計(jì)算機(jī)圖形學(xué)：第7章 曲線和曲面

1、第七章 曲線和曲面引言7.1曲線曲面基礎(chǔ)知識(shí)7.2三次樣條7.3幾種典型的曲線曲面介紹7.4曲線曲面的轉(zhuǎn)換和計(jì)算引言問題的提出: 如何根據(jù)已知的一系列離散點(diǎn)來構(gòu)造出一條光滑的曲線或一個(gè)光滑的曲面?(舉例) 初等幾何平面:平面、圓柱面、球面 自由變化的曲線和曲面：飛機(jī)、汽車的外形對(duì)復(fù)雜方式表示的自由曲線曲面的表示:傳統(tǒng)方法: 模線樣板法表示，以模擬量傳遞形狀信息CAGD(計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)): 用數(shù)學(xué)方法表示，以數(shù)值量傳遞形狀信息（美國猶他大學(xué)，1974）7.1 曲線曲面基礎(chǔ)7.1.1 曲線曲面數(shù)學(xué)描述的發(fā)展7.1.2 曲線曲面的表示要求7.1.3 曲線曲面的表示7.1.4 插值和逼近樣條7.1

2、.5 連續(xù)性條件7.1.6 樣條的描述7.1.1 曲線曲面數(shù)學(xué)描述的發(fā)展美國波音公司弗格森雙三次曲面片,引入?yún)?shù)法表示自由區(qū)面的標(biāo)準(zhǔn)形式（參數(shù)矢量方法）MIT孔斯雙三次曲面片具有一般性，給定四條邊界可定義一塊去面片舍恩伯格（1964）的樣條函數(shù)解決連接問題，通過曲線、曲面插值構(gòu)造整體Bezier方法：以逼近為基礎(chǔ)，有控制多邊形定義曲線、曲面。B樣條方法：解決局部控制有理Bezier非均勻有理B樣條方法7.1.2 曲線曲面的表示要求1.唯一性2.幾何不變性3.易于定界4.統(tǒng)一性5.易于實(shí)現(xiàn)光滑連接6.幾何直觀7.1.3 曲線曲面的表示曲線和曲面的表示分為:非參數(shù)形式(y=kx+b,f(x,y)參

3、數(shù)形式 p(t)=(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t) t0,1 參數(shù)表示相對(duì)非參數(shù)表示的優(yōu)越性:1點(diǎn)動(dòng)成線2選取具有幾何不變性的參數(shù)曲線曲面表示形式。3避免了斜率無窮大的問題4t0,1 ，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的5可對(duì)參數(shù)方程直接進(jìn)行仿射和投影變換6參數(shù)變化對(duì)各因變量的影響可以明顯地表示出來7.1.4 插值和逼近樣條采用模線樣板法表示和傳遞自由曲線曲面的形狀稱為樣條。樣條曲線是指由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)條件。樣條曲面則可以用兩組正交樣條曲線來描述。曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點(diǎn)來指定曲線曲面的形狀時(shí)，形狀完全通過給定的型值點(diǎn)列。曲線曲面的逼近：當(dāng)

4、用一組控制點(diǎn)來指定曲線曲面的形狀時(shí)，求出的形狀不必通過控制點(diǎn)列7.1.5 連續(xù)性條件假定參數(shù)曲線段pi以參數(shù)形式進(jìn)行描述：曲線段相連包括兩種意義上的連續(xù)性:參數(shù)連續(xù)性幾何連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性0階參數(shù)連續(xù)性:記作C0連續(xù)性，是指曲線的幾何位置連接，即1階參數(shù)連續(xù)性:記作C1連續(xù)性，指代表兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)：2階參數(shù)連續(xù)性:記作C2連續(xù)性，指兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。（舉例 P218）幾何連續(xù)性0階幾何連續(xù)性，記作G0連續(xù)性，與0階參數(shù)連續(xù)性的定義相同，滿足：1階幾何連續(xù)性，記作G1連續(xù)性，指一階導(dǎo)數(shù)在相鄰段的交點(diǎn)處成比例2階幾何連續(xù)性，記作G

5、2連續(xù)性，指相鄰曲線段在交點(diǎn)處其一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例。7.1.6 樣條描述n次樣條參數(shù)多項(xiàng)式曲線的方程:(計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中多采用多項(xiàng)式)基矩陣: Ms幾何約束條件: G基函數(shù)(blenging function)，或稱混合函數(shù)。7.2 三次樣條在此,介紹兩種三次樣條:自然三次樣條三次Hermite樣條給定n+1個(gè)點(diǎn)，可得到通過各個(gè)點(diǎn)的分段三次多項(xiàng)式曲線： 7.2.1 自然三次樣條定義：給定n+1個(gè)型值點(diǎn)，現(xiàn)通過這些點(diǎn)列構(gòu)造一條自然三次參數(shù)樣條曲線，要求在所有曲線段的公共連接處均具有位置、一階和二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，即自然三次樣條具有C2連續(xù)性。特點(diǎn):只適用于型值點(diǎn)分布比較均勻的場(chǎng)合不能“局部控制”

