布朗尼蛋糕盤設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模二等獎(jiǎng)?wù)撐?共17頁)

1、布朗尼蛋糕(dngo)盤摘 要電烤箱由于(yuy)其加熱時(shí)間短，耗能低，使用便捷的特點(diǎn)，被越來越多的人所認(rèn)可，并因此成為家電行業(yè)的一枝新秀。在電烤箱中，烤盤的形狀一般為矩形或圓形，當(dāng)使用矩形烤盤烘烤食物時(shí)，熱量集中在四個(gè)角上，導(dǎo)致邊角處物體因過度受熱而變焦，因此雖然(surn)矩形烤盤雖然能夠有效的利用烤箱空間，但烤出來的食物質(zhì)量不高。如果用圓形烤盤，熱量會(huì)平均分布在整個(gè)外圍邊緣，在外圍的物體就不會(huì)過度受熱，而用圓形的烤盤雖能保證質(zhì)量，但烤箱空間很浪費(fèi)。那么，如何才能夠設(shè)計(jì)一種烤盤，既能在保證烤出食物質(zhì)量的同時(shí)，盡可能的增加烤箱空間的利用率和食物的視覺效果？在假定烤箱的面積為，寬長比為變量，單

2、個(gè)烤盤的面積為,同一烤制過程中烤盤的大小形狀都完全相同的情況下，建立數(shù)學(xué)模型求解了三種問題：即烤盤數(shù)量最多的最大空間利用問題，烤盤平均熱量分布最大的烤制最佳質(zhì)量問題，空間利用與烤制質(zhì)量綜合考慮的雙目標(biāo)最優(yōu)化最大的問題。具體為：首先：為了解決烤箱空間的利用率最大，即烤盤的數(shù)量最多的問題，我們建立了單元正規(guī)密鋪模型，并證明了只有正三角形，正方形，正六邊形能夠達(dá)到無縫隙密鋪。并依據(jù)已知條件建立了正方形、正六邊形的密鋪單元個(gè)數(shù)的上下取整模型，給出了三種情況下的單元個(gè)數(shù)，得到了正方形單元密鋪時(shí)，個(gè)數(shù)最多，并通過實(shí)際尺寸為的電烤箱， 的烤盤進(jìn)行了驗(yàn)證，解得，檢驗(yàn)了模型的正確性。然后：為了解決烤制質(zhì)量，即烤

3、盤的平均熱量分布最大的問題，我們將溫度場的尖端熱效應(yīng)現(xiàn)象類比于電場的尖端熱效應(yīng)現(xiàn)象，建立了溫度分布函數(shù)的尖端熱效應(yīng)模型，從理論上推導(dǎo)出了溫度分布函數(shù)、平均熱量分布函數(shù)與尖端距離、半頂角之間的關(guān)系式，分析了其單調(diào)關(guān)系，得出了當(dāng)半頂角時(shí)，即烤盤為圓形時(shí)，曲率最小，最大。通過Matlab對(duì)該模型進(jìn)行了仿真，通過三維仿真溫度分布圖得知，曲率最大，即圓形密鋪時(shí)最大，與理論推導(dǎo)結(jié)果一致。并通過利用已有的輻射傳熱模型對(duì)尖端熱效應(yīng)模型進(jìn)行了進(jìn)一步的驗(yàn)證，證明了該模型的合理性。最后：為了綜合考慮烤箱的空間利用率和烤制質(zhì)量，在寬長比的范圍內(nèi)，引入權(quán)重，基于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的埃奇沃思框圖理論，考慮效應(yīng)函數(shù)最大，建立了雙目標(biāo)

