整理試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分析和數(shù)據(jù)處理

1、第二章 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分析和數(shù)據(jù)處理第一節(jié) 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析由于實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)設(shè)備的不完善，周圍環(huán)境的影響，以及人的觀察力，測(cè)量程序等限 制，實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值和真值之間，總是存在一定的差異。人們常用絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差或有效數(shù)字 來(lái)說(shuō)明一個(gè)近似值的準(zhǔn)確程度。為了評(píng)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確性或誤差，認(rèn)清誤差的來(lái)源及其影 響，需要對(duì)實(shí)驗(yàn)的誤差進(jìn)行分析和討論。由此可以判定哪些因素是影響實(shí)驗(yàn)精確度的主要方 面，從而在以后實(shí)驗(yàn)中，進(jìn)一步改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方案，縮小實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值和真值之間的差值，提高實(shí)驗(yàn) 的精確性。一、誤差的基本概念測(cè)量是人類認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)所不可缺少的手段。通過測(cè)量和實(shí)驗(yàn)?zāi)苁谷藗儗?duì)事物獲得定量的 概念和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律性

2、。科學(xué)上很多新的發(fā)現(xiàn)和突破都是以實(shí)驗(yàn)測(cè)量為基礎(chǔ)的。測(cè)量就是用 實(shí)驗(yàn)的方法，將被測(cè)物理量與所選用作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較，從而確定它的大小。1.真值與平均值真值是待測(cè)物理量客觀存在的確定值，也稱理論值或定義值。通常真值是無(wú)法測(cè)得的。若 在實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量的次數(shù)無(wú)限多時(shí)，根據(jù)誤差的分布定律，正負(fù)誤差的出現(xiàn)幾率相等。再經(jīng)過細(xì) 致地消除系統(tǒng)誤差，將測(cè)量值加以平均，可以獲得非常接近于真值的數(shù)值。但是實(shí)際上實(shí)驗(yàn)測(cè) 量的次數(shù)總是有限的。用有限測(cè)量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列:幾種(1)算術(shù)平均值 算術(shù)平均值是最常見的一種平均值。設(shè)、xn為各次測(cè)量值，n代表測(cè)量次數(shù)，則算術(shù)平均值為X x TO

3、C o 1-5 h z _ x + x HF xizoX = t 2n = -nii(2-nn1)(2)幾何平均值 幾何平均值是將一組I個(gè)測(cè)量值連乘并開!次方求得的平均值。即x幾= x x(2-2)(3)均方根平均值r x 2(2-3)_x 2 + x 2 + x 2， ix = T2n-= | E均,lnn n(4)對(duì)數(shù)平均值 在化學(xué)反應(yīng)、熱量和質(zhì)量傳遞中，其分布曲線多具有對(duì)數(shù)的特性，在這 種情況下表征平均值常用對(duì)數(shù)平均值。設(shè)兩個(gè)量x J x2，其對(duì)數(shù)平均值應(yīng)指出， 數(shù)平均值。_ X X X XX = 12=2 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document

4、 對(duì) ln x 一 ln x Xi 2lnX2變量的對(duì)數(shù)平均值總小于算術(shù)平均值。（2-4）苧X2 W2時(shí)，可以用算術(shù)平均值代替對(duì)當(dāng)X1/X2=2, X =1.443, x = 1.50, (X -x)/ X =4.2%,即 X1 /X2 W2,引起的誤差不超過4.2%。對(duì)對(duì)對(duì)以上介紹各平均值的目的是要從一組測(cè)定值中找出最接近真值的那個(gè)值。在化工實(shí)驗(yàn)和科 學(xué)研究中,數(shù)據(jù)的分布較多屬于正態(tài)分布,所以通常采用算術(shù)平均值。2.誤差的分類根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因,一般分為三類：（1）系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差是指在測(cè)量和實(shí)驗(yàn)中未發(fā)覺或未確認(rèn)的因素所引起的誤差,而這 些因素影響結(jié)果永遠(yuǎn)朝一個(gè)方向偏移,其大小及符

