2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何專題強(qiáng)化訓(xùn)練 新人教A版選修2-1

1、第三章空間向量與立體幾何專題強(qiáng)化訓(xùn)練(三)(建議用時(shí)：45分鐘)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練一、選擇題1如圖38，在空間四邊形ABCD中，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的中點(diǎn)，則下列各式中成立的是()圖38AEBBFEHGH0BEBFCEHGE0CEFFGEHGH0DEFFBCGGH0BEBFCEBBFEF，EHGEGH，易證四邊形EFGH為平行四邊形，故EFGH0，故選B2已知a(1,2,3)，b(2,1,2)，c(1,1,2)，且向量pc，則當(dāng)(pa)(pb)取得最小值時(shí)，向量p的坐標(biāo)為()131243123234448333447333A，C，B，D，1,22)，所以(pa

2、)(pb)2(3285)232，所以當(dāng)448時(shí)，(pa)(pb)取得最小值，此時(shí)pc，故選CC設(shè)pc，則paca(1，2,23)，pbcb(2，4143333333已知平面，是兩個(gè)不重合的平面，其法向量分別為n1，n2，給出下列結(jié)論：若n1n2，則；1若n1n2，則；若n1n20，則；若n1n20，則.其中正確的是()ACBD6432By軸的一個(gè)方向向量s(0,1,0)，cosn，s，即y軸與平面所成角的正弦值是224A由平面的法向量的定義知，正確4已知平面的一個(gè)法向量為n(1，1,0)，則y軸與平面所成的角的大小為()ABCDns2|n|s|2，故其所成的角的大小是.5如圖39，已知E是正方

3、體ABCDA1B1C1D1的棱BC的中點(diǎn)，設(shè)為二面角D1AED的平面角，則cos()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342186】3333圖3925222ABCDEDAA以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，令正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則A(0,0,0)，(2,1,0)，1(0,2,2)，1(0,0,2)，mAE0所以AE(2,1,0)，AD1(0,2,2)，設(shè)平面AED1的法向量為m(x，y，z)，則由mAD01，2xy0得2y2z0，令x1，則y2，z2，故m(1，2,2)又AA1(0,0,2)為平面2AED的一個(gè)法向量，為二面角D1AE

4、D的平面角，所以cos3AA1m|AA1|m|2，故選A二、填空題6已知向量a(2,4，x)，b(2，y,2)，若|a|6，且ab，則xy_.1或3由a(2,4，x)且|a|6，得62242x2，x4，由ab，得44yx42x0，得y3x4或y1，則xy1或3.7在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(1，2,0)，B(2,1，6)，則向量AB與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為_74設(shè)平面xOz的法向量為n(0，t,0)(t0)，AB(1,3,6)，所以cosn，ABnAB3t274|t|44|t|n|AB|，因?yàn)閚，AB0，所以sinn，AB1.11，0設(shè)H(x，y，z)，則OH(x，y，z)

5、，BH(x，y1，z1)，OA(1,1,0)因AB8已知空間三點(diǎn)O(0,0,0)，(1,1,0)，(0,1,1)，若直線OA上的一點(diǎn)H滿足BHOA，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342187】22為BHOA，所以BHOA0，即xy10，又點(diǎn)H在直線OA上，所以O(shè)AOH，1x，即1y，0z1x2，聯(lián)立解得1y2，z0.11所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為，0.22三、解答題9如圖310，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F平面A1BE？證明你的結(jié)論3圖310解在棱C1D1上存在點(diǎn)F，當(dāng)F為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，B1F平面A1BE.證明如下：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建

6、立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系m1，1是平面A1BE的一個(gè)法向量EAB設(shè)正方體的棱長為2，則B(2,0,0)，(0,2,1)，1(0,0,2)，1(2,0,2)，BE(2,2,1)，BA1(2,0,2)設(shè)平面A1BE的法向量為m(x，y，z)，1則mBE2x2yz0，且mBA12x2z0，取x1，則z1，y2，12假設(shè)在棱C1D1上存在一點(diǎn)F，使B1F平面A1BE，設(shè)F(x0,2,2)(0 x02)，則B1F(x02,2,0)，1則mB1Fx0222100，解得x01，當(dāng)F為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，B1F平面A1BE.10如圖311，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn)圖311(

7、1)求證：AB1平面A1BD；(2)求二面角AA1DB的余弦值的大小.4【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342188】解(1)取BC的中點(diǎn)O，連接AO.ABC為正三角形，AOBC在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1.取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OO1，OA的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)AB1(1,2，3)，BD(2,1,0)，BA1(1,2，3)AB1BD2200，AB1BA11430，AB1BD，AB1BA1

8、，AB1平面A1BD(2)設(shè)平面A1AD的法向量為n(x，y，z)，AD(1,1，3)，AA1(0,2,0)，nAD0nAA02y0，1xy3z0，即令z1，得n(3，0,1)為平面A1AD的一個(gè)法向量由(1)知AB1平面A1BD，AB1為平面A1BD的一個(gè)法向量nAB14cosn，AB1|n|AB1|336，2224二面角AA1DB的余弦值為6.能力提升練1在空間四邊形ABCD中，若向量AB(3,5,2)，CD(7，1，4)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，則EF的坐標(biāo)為()A(2,3,3)B(2，3，3)51351B取AC中點(diǎn)M，連接ME，MF(圖略)，則MEAB，1，MFCD71，2

9、，所以EFMFME(2，3，3)，故選BC(5，2,1)D(5,2，1)2222222如圖312，正四棱錐SABCD中，O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SOOD，則直線BC與平面PAC的夾角是()A30C60圖312B45D75aaaaP0，則CA(2a,0,0)，APa，CB(a，a,0)，2a222A如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，2222設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為n，可取n(0,1,1)，則cosCB，nCBna1，所以CB，n60，所以直線BC與平面PAC的夾角為90|CB|

10、n|6030.3已知向量e1，e2，e3是三個(gè)不共面的非零向量，且a2e1e2e3，be14e22e3，c11e15e2e3，若向量a，b，c共面，則_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342189】1因?yàn)閍，b，c共面，所以存在實(shí)數(shù)m，n，使得cmanb，則11e15e2e32mn11(2mn)e1(m4n)e2(m2n)e3，則m4n5m2nm7，解得n31.4已知平面經(jīng)過點(diǎn)A(0,0,2)，且平面的一個(gè)法向量為n(1，1，1)，則x軸與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)是_(2,0,0)設(shè)交點(diǎn)為M(x,0,0),則AM(x,0，2)，平面的一個(gè)法向量n(1，1，1)，則nAM0，解得x2，故x軸與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0,0

11、)65如圖313，在三棱錐ABCD中，側(cè)面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD3，BDCD1，另一個(gè)側(cè)面ABC是等邊三角形圖313(1)求證：ADBC(2)在線段AC上是否存在一點(diǎn)E，使直線ED與平面BCD的夾角為30？若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)作AH平面BCD于點(diǎn)H，連接BH，CH，DH，則四邊形BHCD是正方形，且AH1.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖cosDE，ncos60，則D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,1,1)，BC(1,1,0)，DA(1,1,1)，BCDA0，則ADBC(2)存在滿足條件的點(diǎn)E