大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)-7分解

1、第七章橢球面上的測(cè)量計(jì)算 7-1地球橢球的基本幾何參數(shù)及相互關(guān)系一、地球橢球的基本幾何參數(shù)地球橢球參考橢球具有一定的幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準(zhǔn)面的地 球橢球叫做參考橢球。地面上一切觀測(cè)元素都應(yīng)歸算到參考橢球面上，并在該面上進(jìn)行計(jì) 算，它是大地測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面，同時(shí)又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。有關(guān)元素：O為橢球中心；NS為旋轉(zhuǎn)軸；a為長(zhǎng)半軸；b為短半軸；子午圈（或 徑圈或子午橢圓）；平行圈（或緯圈）；赤道。旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小是由子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù)（元素）來決定的，即: TOC o 1-5 h z 橢圓的長(zhǎng)半軸：a橢圓的短半軸：ba-hQf -橢圓的扁率：a二

2、八2橢圓的第一偏心率a,_ 5/6Z2 b橢圓的第二偏心率。=一衛(wèi)一其中：a、b稱為長(zhǎng)度元素；扁率 反映了橢球體的扁平程度，如a=o時(shí)，橢球變?yōu)榍蝮w； a=l時(shí)，那么為平面。e和e是子午橢圓的焦點(diǎn)離開中心的距離與橢圓半徑之比,它們也反映了橢球體的 扁平程度，偏心率越大，橢球愈扁。五個(gè)參數(shù)中，假設(shè)知道其中的兩個(gè)參數(shù)就可決定橢球的形狀和大小，但其中至少應(yīng)已 知一個(gè)長(zhǎng)度元素（如a或b）,人們習(xí)慣于用a和 a 表示橢球的形狀和大小，為了便 于級(jí)數(shù)展開。引入以下符號(hào)：a2C = T ttgB T；2 = er2 cos2 B式中B為大地緯度，c為極曲率半徑（極點(diǎn)處的子午線曲率半徑），兩個(gè)常用的輔助函數(shù),

3、 W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)，W = l-e2sm2 BV = 71 + e2cos2B橢球參數(shù)年代長(zhǎng)半徑m扁率分母采用國家、地區(qū)海福特19066378283297.8美、阿根廷、比 利時(shí)、大洋洲克拉索夫斯基19406378245298.3蘇、東歐、中、 朝鮮等1975年大地坐 標(biāo)系19756378140298. 2571975年國際第 三個(gè)推薦值WGS-8419846378137298.25722GPS定位系統(tǒng)也就是說，卯酉圈曲率半徑恰好等于橢球面和短軸之間的一段法線的長(zhǎng)度，亦即 卯酉圈的曲率中心位于橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。上述M和N是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，在微分幾何中統(tǒng)稱為主

4、曲率半徑。三、主曲率半徑的計(jì)算P12四、任意法截弧的曲率半徑子午法截弧是南北方向，其方位角為00或1800；卯酉法截弧是東西方向，其方位 角為900或2700,這兩個(gè)法截弧在P點(diǎn)上是正交的?，F(xiàn)討論在P點(diǎn)方位角為A的任意法截 弧的曲率半徑計(jì)算公式。根據(jù)歐拉公式，由曲面上任意一點(diǎn)主曲率半徑計(jì)算該點(diǎn)任意方位角A的法截弧的1 cos2 A sin2 A=+曲率半徑的公式為：口人RaMNN cos1 A+ Af sin2 A=V2 =1+7/2RaRa那么有,l + z/2 cos2 A 1 + e2 cos2 75cos2 A上式即為任意方向?yàn)锳的法截弧的曲率半徑的計(jì)算公式。為使用方便，將上式展 開級(jí)

