高考試題及解析(理)

1、2 0 15 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項：1 .本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考生號填寫在答題卡上。 回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框 涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標(biāo)號框。寫在本試卷上無效。回答第II卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。4考試結(jié)束后，將本試卷與答題卡一并交回。第I卷(選擇題，共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合 A =-2 , -1 , 0, 1, 2, B

2、=x |(x 1)(x 2) ： 0,則 A-B =-1, 0 B. 0, 1 C. -1, 0, 1 D. 0, 1 , 2若 a為實數(shù)，且(2 ai)(a -2i) = -4i ,則 a =A. -1B. 0 C. 1D. 2根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著2007 年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C. 2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D. 2006 年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)4.已知等比數(shù)列an滿足a1 = 3 , a1 - a3 a 21 ,則a3

3、a5 a7A. 21B. 42 C. 63D. 84”1+log2(2 x),xc1,5.設(shè)函數(shù) f (X)=丿 1則 f (2) + f (log 212)=2xj,1,A. 3B. 6C. 9D. 126. 一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為A.B.D.7.過三點A(1,3), B(4,2), C(1,-7)的圓交y軸于M、N兩點MN I =A. 2.6B. 8C.8.右邊程序框圖的算法思路源于我國數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行 該程序框圖，若輸入的a,b分別為14, 18, 則輸出的a =A . 0B . 2C . 4

4、D . 144. 6D. 10片始輸入應(yīng)/AOB = 90 , C為該球面上的動點9.已知A , B是球0的球面上兩點,若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球0的表面積為A . 36二B. 64二C . 14410.如圖，長方形 ABCD的邊AB =2 , BC =1, 0是AB的中點.點P沿著邊BC , CD與DA運(yùn)動，記 BOP = X.將動點P到A, B兩點距離之和表示為 X函數(shù)f(X),則y = f (x)的圖像大致為 4 2 44 2 44 2 4已知A , B為雙曲線E的左、右頂點，點M在E上，AABM為等腰三角形，且頂點為1200 ,則E的離心率為A .5B. 2C. . 3

5、D. .、2設(shè)函數(shù)f/(x)是 奇函數(shù)f (x)(x R)的導(dǎo)函數(shù)，f (-1) = 0 ,當(dāng)x. 0時，Xf/(X) - f(x) ：0 ,則使得f (X) 0成立的X的取值范圍是A .(一：，一1)一(0,1)B.(一 1,0)(1,：)(-：,-1)_(-1,0)D.(0,1) 一(1,：)第口卷(非選擇題，共90分) TOC o 1-5 h z 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題21題為必考題，每個考生都必須作答；第22題一24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.設(shè)向量a、b不平行，向量 a b與a 2b平行，則實數(shù) =.X - y 1 一 0,若

6、X , y滿足約束條件x2y0,貝U z=x + y的最大值為 .+2y -2 0,(a x)(1 - x)4的展開式中X的奇數(shù)次幕項的系數(shù)之和為32,則a=.16設(shè)Sn是數(shù)列2n的前n項和，且a -1 , an 1 = SnSn 1 ,則Sn =.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟(本小題滿分12分)ABC中，D是BC上的點，AD平分 BAC, ABD面積是 ADC面積的2 倍.(I)求Sin C 2()若 AD = 1, DC ,求 BD 和 AC 的長.2(本小題滿分12分)AM區(qū)E地區(qū)4 eJ89某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A, B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶

7、，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A 地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(I)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿 意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)；()根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分的70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C:“A地區(qū)用戶的滿意度等級高

8、于 B地區(qū)用戶的滿意度等級” 假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨(dú)立根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的頻率，求C的概率.(本小題滿分12分)女口圖，長方體 ABCD-A1B1C1D1中，AB =16 , BC =10 , AA1 =8 ,點 E , F 分別在A1B- D1C1上，RE =D1F =4.過點E , F的平面與此長方體的面相交， 交線圍成一個 正方形.(I)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；()求直線 AF與平面所成角的正弦值.(本小題滿分12分)已知橢圓C : 9X2 y2 = m2(m O),直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，丨與C有 兩個交點A , B ,

9、線段AB的中點為M .(I)證明：直線 OM的斜率與丨的斜率的乘積為定值；()若丨過點(m,m),延長線段OM與C交于點P ,四邊形OAPB能否為平行四邊3形？若能，求此時丨的斜率；若不能，說明理由(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù) f (x) =emx+x2 _mx.(I)證明：f (x)在(-：,0)單調(diào)遞減，再(0,七)單調(diào)遞增；()若對于任意x1,x2 w-1,1,都有f(Xi) - f (x2)蘭e1 ,求m的取值范圍請從下面所給的22、23、24三題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應(yīng)的題號方框涂黑，按所涂題號進(jìn)行評分；不涂、多涂均按所答題第一題評分；多答按所答第一題評分(