4、規(guī)劃最優(yōu)模型，通過雙目標(biāo)規(guī)劃模型和蛛網(wǎng)模型兩種方法進(jìn)行求解，均得出當(dāng)時(shí)，正六邊形密鋪時(shí)為最優(yōu)結(jié)果。兩種方法求解結(jié)果的相同性，達(dá)到了驗(yàn)證模型可靠性的目的。并考慮正六邊形的尖端圓角化對(duì)密鋪進(jìn)行改造，對(duì)模型進(jìn)行了推廣，增加烤制質(zhì)量的同時(shí)，還提高了烤制蛋糕的美觀性。總之，本文在合理假設(shè)的前提下，建立模型對(duì)以上三個(gè)問題進(jìn)行了研究，并通過Matlab仿真、實(shí)證研究、一題多解等手段對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，最終給出了滿足烤箱空間利用率、烤制質(zhì)量等要求(yoqi)的結(jié)果，最終為蛋糕盤的設(shè)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ)。1 序言(xyn)家用(jiyng)電烤箱由于其使用價(jià)值被越來越多的人所認(rèn)可，并因此成為家電行業(yè)的一枝新秀。近年來

5、，新型電烤箱的技術(shù)含量增加，普遍采用遠(yuǎn)紅外加熱技術(shù)，具有加熱時(shí)間短，耗能低，使用便捷的特點(diǎn)，深受廣大用戶的歡迎。從理論上講，利用紅外線加熱物體，就是利用輻射波長與物體接收波長一致時(shí)，物體吸收大量的紅外能，從而加劇物體內(nèi)部的分子運(yùn)動(dòng)，使之加熱升溫，最終達(dá)到烤制的目標(biāo)。在電烤箱中，一般采用鋁制的烤盤作為工具和介質(zhì)來進(jìn)行烤制，烤盤的形狀依據(jù)烤箱內(nèi)箱的形狀來確定，大多數(shù)為矩形烤盤。但是，當(dāng)使用矩形烤盤烘烤食物時(shí)，熱量集中在四個(gè)角上，導(dǎo)致邊角處物體因過度受熱（以及在較小程度的邊緣處）而變焦，因此雖然矩形烤盤雖然能夠有效的利用烤箱空間，但烤出來的食物質(zhì)量不高。如果用圓形烤盤，熱量會(huì)平均分布在整個(gè)外圍邊緣，

6、在外圍的物體就不會(huì)過度受熱。然而，由于大多數(shù)的烤箱都是矩形的，而用圓形的烤盤雖能保證質(zhì)量，但烤箱空間很浪費(fèi)。這給烤箱的使用者造成了很大困擾。如何能在保證烤出食物質(zhì)量的同時(shí)，盡可能的增加烤箱空間的利用率和食物的視覺效果，成為一個(gè)值得研究的問題。2.烤箱內(nèi)的熱傳導(dǎo)分析與基本知識(shí)2.1 烤箱內(nèi)的熱傳導(dǎo)分析解決烤箱內(nèi)烤盤邊緣的熱量分布問題之前，首先需要了解烤箱的加熱原理。通過烤箱的使用說明書可知其加熱原理為：電阻絲通電變熱，期間使電能轉(zhuǎn)化為熱能，箱體內(nèi)的溫度隨之提高，繼而對(duì)食物進(jìn)行烘烤至熟。這個(gè)過程是由外至里的，通俗的理解，烤箱就像一個(gè)封閉的爐子，其內(nèi)部主要是靠熱輻射來達(dá)到熱量傳遞。觀察烤箱的內(nèi)部結(jié)構(gòu)

7、不難發(fā)現(xiàn)，烤箱內(nèi)部一般裝有風(fēng)扇或留有進(jìn)、出風(fēng)口，這樣就會(huì)使烤箱內(nèi)部由于對(duì)流傳熱而達(dá)到一個(gè)溫度均勻的狀態(tài)。那么是什么因素導(dǎo)致有的蛋糕會(huì)烤焦呢？為解決這個(gè)疑問，分析烤箱的內(nèi)部機(jī)理，可以得知：熱傳遞過程往往是傳導(dǎo)、對(duì)流與輻射同時(shí)進(jìn)行或至少其中兩種同時(shí)進(jìn)行，而由烤箱熱源發(fā)出的輻射熱混合對(duì)流過程后，烤箱內(nèi)部整個(gè)空間的空氣的溫度都是均勻的，也就是說，烤盤邊緣溫度分布與熱傳導(dǎo)過程有關(guān)。接下來要具體分析一下這個(gè)結(jié)論的正確性。熱傳導(dǎo)實(shí)質(zhì)是由大量物質(zhì)的粒子熱運(yùn)動(dòng)互相撞擊，而使能量從物體的高溫部分傳至低溫部分，或由高溫物體傳給低溫物體的過程。在固體中，熱傳導(dǎo)的微觀過程是：在溫度高的部分，晶體中結(jié)點(diǎn)上的微粒振動(dòng)動(dòng)能較