5、數(shù)，Ra = NQ 口2 cos2 A + zy4 cos4 A L )N = 7?J1 + 77 Z?(l + - 772 )實(shí)際上，總是用平均曲率半徑R代替N,24R一e2 cosBcos2A = 7? + A 2R一e2 cosBcos2A = 7? + A 2并代入上式，略去項(xiàng)得,Ra = /?(1 + -772)(1-72cos2 A) = R RA =e2 cos5cos2A2上式即為任意方向法截弧曲率半徑的實(shí)用公式。從式中可以看出，不僅與點(diǎn)的緯 度B有關(guān)，還與過該點(diǎn)的法截弧的方位角有關(guān)。五、平均曲率半徑由于 對(duì) 的數(shù)值隨方位A的變化而變化，給測(cè)量帶來不便，在測(cè)量工作中，往往根據(jù)一

6、定的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當(dāng)作球面來處理，為此，就要推求該球 面的曲率半徑一平均曲率半徑(就是過橢球面上一點(diǎn)的一切法截弧(02 ),當(dāng)其數(shù)目趨于無窮時(shí)，它們的曲率半徑的算術(shù)平均值的極限，用R表示)。其公式為寵=6的即橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑R等于該點(diǎn)子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率 半徑N的幾何平均值。六、M、N、R的關(guān)系橢球面上某一點(diǎn)的M、N、R值均是自該點(diǎn)起沿法線向內(nèi)量取，其長(zhǎng)度通常是不相 等的，由前面公式可知它們有如下關(guān)系，NRM只有在極點(diǎn)上，它們才相等，且均等于極曲率半徑c,即：N% =尺90 = Mo = C74橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算在研究與橢球有關(guān)的一些測(cè)量計(jì)算時(shí)，例如研究

7、高斯投影計(jì)算，往往要用到子午 線弧長(zhǎng)及平行圈弧長(zhǎng)，現(xiàn)推導(dǎo)其計(jì)算公式。一、子午線弧長(zhǎng)計(jì)算公式子午橢圓的一半，其端點(diǎn)與極點(diǎn)相重合。而赤道又把子午線分成對(duì)稱的兩局部， 因此，我們只推導(dǎo)從赤道開始到緯度B子午線弧長(zhǎng)的計(jì)算公式。積分后得由赤道至子午線上某點(diǎn)的子午弧長(zhǎng)公式：X = 6/(1 e1) Asin 2 + - sin-Lp 24二、由子午線弧長(zhǎng)求大地緯度利用子午線弧長(zhǎng)反算大地緯度在高斯投影坐標(biāo)反算公式中要用到，反算公式可以 采用迭代法和直接解法。公式參考教材P20。三、平行圈弧長(zhǎng)公式旋轉(zhuǎn)橢球體的平行圈是一個(gè)圓，其半徑就是圓上任意一點(diǎn)的子午面直角坐標(biāo)X,r x N cos B =acosB如果平行

8、圈上有兩點(diǎn)，其經(jīng)差 / = 4 - 4,可寫出平行圈弧長(zhǎng)公rS = NcosB式：P四、子午線弧長(zhǎng)和平行圈弧長(zhǎng)變化的比擬從表中可以看出，單位緯差的子午線弧長(zhǎng)隨B的增大而緩慢地增大；而單位經(jīng)差 的平行圈弧長(zhǎng)那么隨B的增大而急劇縮短。同時(shí)還知，子午弧長(zhǎng)1。約為HOKM,約為 1.8KM, 1約為30M；而平行圈弧長(zhǎng)僅在赤道附近才與子午線弧長(zhǎng)大體相當(dāng)，隨著B的增 大它們的差值愈來愈大。五、橢球面梯形圖幅面積的計(jì)算B?Bi由兩子午線和兩條平行圈圍成的橢球外表稱為橢球面梯形?，F(xiàn)在我們來討論橢球 梯形面積的計(jì)算，計(jì)算公式如下：P = bL2-Li)234sin5 + / sin3 B + e4 sin5

