工程問題第四講：周期性工程問題(共8頁(yè))

1、工程(gngchng)問題第四講：周期性工程問題例1：一項(xiàng)工程(gngchng)，甲單獨(dú)做需要12小時(shí)，乙單獨(dú)做需要18小時(shí)。若甲做1小時(shí)后乙接替甲做1小時(shí)(xiosh)，再由甲接替乙做1小時(shí)兩人如此交替工作，問完成任務(wù)時(shí)需共用多少小時(shí)？解：把2小時(shí)的工作量看做一個(gè)循環(huán)，先求出循環(huán)的次數(shù)。需循環(huán)的次數(shù)為：1（ EQ F(1,12) + EQ F(1,18) ）= EQ F(36,5) 7（次）7個(gè)循環(huán)后剩下的工作量是：1-（ EQ F(1,12) + EQ F(1,18) ）7= EQ F(1,36) 余下的工作兩還需甲做的時(shí)間為： EQ F(1,36) EQ F(1,12) = EQ F(1

2、,3) （小時(shí)）完成任務(wù)共用的時(shí)間為：27+ EQ F(1,3) =14 EQ F(1,3) （小時(shí)）答：完成任務(wù)時(shí)需共用14 EQ F(1,3) 小時(shí)。練習(xí)1：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要6小時(shí)完成，乙單獨(dú)做要10小時(shí)完成。如果按甲、乙；甲、乙的順序交替工作，每次1小時(shí)，需要多少小時(shí)才能完成？一部書稿，甲單獨(dú)打字要14小時(shí)，乙單獨(dú)打字要20小時(shí)。如果先由甲打1小時(shí)，然后由乙接替甲打1小時(shí)；再由甲接替乙打1小時(shí)兩人如此交替工作，打完這部書稿共需用多少小時(shí)？一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)完成要9小時(shí)，乙單獨(dú)完成要12小時(shí)。如果按照甲、乙；甲、乙的順序輪流工作，每人每次工作1小時(shí)，完成這項(xiàng)工程的2/3共要多少時(shí)間？例2

3、：一項(xiàng)工程(gngchng)，甲、乙合作26 EQ F(2,3) 天完成(wn chng)。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)天完成。如果(rgu)第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項(xiàng)工程由甲單獨(dú)做要多少天才能完成？解：由題意可以推出“甲先”的輪流方式，完成時(shí)所用的天數(shù)為奇數(shù)，否則不論“甲先”還是“乙先”，兩種輪流方式完成的天數(shù)必定相同。根據(jù)“甲先”的輪流方式為奇數(shù)，兩種輪流方式的情況可表示如下： 甲乙甲乙甲乙 甲 乙甲乙甲乙甲 乙 + 甲半天豎線左邊做的天數(shù)為偶數(shù)，誰(shuí)先做沒關(guān)系。豎線右邊可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是

4、乙的2倍。甲每天能做這項(xiàng)工程的126 EQ F(2,3) EQ F(2,1+2) = EQ F(1,40) 甲單獨(dú)做完成的時(shí)間1 EQ F(1,40) =40（天）答：這項(xiàng)工程由甲單獨(dú)做需要40天才能完成。練習(xí)2：一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪流交替做，也恰好用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做幾天可以完成？一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪流交替做，恰好也用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多 EQ F(1,3) 天才能

5、完成。這項(xiàng)工程由甲、乙合作合作幾天可以完成？一項(xiàng)工程，甲、乙合作12 EQ F(3,5) 小時(shí)可以完成。如果第一小時(shí)甲做，第二小時(shí)乙做，這樣輪流交替做，也恰好用整數(shù)小時(shí)完成。如果第一小時(shí)乙做，第二小時(shí)甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多 EQ F(1,3) 小時(shí)才能完成。這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做幾小時(shí)可以完成？例3：一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)(zhngsh)天數(shù)完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，做到上次(shn c)輪流完成時(shí)所用的天數(shù)后，還剩60個(gè)不能完成(wn chng)。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少個(gè)？解：由題意可以推

