第3章無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)方法

1、第3章無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)方法 下面舉例討論應(yīng)用模擬濾波器低通原型，設(shè)計(jì)各種數(shù)字濾波器的基本原理，著重討論雙線(xiàn)性變換法。 一低通變換 通過(guò)模擬原型設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的四個(gè)步驟： 1）確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率k。2）由變換關(guān)系將k映射到模擬域，得出模擬濾波器的臨界頻率值k。3）根據(jù)k設(shè)計(jì)模擬濾波器的Ha(s)4） 把Ha(s) 變換成 H(z)（數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)）例1 設(shè)采樣周期 ,設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃茲LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1khz。分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線(xiàn)性變換法求解。 解：a. 脈沖響應(yīng)不變法 由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系是線(xiàn)性的，所以可直接按c =2fc

2、設(shè)計(jì)Ha(s)。根據(jù)上節(jié)的討論，以截止頻率c 歸一化的三階巴特沃茲 濾波器的傳遞函數(shù)為： 以 代替其歸一化頻率，得： 也可以查表得到。由手冊(cè)中查出巴特沃茲多項(xiàng)式的系數(shù)，之后以 代替歸一化頻率，即得 。 將 代入，就完成了模擬濾波器的設(shè)計(jì)，但為簡(jiǎn)化運(yùn)算，減小誤差積累，fc數(shù)值放到數(shù)字濾波變換后代入。 為進(jìn)行脈沖響應(yīng)不變法變換，計(jì)算Ha(S)分母多項(xiàng)式的根，將上式寫(xiě)成部分分式結(jié)構(gòu)： 對(duì)照前面學(xué)過(guò)的脈沖響應(yīng)不變法中的部分分式形式 有 將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： , -極點(diǎn) 并將 代入，得： 合并上式后兩項(xiàng)，并將 代入，計(jì)算得： 可見(jiàn)，H（Z）與采樣周期T有關(guān)，T越小，H（Z）的相對(duì)增益

3、越大，這是不希望的。為此，實(shí)際應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)稍作一點(diǎn)修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只與 有關(guān)，即只與fc和fs的相對(duì)值 有關(guān)，而與采樣頻率fs無(wú)直接關(guān)系。 例如， 與 的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù)，這一結(jié)論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)。 最后得： b. 雙線(xiàn)性變換法 （一）首先確定數(shù)字域臨界頻率 （二）根據(jù)頻率的非線(xiàn)性關(guān)系，確定預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率 (三 ) 以 代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù) 并將 代入上式。 （四）將雙線(xiàn)性變換關(guān)系代入，求H(Z)。 圖1 三階Butterworth 數(shù)字濾波器的頻響脈沖響應(yīng)不變法雙線(xiàn)性變換法fs/2020040060080

4、010001200140016001800200000.10.20.30.40.50.60.70.80.91頻率/Hz圖3.14 三階巴特沃茲濾波器的頻率響應(yīng)幅值 圖1為兩種設(shè)計(jì)方法所得到的頻響，對(duì)于雙線(xiàn)性變換法，由于頻率的非線(xiàn)性變換，使截止區(qū)的衰減越來(lái)越快，最后在折 疊頻率處 形成一個(gè)三階傳輸零點(diǎn),這個(gè)三階零點(diǎn)正是模擬濾波器在 處的三階傳輸零點(diǎn)通過(guò)映射形成的。因此,雙線(xiàn)性變換法使過(guò)渡帶變窄,對(duì)頻率的選擇性改善,而脈沖響應(yīng)不變法存在混淆,且沒(méi)有傳輸零點(diǎn)。 二.高通變換 設(shè)計(jì)高通、帶通、帶阻等數(shù)字濾波器時(shí)，有兩種方法： 先設(shè)計(jì)一個(gè)相應(yīng)的高通、帶通或帶阻模擬濾波器，然后通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法或雙線(xiàn)性變

5、換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。 模擬原型 模擬高通、帶通、帶阻 數(shù)字高通、帶通、帶阻 設(shè)計(jì)方法同上面討論的低通濾波器的設(shè)計(jì)。 即確定 轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的 高通、帶通、帶阻 模擬濾波器的設(shè)計(jì) Ha(s) H(Z) 直接利用模擬濾波器的低通原型，通過(guò)一定的頻率變換關(guān)系，一步完成各種數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。 頻率變換 模擬原型 數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻這里只討論第二種方法。因其簡(jiǎn)捷便利，所以得到普遍采用。 變換方法的選用： 脈沖響應(yīng)不變法：對(duì)于高通、帶阻等都不能直接采用，或只 能在加了保護(hù)濾波器后才可使用。因此，使 用直接頻率變換（第二種方法），對(duì)脈沖響 應(yīng)不變法要有許多特殊的考慮，它一般應(yīng)用 于第一種方法中。 雙線(xiàn)