9、B + e6 sin7 B+K357地球橢球的全面積:2PE = 47rb2 (1 + e2 7-5大地線一、相對(duì)法截線二、大地線的定義和性質(zhì)橢球面上兩點(diǎn)間的最短曲線叫做大地線。在微分幾何中，大地線（又稱測(cè)地線） 另有這樣的定義“大地線上每點(diǎn)的密切面（無限接近三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平面）都包含該點(diǎn)的曲 線法線”亦即“大地線上各點(diǎn)的主法線與該點(diǎn)的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故 大地線是一條空間的曲面曲線。.假如在橢球模型外表A、B兩點(diǎn)之間，畫出相對(duì)法截線，然后在A、B兩點(diǎn)上各插 一個(gè)大頭針，并緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一條細(xì)橡皮筋，并設(shè)橡皮筋和橢球面之間 沒有磨擦力。那么橡皮筋形成一條曲線，恰好

10、位于相對(duì)法截線之間，這就是一條大地線，由 于橡皮筋處于拉力之下，故它實(shí)際上是兩點(diǎn)的最短線。不在同一子午圈或不在同一平行圈上的兩點(diǎn)的正反法截線是不重合的，它們之間 的夾角，在一等三角測(cè)量中可達(dá)千分之四秒，可見此時(shí)是不容忽視的。大地線是兩點(diǎn)間唯 一最短線，而且位于相對(duì)法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角為e 1A5 = A3在一等三角測(cè)量中，數(shù)值可達(dá)千分之一二秒，可見在一等或相當(dāng)于一等三角測(cè)量 精度的工程三角測(cè)量中是不可忽視的。大地線與法截線長(zhǎng)度之差只有百萬分之一毫米，所以在實(shí)際計(jì)算中，這種長(zhǎng)度差 異可以忽略不計(jì)。但是，根據(jù)大地線的性質(zhì)可知，在橢球面上進(jìn)行測(cè)量計(jì)算時(shí)，應(yīng)以兩點(diǎn) 間的大地

11、線為依據(jù)。在地面上測(cè)得的方向、距離等應(yīng)歸算到相應(yīng)大地線的方向、距離。 三、大地線的微分方程和克萊洛（克萊勞）方程設(shè)P為大地線上任一點(diǎn)，其經(jīng)度為L(zhǎng),緯度為B,大地方位角為A,當(dāng)大地線增長(zhǎng) dS至!|P1點(diǎn)時(shí)，那么上述各量相應(yīng)變化L+dL, B+dB, A+dAo對(duì)應(yīng)于PP1的過P點(diǎn)的平行 圈變化為PP2, PP1P2為一橢球面直角三角形，由于該三角形無限小，可視為平面三角形, 因 MdB = dS cos A 克萊勞方程：Insin A + lnr = InC或 r - sin A = C式中c也叫大地線常數(shù)，該式即為著名的克萊洛方程，也叫克萊洛定理。它說明: 在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點(diǎn)的平行圈

12、半徑與大地線在該點(diǎn)的大地方位角的正弦的乘積等 于常數(shù)。克萊洛方程在橢球大地測(cè)量學(xué)中有重要意義，它是經(jīng)典的大地主題解算的基礎(chǔ)。某一大地線常數(shù)等于橢球半徑與該大地線穿越赤道時(shí)的大地方位角的正弦乘積，或 者等于該大地線上具有最大緯度的那一點(diǎn)的平行圈半徑。 1-6將地面觀測(cè)的方向值歸算到橢球面參考橢球面是測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面，而野外的各種測(cè)量工作都是在地面上進(jìn)行的， 測(cè)站點(diǎn)和照準(zhǔn)點(diǎn)一般都超過參考橢球面一定高度，觀測(cè)的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的 法線，而是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線間存在著垂線偏差，因此，也就不能直接在地 面上處理觀測(cè)成果，而應(yīng)將地面觀測(cè)元素（方向和距離）歸算至橢球面上。在歸算中有兩條基