8、大。在低溫部分，微粒振動(dòng)動(dòng)能較小。因微粒的振動(dòng)互相聯(lián)系，所以在晶體內(nèi)部就發(fā)生微粒的振動(dòng)，動(dòng)能由動(dòng)能大的部分向動(dòng)能小的部分傳遞。在固體中熱的傳導(dǎo)，就是能量的遷移。在金屬物質(zhì)中，因存在大量的自由電子，在不停地作無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)。自由電子在金屬晶體中對(duì)熱的傳導(dǎo)起主要作用。自由電子劇烈運(yùn)動(dòng)會(huì)向尖端聚集，從而使尖端的內(nèi)能相對(duì)更大，產(chǎn)生尖端熱效應(yīng)現(xiàn)象。可以通過建立溫度場場強(qiáng)與幾何圖形半頂角的關(guān)系方程得到烤盤邊緣熱量分布。2.2 基本(jbn)假設(shè)(1)假設(shè)(jish)烤箱(ko xin)的寬長比為一個(gè)變量,并設(shè)定烤箱的面積為，每個(gè)烤盤的面積為，簡化在排列烤盤過程中的一些不確定因素，使排列過程能夠進(jìn)行。(2)

9、 假設(shè)烤箱內(nèi)烤架既貼近實(shí)際，又能做到分層空間均等的，以保證烤箱內(nèi)部溫度場均勻，上下兩層烤盤互不影響。(3)假設(shè)烤箱內(nèi)空氣流通，所研究物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)（空隙大小物體幾何尺寸），同一烤制過程中烤盤具有規(guī)則的形狀，并且各個(gè)烤盤的大小、形狀完全相同。2.3 基本概念(1)熱傳導(dǎo)：在物體內(nèi)部或相互接觸的物體表面之間，由于分子、原子、及自由電子等微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的熱量傳遞現(xiàn)象。既可發(fā)生在固體內(nèi)部，也可發(fā)生在靜止的液體和氣體之中。(2)熱輻射：由于物體內(nèi)部微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)而使物體向外發(fā)射輻射能的現(xiàn)象。(3)尖端效應(yīng)：熱能在獨(dú)立物體中會(huì)向尖端（幾何形狀的末梢）推移集中的物理現(xiàn)象，其中包含尖端熱效

10、應(yīng)現(xiàn)象。(4)溫度梯度：等溫面沿法向方向的方向?qū)?shù)叫溫度梯度。(5)密鋪：指任何一種圖形，如果能既無空隙又不重疊的鋪在平面上，這種鋪法就叫做“密鋪”。3 基于烤盤數(shù)量最大的密鋪模型3.1 密鋪的定義及分類密鋪，也就是某形狀的鋪物被用來不交疊亦無縫隙的鋪滿整個(gè)平面。即：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱作平面圖形的鑲嵌1-2,在一種密鋪的圖案里如果基本元素圖案只有一種，稱之為單元密鋪，否則稱為多元密鋪。在單元密鋪里，如果基本元素是正多邊形(正三邊形，正方形，正五邊形，正六邊形等等)，這種密鋪便稱為(單元)正規(guī)密鋪. 若