6、性變換法：下面的討論均用此方法，實(shí)際使用中多數(shù)情況 也是如此?；陔p線(xiàn)性變換法的高通濾波器設(shè)計(jì)： 在模擬濾波器的高通設(shè)計(jì)中，低通至高通的變換就是S變量的倒置，這一關(guān)系同樣可應(yīng)用于雙線(xiàn)性變換，只要將變換式中的S代之以1/S，就可得到數(shù)字高通濾波器. 即 由于倒數(shù)關(guān)系不改變模擬濾波器的穩(wěn)定性，因此，也不會(huì)影響雙線(xiàn)變換后的穩(wěn)定條件，而且 軸仍映射在單位圓上，只是方向顛倒了。即 如圖 映射到 即 映射到 即 圖1 高通變換頻率關(guān)系 這一曲線(xiàn)的形狀與雙線(xiàn)性變換時(shí)的頻率非線(xiàn)性關(guān)系曲線(xiàn)相對(duì)應(yīng)，只是將 坐標(biāo)倒置，因而通過(guò)這一變換后可直接將模擬低通變?yōu)閿?shù)字高通,如圖2。1.01.00 圖2 高通原型變換 應(yīng)當(dāng)明

7、確： 所謂高通DF，并不是高到 ，由于數(shù)字頻域存在 折疊頻 率 ，對(duì)于實(shí)數(shù)響應(yīng)的數(shù)字濾波器， 部分只是 的鏡象部分，因此有效的數(shù)字域僅是 ，高通也僅指這一段的高端，即到 為止的部分。 高通變換的計(jì)算步驟和低通變換一樣。但在確定模擬原型預(yù)畸的臨界頻率時(shí)，應(yīng)采用 ,不必加負(fù) 號(hào)，因臨界頻率只有大小的意義而無(wú)正負(fù)的意義。例 ： 采樣 設(shè)計(jì)一個(gè)三階切比雪夫高通DF，其通過(guò)頻率 （但不必考慮 以上的頻率分量），通帶內(nèi)損耗不大于1dB。 解：首先確定數(shù)字域截止頻率 , 則 切比雪夫低通原型的模函數(shù)為： 為N階切比雪夫多項(xiàng)式通帶損耗 時(shí)，N=3時(shí),系統(tǒng)函數(shù)為（可由MATLAB計(jì)算獲得）：為方便，將 和 S

8、用T/2歸一化， 則于是 圖3 三階切比雪夫高通頻響例5（書(shū)上 ） 設(shè)計(jì)一數(shù)字高通濾波器，它的通帶為400500Hz，通帶內(nèi)容許有0.5dB的波動(dòng)，阻帶內(nèi)衰減在小于317Hz的頻帶內(nèi)至少為19dB，采樣頻率為1,000Hz。確定最小階數(shù) N。 模擬切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)中階數(shù)的確定公式為 求得最小的N： wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000);wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000);N,wn=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,s);B,A=cheby1(N,0.5,wn,high,s);num,den=bilinear(B,A,1000);

9、h,w=freqz(num,den);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h);axis(0,500,-80,10);grid; xlabel() ylabel(幅度/dB)頻率/Hz 切比雪夫高通濾波器幅度/dB三帶通變換 如圖1 ,如果數(shù)字頻域上帶通的中心頻率為 ，則帶通變換的目的是將: （頻率映射關(guān)系具有周期性, 幅頻響應(yīng)具有原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性）。 即將S的原點(diǎn)映射到 ，而將 點(diǎn)映射到 ，滿(mǎn)足這一要求的雙線(xiàn)性變換為：模擬低通 圖1 帶通原型變換 當(dāng) 時(shí) 因此 （帶通變換關(guān)系 ） 圖中 點(diǎn)正好映射在 上，而 映射在 ， 兩端，因此滿(mǎn)足帶通變換的要求。帶通變換的頻率關(guān)系穩(wěn)定

10、性證明： 同時(shí)，這一變換也滿(mǎn)足穩(wěn)定性要求，設(shè) 由于上式完全是實(shí)數(shù)，所以是映射在S平面 軸上。其中分子永遠(yuǎn)非負(fù)的 ， 因此 的正負(fù)決定于分母由此證明了，S左半平面映射在單位圓內(nèi)，而右半平面映射在單位圓外，這種變換關(guān)系是穩(wěn)定的變換關(guān)系，可用它來(lái)完成帶通的變換，如圖1。設(shè)計(jì)： 設(shè)計(jì)帶通時(shí)，一般只給出上、下邊帶的截止頻率 作為設(shè)計(jì)要求。 為了應(yīng)用以上變換，首先要將上下邊帶參數(shù) 換算成中心頻率 及模擬低通截止頻率 。為此將 代入變換關(guān)系式：由于 在模擬低通中是一對(duì)鏡象頻率，代入上面兩等式，求出例又 同時(shí)也就是模擬低通的截止頻率 ，有了這兩個(gè)參數(shù)就可完成全部計(jì)算。 ：采樣 fs=400kHz，設(shè)計(jì)一巴特沃

