高考數(shù)學(xué)十高考真題精解（全國卷I）

1、2020年高考數(shù)學(xué)十年高考真題精解（全國卷I） 專題5 平面向量 十年樹木，百年樹人，十年磨一劍。本專輯按照最新2020年考綱，對(duì)近十年高考真題精挑細(xì)選，去偽存真，挑選符合最新考綱要求的真題，按照考點(diǎn)/考向同類歸納，難度分層精析，對(duì)全國卷具有重要的應(yīng)試性和導(dǎo)向性。三觀指的觀三題（觀母題、觀平行題、觀扇形題），一統(tǒng)指的是統(tǒng)一考點(diǎn)/考向，并對(duì)十年真題進(jìn)行標(biāo)灰（調(diào)整不考或低頻考點(diǎn)標(biāo)灰色）。（一）2020考綱考點(diǎn)2020考綱要求平面向量的基本概念了解向量的實(shí)際背景理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義理解向量的幾何表示平面向量的線性運(yùn)算掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及

2、其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的意義了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示了解平面向量的基本定理及其意義掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件平面向量的數(shù)量積理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系平面向量的應(yīng)用會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題（二）本節(jié)考向題型研究匯總題型考向考點(diǎn)/考向平面向量的基

3、本定理及其坐標(biāo)表示會(huì)利用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算會(huì)利用平面向量的性質(zhì)解決相關(guān)問題平面向量的數(shù)量積會(huì)利用向量的數(shù)量積公式和相關(guān)性質(zhì)解決向量的實(shí)際問題平面向量的幾何表示會(huì)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表達(dá)平面幾何中的相關(guān)問題平面向量的綜合應(yīng)用會(huì)利用平面向量解決相關(guān)實(shí)際問題一、考向題型研究一： 平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示（2017新課標(biāo)I卷T13文科）已知向量=（1，2），=（m，1），若向量+與垂直，則m=7【答案】7【分析】利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則先求出，再由向量+與垂直，利用向量垂直的條件能求出m的值【解析】解：向量=（1，2），=（m，1），=（1+m，3），向量+與垂直，（）=（1+

4、m）（1）+32=0，解得m=7故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和向量垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用（2016新課標(biāo)I卷T13文科）設(shè)向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且ab，則x= . 【答案】【解析】依題x+2(x+1)=0，解得x=（2011新課標(biāo)I卷T13文科）已知a與b為兩個(gè)垂直的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量+與向量k垂直，則k=【答案】1【分析】利用向量垂直的充要條件：數(shù)量積為0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k值【解析】解：垂直即k=1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件、考查向量模的性質(zhì)：向量模的平

5、方等于向量的平方一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.二、平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a=xiyj，這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=（x，y），其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo).

6、三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1向量坐標(biāo)的求法（1）若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2x1，y2y1）.2向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則ab=（x2+x1，y2+y1），ab=（x1x2，y1y2），a=（x1，y1），|a|=，|ab|=.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則abx1y2x2y1=0.4向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，作=a，=b，則AOB=（0180）叫做向量a與b的夾角.如果向量a與b的夾角是90，我們說a與b垂直，記作ab.*平

7、面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)2解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用.牢記：向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的*向量共線（平行）的坐標(biāo)表示1利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)一般地，在求與一個(gè)已知向量共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為 ()，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量2利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利

8、用“若，則的充要條件是”解題比較方便3三點(diǎn)共線問題A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于與共線4利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換。二、考向題型研究二： 平面向量的數(shù)量積(2019新課標(biāo)I卷T7理科)已知非零向量a，b滿足=2，且（ab）b，則a與b的夾角為ABCD【答案】B【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角【解析】因?yàn)?，所?0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B【點(diǎn)睛】對(duì)向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積

9、及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為（2016新課標(biāo)I卷T13理科）設(shè)向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，則m= 【答案】-2【解析】由已知得：，解得（2017新課標(biāo)I卷T13理科）已知向量，的夾角為60，|=2，|=1，則|+2|=【答案】2【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出模長即可【解析】解：【解法一】向量，的夾角為60，且|=2，|=1，=+4+4=22+421cos60+412=12，|+2|=2【解法二】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示；結(jié)合圖形=+=+2；在OAC中，由余弦定理得|=2，即|+2|=2故答案為

10、：2【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)利用數(shù)量積求出模長，是基礎(chǔ)題（2012新課標(biāo)I卷T15文科）已知向量，夾角為，且|=1，|=，則|= .【答案】【解析】|=，平方得，即，解得|=或（舍）(2013新課標(biāo)卷T13理科)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b.若bc0，則t_.【答案】2【解析】cta(1t)b，bctab(1t)|b|2.又|a|b|1，且a與b夾角為60，bc，0t|a|b|cos 60(1t)，01t.t2.一、平面向量的數(shù)量積1平面向量數(shù)量積的概念（1）數(shù)量積的概念已知兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作,即，其

