《土力學(xué)》教程 3 土應(yīng)力分布及計算

1、土力學(xué)教程（同濟大學(xué)土木工程學(xué)院編制）目錄土的應(yīng)力分布及計算學(xué)習(xí)指導(dǎo)土的自重應(yīng)力基礎(chǔ)底面壓力集中力作用下土中應(yīng)力計算分布荷載作用時的土中應(yīng)力計算本章小結(jié)第昌章土申學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)目標掌握土中自重應(yīng)力計算、基底壓力計算以及各種荷載條件下的土中附加應(yīng)力計算方法。學(xué)習(xí)基本要求掌握土中自重應(yīng)力計算掌握基底壓力和基底附加壓力分布與計算掌握圓形面積均布荷載、矩形面積均布荷載、矩形面積三角形分布荷載以及條形荷載等條件 下的土中豎向附加應(yīng)力計算方法了解地基中其他應(yīng)力分量的計算公式主要基礎(chǔ)知識材料應(yīng)力應(yīng)變基本概念園參閱：孫訓(xùn)方等編著，材料力學(xué)，高等教育出版社，1987。彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識、參閱：（1）徐芝倫著，彈性力

2、學(xué)，高等教育出版社，1990。（2）吳家龍編著，彈性力學(xué)，同濟大學(xué)出版社，1993。一、土的自重應(yīng)力由土體重力引起的應(yīng)力稱為自重應(yīng)力。自重應(yīng)力一般是自土體形成之日起就產(chǎn)生于土中。均質(zhì)地基土的自重應(yīng)力土體在自身重力作用下任一豎直切面均是對稱面，切面上都不存在切應(yīng)力。因此，在深度Z處平面上，土體因自 身重力產(chǎn)生的豎向應(yīng)力 (稱豎向自重應(yīng)力)等于單位面積上土柱體的重力皿如圖3-1所示。在深度乙處土的自重 應(yīng)力為：= = = (3-1)式中y為土的重度，kN/口3 ；f為土柱體的截面積，m2。從公式(3-1)可知，自重應(yīng)力隨深度z線性增加，呈三角形分布圖形。圖3-1均質(zhì)土的自重應(yīng)力成層地基土的自重應(yīng)力

3、地基土通常為成層土。當(dāng)?shù)鼗鶠槌蓪油馏w時，設(shè)各土層的厚度為凡，重度為y，則在深度z處土的自重應(yīng)力計算公式為汀E = 由1 + 眼+ 丫& = 川腐(3-2)i-1式中n為從天然地面到深度z處的土層數(shù)。有關(guān)土中自重應(yīng)力計算及其分布圖繪制的具體方法可參見例題3-1某土層及其物理性質(zhì)指標如圖3-2所示，地下水位在地表下1.0 m，計算土中自重應(yīng)力并繪出分布圖?！窘狻康?層：az=0 m，。世=股=口炒日點：八、z=1=18.6kPaxl = !.6kPa點.八、：z=2七=18.6kPaxl + (lE.gkPa-10kPa)xl = 18.6kPa-H8.8kPa = 27.4kPa第2層：d點.八

4、、：z=5=18.6EPaxl + (lg.gkPa-10kPa)xl + (lE.4kPa-10kPa)x3=18.6kPa + 8.8kJ)a + 25.2kPa = 52.6kPa土層中的自重應(yīng)力bcz分布如圖3 2所示。*=18.6 IcN/ni- 七舊B kN臨1S kPa27 一4 kPay=i8.i!=is.4 kN/irf疫kPa圖3-2 例題3 13.水平向自重應(yīng)力土的水平向自重應(yīng)力bcpb cy可用下式計算(3-3)式中K0為側(cè)壓力系數(shù)，也稱靜止土壓力系數(shù)，參見第六章。土的靜止土壓力系數(shù)K0確定方法4.土層中有地下水時的自重應(yīng)力當(dāng)計算地下水位以下土的自重應(yīng)力時，應(yīng)根據(jù)土的性

5、質(zhì)確定是否需要考慮水的浮力作用。通常認為水下的砂性土 是應(yīng)該考慮浮力作用的。粘性土則視其物理狀態(tài)而定，一般認為，若水下的粘性土其液性指數(shù)IL 1，則土處于流動 狀態(tài)，土顆粒之間存在著大量自由水，可認為土體受到水浮力作用，若ILW0,則土處于固體狀態(tài)，土中自由水受到土 顆粒間結(jié)合水膜的阻礙不能傳遞靜水壓力，故認為土體不受水的浮力作用，若0VILV1，土處于塑性狀態(tài)，土顆粒是 否受到水的浮力作用就較難肯定，在工程實踐中一般均按土體受到水浮力作用來考慮。若地下水位以下的土受到水的浮力作用，則水下部分土的重度按有效重度計算，其計算方法同成層土體情況。二、基礎(chǔ)底面壓力建筑物荷載通過基礎(chǔ)傳遞給地基的壓力稱