13、本要求：（1）以橢球面的法線為基準(zhǔn)；（2）將地面觀測(cè)元素化 為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。一、將地面觀測(cè)的水平方向歸算至橢球面-三差改正將水平方向歸算至橢球面，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣 上稱此三項(xiàng)為三差改正。.垂線偏差改正地面上所有水平方向的觀測(cè)都是以垂線為根據(jù)的，而在橢球面上那么要求以該點(diǎn)的 法線為依據(jù)。因此在每三角點(diǎn)上，把以垂線為依據(jù)的地面觀測(cè)的水平方向值歸算到以法線 為依據(jù)的方向值而應(yīng)加的改正定義為垂線偏差改正。垂線偏差的計(jì)算公式為：3： =CsinAm77cos AJagZ=一(J sin 4 _ 77cos Am )tga.標(biāo)高差改正標(biāo)高差改正又稱由照準(zhǔn)點(diǎn)高度引起

14、的改正。我們知道，不在同一子午面或不在同 一平行圈上的兩點(diǎn)的法線是不共面的。因此，當(dāng)進(jìn)行水平方向觀測(cè)時(shí)，如果照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢 球面某一高度，那么照準(zhǔn)面就不能通過照準(zhǔn)點(diǎn)的法線同橢球面的交點(diǎn)，由此引起的方向偏差 的改正稱標(biāo)高差改正以5/， 表示。A為測(cè)站點(diǎn)，假設(shè)測(cè)站點(diǎn)觀測(cè)值已加垂線偏差改正，那么可認(rèn)為垂線與法線一致。這時(shí) 測(cè)站點(diǎn)在橢球面上或者高出橢球面某一高度，對(duì)水平方向是沒有影響的。這是因?yàn)闇y(cè)站點(diǎn) 法線不變，那么通過某一照準(zhǔn)點(diǎn)只能有一個(gè)法截面，為此我們?cè)O(shè)A在橢球面上。標(biāo)高差改正的計(jì)算公式為:式中B2為照準(zhǔn)點(diǎn)大地緯度，A1為測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角；H2為照準(zhǔn)點(diǎn)高 出橢球面的高程，它由三局部組成：常

15、 + J + “H常為照準(zhǔn)點(diǎn)標(biāo)石中心的正常高，自為高程異常，a為照準(zhǔn)點(diǎn)的覘標(biāo)高。其中2=夕/，河2是照準(zhǔn)點(diǎn)緯度B2相應(yīng)的子午圈曲率半徑。實(shí)用中為計(jì)算方便，設(shè)K=凡2 cos2 51N / Z乙那么（7-163）式變?yōu)?可=& sin 2AlKl在測(cè)量計(jì)算用表集（之一）中有表列數(shù)值，以照準(zhǔn)點(diǎn)的高程H2 （單位米）和照準(zhǔn)點(diǎn) 緯度B2為引數(shù)查取。由上可知，標(biāo)高差改正主要與照準(zhǔn)點(diǎn)的高程有關(guān)。經(jīng)此項(xiàng)改正后，便 將地面觀測(cè)的水平方向值歸化為橢球面上相應(yīng)的法截弧方向。.截面差改正3g在橢球面上，緯度不同的兩點(diǎn)由于其法線不共面，所以在橢球面上，緯度不同的兩點(diǎn)由于其法線不共面，所以在對(duì)向觀測(cè)時(shí)相對(duì)法截弧不重合，

16、應(yīng)當(dāng)用兩點(diǎn)間的大地線代替相對(duì)法截弧。這樣將法截弧 方向化為大地線方向應(yīng)加的改正叫截面差改正，用且 表示。截面差改正計(jì)算公式為n式中S為AB間大地線長(zhǎng)度，2為測(cè)站點(diǎn)緯度B1相對(duì)應(yīng)的卯酉圈曲率半徑。.三差改正的計(jì)算為了在內(nèi)業(yè)計(jì)算時(shí)不影響外業(yè)觀測(cè)精度，各等三角測(cè)量在歸算時(shí)對(duì)取位的要求是 不同的。按作業(yè)中的有關(guān)規(guī)定：一等需算至0.001/；二等為0.01；三等和四等為0.1/。在一般情況下，一等三角測(cè)量應(yīng)加三差改正；二等三角測(cè)量應(yīng)加垂線偏差改正和 標(biāo)高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角測(cè)量可不加三差改正，但當(dāng)或H2000m時(shí)，那么應(yīng)分別考慮加垂線偏差改正和標(biāo)高差改正。即對(duì)特殊情況應(yīng)依 測(cè)區(qū)實(shí)際情況

