5解三角形-1981-2018年歷年數(shù)學聯(lián)賽48套真題分類匯編含詳細答案

1、1981年2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試試題分類匯編5、解三角形部分2018A7、設O為ABC的外心，若AOAB2AC，則sinBAC的值為答案：104解析：取AC的中點D，則ODAC。由AOAB2AC得AOAB2ACBO，知ODBO，且B,A在直線OD同側。不妨設圓O的半徑為2，則AC12OB1,MC1cosBOCcos900DOCsinDOC，在BOC中，有余弦定理得OC4BC10,在ABC中，由正弦定理得sinBACBC10。2R4解析：由正弦定理知，a2017B4、在ABC中，若sinA2sinC，且三條邊a,b,c成等比數(shù)列，則cosA的值為答案：24sinA2，又b2ac，于是a:

2、b:c2:2:1，從而由余弦定理得：csinCb2c2a2(2)212222cosA2bc2214.2016B10、（本題滿分20分）在ABC中，已知ABAC2BABC3CACB（1）將BC,CA,AB的長分別記為a,b,c，證明：a22b23c2；（2）求cosC的最小值（解析：1）由數(shù)量積的定義及余弦定理知，ABACcbcosAb2c2a22.同理得，BABCa2c2b2a2b2c2,CACB.故已知條件化為22,b2c2a22a2c2b23a2b2c2即a22b23c2.a2b2c2a2b2cosC3，故（2）由余弦定理及基本不等式，得1a22b232ab2ababab22,3b6a3b

3、6a3等號成立當且僅當a:b:c3:6:5.因此cosC的最小值為2.32014A7、設等邊三角形ABC的內切圓半徑為2，圓心為I。若點P滿足|PI|1，則APB與APC的面積之比最大值為答案：352解析：由PI=1知點P在以I為圓心的單位圓K上。設BAP，在圓K上取一點P，使得取到最大值，此時P應落在IAC內，且是AP與圓K0000的切點。由于002sin()APABsin623336SSAPBAPC11sinsin0APACsin()sin()sin()sin()0其中，06IAP02知，sin由API0IP110，于是cot15，所以AI2r4cot315335262sin()13cot

4、3153cossin2213sin()cossin26根據(jù)、可知，當PP時，0SSAPB的最大值為APC3522014B4、若果三角形ABC的三個內角A,B,C的余切值cotA,cotB,cotC依次成等差數(shù)列，則角B的最大值是答案：3解析：記xcotA，ycotB，zcotC，它們成等差數(shù)列，即2yxz，由于三個內角和為，所以x,y,z中至多有一個小于等于0，這說明y0.另一方面，ABC，即xy1z，xy即xyyzzx1，聯(lián)立消去z得x22yx(12y2)0，有12y240，得y3，解得B，當且僅當ABC時，角B取得最大值。即cotB33333，2013A3、在ABC中，已知sinA10si

5、nBsinC，cosA10cosBcosC，則tanA的值為答案：11解析：由于sinAcosA10sinBsinCcosBcosC10cosBC10cosA，即tanA112013B1、已知銳角三角形的三條邊長都是整數(shù)，其中兩條邊長分別為3和4，則第三條邊的邊長為答案：3或4解析：設第三條邊長為c。因為是銳角三角形，所以c2433322，且c2324252，即2c5，因為c是整數(shù)，得c3或42012A2、設ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且滿足acosBbcosA值為答案：43tanAc，則5tanB的取解析：由題設及余弦定理得ac2a2b2b2c2a33bc,即a2b2c2，

6、2ca2bc55ac25tanAsinAcosBc2a2b2tanBsinBcosAb2c2a2b2c2a22故a2c2b282ac2bc5bc242012B5、在ABC中，若ABAC7,ABAC6,則ABC面積的最大值為答案：12解析：記BC的中點為M，則AM12ABAC,因為ABACABAC4ABAC64，所以ABAC8，從而AM422所以SABC12BCAM12（當且僅當AMBC，即ACAB5時，取等號）故所求面積最大值為12。另法：由ABAC7得bccosA7，由ABAC6，平方可得b2c250，ABC1bcsinAb2c2bccosA21b2c24912（當且僅當bc5時，12222

7、所以S2等號成立），所以所求面積最大值為12。2008AB6、設ABCD的內角A,B,C所對的邊a,b,c成等比數(shù)列，則（）sinAcotCcosAsinBcotCcosB的取值范圍為A.(0,)B.(0,51515151)C.(,)D.(,)2222q51或q51.答案：C解析：設a、b、c的公比為q，則baq,caq2，而sinAcotCcosAsinAcosCcosAsinCsin(AC)sin(B)sinBbqsinBcotCcosBsinBcosCcosBsinCsin(BC)sin(A)sinAa因此，只需求q的取值范圍因為a、b、c成等比數(shù)列，最大邊只能是a或c，因此a、b、c要

8、構成三角aaqaq2,q2q10,形的三邊，必須且只需abc且bca即有不等式組即aqaq2aq2q10.1551q,q225151得從而，2222,)因此所求的取值范圍是(5151222007*8、在ABC和AEF中，B是EF的中點，ABEF1，BC6，CAABAEACAF2，則EF與BC的夾角的余弦值為33，若答案：23解析：因為ABAEACAF2，所以AB(ABBE)AC(ABBF)2，即AB2ABBEACABACBF2。因為AB21，ACAB3313313623311，BEBF，所以1BF(ACAB)12，即BFBC2。設EF與BC的夾角為，則有2|BF|BC|cos2，即3cos2，