10、本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講如圖，O為等腰三角形 ABC內(nèi)一點O與. ABC的底邊BC交于M , N兩點，與底邊上的高 AD交于點G ,且與AB ,AC分別相切于E, F兩點(I)證明：EF/BC;()若AG等于O O的半徑，且 AE=MN =2,3,求四邊形EBCF的面積(本小題滿分10分)選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程X =t COSX在直角坐標(biāo)系XOy中，曲線G :(t為參數(shù)，t0),其中在以O(shè)為極點，y =tsi n以X軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2: T =2sin , C3 = 2 3co匸.(I)求曲線C2與C3交點的直角坐標(biāo)；()若G與C2相交于點A, G與

11、C3相交于點B,求AB的最大值.24.(本小題滿分10分)選修4-5 :不等式選講設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且a c d ,證明：(I)若 ab cd,貝U b d ；() Ja +Jb Rdc +Ud 是 ab V cd 的充要條件2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題解析第I卷(選擇題，共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符 合題目要求的已知集合 A =-2，-1，0，1, 2, B =x |(x 1)(x2) ： 0,則 A-B =A. -1，0 B. 0，1 C. -1，0，1 D. 0，1，2解析：本題考查集合及其運(yùn)算、

12、二次不等式的解法B =x (x-1)(x 2) ： 0 =x I -2 ： X ： 1， AB = -1，0選A若 a為實數(shù)，且(2 ai)(a -2i) = -4i，則 a =A. -1B. 0 C. 1D. 2解析：本題考查復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等的概念及其運(yùn)算- (2 ai)(a 2i) = 4i，4a 4i a2i = 4i ,故 a = 0.選B根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著2007 年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C. 2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D. 2006

13、 年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)解析：本題考查柱狀圖等統(tǒng)計知識與識圖能力選D已知等比數(shù)列an滿足a1 = 3， a1 a3 a 21 ,則a3 a5 a7 =A. 21B. 42 C. 63D. 84解析：本題考查數(shù)列概念，等比數(shù)列的通項公式a1 =3，a1 a3 a5 =21，3 3q2 3q4 =21，q4 q2 -6=0 ,q2 = 2,或q2 = -3(舍)，故 a3 a5 a7 = a1q2 a1q4 a1q6 = 421 + Iog2 (2 _ x), x c 1,5.設(shè)函數(shù) f (X)=丿 I則 f(2)+f(log212) =2xj,1,A. 3B. 6C. 9D. 1

14、2解析：本題考查分段函數(shù)概念及指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算 - f (一2) =1 log2(22) =12 =3 ,而 Iog2121，.f (log212) =2log212 丄=2log212 2A-12 - -6 ， f (一2) f (log 212) = 9 2選C6. 一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為A.B.D.解析：本題考查三視圖、空間幾何體的體積計算與空間想象能力1 11令正方體的棱長為1,則V截111 = HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 3 2615V余=1-.6 6選D7

15、.過三點 A(1,3), B(4,2), C(1,-7)的圓交 y 軸于 M、N 兩點，貝U | MN I =A. 2.6B. 8C.4.6D. 10解析：本題考查垂徑定理、圓方程，計算能力由垂徑定理知，圓心在 AC的垂直平分線上，故設(shè)圓心(x0,-2),由0, A = 0館得: (X0 -1)2 52 = .,(Xo -4)2 42 , X。=1, r = 5. o ： (x-1)2 (y 2)2 = 25 , 令 X=O 得(x_1)2 +(y+2)2 =25,二 y+2 = 26 ,故 MN =46.選C8.右邊程序框圖的算法思路源于我國數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖

16、，若輸入的a,b分別為14, 18,則輸出的a =A . 0B . 2C . 4D . 14解析：本題考查程序框圖與更相減損術(shù)Ta=14：18=b， . b =18-14=4，又 b=4：14 = a， a=14-4=10，而 a=10 4= b， . a=10-4=6 ,又 a=64 = b， . a=6-4=2，而 a=2：4=b，. b=4-2=2=a ,故輸出 a = 2 9.已知A， B是球O的球面上兩點,選B AOB = 90 , C為該球面上的動點 .若三棱錐O- ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為A . 36 7：B. 647：.144 二D. 256：解析：本題考查球

