最新高中數(shù)學導數(shù)專題講義答案版

1、導數(shù)專題講座內(nèi)容匯總目錄 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 導數(shù)專題一、單調(diào)性問題 2導數(shù)專題二、極值問題 38導數(shù)專題三、最值問題 52導數(shù)專題四、零點問題 76導數(shù)專題五、恒成立問題和存在性問題 118導數(shù)專題六、漸近線和間斷點問題 168導數(shù)專題七、特殊值法判定超越函數(shù)的零點問題 187導數(shù)專題八、避免分類討論的參變分離和變換主元 198導數(shù)專題九、公切線解決導數(shù)中零點問題 211導數(shù)專題十、極值點偏移問題 216導數(shù)專題十一、構(gòu)造函數(shù)解決導數(shù)問題 224導數(shù)專題一、單調(diào)性問題【知識結(jié)構(gòu)】單調(diào)性問題一、分類討論求

2、函數(shù)單調(diào)性二、已知函三、已知函數(shù)單調(diào)求參數(shù)不單調(diào)求數(shù)范圍參數(shù)范圍四、已知函 數(shù)存在單調(diào) 區(qū)間求參數(shù) 范圍五、兩個函 數(shù)在具有相 同的單調(diào)性 求參數(shù)范圍【知識點】一、導函數(shù)代數(shù)意義：利用導函數(shù)的正負來判斷原函數(shù)單調(diào)性；二、分類討論求函數(shù)單調(diào)性：含參函數(shù)的單調(diào)性問題的求解，難點是如何對參數(shù)進行分類討 論，討論的關(guān)鍵在于導函數(shù)的零點和定義域的位置關(guān)系.三、分類討論的思路步驟：第一步、求函數(shù)的定義域、求導，并求導函數(shù)零點；第二步、以導函數(shù)的零點存在性進行討論；當導函數(shù)存在多個零點的時，討論他們的大小關(guān) 系及與區(qū)間的位置關(guān)系（分類討論）；第三步、畫出導函數(shù)的同號函數(shù)的草圖，從而判斷其導函數(shù)的符號（畫導圖

3、、標正負、截定 義域）；第四步、（列表）根據(jù)第五步的草圖列出/6），f金）隨x變化的情況表，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第五步、綜合上述討論的情形，完整地寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，寫出極值點，極值與區(qū)間端點 函數(shù)值比較得到函數(shù)的最值.四、分類討論主要討論參數(shù)的不同取值求出單調(diào)性，主要討論點：.最高次項系數(shù)是否為0；.導函數(shù)是否有極值點；.兩根的大小關(guān)系；.根與定義域端點討論等。五、求解函數(shù)單調(diào)性問題的思路：（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為f（x） 0或f（x） 0 (或 g (x)()0 (或h(x )0)恒成立；(3)由“分離參數(shù)法”或“分類討論”，解得參數(shù)取值范圍?！究键c分類】考點一、

4、分類討論求解函數(shù)單調(diào)性；【例1-1】(2015-2016朝陽一模理18)已知函數(shù)f (x) = x + alnx,a e R .(I)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(II)當x el1,2 時，都有f (x) 0成立，求a的取值范圍；(III)試問過點P(1,3)可作多少條直線與曲線y = f (x)相切？并說明理由.【答案】(I)函數(shù)f (x)的定義域為ixx 。. f f( x) = 1 + a =.x x(1)當a 0時，f(x) 0恒成立，函數(shù)f (x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；(2)當 a 0 時，令 f( x) = 0，得 x = -a .當0 x -a時，f( x) -a時，f f

5、(x) 0，函數(shù)f (x)為增函數(shù).綜上所述，當a 0時，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+8).當a -1時，函數(shù)f (x)在區(qū)間L2】上為增函數(shù)，所以在區(qū)間。,2上，f (x) m = f (1)= 1，顯然函數(shù) f (x)在區(qū)間 11,2上恒大于零；(2)當1 -a 2時，即-2a 0，解得 a -e，所以-2 a 2時，即a -2時，f (x)在區(qū)間限2上為減函數(shù)，所以 f (x)mn = f (2) = 2+a 1n2 .22依題意有f(x). = 2+a 1n20，解得a -，所以-方a 一 122時,函數(shù)于(x)在區(qū)間U上恒大于零(III)設(shè)切點為(凡,凡+a片x )，則切線

6、斜率k = 1 + ,000 x0切線方程為y_(x + a 1nx ) =(1+)(xx ).00 x 00因為切線過點1,3),則 3 (x + a In x ) = (1+ )(1x ).00 x 00即 a (In x +1) 2 = 0 .0 x0令 g (x) = a (In x + 1) 2 (x 0)，貝 g f( x) = a ( ) = ( xx x 2x 2(1)當a 0 , g(x)單調(diào)遞增；在區(qū)間(1,+s)上，g(x) 0 , g(x)單調(diào)遞減，所以函數(shù)g(x)的最大值為g(1) =2 0 .故方程g (x) = 0無解，即不存在x 0滿足式.因此當a 0時，在區(qū)間