17、具體分析，然后再確定是否加入三差改正。經(jīng)過三差改正后，最后得到橢球 面上相應(yīng)的各大地線的方向值。4= 10二、將天文方位角歸化為大地方位角起始方位角將天文方位角歸化為大地方位角的計(jì)算公式是:A =戊 一 ( - L) sin o + 乩式中A為測(cè)站點(diǎn)到照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角，a為測(cè)站點(diǎn)處相應(yīng)方向的天文方位角；L為測(cè)站 點(diǎn)的大地經(jīng)度；入為測(cè)站點(diǎn)的天文經(jīng)度；”為測(cè)站點(diǎn)的天文緯度；久為垂線偏差改正數(shù)。當(dāng)照準(zhǔn)點(diǎn)目標(biāo)高度不大時(shí)，天頂距Z接近于900時(shí)，3 可勿略不計(jì)，因此上式可寫為:A = a (A L) sin cp該式又稱為拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角點(diǎn)上觀測(cè)天文經(jīng)度、天文緯度時(shí)

18、，該點(diǎn)叫拉普拉斯點(diǎn)。三、觀測(cè)天頂距受垂線偏差影響的改正用三角高程方法測(cè)定相鄰三角點(diǎn)的大地高差時(shí)，在三角點(diǎn)P1和P2上必須進(jìn)行天=cosA + “sin A將地面觀測(cè)的長(zhǎng)度歸算到橢球面根據(jù)測(cè)邊使用儀器的不同，地面長(zhǎng)度的歸算可分為兩種：一是基線尺量距的歸算;二是電磁波測(cè)距的歸算，現(xiàn)分別進(jìn)行研究。一、基線尺量距的歸算將基線尺測(cè)量求得的長(zhǎng)度加入尺段傾斜改正后，可認(rèn)為它是基線平均水準(zhǔn)面上的 長(zhǎng)度值，用SO表示。而我們所求的是橢球面上的大地線的長(zhǎng)度S,因此產(chǎn)生了長(zhǎng)度歸算問 題。.垂線偏差對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響由于垂線偏差的存在，使得垂線和法線不一致，水準(zhǔn)面不平行于橢球面。為此在 長(zhǎng)度歸算中應(yīng)首先消除這種影響。假

19、設(shè)垂線偏差沿基線是線性變化的，那么垂線偏差U對(duì)長(zhǎng) 度歸算的影響式是：“2夕021.高程對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響二、電磁波測(cè)距的歸算此式即為電磁波測(cè)距的歸算公式。式中大地高H由兩項(xiàng)組成：一是正常高，一是 高程異常。為保證S的計(jì)算精度不低于10-6級(jí)，當(dāng)D10KM時(shí)，高差A(yù)h=H2-H1的精度必 須達(dá)0.1m;當(dāng)DX0KM時(shí)，必須達(dá)1m。大地高H本身的精度應(yīng)達(dá)5m級(jí)，而平均曲率半徑RA 達(dá)1公里即可?，F(xiàn)對(duì)上式進(jìn)一步簡(jiǎn)化如下1 A/z22 D1 A/z22 D“二（”+乩）式中2-顯然，上式右端第二項(xiàng)是由于控制點(diǎn)之高差引起的傾斜改正的主項(xiàng)。經(jīng)過此項(xiàng)改正，測(cè)線已變成平距；第三項(xiàng)是由于平均測(cè)線高出參考橢 球面而