11、在密鋪時(shí)各個(gè)基本元素圖案的邊與邊完全吻合，則稱這種密鋪為棱對(duì)棱密鋪，如圖1，圖2所示。若同時(shí)滿足正規(guī)性和棱對(duì)棱性，則稱為單元正規(guī)棱對(duì)棱密鋪。圖1 棱對(duì)棱密鋪圖2 非棱對(duì)棱密鋪3.2 基于烤盤問題(wnt)的單元正規(guī)密鋪模型為使烤箱(ko xin)容納烤盤數(shù)最多，在選擇烤盤形狀時(shí)，應(yīng)首先考慮烤盤的相同性，規(guī)則性，然后應(yīng)考慮使烤盤在不重疊的前提下覆蓋面積達(dá)到最大。基于以上思考，建立單元正規(guī)密鋪模型。具體(jt)推導(dǎo)如下3：在密鋪過程中，正邊形的每一個(gè)內(nèi)角為要實(shí)現(xiàn)密鋪，首先要保證頂點(diǎn)匯集處，整數(shù)個(gè)內(nèi)角之和為，若設(shè)某固定點(diǎn)的頂角個(gè)數(shù)為,則有整理得到所以 也就是說，在正多邊形中，能夠無縫隙密鋪的只有正三

12、角形、正方形和正六邊形密鋪效果圖如下：圖3矩形區(qū)域的正三角形單元的密鋪效果圖4矩形區(qū)域(qy)的正方形單元的密鋪效果圖5矩形(jxng)區(qū)域的正六邊形單元的密鋪效果由于在本題中圖形(txng)從矩形過渡到圓形，因此，正三角形不必考慮。矩形在進(jìn)行密鋪時(shí)，在與烤箱邊界接觸時(shí)能無縫隙的重合，而正六邊形在邊界處是一定存在縫隙的，其它過渡圖形如正五邊形、正八邊形、圓形等，在密鋪的過程中，不僅在邊界處有縫隙，而且圖形之間也存在縫隙，下面給出正方形和正六邊形密鋪狀態(tài)下、圓形非密鋪狀態(tài)下的單元的個(gè)數(shù)，并進(jìn)行比較。首先假設(shè)在理想狀態(tài)下，即烤箱內(nèi)壁與烤盤能完全對(duì)接的情況下，密鋪單元的個(gè)數(shù)為但是實(shí)際情況中，并不是總

13、能鋪滿烤箱，邊界上留下的縫隙距離不足以重新密鋪一個(gè)新的單元時(shí)，求出的單元個(gè)數(shù)實(shí)際個(gè)數(shù)，邊界上的縫隙會(huì)造成很大的誤差。因此，可以利用上下取整模型對(duì)密鋪模型進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)一步求得烤箱長、寬和烤盤單元的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。（1）正方形單元：（2）正六邊形單元：（3）圓形單元(dnyun)：其中(qzhng)分別表示(biosh)上取整和下取整函數(shù)。結(jié)合實(shí)際情況，參考家用電烤箱的實(shí)際尺寸為，烤盤的面積為，代入上式，計(jì)算得到矩形的個(gè)數(shù)為25，正六邊形個(gè)數(shù)為18，圓形個(gè)數(shù)為16。據(jù)此得出結(jié)論，矩形是最佳選擇。4 基于平均熱量分布最大的尖端熱效應(yīng)模型溫度場和電場有許多類似的物理量，如等溫線與等勢線、等溫面與等勢面

14、、溫度梯度與場強(qiáng)梯度等。通過查閱資料得知，在電場中存在尖端效應(yīng)4-5，在溫度場中存在尖端熱效應(yīng)6-8，兩種效應(yīng)有許多相似的特征，所以可以把溫度場中的尖端熱效應(yīng)類比于電場中的尖端效應(yīng)。4.1 尖端熱效應(yīng)模型首先以一個(gè)簡單的尖頂形狀為例進(jìn)行分析，如下圖所示：圖6 尖頂圖形其表面的溫度場函數(shù)為 （1） （2） （3）將（1）、（2）代入（3）中，可得溫度(wnd)分布函數(shù)(hnsh)為 （4）其中(qzhng)為距離尖端頂點(diǎn)的距離，分別為半頂角的弧度值和角度值，平均熱量分布函數(shù) (5)為簡化計(jì)算，該強(qiáng)度是在假設(shè)尖端溫度為0的條件下得到的，為待定常量?？紤]本文研究的是尖端，所以認(rèn)為，即。根據(jù)式（4）得

