第八章-傅里葉變換課件

1、1第八章 傅里葉變換28.1 傅里葉積分8.1.1 傅里葉積分的概念在工程計算中, 無論是電學還是力學, 經(jīng)常要和隨時間而變的周期函數(shù)fT(t)打交道. 例如:t3具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t), 其中T稱作周期, 而1/T代表單位時間振動的次數(shù), 單位時間通常取秒, 即每秒重復多少次, 單位是赫茲(Herz, 或Hz).t最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T4而Asin(wt+j)又可以看作是兩個周期函數(shù)人們發(fā)現(xiàn), 所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來逼近.方波sinwt和coswt的線性組合Asin(wt+j)=as

2、inwt+bcoswt54個正弦波的逼近100個正弦波的逼近6研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的情況即可, 通常研究在閉區(qū)間-T/2,T/2內(nèi)函數(shù)變化的情況. 并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近, 而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件, 即在區(qū)間-T/2,T/2上這兩個條件實際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù).1, 連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2, 只有有限個極值點;7第二類間斷點第一類間斷點第一類間斷點和第二類間斷點的區(qū)別:8不滿足狄氏條件的例: 而在工程上所應用的函數(shù), 尤其是物理量的變化函數(shù), 全部滿足狄氏條件. 實際上不連續(xù)函數(shù)嚴格上講都是不存在的, 但經(jīng)常用

3、不連續(xù)函數(shù)來近似一些函數(shù), 使得思維簡單一些.9 在區(qū)間-T/2,T/2上滿足狄氏條件的函數(shù)的全體也構(gòu)成一個集合, 這個集合在通常的函數(shù)加法和數(shù)乘運算上也構(gòu)成一個線性空間V, 此空間的向量就是函數(shù), 線性空間的一切理論在此空間上仍然成立. 更進一步地也可以在此線性空間V上定義內(nèi)積運算, 這樣就可以建立元素(即函數(shù))的長度(范數(shù)), 及函數(shù)間角度, 及正交的概念. 兩個函數(shù)f和g的內(nèi)積定義為:10一個函數(shù)f(t)的長度為11而在區(qū)間-T/2,T/2上的三角函數(shù)系1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ., cos nwt, sin nwt, .是兩兩正交的, 其中w

4、=2p/T, 這是因為cos nwt和sin nwt都可以看作是復指數(shù)函數(shù)ejnwt的線性組合. 當nm時,12這是因為13由此不難驗證14而1, coswt, sinwt, ., cos nwt, sin nwt, .的函數(shù)的長度計算如下:15因此, 任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)fT(t), 可表示為三角級數(shù)的形式如下: 16為求an, 計算fT(t), cosnwt, 即17同理, 為求bn, 計算fT(t), sin nwt, 即18最后可得:19而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級數(shù)表示為:20如令wn=nw (n=0,1,2,.)21給定fT(t), cn的計算如下:2223如圖所示:1-1

5、otf(t)1例 定義方波函數(shù)為24現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t), 令T=4, 則1-12T=4f4(t)t-225則26sinc函數(shù)介紹27sinc(x)xsinc函數(shù)的圖形:28w前面計算出291-17T=8f8(t)t現(xiàn)在將周期擴大一倍, 令T=8, 以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為8的周期函數(shù)f8(t)30則31w則在T=8時,32w如果再將周期增加一倍, 令T=16, 可計算出33一般地, 對于周期T34當周期T越來越大時, 各個頻率的正弦波的頻率間隔越來越小, 而它們的強度在各個頻率的輪廓則總是sinc函數(shù)的形狀, 因此, 如果將方波函數(shù)f(t)看作是周期無窮大

6、的周期函數(shù), 則它也可以看作是由無窮多個無窮小的正弦波構(gòu)成, 將那個頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的形狀看作是f(t)的各個頻率成份上的分布, 稱作f(t)的傅里葉變換.35對任何一個非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個周期函數(shù)fT(t)當T時轉(zhuǎn)化而來的. 作周期為T的函數(shù)fT(t), 使其在-T/2,T/2之內(nèi)等于f(t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上, 則T越大, fT(t)與f(t)相等的范圍也越大, 這就說明當T時, 周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t), 即有36Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)3738O w1 w2 w3 wn-1wnw如圖3940此公式