20、引起的投影改正，經(jīng)過此項(xiàng)改正后，測(cè)線已變?yōu)橄揖€；第四項(xiàng)那么是由弦長(zhǎng)改化為弧長(zhǎng) 的改正項(xiàng)。（7-177）式也可用下式表達(dá)：S = 7d2-AA2（1 -壇）+&24用式中第一項(xiàng)顯然是經(jīng)高差改化后的平距。將以上兩式同（7-177）式相比擬，我們便得兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)為,（1+誓）（1+誓）此式在某些運(yùn)算中有時(shí)用至IJ。經(jīng)過以上各項(xiàng)改正的計(jì)算，即將地面上用電磁波測(cè)距儀測(cè)得的兩點(diǎn)間的斜距化算到 參考橢球面上。 7-8橢球面上三角形的解算前面幾節(jié)的方法可以將地面上的方向、起始邊長(zhǎng)及起始方位角歸化到橢球體面， 從而得到橢球面上由大地線組成的三角形。該網(wǎng)中少數(shù)的起始邊是的，但其余各邊長(zhǎng) 度是未知的，因此需通過三角

21、形的解算求得。一、用勒讓德爾定理解算球面三角形橢球面上的三角形是由大地線組成的，而大地線是一條空間曲線，該曲線上每一 點(diǎn)處的曲率半徑各不相同，因此三角形解算就變得十分復(fù)雜了。經(jīng)研究說明：半徑為140KM 范圍內(nèi)的橢球面可當(dāng)作球面上的一局部看待，球的半徑可選擇為三個(gè)曲面接觸點(diǎn)的平均曲 率半徑。假設(shè)在半徑為140KM的圓內(nèi)繪一內(nèi)接等邊三角形，那么每邊的長(zhǎng)度為240KMo這就是說, 當(dāng)三角形邊長(zhǎng)小于240KM時(shí)，就可把它當(dāng)作球面三角形解算，兩者對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)相等，對(duì)應(yīng) 角之差小于0.001。國家一等三角形的平均邊長(zhǎng)在25KM左右，所以將其當(dāng)作球面三角形來解算精度完全可以保證。大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)勒讓德爾定理:

22、如果平面三角形和球面三角形對(duì)應(yīng)邊相等，那么平面角等于對(duì)應(yīng)球面角減去三分之一球面角超。設(shè)球面三角形Al。的三邊為 ahc角超為 8 ;另一平面三角形44cl ,其三邊也為 ahc ,但它們的角度與球面三角形的對(duì)應(yīng)角度有如下關(guān)系：a an n * _ &A = 4 -B =B0-cx = c0 -即如果球面三角形的各角減去三分之一球面角超，就可得到一個(gè)對(duì)應(yīng)邊相等的平 面三角形，從而到達(dá)解算球面三角形的目的。二、球面角超計(jì)算球面角超的計(jì)算公式為：S為平面三角形的面積。球面角超定義：= A + B + C-18O0 be sin AP 92R2 be sin AP 92R2,ac sin B p 二L

23、 P 二2R2ab sin C,27?2P設(shè)：于二J2R2f值可以以緯度為引數(shù)，在專門的數(shù)表中查取。e = / hesin A = /-6zcsinB1 = f absin C化算平面角需要用球面角超，而球面角超的計(jì)算又需要用平面角，因此可直接用 球面角代替平面角計(jì)算球面角超，雖然帶有誤差，但研究說明：當(dāng)邊長(zhǎng)不大于90km時(shí)，這 種誤差小于0.0005，可忽略。三、球面三角sin。_ sinb _ sine1、正弦公式 sin A sinB sinC2、余弦公式cos c = cos a cos Z? + sin a sin b cos C cos a - cos b cos c + sinb

24、 sin c cos A cos/? = cos c cos a + sin c sin a cos B cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b cosC = - cos A cos B + sin A sin B cos c我國1954年北京坐標(biāo)系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)，1980年西安坐標(biāo)系應(yīng)用的是1975年國際橢球參數(shù)，而GPS應(yīng)用的是WGS-84系橢球參數(shù)。二、地球橢球參數(shù)間的相互關(guān)系1-a1b2b2(l-e2)(l + er2) = l，2于是有e2e1