5、號(hào)在同一組實(shí)驗(yàn)測(cè)定中完全相同,當(dāng)實(shí)驗(yàn)條 件一經(jīng)確定,系統(tǒng)誤差就獲得一個(gè)客觀上的恒定值。當(dāng)改變實(shí)驗(yàn)條件時(shí),就能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因：測(cè)量?jī)x器不良,如刻度不準(zhǔn),儀表零點(diǎn)未校正或標(biāo)準(zhǔn)表本身存在偏 差等；周圍環(huán)境的改變,如溫度、壓力、濕度等偏離校準(zhǔn)值；實(shí)驗(yàn)人員的習(xí)慣和偏向,如讀數(shù) 偏高或偏低等引起的誤差。針對(duì)儀器的缺點(diǎn)、外界條件變化影響的大小、個(gè)人的偏向,待分別 加以校正后,系統(tǒng)誤差是可以清除的。（2）偶然誤差 在已消除系統(tǒng)誤差的一切量值的觀測(cè)中,所測(cè)數(shù)據(jù)仍在末一位或末兩位數(shù) 字上有差別,而且它們的絕對(duì)值和符號(hào)的變化,時(shí)而大時(shí)而小,時(shí)正時(shí)負(fù),沒有確定的規(guī)律, 這類誤差稱為偶然誤差

6、或隨機(jī)誤差。偶然誤差產(chǎn)生的原因不明,因而無(wú)法控制和補(bǔ)償。但是, 倘若對(duì)某一量值作足夠多次的等精度測(cè)量后,就會(huì)發(fā)現(xiàn)偶然誤差完全服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律,誤差的大 小或正負(fù)的出現(xiàn)完全由概率決定。因此,隨著測(cè)量次數(shù)的增加,隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨近于 零,所以多次測(cè)量結(jié)果的算數(shù)平均值將更接近于真值。（3）過失誤差 過失誤差是一種顯然與事實(shí)不符的誤差,它往往是由于實(shí)驗(yàn)人員粗心大 意、過度疲勞和操作不正確等原因引起的。此類誤差無(wú)規(guī)則可尋,只要加強(qiáng)責(zé)任感、多方警 惕、細(xì)心操作,過失誤差是可以避免的。3、精密度、準(zhǔn)確度和精確度反映測(cè)量結(jié)果與真實(shí)值接近程度的量,稱為精度（亦稱精確度）。它與誤差大小相對(duì)應(yīng), 測(cè)量的精度越高,

7、其測(cè)量誤差就越小?！熬取睉?yīng)包括精密度和準(zhǔn)確度兩層含義。（1）精密度：測(cè)量中所測(cè)得數(shù)值重現(xiàn)性的程度,稱為精密度。它反映偶然誤差的影響程 度,精密度高就表示偶然誤差小。（2）準(zhǔn)確度 測(cè)量值與真值的偏移程度,稱為準(zhǔn)確度。它反映系統(tǒng)誤差的影響精度,準(zhǔn)確 度高就表示系統(tǒng)誤差小。（3）精確度（精度）它反映測(cè)量中所有系統(tǒng)誤差和偶然誤差綜合的影響程度。在一組測(cè)量中,精密度高的準(zhǔn)確度不一定高,準(zhǔn)確度高的精密度也不一定高,但精確度 高,則精密度和準(zhǔn)確度都高。為了說(shuō)明精密度與準(zhǔn)確度的區(qū)別,可用下述打靶子例子來(lái)說(shuō)明。如2-圖1所示。圖2-1(a)中表示精密度和準(zhǔn)確度都很好，則精確度高；圖-1(b)表示精密度很好，但

8、準(zhǔn) 確度卻不高；圖2-1(c)表示精密度與準(zhǔn)確度都不好。在實(shí)際測(cè)量中沒有像靶心那樣明確的真 值，而是設(shè)法去測(cè)定這個(gè)未知的真值。學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中，往往滿足于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的重現(xiàn)性，而忽略了數(shù)據(jù)測(cè)量值的準(zhǔn)確程度。絕 對(duì)真值是不可知的，人們只能訂出一些國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)作為測(cè)量?jī)x表準(zhǔn)確性的參考標(biāo)準(zhǔn)。隨著人類認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)的推移和發(fā)展，可以逐步逼近絕對(duì)真值。(a)(b)(c)圖 2-1 精密度和準(zhǔn)確度的關(guān)系4、誤差的表示方法利用任何量具或儀器進(jìn)行測(cè)量時(shí)，總存在誤差，測(cè)量結(jié)果總不可能準(zhǔn)確地等于被測(cè)量的真 值，而只是它的近似值。測(cè)量的質(zhì)量高低以測(cè)量精確度作指標(biāo)，根據(jù)測(cè)量誤差的大小來(lái)估計(jì)測(cè) 量的精確度。測(cè)量結(jié)果的誤差愈小，則認(rèn)為