7、稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式, 簡稱傅氏積分公式,41定義8.1 稱廣義積分為傅里葉積分.其中積分變量t取實值且從-到+,為實值參數(shù).可看成復變函數(shù)的朗級數(shù)加以推廣得到.428.2.2 傅里葉積分的物理意義-頻譜周期為T的函數(shù)fT(t)的傅里葉級數(shù)展開式：其中傅里葉系數(shù)1. 非正弦周期的頻譜序列43 從物理的觀點來看，式（1.2)說明fT(t)可表示為頻率2n/T的諸振動的疊加.頻率為2n/T的第n次振動的振幅2rn和相位n.44 所有出現(xiàn)的諸振動的振幅和相位的全體在物理上由fT(t)所描寫的自然現(xiàn)象的頻譜. 由于cn的下標n取離散值，所反映的諸振動振幅隨頻率變化的圖形是不連續(xù)的狀態(tài)，故稱

8、為離散譜.例8.3 求周期性矩形脈沖函數(shù)的頻譜序列.45解：經(jīng)計算可得 故所反映頻率為2n/T的第n次振動的振幅2rn和相位n分別為462. 非周期函數(shù)的頻譜函數(shù)對定義在區(qū)間（- ,+ )上的非周期函數(shù)f(t),可看成周期為+ ，將(1.3)代入（1.2),令T + ,得47若記我們可以講,由f(t)通過公式（1.4)得到頻譜函數(shù)F(),反之借助頻譜函數(shù)又將f(t)作為角頻率為的諸振動F( )ei t d /2的迭加形式（1.5)給出.頻譜函數(shù)F()的模|F()|通常稱作f(t)的振幅頻譜，這個頻譜的圖形是連續(xù)的，稱為連續(xù)譜.4849tf(t)|F()|503.傅里葉積分的物理意義頻譜函數(shù)F(

9、)恰好反映前述頻譜序列的和.518.1 若f(t)在(-, +)上滿足條件: 1, f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件; 2, f(t)在無限區(qū)間(-, +)上絕對可積, 則有8.1.3 傅里葉積分定理52例8.5 求矩形脈沖函數(shù)的傅里葉積分，傅里葉積公式.解：此函數(shù)顯然滿足傅里葉積分定理條件.故傅里葉積分為53故傅里葉積分公式為由傅里葉積分定理可得到548.2傅里葉變換8.2.1 傅氏變換的定義我們知道, 若函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理的條件, 則在f(t)的連續(xù)點處, 有55(8.6)式叫做f(t)的傅氏變換式, (8.8)式為F(w)的傅式逆變換式.f(t)與F(w)可相互轉(zhuǎn)換,可記為

10、F(w)=Lf(t) 和 f(t)=L-1F(w)56還可以將f(t)放在左端, F(w)放在右端, 中間用雙向箭頭連接: f(t) F(w) (8.6)式右端的積分運算, 叫做f(t)的傅氏變換, 同樣, (8.8)式右端的積分運算, 叫做F(w)的傅氏逆變換. F(w)稱作f(t)的象函數(shù), f(t)稱作F(w)的象原函數(shù).可以說象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)構(gòu)成了一個傅氏變換對.57tf(t)58這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換.根據(jù)(8.6)式, 有59根據(jù)(8.8)式, 有6061可見鐘形函數(shù)的傅氏變換也是鐘形函數(shù)因此有如果令b=1/2, 就有62求鐘形脈沖函數(shù)的積分表達式, 根據(jù)(1

11、.8)式63例3 解積分方程解：給函數(shù)f(x)在區(qū)間(- ,0)上補充定義，使f(x)在區(qū)間(- , +)上成為偶函數(shù)，則6465這一講介紹傅氏變換的幾個重要性質(zhì), 為了敘述方便起見, 假定在這些性質(zhì)中, 凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件, 在證明這些性質(zhì)時, 不再重述這些條件.8.2.2 傅里葉變換的性質(zhì)66這個性質(zhì)的作用是很顯然的, 它表明了函數(shù)線性組合的傅氏變換等于各函數(shù)傅氏變換的線性組合. 它的證明只需根據(jù)定義就可推出.設F1(w)=F f1(t), F2(w)=F f2(t), a,b是常數(shù), 則F af1(t)+bf2(t)=aF1(w)+bF2(w) (1.12

12、)1.線性性質(zhì)67同樣, 傅氏逆變換亦具有類似的線性性質(zhì), L -1aF1(w)+bF2(w)=af1(t)+bf2(t) （1.13)例1求函數(shù)的傅氏逆變換.解：因為6869證 由傅氏變換的定義, 可知2. 位移性質(zhì)70例2 求函數(shù)的傅氏逆變換.解：因為71例3 證明證：因為723.微分性質(zhì)如果f(t)在(-, +)上連續(xù)或只有有限個可去間斷點, 且當|t|+時, f(t)0, 則F f (t)=iwF f(t).(1.16)證 由傅氏變換的定義, 并利用分部積分可得73推論 L-1 f(n)(t)=(iw)n L-1 f(t).(1.17)同樣, 我們還能得到象函數(shù)的導數(shù)公式, 設F f(