25、l + e2關(guān)系式歸納如下b = al-e2-e2 = e，l + e2,e1V = Wl + e2,e2 -2a-a1 x 2a 7-2橢球面上的常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系通常采用以下四種坐標(biāo)系：大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系（大地測(cè)量中兩種基本 坐標(biāo)系）、子午平面直角坐標(biāo)系及大地極坐標(biāo)系。一、各種坐標(biāo)系的建立1大地坐標(biāo)系P點(diǎn)的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角叫做P點(diǎn)大地經(jīng)度，P點(diǎn)的 法線Pn與赤道面的夾角B叫P點(diǎn)的大地緯度，P點(diǎn)的位置用L、B表示。假設(shè)點(diǎn)不在橢球面上，還要附加另一參數(shù)大地高H,它與正常高及正高的關(guān)系為：H = H正常+。（高程異常）H = H正+ N（大地水準(zhǔn)面差跑假設(shè)

26、點(diǎn)在橢球面上，H=0o大地坐標(biāo)系是大地測(cè)量的基本坐標(biāo)系，其優(yōu)點(diǎn)為：它是整個(gè)橢球體上統(tǒng)一的坐標(biāo)系，是全世界公用的最方便的坐標(biāo)系統(tǒng)。它與同一點(diǎn)的天文坐標(biāo)（天文經(jīng)緯度）比擬, 可以確定該點(diǎn)的垂線偏差的大小。2、空間直角坐標(biāo)系以橢球中心。為原點(diǎn)，起始子午面與赤道面交線為X軸，在赤道面上與X軸正交的方向?yàn)閅軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，構(gòu)成右手坐標(biāo)系O-XYZ,在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位 置用X、Y、Z表示。.3、子午面直角坐標(biāo)系設(shè)P點(diǎn)的大地經(jīng)度為L(zhǎng),在過P點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立x, y平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用L, x, y表示。4、地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系如圖7-5

27、所示。設(shè)橢球面上P點(diǎn)的大地經(jīng)度L,在此子午面上以橢圓中心0為原點(diǎn) 建立地心緯度坐標(biāo)系。連接0P,那么NPOx二稱為地心緯度，而OP=p稱為P點(diǎn)向徑，在此 坐標(biāo)系中，點(diǎn)的位置用L、p表示。圖7-5圖7/幻燈片11如圖7-6所示，設(shè)橢球面上P點(diǎn)的大地經(jīng)度為L(zhǎng),在此子午面上以橢圓中心。為圓心，以橢 球長(zhǎng)半徑a為半徑作輔助圓，延長(zhǎng)P2P與輔助圓相交于P1點(diǎn)，那么0P1與x軸夾角稱為P點(diǎn) 的歸化緯度，用u表示，在此歸化緯度坐標(biāo)系中P點(diǎn)位置用L, u表示。在這兩種坐標(biāo)中，如果點(diǎn)不在橢球面上，那么應(yīng)先沿法線將該點(diǎn)投影到橢球面上, 此時(shí)的地心緯度、歸化緯度那么是此投影點(diǎn)的緯度值，并且增加坐標(biāo)的第三量大地高H。

28、子午面直角坐標(biāo)系及地心緯度、歸化緯度坐標(biāo)系主要用于大地測(cè)量公式推導(dǎo)和某 些特殊的測(cè)量計(jì)算。.5、大地極坐標(biāo)系M為橢圓體面上任意一點(diǎn)，MN為過M點(diǎn)的子午線，S為連結(jié)MP的大地線長(zhǎng)，A為大地線在M點(diǎn)的大地方位角。以M為極點(diǎn)、MN為極軸、S為極徑、A為極角，就構(gòu)成了大地 極坐標(biāo)系。P點(diǎn)位置用S、A表示。橢球面上的極坐標(biāo)（S、A）與大地坐標(biāo)（L、B）可以互相換算，這種換算叫大 地主題解算。二、各種坐標(biāo)系間的關(guān)系同B的關(guān)系。.子午面直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系 這兩個(gè)坐標(biāo)系中，L相同，因此，只需推求過P點(diǎn)作法線Pn,與x軸之夾角為B,過P點(diǎn)作子午圈的切線TP,與x軸的夾 角為（900+B）。該夾角的正切