9、測(cè)量就愈精確。(1)絕對(duì)誤差 測(cè)量值X和真值A(chǔ)之差為絕對(duì)誤差，通常稱為誤差。記為： 0 TOC o 1-5 h z D = X A 0(2-5)由于真值A(chǔ) 一般無(wú)法求得，因而上式只有理論意義。常用高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器的示值作為實(shí)際 值A(chǔ)以代替真值A(chǔ)。由于高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器存在較小的誤差，因M等于A，但總比X更接近 于A。X與A之差稱為儀器的示值絕對(duì)誤差。記為00 d = X - A(2-6)與d相反的數(shù)稱為修正值，記為C = -d = A - X(27)通過檢定，可以由高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器給出被檢儀器的修正值利用修正值便可以求出該儀 器的實(shí)際值A(chǔ)。即A = X + C(2-8)(2)相對(duì)誤差衡量某一測(cè)量值的準(zhǔn)

10、確程度，一般用相對(duì)誤差來(lái)表示。示值絕對(duì)誤差 與被測(cè)量的實(shí)際修的百分比值稱為實(shí)際相對(duì)誤差。記為5 = x 100%(2-9)AA以儀器的示值X代替實(shí)際值A(chǔ)的相對(duì)誤差稱為示值相對(duì)誤差。記為5 = d x 100%(2-10)XX一般來(lái)說(shuō)，除了某些理論分析外，用示值相對(duì)誤差較為適宜。(3)引用誤差 為了計(jì)算和劃分儀表精確度等級(jí)，提出引用誤差概念。其定義為儀表示 值的絕對(duì)誤差與量程范圍之比。示值絕對(duì)誤差d X100% = X100%量程范圍Xn(2-11)d -示值絕對(duì)誤差；X -標(biāo)尺上限值-標(biāo)尺下限值。(4)算術(shù)平均誤差算術(shù)平均誤差是各個(gè)測(cè)量點(diǎn)的誤差的平均值。5 =4 i = 1, 2, n平 nn

11、 測(cè)量次數(shù)；(2-12)d 為第i次測(cè)量的誤差。(5)標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差亦稱為均方根誤差。其定義為(2-13)上式使用于無(wú)限測(cè)量的場(chǎng)合。實(shí)際測(cè)量工作中，測(cè)量次數(shù)是有限的，則改用下式(2-14)標(biāo)準(zhǔn)誤差不是一個(gè)具體的誤差，。的大小只說(shuō)明在一定條件下等精度測(cè)量集合所屬的每個(gè)觀測(cè)值對(duì)其算術(shù)平均值的分散程度，如果的值愈小則說(shuō)明每一次測(cè)量值對(duì)其算術(shù)平均值分 散度就小，測(cè)量的精度就高，反之精度就低。在化工原理實(shí)驗(yàn)中最常用的/形管壓差計(jì)、轉(zhuǎn)子流量計(jì)、秒表、量筒、電壓等儀表原則上 均取其最小刻度值為最大誤差，而取其最小刻度值的一半作為絕對(duì)誤差計(jì)算值。5、測(cè)量?jī)x表精確度測(cè)量?jī)x表的精確等級(jí)是用最大引用誤差(又稱允許

12、誤差)來(lái)標(biāo)明的。它等于儀表示值中的 最大絕對(duì)誤差與儀表的量程范圍之比的百分?jǐn)?shù)。, 最大示值絕對(duì)誤差5=：n max式中：6 -maxd量程范圍dX100% = FT X100%X(2-15)儀表的最大測(cè)量引用誤差；儀表示值的最大絕對(duì)誤差；maxX標(biāo)尺上限值一標(biāo)尺下限值。n通常情況下是用標(biāo)準(zhǔn)儀表校驗(yàn)較低級(jí)的儀表。所以，最大示值絕對(duì)誤差就是被校表與標(biāo)準(zhǔn) 表之間的最大絕對(duì)誤差。測(cè)量?jī)x表的精度等級(jí)是國(guó)家統(tǒng)一規(guī)定的，把允許誤差中的百分號(hào)去掉，剩下的數(shù)字就稱為 儀表的精度等級(jí)。儀表的精度等級(jí)常以圓圈內(nèi)的數(shù)字標(biāo)明在儀表的面板上。例如某臺(tái)壓力計(jì)的 允許誤差為1.5%，這臺(tái)壓力計(jì)電工儀表的精度等級(jí)就是1.5，通

