2018版高中數(shù)學(xué)第三章.2平面的法向量與平面的向量表示學(xué)案新人教B版

1、32.2平面的法向量與平面的向量表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平面的法向量的概念，會(huì)求平面的法向量.2.會(huì)用平面的法向量證明平面與平面平行、垂直.3.理解并會(huì)應(yīng)用三垂線(xiàn)定理及其逆定理，證明有關(guān)垂直問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一平面的法向量思考平面的法向量有何作用？是否唯一？梳理平面的法向量已知平面，如果_，則向量n叫做平面的法向量或說(shuō)向量n與平面正交知識(shí)點(diǎn)二平面的向量表示設(shè)A是空間任一點(diǎn)，n為空間內(nèi)任一非零向量，則適合條件_的點(diǎn)M的集合構(gòu)成的圖形是過(guò)空間內(nèi)一點(diǎn)A并且與n垂直的平面這個(gè)式子稱(chēng)為一個(gè)平面的向量表示式知識(shí)點(diǎn)三兩平面平行或垂直的判定及三垂線(xiàn)定理1兩平面平行或垂直的判定方法設(shè)n1，n2分別是平面，的法向量，則容易得

2、到或與重合_；_.2三垂線(xiàn)定理如果在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)與平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線(xiàn)垂直類(lèi)型一求平面的法向量例1如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)ABAP1，AD3，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個(gè)法向量引申探究若本例條件不變，試求直線(xiàn)PC的一個(gè)方向向量和平面PCD的一個(gè)法向量(2)選向量：在平面內(nèi)選取兩個(gè)不共線(xiàn)向量AB，AC.反思與感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為n(x，y，z)nAB0，(3)列方程組：由nAC0列出方程組nAB0，(4)解方程組：nAC0.(5)賦非零值：

3、取其中一個(gè)為非零值(常取1)(6)得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量跟蹤訓(xùn)練1如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形平面PAB平面ABCD，PAB是邊長(zhǎng)為1的正三角形，ABCD是菱形ABC60，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面DEF的法向量類(lèi)型二利用空間向量證明平行問(wèn)題例2已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.反思與感悟利用向量證明平行問(wèn)題，可以先建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關(guān)系證明平行問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練2如圖，在四棱

4、錐PABCD中，PA平面ABCD，PB與底面所成的角為45，底面ABCD為直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1，問(wèn)在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，12使CE平面PAB？若存在，求出E點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由類(lèi)型三三垂線(xiàn)定理及應(yīng)用例3在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1的中點(diǎn)求證：EO平面A1DB.反思與感悟利用三垂線(xiàn)定理及其逆定理證明線(xiàn)線(xiàn)垂直是一種常用方法，其基本環(huán)節(jié)有三個(gè)跟蹤訓(xùn)練3如圖，已知PO平面ABC，且O為ABC的垂心，求證：ABPC.11若直線(xiàn)l，且l的方向向量為(2，m，1)，平面的法向量為1，2，則m為(A4B6C8D82)2若兩個(gè)不同平面

5、，的法向量分別為u(1，2，1)，v(3，6，3)，則()AC，相交但不垂直BD以上均不正確23)3若a(1，是平面的一個(gè)法向量，則下列向量中能作為平面的法向量的是()A(0，1，2)C(1，2，3)B(3，6，9)D(3，6，8)4已知平面的法向量是(2，3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，則的值是()3D.1010AC6B635在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一個(gè)法向量為_(kāi)1用法向量來(lái)解決平面與平面的關(guān)系問(wèn)題，思路清楚，不必考慮圖形的位置關(guān)系，只需通過(guò)向量運(yùn)算，就可得到要證明的結(jié)果2利用三垂線(xiàn)定理證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，需先找到平面的一條垂線(xiàn)，有了垂線(xiàn)，才能作出斜線(xiàn)的射影，同時(shí)

6、要注意定理中的“平面內(nèi)的一條直線(xiàn)”這一條件，忽視這一條件，就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)果提醒：完成作業(yè)第三章3.2.2AMn0所以AB，AD，AP兩兩垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸的正方向，建立空間答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考平面的法向量與空間一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，利用平面的法向量可以判斷直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量不唯一，它們都是共線(xiàn)的梳理向量n的基線(xiàn)與平面垂直知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三1n1n2n1n2n1n20題型探究例1解因?yàn)镻A平面ABCD，底面ABCD為矩形，直角坐標(biāo)系，則D(0，3，0)，E(0，3，)，B(1，0，0)，C(1，3，0)，31于是AE(0，)，AC(1，3，

7、0)12222設(shè)n(x，y，z)為平面ACE的法向量，x3y0，nAC0，則nAE0，即312y2z0，x3y，所以z3y，令y1，則xz3.所以平面ACE的一個(gè)法向量為n(3，1，3)引申探究解如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，所以PC(1，3，1)即為直線(xiàn)PC的一個(gè)方向向量因?yàn)镈(0，3，0)，所以PD(0，3，1)則P(0，0，1)，C(1，3，0)，設(shè)平面PCD的法向量為n(x，y，z)nPC0，由nPD0，x3yz0，即3yz0，z3y，令y1，則z3.x0，所以所以平面PCD的一個(gè)法向量為n(0，1，3)跟蹤訓(xùn)練1解因?yàn)镻APB，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，所以PFAB，又因?yàn)槠矫鍼AB平面ABC

8、D，平面PAB平面ABCDAB，PF平面PAB.所以PF平面ABCD，因?yàn)锳BBC，ABC60，所以ABC是等邊三角形，所以CFAB.以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)由題意得F(0，0，0)，P(0，0，32)，D(1，32，0)，0)，E(0，)C(0，333244333所以FE(0，)，F(xiàn)D(1，0)442設(shè)平面DEF的法向量為m(x，y，z)4x3y0.xy，mFE0，則mFD0，zy，所以323y3z0，4即2令y2，則x3，z2.所以平面DEF的一個(gè)法向量為m(3，2，2)例2證明(1)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，所以FC1(0，2，1)，DA(2，0，0)，A

9、E(0，2，1)設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1DA，n1AE，即x10，因?yàn)镕C1n1220，所以FC1n1.(2)因?yàn)镃1B1(2，0，0)，設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量則有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，B1(2，2，2)，nDA2x0，11nAE2yz0，111得z12y1，令z12，則y11，所以n1(0，1，2)又因?yàn)镕C1平面ADE，所以FC1平面ADE.由n2FC1，n2C1B1，nFC2yz0，得2x20，122CBn2x0，2112得z22y2.令z

10、22，得y21，所以n2(0，1，2)，因?yàn)閚1n2，所以平面ADE平面B1C1F.跟蹤訓(xùn)練2解分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0，y，z)，則PE(0，y，z1)，PD(0，2，1)，PEPD，AD(0，2，0)是平面PAB的法向量，又CE(1，y1，z)，CE平面PAB，CEAD，(1，y1，z)(0，2，0)0.y1，代入得z，E是PD的中點(diǎn)，存在E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E為PD中點(diǎn)時(shí)，CE平面P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，y(1)2(z1)0，12PAB.例3證明方法一取F、G分別為DD1和AD的中點(diǎn)，連接EF、FG、GO、AC.由正方體的性質(zhì)知FG為EO在平面ADD1A1內(nèi)的射影又A1DFG，A1DEO(三垂線(xiàn)定理)又ACBD，CO為EO在平面ABCD內(nèi)的射影，EOBD(三垂線(xiàn)定理)又A1DBDD，EO平面A1DB.方法二連接AC、A1O、A1E，A1C1，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，由方法一已證BDOE，又