15、到尖端溫度場與半頂角（用弧度表示）之間的關(guān)系，由關(guān)系式可得當(dāng)固定時(shí)，時(shí)，固定時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，并且其中為常數(shù)，且。從上式可以得出，當(dāng)，遠(yuǎn)離常數(shù)0時(shí)，溫度趨于平穩(wěn)，因此平均熱量分布函數(shù)的大小主要取決于，在取0時(shí)附近的溫度值。在總熱量保持恒定的前提下，可以得出：（1）當(dāng)時(shí)，溫度值時(shí)，總體平均熱量分布。（2）在尖端附近，如果半頂角，曲率，變化緩慢，。綜上可得，當(dāng)半頂角，也就是取圓形時(shí)，曲率最小，平均熱量分布函數(shù)取最大。4.2 尖端熱效應(yīng)模型的Matlab仿真通過Matlab仿真9-10實(shí)現(xiàn)了半頂角固定，溫度與距離間的變化過程，見圖4(a)。實(shí)現(xiàn)了距離固定，溫度與半頂角間的變化過程，見圖4(b)。實(shí)現(xiàn)了溫

16、度與半頂角和距離兩個(gè)因素間的變化過程，見圖4(c)。圖7(a) 尖端(jindun)溫度場隨到角端距離的變化圖7(b) 尖端(jindun)溫度場隨著半頂角的變化圖7(c) 尖端(jindun)溫度場溫度分布圖根據(jù)圖7(a)可知：隨著到尖端的距離的增大，溫度的變化趨于平穩(wěn)，即溫度分布相對(duì)均勻，也就是說，在尖端附近，溫度的變化比較劇烈，溫度分布不均勻。根據(jù)圖7(b)可知：隨著尖端角度的增大，曲率減小，溫度的變化趨于平穩(wěn)，即溫度分布相對(duì)均勻，也就是說，在尖端角度越小時(shí)，曲率越大，溫度的變化比較劇烈，溫度分布不均勻。綜上可知，距離尖端越近，角度越小即曲率越大時(shí)，溫度分布越不均勻，反之，距離尖端較遠(yuǎn)，

17、角度越大即曲率越小時(shí)，溫度分布越均勻，如圖7(c)所示。因此可以得知：由矩形到圓形過渡的圖形中，圓形的曲率最小，所以圓形烤盤邊緣平均熱量分布最均勻，與理論推導(dǎo)結(jié)果一致。4.3 輻射傳熱模型驗(yàn)證結(jié)果為了驗(yàn)證尖端熱效應(yīng)模型的合理性和正確性，用常規(guī)的輻射傳熱模型來考慮平均(pngjn)熱量分布問題。電烤箱的工作原理是由于電烤箱的電阻元件發(fā)熱以輻射熱的方式給電烤箱內(nèi)的物體加熱。由輻射熱的傳熱量(rling)公式11其中(qzhng):為輻射傳熱量，為輻射傳熱系數(shù)，為溫度差，為傳熱方向上的導(dǎo)熱面積。我們可以看出電烤箱內(nèi)物體所吸收的熱量與傳熱接觸面積有關(guān)，且當(dāng)傳熱接觸面積增大時(shí)，烤盤的吸熱量也會(huì)增大。當(dāng)烤

18、盤形狀從矩形到圓形變化，在烤盤面積一定的情況下，,，。所以對(duì)于矩形烤盤和圓形烤盤，烤盤高度相同，矩形的吸熱量大于圓形烤盤的吸熱量（）所以在相同時(shí)間內(nèi)（將面包烤熟），矩形烤盤內(nèi)部溫度較高，在邊緣和邊角處容易烤焦。所得結(jié)論能夠解釋問題中的現(xiàn)象，同時(shí)與尖端熱效應(yīng)模型結(jié)論一致，說明上述將溫度場類比于電場，并設(shè)計(jì)的尖端熱效應(yīng)模型是可行的。5 基于烤盤數(shù)量與熱量分布的雙目標(biāo)規(guī)劃模型在選擇烤盤形狀時(shí)要考慮兩方面因素：圖形密鋪效果和烤盤邊緣熱量分布。當(dāng)選取與烤箱邊長比一致的矩形烤盤時(shí)，存在烤盤完全密鋪烤箱的情況，能夠充分利用烤箱空間。這樣，在面積A相等的情況下，烤盤為矩形時(shí)，箱內(nèi)所能容納的烤盤數(shù)量最多。但是，