6、出“甲先”的輪流方式，完成時(shí)所用的天數(shù)為奇數(shù)，否則不論“甲先”還是“乙先”，兩種輪流方式完成的天數(shù)必定相同。根據(jù)“甲先”的輪流方式為奇數(shù)，兩種輪流方式的情況可表示如下： 甲乙甲乙甲乙 甲 乙甲乙甲乙甲 乙 + 還剩60個(gè)豎線左邊做的天數(shù)為偶數(shù)，誰(shuí)先做沒關(guān)系。豎線右邊可以看出，剩下的60個(gè)零件就是甲、乙工作效率的差。甲每天做的個(gè)數(shù)為：60（5-3）5=150（個(gè)） 乙每天做的個(gè)數(shù)為：60（5-3）3=90（個(gè)）答：甲每天做150個(gè)，乙每天做90個(gè)。練習(xí)3：一批零件如果第一天師傅做，第二天徒弟做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)天完成。如果第一天徒弟做，第二天師傅做，這樣交替輪流做，做到上次輪流完成時(shí)所

7、用的天數(shù)后，還剩84個(gè)不能完成。已知師、徒工作效率的比是7：4。師、徒二人每天各做多少個(gè)？一項(xiàng)工程，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流恰好用整數(shù)天完成。如果死一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做要多 EQ F(2,5) 天才能完成。如果讓甲、乙二人合作，只需2 EQ F(5,8) 天就可以完成?，F(xiàn)在，由乙獨(dú)做需要幾天才能完成？紅星機(jī)械廠有1080個(gè)零件需要加工。如果第一小時(shí)讓師傅做，第二小時(shí)讓徒弟做，這樣交替輪流，恰好整數(shù)小時(shí)可以完成。如果第一小時(shí)讓徒弟做，第二小時(shí)讓師傅做，這樣交替輪流，做到上次輪流完成時(shí)所用的天數(shù)后，還剩60個(gè)不能完成。如果讓師、徒二人合作，只需3小時(shí)36分就能完成。

8、師、徒每小時(shí)各能完成多少個(gè)？例4：打印(d yn)一部稿件，甲單獨(dú)打要12小時(shí)完成，乙單獨(dú)打要15小時(shí)完成?，F(xiàn)在，甲、乙兩人輪流工作(gngzu)。甲工作1小時(shí)，乙工作2小時(shí)；甲工作2小時(shí)，乙工作1小時(shí)；甲工作1小時(shí)，乙工作2小時(shí)(xiosh)如此這樣交替下去，打印這部書稿共要多少小時(shí)？解：根據(jù)已知條件，我們可以把6小時(shí)的工作時(shí)間看做一個(gè)循環(huán)。在每一個(gè)循環(huán)中，甲、乙都工作了3小時(shí)。每循環(huán)一次，他們共完成全部工程的（ EQ F(1,12) + EQ F(1,15) ）3 EQ F(9,20) 總工作量里包含幾個(gè)9/20：1 EQ F(9,20) =2 EQ F(2,9) 甲、乙工作兩個(gè)循環(huán)后，剩

9、下全工程的1- EQ F(9,20) 2 EQ F(1,10) 由于 EQ F(1,10) EQ F(1,12) ，所以，甲工作1小時(shí)后剩下的工作由乙完成還需的時(shí)間為：（ EQ F(1,10) - EQ F(1,12) ） EQ F(1,15) EQ F(1,4) （小時(shí)）打印這部稿件共需的時(shí)間為：62+1+ EQ F(1,4) =13 EQ F(1,4) （小時(shí)）答：打印這部稿件共需13 EQ F(1,4) 小時(shí)。練習(xí)4：一個(gè)水池安裝了甲、乙兩根進(jìn)水管。單開甲管，24分鐘能包空池灌滿；單開乙管，18分鐘能把空池灌滿?，F(xiàn)在，甲、乙兩管輪流開放，按照甲1分鐘，乙2分鐘，甲2分鐘，乙1分鐘，甲1分