17、體、球表面積的計算與三棱錐體積的計算，空間想象與推理能力.由已知可得B為球O的大圓周上的兩點，三棱錐 O - ABC體積的最大36 ,=-R 36, R = 63 2,故=4二 36 = 144 二.10.如圖，長方形 ABCD的邊AB =2 , BC =1, O是AB的中點.點P沿著邊BC , CD與DA運(yùn)動，記 BoP = X.將動點P到A, B兩點距離之和表示為 X函數(shù)f(X),則目=f (x)的圖像大致為解析：本題考查函數(shù)及其性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合、分析與轉(zhuǎn)化的能力當(dāng)點P在邊BC上運(yùn)動時，顯然f (X)隨X增大而增大，點P在邊DA上運(yùn)動時，f (X)tan x 4 tan2 x, (0 込 X

18、 );4隨X增大而減小；且2 .,二(+ 1 1)2 1 .( +.tan Xtan X-tanx. 4 tan2 x,( 二：x _ :).4-1)21,( X E ?二);44方面f (x)明顯是非線性的，另一方面可由特殊值驗證點P在邊CD上運(yùn)動時，f (X)隨X先減小后增大選B11.已知A，B為雙曲線E的左、右頂點，點M在E上，AABM為等腰三角形，且頂點為1200 ,則E的離心率為A .5B. 2C. . 3D. . 2解析：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合與分析問題的能力據(jù)條件得等腰三角形 ABM有AB = MB ,又=NABM= 1200, A XM= 2a , y 3

19、a,故零一單=1 ,即 4-茸=1, e2abb選D12.設(shè)函數(shù)f(X)是 奇函數(shù)f ()( R)的導(dǎo)函數(shù)，f (-1) =0 ,當(dāng)X. 0時，Xf/(X) - f(x) ：0 ,則使得f (X) 0成立的X的取值范圍是A . (一：，一1) _ (0,1)B. (一1,0) (1,：)C. (一：，一1) _ (一1,0)D. (0,1) (1,：)解析：本題考查函數(shù)及其性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識，分析問題、解決問題的能力人f (x)f (x) 1X - f(x)U/令 h(x),則 h(x)2, 當(dāng) X 0時，X f (x) - f(x) ： 0 ,XX h(x) 0 ,而f (x)為奇函數(shù)，所

20、以h(x)=丄也 為偶函數(shù)，故h(x)在(-：,0)單增，X在(0,：)單減，又 f(-1) = f (1) =0, h(-1)=h(1)=0 ,因此:-1+1-0+0_+0-+0-第口卷(非選擇題，共90 分)本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題21題為必考題，每個考生都必須作答； 第 TOC o 1-5 h z 22題一24題為選考題，考生根據(jù)要求作答二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分.13.設(shè)向量a、b不平行，向量 a b與a 2b平行，則實數(shù)-.解析：本題考查向量、共線向量的概念及共線定理0,14.若X， y滿足約束條件J-2y0, 貝U z=x + y的最大值為 .X +2y

21、 2 蘭0,解析：本題考查線性規(guī)劃的相關(guān)知識解方程組丿x-2y=得:+2y -2 =0由約束條件得可行域如右圖所示：13故Z=X y在點(1, 一)取到最大值， ZmaX = 1 223答案：-2415. (a X)(1 X)的展開式中X的奇數(shù)次幕項的系數(shù)之和為32,則a=.解析：本題考查二項式定理與項的系數(shù)概念4234(a x)(1 x) = (a x)(1 4x 6x 4x X )=a 4ax 6ax2 4ax3 ax4 X 4x2 6x3 4x4 x5=a (1 4a)x (4 6a)x2(6 4a)x3(4 a)x4 x5答案：a = 316.設(shè) Sn 是數(shù)列an的前 n 項和，且 a

22、1 = -1 , an 1 = SnSn 1 ,則 Sn=.解析：本題考查數(shù)列、等差數(shù)列的定義與通項等知識，歸納及分析與轉(zhuǎn)化的能力* 1 1 aI = -1， an 1 = Sn Sn 1 , SnI-Sn=SnSn 1 , . - 11=1,即二1= -1.Sn -1SnSn是以丄=SnSI1丄=_1為首項,-1為公差的等差數(shù)列,Snn，SnSn或計算S1,S2,S3歸納出Sn的通項公式1答案：SnH-丄n三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.（本小題滿分12分）ABC中，D是BC上的點，AD平分.BAC, ABD面積是 ADC面積的2倍.(I)求sin BSin C：2(

23、)若 AD = 1, DC , 求 BD 和 AC 的長.2解析：本題考查正、余弦定理與面積公式，觀察能力、分析能力與應(yīng)用公式的能力 解：(I)； S ABD 二 2S adc ,且 AD 平分 BAC ,1111AB AD Sin A =2 AD AC Sin A , BA = 2AC.2222在 ABC中，據(jù)正弦定理得:AB ACSin C Sin BSin BAC1SinCAB2()BD =、2S 么DCDC在 ADC 中，AC2 =1 丄2 1 cos/ADC ,2 2在 ADB 中，AB2 =12 2 .2cos ADB ,而 BA = 2AC ,0AC2 =3+2 cos ADB2