13、常簡(jiǎn)稱1.5級(jí)儀表。儀表的精度等級(jí)為a，它表明儀表在正常工作條件下，其最大引用誤差的絕落值不能超max 過的界限，即5= dmaT X 100% a %n maxX(2-16)n由式(2-16)可知，在應(yīng)用儀表進(jìn)行測(cè)量時(shí)所能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差(簡(jiǎn)稱誤差限)為d a % - X而用儀表測(cè)量的最大值相對(duì)誤差為(2-17)5= dmax 2X/3。這樣就可以達(dá)到滿足測(cè)量誤差要求，又可以選擇精度等級(jí)較低的測(cè)量?jī)x表，從而 降低儀表的成本。二、有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則在科學(xué)與工程中，該用幾位有效數(shù)字來(lái)表示測(cè)量或計(jì)算結(jié)果，總是以一定位數(shù)的數(shù)字來(lái)表 示。不是說(shuō)一個(gè)數(shù)值中小數(shù)點(diǎn)后面位數(shù)越多越準(zhǔn)確。實(shí)驗(yàn)中從測(cè)量?jī)x表上

14、所讀數(shù)值的位數(shù)是有 限的，而取決于測(cè)量?jī)x表的精度，其最后一位數(shù)字往往是儀表精度所決定的估計(jì)數(shù)字。即一般 應(yīng)讀到測(cè)量?jī)x表最小刻度的十分之一位。數(shù)值準(zhǔn)確度大小由有效數(shù)字位數(shù)來(lái)決定。1、有效數(shù)字一個(gè)數(shù)據(jù)，其中除了起定位作用的“0”外，其他數(shù)都是有效數(shù)字。如0.0037只有兩位有 效數(shù)字，而370.0則有四位有效數(shù)字。一般要求測(cè)試數(shù)據(jù)有效數(shù)字為4位。要注意有效數(shù)字不 一定都是可靠數(shù)字。如測(cè)流體阻力所用的U形管壓差計(jì)，最小刻度是1mm,但我們可以讀到 0.1mm,如342.4mmHg。又如二等標(biāo)準(zhǔn)溫度計(jì)最小刻度為0.1,我們可以讀到0.01,如 15.16。此時(shí)有效數(shù)字為4位,而可靠數(shù)字只有三位,最后一

15、位是不可靠的,稱為可疑數(shù)字。 記錄測(cè)量數(shù)值時(shí)只保留一位可疑數(shù)字。為了清楚地表示數(shù)值的精度，明確讀出有效數(shù)字位數(shù)，常用指數(shù)的形式表示，即寫成一個(gè) 小數(shù)與相應(yīng)10的整數(shù)冪的乘積。這種以10的整數(shù)冪來(lái)記數(shù)的方法稱為科學(xué)記數(shù)法。如 75200有效數(shù)字為4位時(shí)，記為7.520*105有效數(shù)字為3位時(shí)，記為7.52*105有效數(shù)字為2位時(shí)，記為7.5*1050.00478 有效數(shù)字為4位時(shí)，記為4.780*10-3有效數(shù)字為3位時(shí)，記為4.78*10-3有效數(shù)字為2位時(shí)，記為4.7*10-32、有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則（1）記錄測(cè)量數(shù)值時(shí)，只保留一位可疑數(shù)字。（2）當(dāng)有效數(shù)字位數(shù)確定后，其余數(shù)字一律舍棄。舍棄辦法