19、由尖端熱效應(yīng)模型可知，烤盤邊角越尖，曲率越小，即角度越小，其溫度梯度變化越大，溫度分布越不均勻。同時(shí)由于邊角處溫度場疊加，使得溫度升高，導(dǎo)致邊角處食物越容易變焦。圖8矩形熱量分布圖由尖端熱模型求解結(jié)果分析，圓形的曲率最大，溫度梯度變化平穩(wěn)，溫度分布均勻，所以圓形烤盤邊緣熱量分布最均勻，食物不易烤糊。從這個(gè)角度考慮，選擇圓形烤盤。然而，圓形的密鋪效果相對(duì)來說比較差，烤盤之間縫隙大，造成烤箱空間的浪費(fèi)。圖9圓形熱量(rling)分布圖顯然，綜合考慮時(shí)，矩形(jxng)和圓形都不是最佳的選擇。5.1 雙目標(biāo)規(guī)劃(guhu)模型在考慮烤箱的外觀的美觀性的前提下，依據(jù)黃金分割理論，假定烤箱的寬長比為定值

20、，即使有變化也變化不大，也就是不會(huì)出現(xiàn)狹長形狀的烤箱這種情況。根據(jù)題意要求，建立雙目標(biāo)規(guī)劃的埃奇沃思模型12，構(gòu)造關(guān)于烤盤個(gè)數(shù)、平均熱量分布函數(shù)兩個(gè)目標(biāo)因素的效用函數(shù)的方程為：其中：式中，為效用函數(shù)，為權(quán)重，為烤盤單元數(shù)量，為平均熱量分布函數(shù)，為正多邊形的邊數(shù)。埃奇沃思框圖如下：圖10 埃奇沃思盒圖其中為烤箱內(nèi)烤盤單元的最大數(shù)量、為平均熱量分布。紅色的曲線為烤箱內(nèi)烤盤單元的最大數(shù)量，其原點(diǎn)在左下角。說明忽略熱量分布的情況下，烤盤邊數(shù)越少，越趨近于矩形，烤箱內(nèi)所能容納的烤盤數(shù)越多，也就是效應(yīng)越大，無差異曲線離原點(diǎn)越遠(yuǎn)效應(yīng)越大；藍(lán)色的曲線為平均熱量分布，其原點(diǎn)在右上角，說明在不考慮烤盤數(shù)量的前提下

21、，隨著邊數(shù)越來越多，熱量分布越來越均勻，效應(yīng)越大。在圖10中找到一點(diǎn)，使得烤盤數(shù)量的效應(yīng)和烤盤邊緣熱量分布的效應(yīng)綜合達(dá)到最大，即圖中的點(diǎn)。顯然(xinrn)可見，當(dāng)時(shí)，為烤盤數(shù)量(shling)最多的密鋪模型(mxng)，其結(jié)果為正方形密鋪；當(dāng)時(shí)，為平均熱量分布函數(shù)最大的尖端熱效應(yīng)模型，其結(jié)果為圓形（正多邊形，其中）。因此考慮當(dāng)需要烤盤數(shù)量相對(duì)較多，但平均熱量分布也相對(duì)較大的情況下，去權(quán)重為。則令帶入公式可得解之得即選擇正六邊形的烤盤能同時(shí)滿足數(shù)量最多，受熱最均勻。5.2 蛛網(wǎng)模型由于在烘烤過程中，如果烤盤為矩形，熱量主要集中在四個(gè)角，成品的角處會(huì)易焦。在圓形烤盤內(nèi)，熱量平均分布在外部邊緣，最

