第6講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（解析版）

1、本資料分享自千人教師QQ群323031380 期待你的加入與分享本資料分享自千人教師QQ群323031380 期待你的加入與分享【第6講】 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系編寫：廖云波 初審：譚光垠 終審：譚光垠 廖云波【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】知識(shí)點(diǎn)1 一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1) 當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(2) 當(dāng)時(shí)，右端是零因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：(3) 當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒有實(shí)數(shù)根由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：知識(shí)點(diǎn)2 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個(gè)根為

2、：所以：， 韋達(dá)定理：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么：【合作探究】探究一 與根個(gè)數(shù)之間的關(guān)系【例1】不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)：(1) (2) (3) 【解析】：(1) ， 原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 (2) 原方程可化為： ， 原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 (3) 原方程可化為： ， 原方程沒有實(shí)數(shù)根歸納總結(jié)：在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式【練習(xí)1-1】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍：(1) 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(3)方程有實(shí)數(shù)根；(4) 方程無實(shí)數(shù)根【解析】：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【練

3、習(xí)1-2】已知實(shí)數(shù)、滿足，試求、的值【解析】：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：，代入原方程得：綜上知：探究二 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【例2-1】若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【解析】：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1) (2) (3) (4) 歸納總結(jié)：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想【練習(xí)2】若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23【解析】：x1和x2分別是一元二次方程2x25x

4、30的兩根，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x26，| x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()【例2-2】已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為12，求這兩個(gè)數(shù)【解析】：法一 設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是，則或因此，這兩個(gè)數(shù)是2和6法二 由韋達(dá)定理知，這兩個(gè)數(shù)是方程24120的兩個(gè)根解方程得：12，26所以，這兩個(gè)數(shù)是2和6【例2-2】關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值(1) 方程兩實(shí)根的積為5；(2) 方程的兩實(shí)根滿足【解析】：(1) 方程兩實(shí)根的積為5 所以，當(dāng)時(shí)，方程兩實(shí)根的積

5、為5(2) 由得知：當(dāng)時(shí)，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故；當(dāng)時(shí)，由于 ，故不合題意，舍去綜上可得，時(shí)，方程的兩實(shí)根滿足探究三 一元二次方程的根的范圍【例3-1】若關(guān)于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解析】：設(shè)x1，x2是方程的兩根，則 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 a eq f(17,4) a的取值范圍是a4【例3-2】一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，一個(gè)比3大，一個(gè)比3小，求的取值范圍。【解析】：解一：由 解得：解二：設(shè)，則如圖所示，只須，解得【練習(xí)3-1】已知一元二次方程一個(gè)根小于0，另一根大于2，求的取值范圍?！窘馕觥浚喝鐖D，

6、設(shè)則只須，解之得 【課后作業(yè)】1一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是()ABCD2若是方程的兩個(gè)根，則的值為()ABCD3已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且OA、OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于的方程的根，則等于()ABCD4若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是( )ABCD大小關(guān)系不能確定5若實(shí)數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為()ABCD6如果方程的兩根相等，則之間的關(guān)系是 _ 7已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 _ 8若方程的兩根之差為1，則的值是 _ 9設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則= _ ，= _ 10已知

7、實(shí)數(shù)滿足，則= _ ，= _ ，= _ 11對(duì)于二次三項(xiàng)式，小明得出如下結(jié)論：無論取什么實(shí)數(shù)，其值都不可能等于10你是否同意他的看法？請(qǐng)你說明理由12已知關(guān)于的一元二次方程(1) 求證：不論為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 若方程的兩根為，且滿足，求的值13已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(1) 求的取值范圍；(2) 是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)你說明理由14已知關(guān)于x的方程x22(m2)xm240有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值【參考答案】1 B2 A3A4A5A67 38 9或91011正確1213(2) 不存在14解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23