16、是四舍六入，即末位有效數(shù)字 后邊第一位小于5，則舍棄不計(jì)；大于5則在前一位數(shù)上增1；等于5時(shí)，前一位為奇數(shù)，則進(jìn) 1為偶數(shù)，前一位為偶數(shù)，則舍棄不計(jì)。這種舍入原則可簡(jiǎn)述為：“小則舍，大則入，正好等于 奇變偶”。如：保部位有效數(shù)字3.717213.717;5.142B55.1437.623567.6249.376569.376（3）在加減計(jì)算中，各數(shù)所保留的位數(shù)，應(yīng)與各數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的相同。例如將24.65 0.0082 1.632三個(gè)數(shù)字相加時(shí)，應(yīng)寫為24.65 + 0.01 + 1.63 = 26.2。9（4）在乘除運(yùn)算中，各數(shù)所保留的位數(shù)，以各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)數(shù)為準(zhǔn)；其結(jié)

17、果的有效數(shù)字位數(shù)亦應(yīng)與原來(lái)各數(shù)中有效數(shù)字最少的那個(gè)數(shù)相同。例如： 0.0121X25.64X1.05782應(yīng)寫成0.0121X25.64X1.06=0.328上例說(shuō)明，雖然這三個(gè)數(shù)的乘 積為0.3281823，但只應(yīng)取其積為0.328。（5）在對(duì)數(shù)計(jì)算中，所取對(duì)數(shù)位數(shù)應(yīng)與真數(shù)有效數(shù)字位數(shù)相同。三、誤差的基本性質(zhì)在化工原理實(shí)驗(yàn)中通常直接測(cè)量或間接測(cè)量得到有關(guān)的參數(shù)數(shù)據(jù)，這些參數(shù)數(shù)據(jù)的可靠程 度如何？如何提高其可靠性？因此，必須研究在給定條件下誤差的基本性質(zhì)和變化規(guī)律。1、誤差的正態(tài)分布如果測(cè)量數(shù)列中不包括系統(tǒng)誤差和過失誤差，從大量的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)偶然誤差的大小有如下 幾個(gè)特征：（1）絕對(duì)值小的誤差比

18、絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多，即誤差的概率與誤差的大小有關(guān)。 這是誤差的單峰性。（2）絕對(duì)值相等的正誤差或負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)，即誤差的概率相同。這是誤差的對(duì)稱 性。（3）極大的正誤差或負(fù)誤差出現(xiàn)的概率都非常小，即大的誤差一般不會(huì)出現(xiàn)。這是誤差的 有界性。（4）隨著測(cè)量次數(shù)的增加，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。這叫誤差的低償性。根據(jù)上述的誤差特征，可疑的出誤差出現(xiàn)的概率分布圖，如圖2-2所示。圖中橫坐標(biāo)表示 偶然誤差，縱坐標(biāo)表示個(gè)誤差出現(xiàn)的概率，圖中曲線稱為誤差分布曲線，及f(x)表示。其 數(shù)學(xué)表達(dá)式有高斯提出，具體形式為：1e 2B(2-20)(2-21)上式稱為高斯誤差分布定律亦稱為誤差方程

19、。式中為標(biāo)準(zhǔn)誤差，h為精確度指數(shù)，O和h的關(guān)系為 y = 4-(2-22)若誤差按函數(shù)關(guān)系分布，則稱為正態(tài)分布。O越小，測(cè)量精度越高，分布曲線的峰越高切 窄；o越大，分布曲線越平坦且越寬，如圖1-3 所示。由此可知，o越小，小誤差占的比重越 大，測(cè)量精度越高。反之，則大誤差占的比重越 大，測(cè)量精度越低。2、測(cè)量集合的最佳值在測(cè)量精度相同的情況下，測(cè)量一系列觀測(cè)值M , M2, M，,M所組成的測(cè)量集合，假設(shè) 其平均值為J,則各次測(cè)量誤差為x. = M -M ,i=1、2n當(dāng)采用不同的方法計(jì)算平均值時(shí)，所得到誤 差值不同，誤差出現(xiàn)的概率亦不同。若選取適當(dāng) 的計(jì)算方法，使誤差最小，而概率最大，由此