22、后的成品邊緣不會(huì)烤焦。由問題一、二分析可知，烤盤的形狀應(yīng)該為正多邊形，并且隨著邊數(shù)的增加，會(huì)使烤盤浪費(fèi)的空隙增大，烤箱容納的烤盤數(shù)會(huì)減小。由此我們建立了蛛網(wǎng)模型13-14，令表示烤盤為正多邊形的邊數(shù)，表示烤箱容納效用（烤箱容納效用即為使用者對(duì)烤箱容納烤盤數(shù)的滿意度）根據(jù)文獻(xiàn)15得到烤箱容納效用與烤盤邊數(shù)的關(guān)系式： （1）其中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的多邊形為圓。以表示烤盤的平均熱量分布效用，即使用者對(duì)蛋糕質(zhì)量的滿意程度，根據(jù)文獻(xiàn)15得到烤盤的平均熱量分布效用與烤盤邊數(shù)的關(guān)系為： （2）用matlab做函數(shù)（1）、（2）的圖像為：圖11 烤箱容納(rngn)效用函數(shù)和平均熱量分布效用函數(shù)對(duì)應(yīng)(duyng)的

23、程序?yàn)椋簒=5:0.0001:7;g=-x.*x+10*x-22;h=x.*sin(x-5).*sin(x-5)-5* sin(x-5).*sin(x-5);plot(x,g)hold onplot(x,h)從圖像顯示隨著角數(shù)的增加(zngji)，烤箱容納效用是減少的，烤箱的平均熱量分布效用是增加的。當(dāng)烤箱容納效用增加時(shí)，烤箱的平均熱量分布效用減小；當(dāng)烤箱的平均熱量分布效用增加時(shí)，烤箱容納效用減小，此模型即為蛛網(wǎng)模型。由蛛網(wǎng)模型定理可知，函數(shù)與的交點(diǎn)即是系統(tǒng)穩(wěn)定點(diǎn)，即。由于為正多邊形的邊數(shù)，則為所求結(jié)果，說明正六多邊形比較滿足問題3的要求,但此時(shí)仍存在著尖端熱效應(yīng)所造成的溫度集中現(xiàn)象，我們可將

24、正六邊形邊角弧度化，這樣就大大減弱了由于邊角溫度集中而造成的燒焦現(xiàn)象。由此，我們給出了在權(quán)重不同，即顧客對(duì)烤出的蛋糕要求不同時(shí)，選擇烤盤形狀的流程圖，如下圖所示：In p是否P是否在00.3P是否在0.40.6P是否在0.71輸出圓形輸出正六邊形形輸出矩形是是否圖12 選擇烤盤形狀流程圖 觀察上圖，根據(jù)不同P值對(duì)應(yīng)的不同結(jié)果，我們給出如下建議：當(dāng)對(duì)蛋糕數(shù)量要求較高時(shí)，選擇矩形烤盤；當(dāng)質(zhì)量成為第一(dy)考慮要素時(shí)，選擇圓形烤盤，如一些品牌蛋糕店；當(dāng)對(duì)兩者沒有特殊要求時(shí)，或希望兩者綜合考慮效果最好時(shí)，選擇正六邊形烤盤。六、模型(mxng)評(píng)價(jià)與改進(jìn)(gijn)評(píng)價(jià)：本文通過分析得知，溫度場和電場

25、有許多相似的性質(zhì)，把溫度場類比于電場，建立尖端熱效應(yīng)模型，此模型想法獨(dú)特，通過類比對(duì)尖端熱效應(yīng)進(jìn)行深一步的理解和探討，同時(shí)本模型也為溫度場中尖端熱效應(yīng)問題的研究開拓了一個(gè)新方向，避開了在求解二維、三維導(dǎo)熱微分方程中遇到的困難。并且又利用輻射傳熱傳熱量的計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)，進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。在設(shè)計(jì)方案使?jié)M足烤盤數(shù)較多和烤盤平均熱量分布較大時(shí)，我們聯(lián)想到了生活中的蜂窩形狀（正六邊形），利用自然現(xiàn)象，解決實(shí)際問題，更貼近生活，有實(shí)用價(jià)值。在模型的建立與求解過程中,我們假定烤箱的寬長比為定值,而實(shí)際情況下,烤箱的寬長比在一個(gè)范圍內(nèi)波動(dòng),因此模型求解結(jié)果存在一定誤差。七、參考文獻(xiàn)1 Charles

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