11、茲帶通濾波器，其3dB邊界頻率分別為f2=90kHz,f1=110kHz,在阻帶f3=120kHz處最小衰減大于10dB。解：確定數(shù)字頻域的上下邊帶的角頻率求中心頻率： 求模擬低通的通帶截止頻率 與阻帶邊界頻率 ： 從 頻率增加了約1.05倍，衰減增加了（10-3）dB，故選用二階巴特沃茲濾波器可滿(mǎn)足指標(biāo)（查表） 歸一化的系統(tǒng)函數(shù)： 代入 ， 代入變換公式 例6 帶通濾波器設(shè)計(jì) 四帶阻變換 把帶通的頻率關(guān)系倒置就得到帶阻變換。 給定例7w1=95/500;w2=105/500;B,A=butter(1,w1, w2,stop);h,w=freqz(B,A);f=w/pi*500;plot(f,

12、20*log10(abs(h);axis(50,150,-30,10);grid; xlabel(頻率/Hz) ylabel(幅度/dB)頻率/Hz巴特沃茲帶阻濾波器幅度/dB3.4 從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（Z平面變換法） 上一節(jié)討論了由模擬網(wǎng)絡(luò)的低通原型來(lái)設(shè)計(jì)各種DF的方法，這種原型變換的設(shè)計(jì)方法同樣也可直接在數(shù)字域上進(jìn)行。 DF低通原型函數(shù) 這種變換是由 所在的Z平面到H（z）所在的Z平面的一個(gè)映射變換。 為便于區(qū)分變換前后兩個(gè)不同的Z平面，我們把變換前的 Z平面定義為u平面，并將這一映射關(guān)系用一個(gè)函數(shù)g表示： 各種DF的 H（z）于是，DF的原型變換可表為： 函數(shù) 的

13、特性： 1) 是 的有理函數(shù)。 2）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要求 u的單位圓內(nèi)部必須對(duì)應(yīng)于z的單位圓內(nèi)部。 3） 必須是全通函數(shù)。 為使兩個(gè)函數(shù)的頻響滿(mǎn)足一定的變換要求，Z的單位圓應(yīng)映射到u的單位圓上，若以 分別表示u平面和Z平面的單位圓，則式為 且必有 ，其中 是 的相位函數(shù)， 即函數(shù)在單位圓上的幅度必須恒為1，稱(chēng)為全通函數(shù)。 全通函數(shù)的基本特性： 任何全通函數(shù)都可以表示為： 其中 為極點(diǎn)，可為實(shí)數(shù)，也可為共軛復(fù)數(shù)，但必須在單位圓以?xún)?nèi)，即 ，以保證變換的穩(wěn)定性不變，*為取共軛。 的所有零點(diǎn) 都是其極點(diǎn)的共軛倒數(shù) N：全通函數(shù)的階數(shù)。 變化時(shí)，相位函數(shù) 的變化量為 。 不同的

14、N和 對(duì)應(yīng) 各類(lèi)不同的變換。 下面具體討論幾種原型變換： 低通低通（LP） LPLP的變換中， 和 都是低通函數(shù)，只是截止頻率互不相同（或低通濾波器的帶寬不同），因此當(dāng) 時(shí)，相應(yīng)的 ，如圖1(a)，根據(jù)全通函數(shù)相位 變化量為 的性質(zhì)，可確定全通函數(shù)的階數(shù)N=1，且必須滿(mǎn)足以下兩條件： g(1) = 1 , g(-1) = -1 滿(mǎn)足以上要求的映射函數(shù)應(yīng)為： 其中 是實(shí)數(shù)，且 圖1(a) LP-LP變換（有對(duì)稱(chēng)性） 代入（1）式，可得到上述變換所反映的頻率變換關(guān)系： 由此得 上式把 ， 。頻率特性: 呈線(xiàn)性關(guān)系，其余為非線(xiàn)性。 當(dāng) 時(shí)， ， 帶寬變窄， 當(dāng) 時(shí)， ， 帶寬變寬， 適當(dāng)選擇 ，可使

15、 變換為 ，如上圖所示 。 :低通原型截止頻率， : 變換后截止 頻率 LP-LP頻率變換圖 LP-LP頻率變換特性 確定 ： 把變換關(guān)系 帶入（2）式 ，有： 得 （2） 式的 頻率關(guān)系，如圖 LP-HP a .基本思想：上述 LP 變換中的Z代以Z , 則 LP = HP 。b. 高通變換或LP-HP變換把如圖2（a）， 在上述LP-LP 變換中，將 Z代以Z , 得 LP - HP變換關(guān)系： 原型低通的截止頻率 對(duì)應(yīng)于高通的邊界頻率 ，欲將 變換到 ，由（2）式， 有： LP - Hp變換圖2 (a) LP Hp變換 LP-BP LP-BP變換把帶通的中心頻率 故 N=2。 由以上分析得變換關(guān)系： 或 如圖3(a),全通函數(shù)取負(fù)號(hào)。LP-BP變換圖3 (a) LP-BP變換 把變換關(guān)系 代入（2）式得 ：消去 r1，得：令確定r1, r2 ：可證明， 其中 r1,r2代入（2）式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖3（b）。LP-BP頻率關(guān)系 LPBS 如圖4(a), LPBS變換把帶阻的中心頻率 的變化范圍為 ,故 N=2 又 g(1)=1, 所以，全通函數(shù)取正號(hào)。 由以上分析得變換關(guān)系： （1） 或 （2）