20、計(jì) 算的平均值為最佳值。根據(jù)高斯分布定律，只有 各點(diǎn)誤差平方和最小，才能實(shí)現(xiàn)概率最大。這就 是最小乘法值。由此可見，對(duì)于一組精度相同的 觀測(cè)值，采用算術(shù)平均得到的值是該組觀測(cè)值的 最佳值。圖 2-2 誤差分布圖2-3不同o的誤差分布曲線3、有限測(cè)量次數(shù)中標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算由誤差基本概念知，誤差是觀測(cè)值和真值之差。在沒有系統(tǒng)誤差存在的情況下，以無(wú)限多 次測(cè)量所得到的算術(shù)平均值為真值。當(dāng)測(cè)量次數(shù)為有限時(shí)，所得到的算術(shù)平均值近似于真值， 稱最佳值。因此，觀測(cè)值與真值之差不同于觀測(cè)值與最佳值之差。d = M - a,d2 = M2 -a,D=M -AD2 =M2 -Ad = M - a,D =M -A令真

21、值為A，計(jì)算平均值為b觀測(cè)值為M，并令d=M-a D=M-A,則E d 二 M-naE D 工 M - nAiiii因?yàn)?E M 一 na = 0E M = na代入 D = E M - nA中，即得a = A + 2將式(223)式代入4 =M -a中得d = (M - A) - = D - -Diinin(223)(224)將式（224）兩邊各平方得d12 = Di2 - 2D1d22 = D22 - 2D2E DE D+(r )2nnEDED TOC o 1-5 h z d 2 = D 2 - 2 D Tn nnn對(duì) i 求和 E d 2 =E D 2 - 2+ (1)2n HYPERL

22、INK l bookmark32 o Current Document (E D )2E Di + n (i )2nn因在測(cè)量中正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，故將！0） 2展開后，D-D,、D.D，為正為負(fù) i1213的數(shù)目相等，彼此相消，故得E EE D 2 E D 2E d 2 = E D 2 - 2l + nrE d 2 = n-1 E D 2nn2in i從上式可以看出，在有限測(cè)量次數(shù)中，自算數(shù)平均值計(jì)算的誤差平方和永遠(yuǎn)小于自真值計(jì) 算的誤差平方和。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤差的定義-E D 2O = I； J n n式中Z D2代表觀測(cè)次數(shù)為無(wú)限多時(shí)誤差的平方和，故當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)， i(225)E d.

23、2o = I n -14可疑觀測(cè)值的舍棄由概率積分知，隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線下的全部積分，相當(dāng)于全部誤差同時(shí)出現(xiàn)的概率，4即口p = .Je 202dx = 1（2 26）% 2兀 o -8若誤差x以標(biāo)準(zhǔn)誤差！的倍數(shù)表示，即乂=匕，則在t。范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為（t），超 出這個(gè)范圍的概率為-2（t）。（t）稱為概率函數(shù)，表示為，2（t） = iJ e 2 dt（227）2n 02（t）與t的對(duì)應(yīng)值在數(shù)學(xué)手冊(cè)或?qū)Ｖ芯接写祟惙e分表，讀者需要時(shí)可自行查取。在 使用積分表時(shí)，需已知t值。由表2-1和圖（2-4）給出幾個(gè)典型及其相應(yīng)的超出或不超出| 的概率。由表2-1知，當(dāng)t=3, |x|=3i時(shí)，在3

24、70次觀測(cè)中只有一次測(cè)量的誤差超過。范圍。在 有限次的觀測(cè)中，一般測(cè)量次數(shù)不超過十次，可以認(rèn)為誤差大于，可能是由于過失誤差或?qū)?驗(yàn)條件變化未被發(fā)覺等原因引起的。因此，凡是誤差大于的數(shù)據(jù)點(diǎn)予以舍棄。這種判斷可疑 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原則稱為3。準(zhǔn)則。5 函數(shù)誤差上述討論主要是直接測(cè)量的誤差計(jì)算問題，但在許多場(chǎng)合下，往往涉及間接測(cè)量的變量， 所謂間接測(cè)量是通過直接測(cè)量的量之間有一定的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)函數(shù)被測(cè)的量，如傳熱問題 中的傳熱速率。因此，間接測(cè)量值就是直接測(cè)量得到的各個(gè)測(cè)量值的函數(shù)。其測(cè)量誤差是各個(gè) 測(cè)量值誤差的函數(shù)。f（0）圖2-4誤差分布曲線的積分表2-1誤差概率和出現(xiàn)次數(shù)t|x|=ta不超出|x