24、Nadc+nadb =180 ,二 2,二 6ac =6,ac=1.j4AC2 =3-22cosADB18.（本小題滿分12 分）某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A, B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A 地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79B區(qū)(I)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿 意度評分的平均值及分散程度(

25、不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)；()根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分的70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C:“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于 B地區(qū)用戶的滿意度等級” 假設(shè)兩地區(qū)用 戶的評價結(jié)果相互獨(dú)立根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的頻率，求C的概率.閱讀理解能力與分解析：本題考查莖葉圖相關(guān)的統(tǒng)計知識與概率及獨(dú)立性事件的概率計算, 析轉(zhuǎn)化能力通過莖葉圖可以看出， A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶6665(I)兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖 葉圖如右所示:滿意度平分的平均值；A地區(qū)用戶滿意 度評分比較集中，

26、B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散20()記A地區(qū)用戶滿意度的評分低于 70分的事件為A ,則P(AI) TOC o 1-5 h z 123記A地區(qū)用戶滿意度的評分在 70分到89分之間的事件為 A2 ,則P(A2)= = -，20541記A地區(qū)用戶滿意度的評分不低于90分的事件為 A ,則P(A3),20510 1 記B地區(qū)用戶滿意度的評分低于70分的事件為B1 ,則P(B1),20 28 2記B地區(qū)用戶滿意度的評分在 70分到89分之間的事件為 B2 ,則P(B2)- -，205記B地區(qū)用戶滿意度的評分不低于90分的事件為B3 ,則P(B3)2120 10Ai, Bi 互相獨(dú)立，.= A2 Bi

27、A3 (BiB2),= P(A2)P(Bi) P(A3) P(Bi) P(A3) P(B2) =048.(本小題滿分12分)如圖，長方體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB =16, BC =10, AAI= 8 ,點 E, F 分別在A1Bi , DG上，RE =D1F =4.過點E , F的平面：與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.(I)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)()求直線 AF與平面：所成角的正弦值.解析：本題考查線與線、線與面的垂直關(guān)系，線面所成角的概念及利用向量法求解線面角;空間想象、推理的能力.(I)如右圖所示.()建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系，貝UA(10

28、,0,0) , G(10,10,0), H (0,10,0), F (0,4,8),AF = (-10,4,8) , GH =(-10,0,0), GF =(-10,-6,8).令平面EFGH的法向量為m = (x, y,1) , AF與面二所成的角為V ,m GH= 0由JmGF=O得：丿-IOx =10 x 6y +8 = OX = O44 ,故 m = (0, ,1)y33因此，Sin 日=CoSC m, AFm_AF Mm AF 15(本小題滿分12分)已知橢圓C : 9x2 y2 = m2(m 0),直線丨不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，丨與C有 兩個交點A , B ,線段AB的中點為M

29、 .(I)證明：直線 OM的斜率與丨的斜率的乘積為定值；()若丨過點(m,m),延長線段OM與C交于點P ,四邊形OAPB能否為平行四邊3形？若能，求此時丨的斜率；若不能，說明理由.同時還考查解析：本題考查直線與橢圓的綜合問題與代數(shù)計算解決幾何問題的解析法思想, 分析、推理、計算能力與數(shù)形結(jié)合的能力(I)設(shè)直線 l : y =kx b k = ,b = , A x“ , B x?, y? , M Xm , yM .將 y = kx b 代入 9x2 y2 = m2 得 k29 x2 2kbx b2m2 = ,故XMx1x22-kb1 I 9b嚴(yán),YM =kxM廠嚴(yán)于是直線OM的斜率kM =如X

30、M9,即 koM k = -9.k所以直線OM的斜率與丨的斜率的乘積為定值()四邊形 OAPB能為平行四邊形因為直線l過點3，m,所以丨不過原點且與 C有兩個交點的充要條件是 k , k = 3.由(I)得OM的方程為9yy設(shè)點P的橫坐標(biāo)為p .k2m2二kmk!，即 XPD 29一_9由y kX得XP =k k - 3 m3 k2 9 9x2 y2 = m2將點 m,m的坐標(biāo)代入丨的方程得 mk ,因此XM13丿3四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段 AB與線段OP互相平分，即x 2XM .-km =2 k k -3 m3*k293 k2 9因為ki 0,k3,i =1,2 ,所以當(dāng)l的斜率為4 - 7或4,7時，四邊形OAPB為平行四 邊形.(本小題滿分12