11、中是與的夾角.【注】零向量與任一向量的數(shù)量積為0.（2）投影的概念設(shè)非零向量與的夾角是，則()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.如圖（1）（2）（3）所示，分別是非零向量與的夾角為銳角、鈍角、直角時(shí)向量在方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影長是向量的長度. （3）數(shù)量積的幾何意義由向量投影的定義，我們可以得到的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積.2平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量和實(shí)數(shù),則交換律：；數(shù)乘結(jié)合律：；分配律：.二、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角及性質(zhì)設(shè)非零向量，是與的夾角.（1）數(shù)量積：.（2）模：.（3）夾角： .（4）垂直與平行：；ab

12、ab=|a|b|.【注】當(dāng)與同向時(shí),；當(dāng)與反向時(shí),.（5）性質(zhì)：|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立).三、平面向量的應(yīng)用1向量在平面幾何中常見的應(yīng)用已知.（1）證明線段平行、點(diǎn)共線問題及相似問題，常用向量共線的條件：（2）證明線段垂直問題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線（或線段）是否垂直等，常用向量垂直的條件：（其中為非零向量）（3）求夾角問題，若向量與的夾角為，利用夾角公式：（其中為非零向量）（4）求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模：，或（其中兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為）（5）對(duì)于有些平面幾何問題，如載體是長方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量

13、用坐標(biāo)表示出來，通過代數(shù)運(yùn)算解決綜合問題.*平面向量數(shù)量積的類型及求法：(1)平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).平面向量數(shù)量積主要有兩個(gè)應(yīng)用：(1)求夾角的大小：若a，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題(2)確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.（3）當(dāng)題中出現(xiàn)一個(gè)向量式子的模長時(shí)，例如，可以先對(duì)整個(gè)式子

14、進(jìn)行平方，向量的平方就相當(dāng)于模長的平方，帶入數(shù)量積公式，即可求解*平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：(1)求向量的模解決此類問題應(yīng)注意模的計(jì)算公式，或坐標(biāo)公式的應(yīng)用，另外也可以運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解(2)求模的最值或取值范圍解決此類問題通常有以下兩種方法：幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍(3)由向量的模求夾角對(duì)于此類問題的求解，其實(shí)質(zhì)是求向量模方法的逆運(yùn)用.三、考向題型研究三： 平面向量的幾何表示（2015新課標(biāo)I卷T2文科）已知點(diǎn)，向量，則向量AB

15、CD【答案】A【解答】解：由已知點(diǎn)，得到，向量，則向量；故選：（2015新課標(biāo)I卷T7理科）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】由題知=，故選A.考點(diǎn)：平面向量的線性運(yùn)算(2014新課標(biāo)卷T15理科)已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若=（+），則與的夾角為【答案】90【分析】根據(jù)向量之間的關(guān)系，利用圓直徑的性質(zhì)，即可得到結(jié)論【解析】解：在圓中若=（+），即2=+，即+的和向量是過A，O的直徑，則以AB，AC為臨邊的四邊形是矩形，則，即與的夾角為90，故答案為：90【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的夾角的計(jì)算，利用圓直徑的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)平面向量

16、線性運(yùn)算問題的求解策略：(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運(yùn)用法則找關(guān)系；化簡(jiǎn)結(jié)果.（4）平面向量進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，如果是正三角形，直角梯形，圓，正方形，長方形，間距相等的表格等時(shí)，應(yīng)該建立直角坐標(biāo)方程系，把每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，帶入進(jìn)行計(jì)算，如果這些圖形的

17、長度未知時(shí)，可以設(shè)立參數(shù)表示，表達(dá)出相關(guān)關(guān)系式子，可以求解四、考向題型研究四： 平面向量的綜合應(yīng)用（2018新課標(biāo)I卷T6理科） 在ABC中，AD為BC邊上的中線，為AD的中點(diǎn)，則EB=A. 34AB-14AC B. 14AB-34ACC. 34AB+14AC D. 14AB+34AC【答案】A【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得BE=12BA+12BC，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-三角形法則，得到BC=BA+AC，之后將其合并，得到BE=34BA+14AC，下一步應(yīng)用相反向量，求得EB=34AB-14AC，從而求得結(jié)果.【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得BE=12B

18、A+12BC=12BA+12(BA+AC) =12BA+14BA+14AC=34BA+14AC，所以EB=34AB-14AC，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.（2011新課標(biāo)I卷T10理科）已知與均為單位向量，其夾角為，有下列四個(gè)命題P1：|+|10，）；P2：|+|1（，；P3：|10，）；P4：|1（，；其中的真命題是（）AP1，P4BP1，P3CP2，P3DP2，P4【答案】A【分析】利用向量長度與向量數(shù)量積之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是

19、解決本題的關(guān)鍵，要列出關(guān)于夾角的不等式，通過求解不等式得出向量夾角的范圍【解析】解：由，得出22cos1，即cos，又0，故可以得出（，故P3錯(cuò)誤，P4正確由|+|1，得出2+2cos1，即cos，又0，故可以得出0，），故P2錯(cuò)誤，P1正確故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三角不等式的求解，考查向量長度不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查向量數(shù)量積與向量長度之間的聯(lián)系問題，弄清向量夾角與向量數(shù)量積的依賴關(guān)系，考查學(xué)生分析問題解決問題的思路與方法，考查學(xué)生解題的轉(zhuǎn)化與化歸能力1向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：(1)向量與平面幾何綜合問題的解法坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決基向量法適當(dāng)選取一組