證，每份認(rèn)股權(quán)證可以以X元的價(jià)錢認(rèn)購(gòu)1份新股。問每份認(rèn)股權(quán)證立刻執(zhí)行的價(jià)值是多少？分析施權(quán)之后公司總市值VMX施權(quán)之后公司總股份NM施權(quán)之后公司每股價(jià)錢(V+MX)/(N+M)每份認(rèn)股權(quán)證施權(quán)本錢X每份認(rèn)股權(quán)證立刻執(zhí)行的價(jià)值(V+MX)/(N+M)X.權(quán)證價(jià)值內(nèi)在價(jià)值時(shí)間價(jià)值權(quán)證定價(jià)方式：B/S模型1

35、. 內(nèi)在價(jià)值 權(quán)證行權(quán)價(jià)與標(biāo)的股票市價(jià)之間的價(jià)錢差額 美式權(quán)證價(jià)值主要取決于內(nèi)在價(jià)值. 內(nèi)含價(jià)值計(jì)算方式認(rèn)購(gòu)權(quán)證：認(rèn)售權(quán)證： Cw：認(rèn)購(gòu)權(quán)證內(nèi)含價(jià)值Pw：認(rèn)售權(quán)證內(nèi)含價(jià)值N：轉(zhuǎn)換比率，即每份認(rèn)購(gòu)售權(quán)證能購(gòu)買出賣的普通股股數(shù)S：普通股每股市價(jià)K：行權(quán)價(jià)錢 當(dāng)公司發(fā)行股票或股票分割，權(quán)證的執(zhí)行價(jià)錢將會(huì)自動(dòng)調(diào)整 【例】1995年4月，BJ效力公司(B.J.Services)為一次兼并活動(dòng)發(fā)行了480萬(wàn)份認(rèn)購(gòu)權(quán)證，用以支付兼并所需求的部分款項(xiàng)。每份認(rèn)購(gòu)權(quán)證允許其持有者在2000年4月之前以每股30美圓的價(jià)錢購(gòu)買一份BJ效力公司的股票。這些認(rèn)購(gòu)權(quán)證發(fā)行時(shí)，股票價(jià)錢為19美圓。因此，當(dāng)1998年BJ效力公

36、司將股票1股分割為2股時(shí)，每份認(rèn)購(gòu)權(quán)證的持有者就獲得了認(rèn)購(gòu)2股股票的權(quán)益，而其認(rèn)購(gòu)價(jià)錢那么降為15美圓。2000年4月，即該認(rèn)購(gòu)權(quán)證最終到期時(shí)，股票價(jià)錢已升至70美圓，因此，可認(rèn)購(gòu)2股股票的一份認(rèn)購(gòu)權(quán)證的內(nèi)含價(jià)值為110美圓(27015)。 權(quán)證的內(nèi)含價(jià)值構(gòu)成了出賣認(rèn)購(gòu)權(quán)證的最低極限價(jià)錢 .2. 時(shí)間價(jià)值 權(quán)證存續(xù)期內(nèi)由于標(biāo)的股票市價(jià)動(dòng)搖能夠帶來(lái)的收益 歐式權(quán)證價(jià)值主要取決于時(shí)間價(jià)值 時(shí)間價(jià)值主要與權(quán)證剩余時(shí)間和標(biāo)的資產(chǎn)動(dòng)搖率等要素有關(guān) 間隔到期日時(shí)間越長(zhǎng)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢動(dòng)搖的能夠性就越大，因此時(shí)間價(jià)值也越大。 隨著時(shí)間的消逝，權(quán)證時(shí)間價(jià)值逐漸下降。 無(wú)論是認(rèn)購(gòu)還是認(rèn)售權(quán)證，標(biāo)的資產(chǎn)動(dòng)搖率的添加

37、都會(huì)添加權(quán)證持有人獲利的時(shí)機(jī)，因此標(biāo)的資產(chǎn)動(dòng)搖率越大，認(rèn)購(gòu)和認(rèn)售權(quán)證的價(jià)值越高。3. 影響權(quán)證價(jià)值的其他要素 股利等要素.三權(quán)證價(jià)值稀釋或增值效應(yīng) S：普通股當(dāng)前每股價(jià)值 N：認(rèn)購(gòu)權(quán)證行使前公司發(fā)行在外的普通股股數(shù) n：每張認(rèn)購(gòu)權(quán)證可以購(gòu)買普通股票的數(shù)量 W：發(fā)行認(rèn)購(gòu)權(quán)證的數(shù)量 K：認(rèn)購(gòu)價(jià)錢 1. 認(rèn)購(gòu)權(quán)證稀釋效應(yīng)1根據(jù)認(rèn)購(gòu)權(quán)證被執(zhí)行后的預(yù)期稀釋效應(yīng)對(duì)股票價(jià)錢進(jìn)展調(diào)整，稀釋后普通股的每股價(jià)值為：2根據(jù)BS模型計(jì)算普通股買權(quán)價(jià)值，BS模型中所用的方差是公司股票價(jià)值的方差。. 3根據(jù)認(rèn)購(gòu)權(quán)證與普通股買權(quán)價(jià)值的關(guān)系計(jì)算認(rèn)購(gòu)權(quán)證價(jià)值，每份認(rèn)購(gòu)權(quán)證的內(nèi)含價(jià)值為：普通股買權(quán)價(jià)值 公司認(rèn)購(gòu)權(quán)證價(jià)值等于公司股