10、鐘，乙2分鐘如此交替下去，灌滿一池水共需幾分鐘？一件工作(gngzu)，甲單獨(dú)做，需12小時(shí)完成；乙單獨(dú)做需15小時(shí)完成?，F(xiàn)在，甲、乙兩人輪流工作，甲工作2小時(shí)，乙工作1小時(shí)；甲工作1小時(shí)，乙工作2小時(shí)；甲工作2小時(shí)，乙工作1小時(shí)如此交替下去(xi q)，完成這件工作共需多少小時(shí)？一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要50天完工，乙單獨(dú)做需60天完工?，F(xiàn)在，自某年的3月2日兩人一起開工，甲每工作3天則休息(xi xi)1天，乙每工作5天則休息一天，完成全部工程的 EQ F(52,75) 為幾月幾日？一項(xiàng)工程，甲工程隊(duì)單獨(dú)做完要150天，乙工程隊(duì)單獨(dú)做完需180天。兩隊(duì)合作時(shí)，甲隊(duì)做5天，休息2天，乙隊(duì)做6天，休

11、息1天。完成這項(xiàng)工程要多少天？例5：有一項(xiàng)工程(gngchng)，由甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)每天輪做。原計(jì)劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好整數(shù)天完成呢感。如果(rgu)按乙、丙、甲次序輪做。比原計(jì)劃多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原計(jì)劃(jhu)多用 EQ F(1,3) 天。已知甲單獨(dú)做13天完成。且3個(gè)工程隊(duì)的工效各不相同。這項(xiàng)工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？解：由題意可以推出：按甲、乙、丙次序輪做，能夠的天數(shù)必定是3的倍數(shù)余1或余2。如果是3的倍數(shù)，三種輪流方式完工的天數(shù)，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序輪流做，用的天數(shù)是3的倍數(shù)余1。三種輪流方式做的情況可表示如下：甲乙丙，甲乙丙，甲乙

12、丙， 甲乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲， 乙 EQ F(1,2) 丙丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙， 丙 EQ F(1,3) 甲從中可以退出：丙= EQ F(2,3) 甲；由于乙=甲 EQ F(1,2) 丙=甲 EQ F(2,3) 甲 EQ F(1,2) ，又推出乙= EQ F(2,3) 甲；與題中“三個(gè)工程隊(duì)的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序輪做，用的天數(shù)必定是3的倍數(shù)余2。三種輪流方式用的天數(shù)必定如下所示：甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙， 甲乙乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲， 乙丙 EQ F(1,2) 甲丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙， 丙甲 EQ F(1,3) 乙由此推出：丙= EQ F(1,2) 甲，丙= EQ

13、F(2,3) 乙丙隊(duì)每天做這項(xiàng)工程的 EQ F(1,13) EQ F(1,2) = EQ F(1,26) 乙隊(duì)每天做這項(xiàng)工程的 EQ F(1,26) EQ F(2,3) = EQ F(3,52) 甲、乙、丙合作(hzu)完工需要的時(shí)間為1（ EQ F(1,13) + EQ F(1,26) + EQ F(3,52) ）=5 EQ F(7,9) （天）答：甲、乙、丙合作(hzu)要5 EQ F(7,9) 天完工(wn n)。練習(xí)5：有一項(xiàng)工程，由三個(gè)工程隊(duì)每天輪做。原計(jì)劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好用整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計(jì)劃多用 EQ F(1,3) 天；如果按丙、甲、乙次序

14、做，比原計(jì)劃多用 EQ F(1,4) 天。已知甲單獨(dú)做7天完成。且3個(gè)工程隊(duì)的工效各不相同。這項(xiàng)工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？有一項(xiàng)工程，由三個(gè)工程隊(duì)每天輪做。原計(jì)劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計(jì)劃多用 EQ F(1,2) 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原計(jì)劃多用 EQ F(1,2) 天。已知甲單獨(dú)做10天完成。且3個(gè)工程隊(duì)的工效各不相同。這項(xiàng)工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？例6：某工程如果由一，二，三小隊(duì)合干，需要8天完成；由二，三，四小隊(duì)合干，需要10天完成；由一，四小隊(duì)合干，需要15天完成。如果按一，二，三，四，一，二，三，四.的順序，每個(gè)小隊(duì)干一天地輪流干，那么工程由哪個(gè)隊(duì)最后完成？解： 一,二,三小隊(duì)(xiodu)合干,每天干1/8 二,三,四小隊(duì)(xiodu)合干，每天干1/10 一,四小隊(duì)(xiodu)合干,每天干1/15 所以，二三合干一天為(1/8+1/10-1/15)/2=19/240 所以，一二三四合