第六章偏導(dǎo)數(shù)與全微分(專升本微積分)課件

1、一 、基本概念及結(jié)論1.多元(二元)函數(shù)的定義：二元函數(shù)的定義域是平面點(diǎn)集，通常用平面區(qū)域D表示,記為D(f)。第六章 偏導(dǎo)數(shù)與全微分10對(duì)應(yīng)關(guān)系的求法同一元函數(shù)注：二元函數(shù)的極限要求點(diǎn)Q(x,y)以任何方式，任何方向，任何路徑趨向于 時(shí)，均有若能找到兩條不同的路徑使沿此兩路徑 時(shí)，f(x,y)具有不同的2.二元函數(shù)的極限3.二元函數(shù)連續(xù)性定義：4.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的有界性定理介值定理、最大最小值定理、零值定理。5.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義 同樣可定義關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù):注：二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)12若題設(shè)條件告之函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則意味著可交換混 合偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)次序，可將結(jié)果整理為最簡(jiǎn)形式。6.二

2、元函數(shù)的全微分:三元函數(shù)的全微分:多元函數(shù)的全微分等于各自變量偏微分的和.12347.連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在與可微之間的關(guān)系二、基本問(wèn)題及解法問(wèn)題(一): 一般函數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算 解： （1）搞清復(fù)合關(guān)系，哪是自變量、中間變量，通常畫(huà)變量關(guān)系圖，再按變量關(guān)系圖的路徑求導(dǎo)。從應(yīng)變量到自變量有多少條路徑，求導(dǎo)時(shí)就有多少項(xiàng)，每一項(xiàng)均為函數(shù)對(duì)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)與中間變量對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)之積。注：有些復(fù)雜的函數(shù)也可引進(jìn)中間變量畫(huà)出變量關(guān)系圖后再求導(dǎo)。問(wèn)題(二):復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)求法解:變量關(guān)系如圖:“抽象”的復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法對(duì)抽象的二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，有的偏導(dǎo)數(shù)無(wú)法法具體求出只能保留“抽象”的形式

3、。視情況可畫(huà)變量關(guān)系圖，也可不畫(huà)變量關(guān)系圖。另解：注：也可引進(jìn)中間變量，令例7 設(shè)f(u)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且解：先求一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，再代入由三元方程F(x,y,z)=0所確定的z是x,y的函數(shù)z=f(x,y)稱二元隱函數(shù)。(因變量不能單獨(dú)出現(xiàn)在等號(hào)一邊);問(wèn)題(三)：多元隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法兩邊求導(dǎo)法:公式法：?jiǎn)栴}(四): 求二元函數(shù)的極值(1)定義：(3)極值存在的充分條件：步驟條件極值及解法求條件極值有兩種方法：(1)化為無(wú)條件極值(2)拉格朗日乘數(shù)法求極值步驟：123無(wú)須判定，直接根據(jù)實(shí)際問(wèn)題下結(jié)論例2.（條件極值）某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其銷售單價(jià)分別為10萬(wàn)元和9萬(wàn)元，生產(chǎn)x件甲種產(chǎn)品和y件乙種產(chǎn)品的總成本為又已知兩種產(chǎn)品的總產(chǎn)量為100件，求企業(yè)獲得最大利潤(rùn)時(shí),兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各是多少?答:企業(yè)獲得最大利潤(rùn)時(shí),兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為70件和30件.例3.某公司可通過(guò)電臺(tái)，報(bào)紙兩種方式做銷售某種商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入R（萬(wàn)元）與電臺(tái)廣告費(fèi) （萬(wàn)元）及報(bào)紙廣告費(fèi)用 (萬(wàn)元)之間有關(guān)系式：(1)在廣告費(fèi)用不限的情況下,求最優(yōu)廣告策略;解:（1）無(wú)條件極值利潤(rùn)函數(shù)(2)求條件極值拉格朗日乘數(shù)法注：因駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問(wèn)題存在最大利潤(rùn)，故當(dāng)電臺(tái)廣告費(fèi)為0.75萬(wàn)元，報(bào)紙廣告費(fèi)為1.25萬(wàn)元時(shí)利潤(rùn)最大此為最優(yōu)