7、(0,1)上，g(x) 0 , g(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)的最小值為g(1) =2 0故g(x)在(1,+功上存在唯一零點.-1-2 j 1取x = e a 1), u(t) = et 2t，則 ur(t) = et 2 . a當 t 1 時，u(t) = et 2 e - 2 0 恒成立.所以u(t)在(1,+s)單調(diào)遞增，u(t) u(1) = e 2 0恒成立.所以g(尢2) 0 .故g(尢)在(0,1)上存在唯一零點.因此當a 0時，過點P(1,3)存在兩條切線.(3)當a = 0時，f(x) = x，顯然不存在過點P(1,3)的切線.綜上所述，當a 0時，過點P (1,3)存

8、在兩條切線;當a =x不是曲線y = g(x)的切線.【答案】(1)函數(shù)f (x)的定義域為(0，+8),f (x)x1x2x2x(0,1)1(1,+8 )f(x )0+f (x)遞減極小值遞增當x變化時，f (x) , f (x)的變化情況如下表:函數(shù)f (x)在(0, +8)上的極小值為f (a) = ln1 +1 1 = 0 ,所以f (x)的最小值為0(II)解：函數(shù)g(x)的定義域為(0,1)U(1,+8),ln x (x 1)In x + 1g (x)= ln2 x x =二f(x)ln2 x由(I)得，f(x) 2 0,所以 g (x) 2 0所以g ( X)的單調(diào)增區(qū)間是(0,

9、1),(1,+8 )，無單調(diào)減區(qū)間.(ni)證明：假設(shè)直線y=X是曲線g( x )的切線.1ln x + - -10X設(shè)切點為(X , y)，則 g(x，= 1，即 一-一0 二 1000ln2 X0X 1X 1又 y = t0-, y = X，則 t0 二 X0 ln X 00 ln X 000, X 一1 一 1所以lnX =1 -,得g(XP = 0，與 g(XP =1 矛盾0XX0000所以假設(shè)不成立，直線y二X不是曲線g (X)的切線【練1-1】(2015-2016西城一模理18)已知函數(shù)f ( x ) = xex-aex-1，且(1) = e.(I)求a的值及f ( x )的單調(diào)區(qū)

10、間;(II)若關(guān)于X的方程f (X) = kx2 -2(k 2)存在兩個不相等的正實數(shù)根X,X2，證明:x-x ln412【答案】(I)對 f (X)求導，得 f( X) = (1+ x )e X - a e x -1,所以f，(1)= 2e-a = e，解得a = e.故 f (x) = xex - ex , f f(x) = xex .令 f(x) = 0，得 x = 0.當X變化時，f(X)與f (X)的變化情況如下表所示:X(-8,0)0(0, +8)f( X )0+f ( X)/所以函數(shù)f (X)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,0),單調(diào)增區(qū)間為(0,+8).(II)解：方程 f (X) =

11、kx 2 - 2，即為(X-1)e - kx 2 + 2 = 0 ,設(shè)函數(shù) g(x) = (x-1函-kx2 + 2.求導，得 g(x) = xex - 2kx = x(ex - 2k).由 g(x) = 0，解得x = 0，或x = ln(2k).所以當x e (0, +8)變化時，g(x)與g(x)的變化情況如下表所示:%(0,ln(2 k)ln(2 k)(ln(2 k), +8)g(%)0+g (%)/所以函數(shù)g(%)在(0,ln(2 k)單調(diào)遞減，在(ln(2k), +s)上單調(diào)遞增.由 k 2，得 ln(2k )ln41.又因為 g (1)=一 k + 2 0,所以 g (ln(2k

12、) 0.不妨設(shè)l1 0，g(1)=-k + 2 0，所以 0 %1 1.同理根據(jù)函數(shù)g(%)在(ln 2k, +劃上單調(diào)遞增，且g(ln(2k) ln(2k) ln4，4所以 I % % 1= % % ln 4 1 = ln ，1221e4即 I % % I ln-. 12 e【練1-2】(2011-2012石景山一模文18)已知函數(shù)f (%) = %2 + 2aln%.(I)若函數(shù)f (%)的圖象在(2, f (2)處的切線斜率為1 ,求實數(shù)a的值；(II)求函數(shù)f(%)的單調(diào)區(qū)間；2%2 a 2 % 2 + 2 a 【答案】(I) f(%) = 2% + = 1分%由已知f(2)=，解得a

13、 = -3.3分(II)函數(shù)f(%)的定義域為(0,+s).(1)當a 0時，(%) 0 , f (%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,十；5分2( % +、Ja)(% a)(2)當 a 0 時 f(% )=-.%當%變化時，f(%),f(%)的變化情況如下：(III)若函數(shù)g(%) = - + f (%)在1,2上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.x(0,4-a)J-a(J- a, +8)f(x)0+f (x)極小值X由上表可知，函數(shù)f( x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0, j二a)；單調(diào)遞增區(qū)間是q=a, +8).8分222a(ii)由g (x)=+x2+2 a1n x 得g (x)=+2 x+，x29分由已知函數(shù)g(x)為1,2上的單調(diào)減函數(shù)，則g(x) 0在1,2上恒成立，即+2 x+ 0在1，2上恒成立. x2x1 即a -x2在1,2上恒成立.11分x111令h(x)= -x2，在1,2上h (x) = -2x = ( + 2x)0，xx 2x 27所以 h(x)在1,2為減函數(shù).h(x)= h(2)=-,min2所以a 0.min 22 122所以函數(shù)f (%)不存在零點.小/、(% + k)(2%