數(shù)理方程與特殊函數(shù)：9達(dá)朗貝爾公式

1、波動(dòng)方程通解行波法達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式的物理意義例題與思考題數(shù)學(xué)物理方程第四章1分離變量法解有限區(qū)域定解問題行波法解無界區(qū)域波動(dòng)方程定解問題一維波動(dòng)方程柯西問題:通解公式: u( x , t ) = f1(x + at ) + f2(x at )由通解得到柯西問題解達(dá)朗貝爾公式令u( x , t ) = f1(x + at ) + f2(x at )利用變換得方程通解( t , x ) 主要貢獻(xiàn): 1.在微積分中注入嚴(yán)密性 2. 二階微分方程求解公式 3. 力學(xué)的達(dá)朗貝爾原理 4. 編纂18世紀(jì)法國百科全書 百科全書不僅在于提供知識(shí),而更重要的在于改變讀者的思想。 向前進(jìn)，你就會(huì)產(chǎn)生信念達(dá)

2、朗貝爾達(dá)朗貝爾脫下了微分學(xué)的神秘外衣 馬克思達(dá)朗貝爾法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、哲學(xué)家初值條件: u( x , t ) = f1(x + at ) + f2(x at )例1達(dá)朗貝爾公式無界區(qū)域齊次波動(dòng)方程定解問題-a 0 axu2-a 0 axu2t = 0t = 1隨著時(shí)間的推移, u2 的圖形以速度 a 向x 軸正方向移動(dòng). 所以,u2表示一個(gè)以速度a 沿 x 軸正方向傳播的行波，稱為右行波。 u(x, t )的值僅依賴于 x 軸上區(qū)間 xat, x+at 內(nèi)的初始條件，而與其他點(diǎn)上的初始條件無關(guān)。0 x-at x+atxt(x, t )依賴區(qū)間xat, x+at 稱為點(diǎn)(x, t )的依賴區(qū)間

3、。達(dá)朗貝爾公式0 x1 x2xtx=x2atx = x1+at決定區(qū)域三角形區(qū)域中任一點(diǎn)(x，t)的依賴區(qū)間都落在區(qū)間x1 , x2的內(nèi)部,因此解 u(x,y)在此三角形區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間上的初始條件決定,而與此區(qū)間外的初始條件無關(guān)。該三角形區(qū)域稱為區(qū)間x1 , x2的決定區(qū)域?qū)?x1 x2 , 直線 x = x1+at, x = x2at 以及 x 軸圍成一個(gè)三角形區(qū)域經(jīng)過時(shí)間限t 后,受到區(qū)域 x1, x2上初始擾動(dòng)影響的區(qū)域?yàn)?: x1 at x x2+at , t 0在此區(qū)域之外的波動(dòng)則不受x1, x2上初始擾動(dòng)的影響，稱平面上由上述不等式確定的區(qū)域?yàn)橛绊憛^(qū)域 對 x1 0 )解: 考慮特征方程令:得解之t =3x + C1, t = - x + C2原方程化為標(biāo)準(zhǔn)型: u = f1(3x t ) + f2(x + t )解:例5 求解定解問題解: 取 W=cos x , 令 u = v + W , 則有思考題1. 解釋達(dá)朗貝爾公式中初始位移對解的影響的幾何意義；2. 解釋達(dá)朗貝爾公式中初始速度對解的影響的