25、1的 概率2（t）超出|x1的概率1-2（t）測(cè)量次數(shù)n超出|x1的 測(cè)量次數(shù)0.670.6700.497140.502862111。0.682690.317313122o0.954500.0455022133o0.997300.00270370144o0.999910.00009111111（1）函數(shù)誤差的一般形式在間接測(cè)量中，一般為多元函數(shù)，而多元函數(shù)可用下式表示：產(chǎn) f （x1,x2 ,xn）（228）式中y間接測(cè)量值；x.一直接測(cè)量值。i由臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開得A 仔 A 仔 A討 A（2一29）Ay = Ax +-Ax + +Ax2- 29）d.x1 d.x 2d.xn12n或 Ay = 2

26、n -Axd.x ii=1 i（230）它的最大絕對(duì)誤差為y =里Axi=1式中 f 誤差傳遞系數(shù)；3 x. iXj直接測(cè)量值的誤差；y 間接測(cè)量值的最大絕對(duì)誤差。函數(shù)的相對(duì)誤為為5 = Ay = df Ax y3xy145+ 5 + 某些函1數(shù)誤差的計(jì)算yf 53xnn3f Ax3x ynn函數(shù)y=xz絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差由于誤差傳遞系數(shù)f = 1 f = + ，則函數(shù)最大絕對(duì)誤差 3 x 3 z y=（ |A x| + |A z|）相對(duì)誤差 5 r（231）（232）（233）函數(shù)形式為y = K三， w誤差傳遞系數(shù)為：x、z、w為變量Kzd.xw。y Kx =3zw3yKxz=函數(shù)的最大絕

27、對(duì)誤差為KxA zw函數(shù)的最大相對(duì)誤差為（234）（235）現(xiàn)將某些常用函數(shù)的最大絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差列于22中。例2-3用量熱器測(cè)定固體比熱容時(shí)采用的公式C = M2 T0)Cpm (t - t ) pH 212式中M量熱器內(nèi)水的質(zhì)量m被測(cè)物體的質(zhì)量t0測(cè)量前水的溫度t1放入量熱器前物體的溫度t2測(cè)量時(shí)水的溫度CpH2c水的熱容，4.187Kj/(kg. K)測(cè)量結(jié)果如下：M=250 0.2gm=62.31 0.02gt0=13.520.01t99.320.04t2=17.790.01試求測(cè)量物的比熱容之真值，并確定能否提高測(cè)量精度。解：根據(jù)題意，計(jì)算函數(shù)之真值，需計(jì)算各變量的絕對(duì)誤差和誤差傳

28、遞系數(shù)。為了簡(jiǎn)化計(jì) 算，49 0=t2-t0=4.27, 0 1=t112=81.53,.方程改寫為C =當(dāng)CH12表2-2某些函數(shù)的誤差傳遞公式函數(shù)式誤差傳遞公式最大絕對(duì)誤差點(diǎn)y最大相對(duì)誤港ry = x + x + x123A y = (1 Ax, 1 + 1 A x 2 1 + 1 A x 3 1)5 = Ay / yy = x + xAy = (l Ax 1 + 1 Ax 1)5 = Ay / y12y = x. x12Ay = (l x Ax l + l x Ax l)r5 = (AxAx-1 + -三x x)y = x x xAy = (l x x Ax l + l x x Axl

29、+ l x x Ax l)125./Ax上好上Ax、5 = (1 +2 +3 )rx xxy = xnAy = (nxn-1Ax)15 = ( n r2Axx3)ry = n xA y = J x : 1Ax) n5 = (， r nAxx)y = x / xx/ x A x + x A x、A y = ( 2112)x 25 = (AxAx-1 + -Tx x)y = ex2Ay = | c Ax|15 r =(-Axx2y = 1g %A y = 0.4343 皿x5 r = Ay / yy = 1n %A y = Ax5 r = Ay / y各變量的絕對(duì)誤差為AM = 0.2gA9 =|At | + |At | = 0.01 + 0.01 = 0.02Am = 0.02gA9 =|At | + |At | = 0.04 + 0.01 = 0.05各變量的誤差傳遞系數(shù)為021SC p SM鼻二 4.27x4.187 = 3.52x 10-3mO62.31 x 81.531M0C4.27x4.187 一，0 PH = -=-1.41x 10-2m2O62.312 x 81.53SCMCpSOPHmO250 x 4.1872 = 0.206