2019高中數(shù)學(xué) 第一章1.3 二項(xiàng)式定理 1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-3

1、1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解楊輝三角各行數(shù)字的特點(diǎn)及其與組合數(shù)性質(zhì)、二項(xiàng)展開式系數(shù)性質(zhì)間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和歸納推理能力(重點(diǎn))2.理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用(難點(diǎn))3.理解和初步掌握賦值法及其應(yīng)用(重點(diǎn))自主預(yù)習(xí)探新知1楊輝三角的特點(diǎn)(1)在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等nn(2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即Cr1Cr1nCr.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：在(ab)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即01nCnCn，CnCn1，CrCnr.(2)增減性與最

2、大值：當(dāng)kn12時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的由對(duì)稱性知它的后半n2部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn取得最n1n1大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn2與Cn2相等，且同時(shí)取得最大值3各二項(xiàng)式系數(shù)的和012(1)CnCnCnCn2n；024135(2)CnCnCnCnCnCn2n1.基礎(chǔ)自測(cè)1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)楊輝三角的每一斜行數(shù)字的差成一個(gè)等差數(shù)列12(2)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為CnCnCn.(3)二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)相同()()()解析(1)由楊輝三角可知每一斜行數(shù)字的差成一個(gè)等差數(shù)列，故正確012

3、(2)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和應(yīng)為CnCnCnCn2n.(3)二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)不一定是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，只有當(dāng)二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)相等時(shí)，二者才一致答案(1)(2)(3)2(12x)15的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)和是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032084】A1B11C215D315B令x1即得各項(xiàng)系數(shù)和，和為1.3在(ab)10二項(xiàng)展開式中與第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是()A第8項(xiàng)C第9項(xiàng)B第7項(xiàng)D第10項(xiàng)C由二項(xiàng)式展開式的性質(zhì)與首末等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等4(1x)4的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032085】A1,4,6,4,1B1，4,6，4,144C(1)rCr(r0,1,

4、2,3)D(1)rCr(r0,1,2,3,4)A楊輝三角第4行的數(shù)字即為二項(xiàng)式系數(shù)合作探究攻重難“楊輝三角”的應(yīng)用如圖131，在“楊輝三角”中斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，.記其前n項(xiàng)和為Sn，求S19的值圖131233思路探究由圖知，數(shù)列中的首項(xiàng)是C2，第2項(xiàng)是C1，第3項(xiàng)是C2，第4項(xiàng)是C1，22第17項(xiàng)是C10，第18項(xiàng)是C10，第19項(xiàng)是C11.2334422234解S19(C2C1)(C2C1)(C2C1)(C10C10)C11(C1C1C1C10)3223(C2C2C10C11)(23410)C122220274.規(guī)律方法

5、“楊輝三角”問題解決的一般方法觀察分析；試驗(yàn)猜想；結(jié)論證明，要得到楊輝三角中蘊(yùn)含的諸多規(guī)律，取決于我們的觀察能力，觀察能力有：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多角度觀察如表所示：22nn.個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第23個(gè)，即為nn62跟蹤訓(xùn)練1將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：123456789101112131415按照以上排列的規(guī)律，第n行(n3)從左向右的第3個(gè)數(shù)為_n2n6n2n2前n1行共有正整數(shù)12(n1)個(gè)，即2個(gè)，因此第n行第32求展開式的系數(shù)和設(shè)(12x)2018a0a1xa2x2a2018x2018(xR)(1)求a0a1a2a2018的值；(2)求a1a3a5a2017的值；

6、(3)求|a0|a1|a2|a2018|的值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032086】思路探究先觀察所求式子與展開式各項(xiàng)的特點(diǎn)，利用賦值法求解解(1)令x1，得a0a1a2a2018(1)20181.(2)令x1，得a0a1a2a2017a201832018.得2(a1a3a2017)132018，3a1a3a5a20172132018.2(3)Tr1Cr018(2x)r(1)rCr2018(2x)r，a2k10(kN*)，a2k0(kN)|a0|a1|a2|a3|a2017|a0a1a2a3a2017a201832018.規(guī)律方法1解決二項(xiàng)式系數(shù)和問題思維流程2對(duì)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a

7、，b，cR，m，nN*)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可；對(duì)(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令xy1即可3一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，f奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4f偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5f2f2，.跟蹤訓(xùn)練2已知(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，求：(1)a0a1a2a3a4；(2)(a0a2a4)2(a1a3)2.解(1)由(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，令x1得(23)4a0a1a2a3a4，所以a0a1a2a3a41.(2)在(2

8、x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4中，令x1得(23)4a0a1a2a3a4，令x1得(23)4a0a1a2a3a4.所以(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)(23)4(23)4(23)4(23)4625.42計(jì)算k1，并說明你得到的結(jié)論二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用探究問題1根據(jù)楊輝三角的特點(diǎn)，在楊輝三角同一行中與兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等，你可以得到二項(xiàng)式系數(shù)的什么性質(zhì)？nn提示對(duì)稱性，因?yàn)镃mCnm，也可以從f(r)Cr的圖象中得到nCkCnCknnk1kCkn1提示.Ckn當(dāng)k1，說明二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大；22時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小n1Cnn1同

9、理，當(dāng)k3二項(xiàng)式系數(shù)何時(shí)取得最大值？n1提示當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)Cn2n1，Cn2相等，且同時(shí)取得最大值3已知f(x)(x23x2)n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032087】思路探究求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，利用性質(zhì)知展開式中中間項(xiàng)(或中間兩項(xiàng))是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，必須將x，y的系數(shù)均考慮進(jìn)去，包括“”“”號(hào)解令x1，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)(13)n4n，又展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n2n992.(2

10、n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5為奇數(shù)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)，它們分別是235T3C2(x)3(3x2)290 x6，5(52r)222335T4C3(x)2(3x2)3270 x.235(2)展開式的通項(xiàng)公式為Tr1Cr3rx假設(shè)Tr1項(xiàng)系數(shù)最大，3Cr513r1，55則有Cr3rCr13r1，rr5r！r！r！r！r！r！5！5！35！，5！r！r3，13.31，r6r5rr1r，rN，r4.7922226展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T5C45x(3x2)4405x.33規(guī)律方法1求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)

11、的性質(zhì)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大2求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式組，解不等式的方法求得跟蹤訓(xùn)練3(12x)n的展開式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)5656解T6Cn(2x)5，T7Cn(2x)6，依題意有Cn25Cn26n8，(12x)8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5C48(2x)41120 x4.設(shè)第r1項(xiàng)系數(shù)最大，則有r0,1,2，8，6r5或r6.系數(shù)最大的項(xiàng)為T61792x5，T71792x6.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基1已知(ab

12、)n展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n等于()A11C9B10D8D第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故展開式為9項(xiàng)，n8.2在(xy)n展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032088】A第6項(xiàng)C第5、6項(xiàng)B第5項(xiàng)D第6、7項(xiàng)37A因?yàn)镃nCn，所以n10，系數(shù)最大的項(xiàng)即為二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)3若(x3y)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于(7ab)10的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和，則n的值為_5(7ab)10的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為C10C10C10210，令(x3y)n中xy1，則由題設(shè)知，4n210，即22n210，解得n5.4(2x1)6展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為_；各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為_.【導(dǎo)