29、值為曲線在P點(diǎn)處之斜率，它等于曲線在該點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)。dydx=tg (90 + 6) = -ctgBP點(diǎn)在以O(shè)為中心的子午橢圓上，必須滿足: TOC o 1-5 h z 2匚+”=1a2 b2對(duì)X求導(dǎo)，得： HYPERLINK l bookmark124 o Current Document dyb2 HYPERLINK l bookmark126 o Current Document dxa1同（771）式比擬可得:xo x=(1-e )yy)2 ctgB =- a因此：y = x(l-e2)tgB上式代入(7-12),且用 a1 cos2 B乘上式兩邊，得:x2 cos2 B + (l e

30、2) sin2 b = a2 cos2 B或x2(l -e2 sin2 B) = a1 COs2 B由此可得：acosB acosB71-e2 sin2 B 卬7-16上式代入(774)式得:6z(l -e )sinB a 9 bsinB y = i = = (1-e ) sin B =1-e2 sin2B 卬V7-17(716)(717)兩式即為子午面直角坐標(biāo)x、y同大地緯度B的關(guān)系式。2、空間直角坐標(biāo)系與子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系注意到圖7-3與圖7-4,空間直角坐標(biāo)系中的P2P相當(dāng)于子午平面直角坐標(biāo)系中的 y,相當(dāng)于x,且兩者之經(jīng)度相同，于是可得：X = xcosLK = xsinLZ =

31、y3、空間直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系的關(guān)系將(718)(720)兩式代入(724)式可得:X = N cos B cos L Y = Ncos B sin L Z = N(l e2)sin3假設(shè)將(7-16)(7-17)兩式代入上式，那么“ acosB rX =COSLW acosB . rY =sin LW_ bsinBZ =V設(shè)大地高為H, P點(diǎn)在橢球面上的投影為，那么矢設(shè)大地高為H, P點(diǎn)在橢球面上的投影為，那么矢假設(shè)p點(diǎn)不在橢球面上，如下圖。量為p = Po + Hn因?yàn)椋簆。cos B cos N cos 5 sin L(l-e2)sin B且外法線單位矢量cos B cos L n =

32、 cos B sin Lsin 8因此有:(N + H)cosBcosL(N + )cosBsinn(1 /)+ sin3該式展開即可得到由B、L、H計(jì)算X、Y、Z的公式。P點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)的大地坐標(biāo)，對(duì)大地經(jīng)度L有：L=*云YxL = arcsin / . L = arccos、=Jx2 + y2或改+片大地緯度B的計(jì)算比擬復(fù)雜，通常采用迭代法進(jìn)行計(jì)算，如下圖:PP0P”PP”=Z=叱 +Y?=0KP = Ne2 sin B 0Q= Ne2 cos3由圖可知n Z + Ne2smB ylX2+Y2ctgB =ctgB =Vx2+r2 -Ne1CQsBz tgB,= .1 Vx2 +

33、r2上式兩端都有B,需進(jìn)行迭代計(jì)算，迭代計(jì)算時(shí)，B的初值B1由式確定，用B的初值計(jì)算出N1和sinBl,按(7-32)式進(jìn)行第二次迭代，直到最后兩次B值之差小于允許誤差為止。當(dāng)B時(shí)，按下式計(jì)算大地高：H =NQ-a)sin BH = ylx-+Y2 _NcosB由于7-32式左右兩端具有不同的三角函數(shù)，這對(duì)于迭代很不方便，為克服這一缺 陷，建議采用下面的迭代公式：Pti %+T =+ /,4 k +1；式中：ce2收+丫2 P +。2，2=l + e24、大地緯度B,歸化緯度u,地心緯度中之間的關(guān)系B與u之間的關(guān)系4、大地緯度B,歸化緯度u,地心緯度中之間的關(guān)系B與u之間的關(guān)系 J1 -j R sin u sin BWcosw = cosB W 2) u與之間的關(guān)系sin B = V sin ucos B = W cos utan =a/1-tan =a/1-e2 tan u7-36由微分三角形DKE可得:dS = -sin B_ -dxsinB3) B與之間的關(guān)系tan =(l-e2)tan B 7-3橢球面上的幾種曲率