6、 7.2.2 三次Hermite樣條定義：假定型值點(diǎn)Pk和Pk+1之間的曲線段為p(t),t0,1，給定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，則滿足下列條件的三次參數(shù)曲線為三次Hermite樣條曲線：7.3 幾種典型的曲線曲面介紹Bezier 曲線曲面B樣條曲線曲面有理樣條曲線曲面(NURBS)7.3.1 Bezier曲線的定義Bezier曲線是參數(shù)多項(xiàng)式曲線，它由一組控制多邊形折線的頂點(diǎn)唯一地定義。如下圖所示，在各個(gè)控制多邊形的頂點(diǎn)中，只有第一個(gè)和最后一個(gè)在曲線上，其它的用來定義曲線的導(dǎo)數(shù)、階次和形狀。Bezier曲線的參數(shù)方程表示如下：Bernstein基函數(shù)具有如下形式：其中，Pk(xk,

7、yk,zk), k=0,1n是控制多邊形的n1個(gè)頂點(diǎn) BEN(t)是Bernstein基函數(shù)；一次Bezier曲線(n=1)可見，一次Bezier曲線是連接兩個(gè)控制點(diǎn)的直線段二次Bezier曲線(n=2,P0,P1,P2 二次多項(xiàng)式，拋物線）3三次Bezier曲線(n=3)其中，任何三次Bezier曲線都是由這條曲線的線性組合而成Bezier曲線的生成繪制一段Bezier曲線Bezier曲線的拼接由于高次Bezier曲線設(shè)計(jì)較復(fù)雜，所以工程上常使用分段三次Bezier樣條曲線來描述，也就是將一段段的三次Bezier曲線首尾相連拼接起來。關(guān)鍵：保證連接處具有G1和G2連續(xù)性7.3.4 Bezie

8、r曲面1Bezier曲面定義利用兩組正交的Bezier曲線可生成Bezier曲面BENi,m(u)與BENj,n(v)是Bernstein基函數(shù)： 控制網(wǎng)格：所有的控制頂點(diǎn)構(gòu)成的空間的一張網(wǎng)格稱為控制網(wǎng)格或Bezier網(wǎng)格樣條曲線曲面B樣條曲線與Bezier曲線比較Bezier曲線的不足：1 控制多邊形的頂點(diǎn)數(shù)決定了Bezier曲線的階次2 Bezier曲線不能作局部修改(改變一個(gè)控制點(diǎn)，對(duì)整條曲線都有影響)B樣條曲線保留了Bezier曲線的優(yōu)點(diǎn)，并克服了其不具備局部性質(zhì)的缺點(diǎn)。B樣條曲線的定義B樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式： Pk為n+1個(gè)控制點(diǎn)，又稱為de Boor點(diǎn) B k,m(t)是B樣條基函

9、數(shù) ,其表達(dá)式見下頁參數(shù)說明m是曲線的階數(shù)(m-1)為B樣條曲線的次數(shù)曲線在連接點(diǎn)處具有(m-2)階連續(xù)B樣條基函數(shù)的表達(dá)式：B樣條曲線的特點(diǎn)對(duì)于由任意數(shù)目的控制點(diǎn)構(gòu)造的二次周期性B樣條曲線來說，曲線的起始點(diǎn)位于頭兩個(gè)控制點(diǎn)之間，終止點(diǎn)位于最后兩個(gè)控制點(diǎn)之間。對(duì)于高次多項(xiàng)式，起點(diǎn)和終點(diǎn)是m-1個(gè)控制點(diǎn)的加權(quán)平均值點(diǎn)。若某一控制點(diǎn)出現(xiàn)多次，樣條曲線會(huì)更加接近該點(diǎn)。B樣條曲面B樣條曲面是B樣條曲線的二維拓廣，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：有理樣條曲線曲面有理樣條（Rational Spline）又被人們習(xí)慣稱為非均勻有理B樣條（Nonuniform Rational B-Spline），簡(jiǎn)稱NURBS.NUR

10、BS是兩個(gè)樣條參數(shù)多項(xiàng)式之比。這種方法既能描述自由型曲面又能精確表示二次曲線與曲面的有理參數(shù)多項(xiàng)式。NURBS曲線曲面定義NURBS曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：NURBS曲面的數(shù)學(xué)表達(dá)式：曲線曲面的轉(zhuǎn)換和計(jì)算 樣條曲線曲面的轉(zhuǎn)換 樣條曲線曲面的離散生成樣條曲線曲面的轉(zhuǎn)換雖然Hermite樣條 Bezier曲線和B樣條曲線都是多項(xiàng)式曲線,但適用于不同的場(chǎng)合,那么如何從一種樣條表示形式轉(zhuǎn)換到另一種樣條表示形式?假設(shè)已知一種樣條的表示形式為: 現(xiàn)在要變換為另一種表現(xiàn)形式:我們需要算出幾何約束矩陣G2:所以有,其中,M1,2為從第一個(gè)樣條形式轉(zhuǎn)換到第二個(gè)樣條形式的變換矩陣,為常數(shù).樣條曲線曲面的離散生成為了顯示一個(gè)樣條曲線或曲面,必須確定曲線或曲面上的離散點(diǎn)坐標(biāo),即須在函數(shù)值域內(nèi)按參數(shù)的某個(gè)增量求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)的離散值.常用的方法:1Horner規(guī)則2向前差分計(jì)算3細(xì)分Horner規(guī)則Horner規(guī)則是最簡(jiǎn)單和最直觀的規(guī)則Horner規(guī)則的基本思想: 將樣條的參數(shù)多項(xiàng)式分解,利用分解因子的方法來求多項(xiàng)式的值,將運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加法和乘法運(yùn)算.向前差分計(jì)算向前差分計(jì)算是求多項(xiàng)式函數(shù)值的最快的方法基本思想: 利用前次計(jì)算出的函數(shù)值以及當(dāng)前的函數(shù)增