38、票普通股買權(quán)價(jià)值的倍 . 2. 認(rèn)售權(quán)證價(jià)值增值效應(yīng) 對(duì)于認(rèn)售權(quán)證來(lái)說(shuō)，行權(quán)后流通在外的普通股股數(shù)會(huì)減少，在其他要素不變的情況下，股票的預(yù)期價(jià)錢變?yōu)椋?根據(jù)認(rèn)售權(quán)證與普通股賣權(quán)價(jià)值關(guān)系，每份認(rèn)售權(quán)證的內(nèi)含價(jià)值為：普通股賣權(quán)價(jià)值 公司認(rèn)售權(quán)證價(jià)值等于公司股票普通股賣權(quán)價(jià)值的倍 . 【例】2006年4月27日煙臺(tái)萬(wàn)華認(rèn)購(gòu)權(quán)證和認(rèn)售權(quán)證在上海證券買賣所掛牌上市，萬(wàn)華蝶式權(quán)證價(jià)值評(píng)價(jià)有關(guān)的資料如表13-1所示：表13- 1 萬(wàn)華蝶式權(quán)證根本要素權(quán)證要素認(rèn)股權(quán)證認(rèn)售權(quán)證1.行權(quán)方式歐式，僅可在權(quán)證存續(xù)期間最后5個(gè)可上市交易日行權(quán)歐式，僅可在權(quán)證存續(xù)期間最后5個(gè)可上市交易日行權(quán)2.行權(quán)價(jià)9.00元13.0

39、0元3.行權(quán)比例1，即1份認(rèn)購(gòu)權(quán)證可按行權(quán)價(jià)向公司購(gòu)買1股煙臺(tái)萬(wàn)華A股股票1，即1份認(rèn)售權(quán)證可按行權(quán)價(jià)向公司出售1股煙臺(tái)萬(wàn)華A股股票4.結(jié)算方式證券給付方式結(jié)算，即認(rèn)購(gòu)權(quán)證持有人行權(quán)時(shí)，應(yīng)支付依行權(quán)價(jià)格及行權(quán)比例計(jì)算的價(jià)款，并獲得相應(yīng)數(shù)量的煙臺(tái)萬(wàn)華A股股票證券給付方式結(jié)算，即認(rèn)售權(quán)證持有人行權(quán)時(shí)，將向公司支付根據(jù)行權(quán)比例計(jì)算的煙臺(tái)萬(wàn)華A股股票，并獲得依行權(quán)價(jià)格計(jì)算的價(jià)款5.權(quán)證存續(xù)期間2006年4月27日至2007年4月26日，共計(jì)12個(gè)月2006年4月27日至2007年4月26日，共計(jì)12個(gè)月6.權(quán)證行權(quán)日2007年4月20日至2007年4月26日，共計(jì)5天2007年4月20日至2007年4

40、月26日，共計(jì)5天7.權(quán)證上市總數(shù)5 657.6萬(wàn)份8 486.4萬(wàn)份.萬(wàn)華權(quán)證的各種參數(shù)值 1股票價(jià)錢限權(quán)證上市前一天2006年4月26日煙臺(tái)萬(wàn)華收盤價(jià)16.74元； 2動(dòng)搖率取2005年2月24日至2006年2月24日煙臺(tái)萬(wàn)華股票收益率的歷史動(dòng)搖率45.53%； 3無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率取一年期存款利率2.25%，按延續(xù)復(fù)利計(jì)算為2.2755%，即： 4存續(xù)期為1年；5認(rèn)購(gòu)權(quán)證行權(quán)價(jià)為9.00元；認(rèn)售權(quán)證行權(quán)價(jià)為13.00元。. 萬(wàn)華蝶式權(quán)證價(jià)值 1認(rèn)購(gòu)權(quán)證價(jià)值 第一步，計(jì)算認(rèn)購(gòu)權(quán)證被執(zhí)行后，普通股預(yù)期每股價(jià)值。 2006年4月26日萬(wàn)華流通股股數(shù)為84 864萬(wàn)股，每股市場(chǎng)價(jià)錢為16.74元，假設(shè)一年后認(rèn)購(gòu)權(quán)證5 657.6萬(wàn)份按每股9元行權(quán)，普通股每股價(jià)值為： 第二步，計(jì)算萬(wàn)華股票買權(quán)價(jià)值。 根據(jù)B/S模型計(jì)算萬(wàn)華股票買權(quán)價(jià)值為7.682元。見表13-2.表13- 10 萬(wàn)華股票買權(quán)價(jià)值B/S模型 金額單位：元. 第三步，計(jì)算認(rèn)購(gòu)權(quán)證價(jià)值。 公司認(rèn)購(gòu)權(quán)證價(jià)值為公司股票買權(quán)價(jià)值的 倍 按稀釋后股價(jià)計(jì)算，認(rèn)購(gòu)權(quán)證價(jià)值為7.20元，低于權(quán)證的內(nèi)含價(jià)值7.26元16.26-9，那么會(huì)引起市場(chǎng)套利行為。 假設(shè)市場(chǎng)是有效的，這種套利活動(dòng)最終導(dǎo)致權(quán)證價(jià)錢超越7.26元。假設(shè)不思索權(quán)證稀釋效應(yīng)，