6、基底壓力，又稱地基反力。地基反力分布基底地基反力的分布規(guī)律主要取決于基礎(chǔ)的剛度和地基的變形條件。對柔性基礎(chǔ)，地基反力分布與上部荷載分布 基本相同，而基礎(chǔ)底面的沉降分布則是中央大而邊緣小，如由土筑成的路堤，其自重引起的地基反力分布與路堤斷面 形狀相同，如圖3-3所示。對剛性基礎(chǔ)（如箱形基礎(chǔ)或高爐基礎(chǔ)等），在外荷載作用下，基礎(chǔ)底面基本保持平面，即 基礎(chǔ)各點的沉降幾乎是相同的，但基礎(chǔ)底面的地基反力分布則不同于上部荷載的分布情況。剛性基礎(chǔ)在中心荷載作用 下，開始的地基反力呈馬鞍形分布；荷載較大時，邊緣地基土產(chǎn)生塑性變形，邊緣地基反力不再增加，使地基反力重 新分布而呈拋物線分布，若外荷載繼續(xù)增大，則地基

7、反力會繼續(xù)發(fā)展呈鐘形分布，如圖3-4所示。圖3-3柔性基礎(chǔ)下的基底壓力分布-：觀看形成過程模擬（a）理想柔性基礎(chǔ)（b）路堤下地基反力分布圖3-4岡。性基礎(chǔ)下壓力分布LU觀看形成過程模擬（a）馬鞍形（b）拋物線形（c）鐘形地基反力的簡化計算(3-4)實用上，通常將地基反力假設(shè)為線性分布情況按下列公式進行簡化計算:地基平均反力地基邊緣最大與最小反力ndn(3-5)式中F為作用在基礎(chǔ)頂面通過基底形心的豎向荷載，kN； G為基礎(chǔ)及其臺階上填土的總重，kN，G=YGAd，其中靖為 基礎(chǔ)和填土的平均重度，一般取Yg=20 kN/m3，地下水位以下取有效重度，d為基礎(chǔ)埋置深度；M為作用在基礎(chǔ)底面的 力矩，M

8、=（F+G）e，e為偏心距；W為基礎(chǔ)底面的抗彎截面模量，即式中l(wèi)，b為基底平面的長邊與短邊尺寸。將W的表達式代入（3-5）式得nonlb(3-5)1)當(dāng) e0;2)當(dāng) e = l/6 時基底地基反力呈三角形分布，p . =0； r min3) e1/6 時，即荷載作用點在截面核心外，PminV0;基底地基反力出現(xiàn)拉力。由于地基土不可能承受拉力，此時基底與地基土局部脫開，使基底地基反力重新分布。根據(jù)偏心荷載與基底地基反力的平衡條件，地基反力的合力作用線應(yīng)與偏心荷載作用線重合得基底邊緣最大地基反力p max為:2N圖3-5基底反力分布的簡化計算(a)中心荷載下 (成偏心荷載el/6時基底附加壓力基

9、礎(chǔ)通常是埋置在天然地面下一定深度的。由于天然土層在自重作用下的變形已經(jīng)完成，故只有超出基底處原有 自重應(yīng)力的那部分應(yīng)力才使地基產(chǎn)生附加變形，使地基產(chǎn)生附加變形的基底壓力稱為基底附加壓力p0。因此，基底附 加壓力是上部結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)傳到基底的地基反力與基底處原先存在于土中的自重應(yīng)力之差，按下式計算：口 =營一 5 =目一淚(3-7)式中p為基底地基反力，為區(qū)別于附加壓力，又稱基底總壓力；氣為基底處自重應(yīng)力；y為基底標高以上天然土層按 分層厚度的加權(quán)重度；基礎(chǔ)底面在地下水位以下，地下水位以下的土層用有效重度計算；8為基礎(chǔ)理置深度，簡稱基 礎(chǔ)埋深。三、土中附加應(yīng)力土中的附加應(yīng)力是由建筑物荷載所引起的應(yīng)力