13、t)=F(w), 則74例4 求函數(shù)的傅氏變換解：設則75764. 積分性質(zhì)77的解, 其中t+, a,b,c均為常數(shù).例2 求微分積分方程根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì), 且記F x(t)=X(w), F h(t)=H(w).解：在方程兩邊取傅氏變換, 可得 78運用傅氏變換的線性性質(zhì), 微分性質(zhì)以及積分性質(zhì), 可以把線性常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程, 通過解代數(shù)方程與求傅氏逆變換, 就可以得到此微分方程的解.另外, 傅氏變換還是求解數(shù)學物理方程的方法之一798081性質(zhì)小結(jié): 若F f(t)=F(w), F g(t)=G(w)8283實際上, 只要記住下面四個傅里葉變換, 則所有的傅里葉

14、變換都無須從公式直接推導而從傅里葉變換的性質(zhì)就可導出.846.卷積與卷積定理稱為函數(shù)f1(t)與f2(t)的卷積, 記為f1(t)*f2(t)若已知函數(shù)f1(t), f2(t), 則積分定義8.385卷積的圖示f1(t)f2(t)tOf2(-t)OtOttf2(t-t)86在積分中, 令u=t-t, 則t=t-u, du=-dt, 則即卷積滿足交換律.87下證卷積滿足結(jié)合律, 即f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)為此, 令則88交換二重積分的次序, 得令v=t-u, 則u=t-v, 89例1 證明證 根據(jù)卷積的定義f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t

15、)*f2(t)+f1(t)*f3(t)90例2 若求f1(t)*f2(t)f1(t)1OttOf2(t-t)1t91由卷積的定義有tO1-e-t192定理1.2(卷積定理 ) 假定f1(t), f2(t)都滿足傅氏積分定理中的條件, 則f1(t) * f2(t) F1(w)F2(w)如 f1(t) F1(w) f2(t)F2(w)以及93證: 按傅氏變換的定義, 有94在物理和工程技術(shù)中, 常常會碰到單位脈沖函數(shù). 因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì), 如在電學中, 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后產(chǎn)生的電流; 在力學中, 要研究機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等. 研究此類問題就會產(chǎn)生我

16、們要介紹的單位脈沖函數(shù).8.3 函數(shù)及其傅氏變換95例8.21 在原來電流為零的電路中, 某時間為t=0時刻進入一單位電量的脈沖, 現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t). 8.3 函數(shù)的概念解：設q(t)表示電路中的電荷函數(shù), 則1. 概念的引入96此外,電路在t=0以后到任何時刻的總電量為97例8.2 對某靜止的單位質(zhì)量物體施以瞬時外力F(t),使其速度v(t)突然增加一個單位. 現(xiàn)在對外力F(t)給以表示. 解：由牛頓第二運動定律知：98而物體在t=0的瞬時動量的增量為99這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強度. 為了確定這樣的電流強度, 引進一稱為狄拉克(Dirac)

17、的函數(shù), 簡單記成d-函數(shù). 有了這種函數(shù), 對于許多集中于一點或一瞬時的量, 例如點電荷, 點熱源, 集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等, 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣, 以統(tǒng)一的方式加以解決.1002. 函數(shù)的定義定義1.4 滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為 函數(shù)101的函數(shù)稱為 (t-t0)函數(shù)定義8.5 滿足以下兩個條件102當趨于0時的極限函數(shù)(t)稱為 函數(shù)定義8.6 函數(shù)序列103當趨于0時的極限函數(shù)(t- t0)稱為 (t- t0)函數(shù)定義8.7 函數(shù)序列104工程上將d函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù), 可將d函數(shù)用一個長度等于1的有向線段表示, 這個線段的長度表示d-函數(shù)的積分值,

18、 稱為d函數(shù)的強度.tOd(t)1tOd(t- t0)1t01058.3.2 d函數(shù)的性質(zhì)1. 篩選性質(zhì)1061071082. d函數(shù)為偶函數(shù)將 d函數(shù)的定義利用矩形脈沖形式109例8. 25 證明證明：利用篩選性質(zhì)1101113. 相似性質(zhì)設a為實常數(shù),則4. d函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導數(shù)1121138.3.3 d函數(shù)的傅氏變換114tOd(t)1wOF(w)1可見, 單位脈沖函數(shù)d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對. 同理, d(t-t0)和 亦構(gòu)成了一個傅氏變換對.115在物理學和工程技術(shù)中, 有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件, 即不滿足條件例如常數(shù), 符號函數(shù), 單位階躍函數(shù)以及正, 余弦函數(shù)等, 然而它們的廣義傅氏變換也是存在的, 利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