9、所以cos。32006*1、已知ABC，若對任意tR,BAtBCAC，則ABC一定為A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.答案不確定答案：C解析：令ABC，過A作ADBC于D。由BAtBCAC，推出BA22tBABCt2BC2AC2,令tBABCBC2，代入上式，得BA2BAcos2cos2BAAC，即BA2sin2AC2,2222也即BAsinAC。從而有ADAC。由此可得ACB2。222222222所以AAcos2coscoscoscossinCsinB，22222222所以AAcosBBcosCCcos2sinAsinBsinC，即可求得。2222005*3、ABC內接于單位圓，

10、三個內角A,B,C的平分線延長后分別交此圓于A,B,C.則111ABCAAcosBBcosCCcos111的值為sinAsinBsinCA.2B.4C.6D.8答案：A解析：如圖，連BA，則1AABCBCBCAA2sin(B)2sin()2cos().1ABCAABCACB1BCBBcossinAsinC,CCcossinAsinB。11ABC1112001*4、如果滿足ABC600，AC12，BCk的ABC恰有一個，那么k的取值范圍是A.k83B.0k12C.k12D.0k12或k83答案：D解析：根據(jù)正弦定理得ACksin600sinA,得k83sinA，顯然A(00,1200)，要使得A

11、BC恰有一個，則A(00,600)或A900，得0k12或k831999*9、在ABC中，記BCa，CAb，ABc，9a29b219c20，則答案：59cotCcotAcotB_解析：cotCsinAsinBcosCaba2b2c2a2b2c25cotAcotBsin2Cc22abc291993*5、在ABC中，角A,B,C的對邊長分別為a,b,c，若ca等于AC邊上的高h，則CACAsincos22的值是()A.1B.C.D.1即2cosCAsincos(CA)cos(CA)12sin22cos21cos1，又sin0，故選A整理得sincos22221123答案：A解析：由題設得2Rsin

12、CsinAcsinA2RsinCsinA，即sinCsinAsinCsinA，CA11CACA222222CACA2CACA1992*4、在ABC中，角A,B,C的對邊分別記為a,b,c(b1)，且C,sinBAsinA都是方程logbxlog(4x4)的根，則ABC()bA.是等腰三角形，但不是直角三角形B.是直角三角形，但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形，也不是直角三角形答案：B解析：由題意得x24x4根為x2C2A，B18003A，sinB2sinA所以sin3A2sinA，即34sin2A2得A300,B900,C600選B1991*8在ABC中，已知三個角A,B,

13、C成等差數(shù)列，假設它們所對的邊分別為a,b,c，并且ca等于AC邊上的高h，則sin1答案：2CA21CACACA3hh解析：易知hca，sinAsinCsinCsinA，由已知，AC1200sinAsinCcosCAcos12002sincos600，即sin2sin0，22224CA3CA1即sin(舍去)，sin22221988*8在ABC中，已知A，CD、BE分別是AB、AC上的高，則答案：cosDEAD解析：注意到AEDABC，cosBCACDEBC1t1986*6、邊長為a,b,c的三角形，其面積等于，而外接圓半徑為1，若sabc，4111，abc解析：S124R4t1111則s與

14、t的大小關系是（）A.stB.stC.stD.不確定答案：Cabc1absinC，由R1，S，知abc1且三角形不是等邊三角形11abcabcs(且等號不成立)選Cabcabcbacabc1985*7、在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若角A,B,C的大小成等比數(shù)列，且b2a2ac，則角B的弧度為等于答案：27解析：由余弦定理，b2a2c22accosB故acc22accosB即ac2acosB所以sinAsinAB2sinAcosBsinBA由ba，得BAABA，即B2A，C4A或ABA(不可能)B271985*一、在直角坐標系xOy中，點A(x,y)和點B(x,y)的坐標均為

15、一位的正整數(shù)OA與x軸正方1122向的夾角大于450，OB與x軸正方向的夾角小于450，B在x軸上的射影為B/，A在y軸上的射影為A/，OBB/的面積比OAA/的面積大33.5，由x,y,x,y1122組成的四位數(shù)xxyyx103x102y10y試求出所有這樣的四位數(shù)，并寫出求解過程12211221解析：由題意得xyxy67，xy，xy，22111122且x,y,x,y都是不超過10的正整數(shù)1122xy67，則xy72或81但xy，故xy81舍去22222222xy72即x9，y82222xy72675x1，y5，xxyy1985111112211984*9、如圖，AB是單位圓的直徑，在AB上

16、任取一點D，作DCAB，交圓周于C，若點D的坐標為D(x,0)，則當x時，線段AD、BD、CD可以構成銳角三角形答案：25,52解析：由對稱性，先考慮0 x1的情況，設ADa,BDb,CDc，則ab2，abc2，且必有acb，于是只要考慮c2b2a2，1即1xx1x21x2，解得0 x52Ay1CBOD1x25x521983*3、已知等腰三角形ABC的底邊BC及高AD的長都是整數(shù)，那么，sinA和cosA中（）A.一個是有理數(shù)，另一個是無理數(shù)；B.兩個都是有理數(shù)；C.兩個都是無理數(shù)；D.是有理數(shù)還是無理數(shù)要根據(jù)BC和AD的數(shù)值來確定。答案：B解析：tanA為有理數(shù)，得sinA和cosA都是有理數(shù)選B21983*8、任意ABC，設它的周長、外接圓半徑長與內切圓半徑長分別為l、R與r，那么（）AlRrBlRrC答案：Cl6Rr6lDA,B,C三種關系都不對解析：Ra2sinA，當A1800時，a最大，而R可大于任意指定的正數(shù)M從而可有R6l，否定A、C又正三角形中，rR32al，否定B故選D1983*9、在AB