10、增量，一般采用將基底附加壓力當(dāng)作作用在彈性半無限體表面上 的局部荷載，用彈性理論求解的方法計算。在均勻的、各向同性的半無限彈性體表面作用一豎向集中力Q時，半無限體內(nèi)任意點M的應(yīng)力（不考慮彈性體處的豎向位的體積力）可由布西奈斯克 解計算，如圖3-6所示。工程中常用的豎向正應(yīng)力及地表上距集中力為移w （沉降）可表示成如下形式:(3-8)(3-9)式中R與應(yīng)力系數(shù)a分別為R = x2a是（rZ）的函數(shù)，可制成表格形式供查用。E,吩別為土的彈性模量及泊松比。圖3-6集中力作用下土中應(yīng)力計算其余應(yīng)力分量與位移分量計算公式可查閱集中力作用下土中其余應(yīng)力分量計算集中力作用下土中其余應(yīng)力分量計算x, y軸方向

11、的正應(yīng)力:3g Jzx2-如-三京 j夢 3R3（R+s）窈，十1一孕烝氣曙+）切應(yīng)力F =偵3Q砂_ 1 -脫xy（2R十衛(wèi)）不* 3 *+子32遂x，y，z軸方向的位移:5。字如頃52 m2.分布荷載作用時的土中應(yīng)力計算（1）基本計算原理對實際工程中普遍存在的分布荷載作用時的土中應(yīng)力計算，通常可采用如下方法處理：當(dāng)基礎(chǔ)底面的形狀或基底 下的荷載分布不規(guī)則時，可以把分布荷載分割為許多集中力，然后用布西奈斯克公式和疊加原理計算土中應(yīng)力。當(dāng)基 礎(chǔ)底面的形狀及分布荷載都是有規(guī)律時，則可以通過積分求解得相應(yīng)的土中應(yīng)力。如圖3-7所示，在半無限土體表面作用一分布荷載p（x,y），為了計算土中某點M（x

12、,y,z）的豎向正應(yīng)力氣值，可以 在基底范圍內(nèi)取單元面積dF=d&d門，作用在單元面積上的分布荷載可以用集中力dQ表示，dQ斗（x,y） ddn。這時土中 M點的豎向正應(yīng)力電值可用式（3-8）在基底面積范圍內(nèi)積分求得，即dO 3必5君 （3-10）當(dāng)已知荷載、分布面積及計算點位置的條件時，即可通過求解上式獲得土中應(yīng)力值。圖3-7分布荷載作用下土中應(yīng)力計算2）圓形面積上作用均布荷載時土中豎向正應(yīng)力的計算為了計算圓形面積上作用均布荷載p時土中任一點M（r,z）的豎向正應(yīng)力，可采用原點設(shè)在圓心。的極坐標（如圖 3-8），由公式主=9）在圓面積范圍內(nèi)積分求得：2 2tt J J / 22 022忠（3

13、-11）上式可表達成簡化形式：式中R為圓面積的半徑，m； r為應(yīng)力計算點M到z軸的水平距離，m； %為應(yīng)力系數(shù)，它是(r/R)及(&)的函數(shù)， 當(dāng)計算點位于圓形中心點下方時其值為：也可將此應(yīng)力系數(shù)制成表格形式查用。圖3-8圓形面積均布荷載作用下土中應(yīng)力計算矩形面積均布荷載作用時土中豎向應(yīng)力計算1)矩形面積中點0下土中豎向應(yīng)力計算圖3-9表示在地基表面作用一分布于矩形面積(/ X b)上的均布荷載p，計算矩形面積中點下深度z處M點的豎向應(yīng)力b值，可從式(3-10)解得:z式中應(yīng)力系數(shù)a是n=l/b和口=2的函數(shù)，即022%云1 +活+8灑)尊cs0 = .r 十 arctan兀 J1卜必 +4疝

14、卜4廿)2腳廿Ia。也可由相應(yīng)表格查得。h圖3-9矩形面積均布荷載作用下土中應(yīng)力計算2）矩形面積角點下土中豎向應(yīng)力計算在圖3-9所示均布荷載作用下，計算矩形面積角點c下深度z處N點的豎向應(yīng)力氣時，同樣可其將表示成如下形式：（3-13）式中應(yīng)力系數(shù)頭 aa為:它是n=l/b和m=z/b的函數(shù)，可由公式計算或相應(yīng)表格查得。3）矩形面積均布荷載作用時，土中任意點的豎向應(yīng)力計算-角點法在矩形面積上作用均布荷載時，若要求計算非角點下的土中豎向應(yīng)力，可先將矩形面積按計算點位置分成若干小 矩形，如圖3-10所示。在計算出小矩形面積角點下土中豎向應(yīng)力后，再采用疊加原理求出計算點的豎向應(yīng)力氣值。這 種計算方法一

15、般稱為角點法。圖3-10角點法計算土中任意點的豎向應(yīng)力矩形面積上作用三角形分布荷載時土中豎向應(yīng)力計算當(dāng)?shù)鼗砻孀饔镁匦蚊娣e(ZX8)三角形分布荷載時，為計算荷載為零的角點下的豎向應(yīng)力值氣，可將坐標原點取 在荷載為零的角點上，相應(yīng)的豎向應(yīng)力值氣可用下式計算：汀廣P(3-15)式中應(yīng)力系數(shù)氣是n=l/b和m=z/b的函數(shù)，即:其值也可由相應(yīng)的應(yīng)力系數(shù)表查得。特別提示注意這里b值不是指基礎(chǔ)的寬度，而是指三角形荷載分布方向的基礎(chǔ)邊長，如圖3-11所示。ATI（5）均布條形分布荷載下土中應(yīng)力計算條形分布荷載下土中應(yīng)力狀計算屬于平面應(yīng)變問題，對路堤、堤壩以及長寬比l/bt0的條形基礎(chǔ)均可視作平面 應(yīng)變問題

16、進行處理。如圖3-12所示，在土體表面作用分布寬度為b的均布條形荷載p時，土中任一點的豎向應(yīng)力sz可采用彈性理論中 的弗拉曼公式在荷載分布寬度范圍內(nèi)積分得到：式中應(yīng)力系數(shù)au是及m=z/b的函數(shù)，即n=x/b應(yīng)力系數(shù)au也可由相應(yīng)的應(yīng)力系數(shù)表查的中點處。得。注意此時坐標軸的原點是在均布荷載圖3-12均布條形荷載作用下的土中應(yīng)力計算均布條形荷載作用下的土中應(yīng)力計算也可以采用極坐標形式表示根據(jù)根據(jù)材料力學(xué)理論還可以求出土中任一點的主應(yīng)力土中任一點的主應(yīng)力土中任一點的最大、最小主應(yīng)力氣和氣可根據(jù)材料力學(xué)中有關(guān)主應(yīng)力與正應(yīng)力及剪應(yīng)力間的關(guān)系導(dǎo)出如下:tg23 =式中e-最大主應(yīng)力的作用方向與豎直線間的

17、夾角。將M點的應(yīng)力表達式代入上式即得到任一點的最大、最小主應(yīng)力:式中81、。2為計算點到荷載寬度邊緣的兩條連線與垂直方向的夾角。成層地基中附加應(yīng)力的分布規(guī)律在柔性荷載作用下，將土體視為均質(zhì)各向同性彈性土體時土中附加應(yīng)力的計算與土的性質(zhì)無關(guān)。但是，地基土往 往是由軟硬不一的多種土層所組成，其變形特性在豎直方向差異較大，應(yīng)屬于雙層地基的應(yīng)力分布問題。對雙層地基 的應(yīng)力分布問題，有兩種情況值得研究：一種是堅硬土層上覆蓋著不厚的可壓縮土層即薄壓縮層情況；另一種是軟弱 土層上有一層壓縮性較低的土層即硬殼層情況。當(dāng)上層土的壓縮性比下層土的壓縮性高時（薄壓縮層情況），即E1ve2時，則土中附加應(yīng)力分布將發(fā)生

18、應(yīng)力集中的現(xiàn)象。當(dāng)上層土的壓縮性比下層土的壓縮性低時（即硬殼層情況），即E1E2，則土中附加應(yīng)力將發(fā)生擴散現(xiàn)象，如圖3-14所示。在實際地基中，下臥剛性巖層將引起應(yīng)力集中的現(xiàn)象， 若巖層埋藏越淺，應(yīng)力集中愈顯著。在堅硬土層下存在軟弱下臥層時，土中應(yīng)力擴散的現(xiàn)象將隨上層堅硬土層厚度的 增大而更加顯著。因土的泊松比變化不大，其對應(yīng)力集中和應(yīng)力擴散現(xiàn)象的影響可忽略。雙層地基中應(yīng)力集中和擴散的概念有著重要工程意義，特別是在軟土地區(qū)，表面有一層硬殼層，由于應(yīng)力擴散作用，可以減少地基的沉降，故在設(shè)計中基礎(chǔ)應(yīng)盡量淺埋，并在施工中采取保護措施，以免淺層土的結(jié)構(gòu)遭受破壞。雖力就小T成就* I成力混小成力城*十 成力灣小 十應(yīng)h腐士TtiTirrnr（a）應(yīng)力集中 （b）應(yīng)力擴散本章主要學(xué)習(xí)了土的自重應(yīng)力計算、各種荷載條件下的土中附加應(yīng)力計算及其分布規(guī)律等。土中應(yīng)力指土體在自身重力、建筑物和構(gòu)筑物荷載以及其他因素（如土中水的滲流、地震等） 作用下，土中產(chǎn)生的應(yīng)力。土中應(yīng)力過大時，會使土體因強度不夠發(fā)生破壞，甚至使土體發(fā)生滑動 失去穩(wěn)