廣東省五校(東莞中學(xué)、惠州一中、深圳實(shí)驗(yàn)、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)等)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

東莞中學(xué)、惠州一中、深圳實(shí)驗(yàn)、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)2027屆高一下學(xué)期五校聯(lián)考試題數(shù)學(xué)2025.5本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為A. B. C.4 D.123.已知，為空間中不重合的直線，，，為空間中三個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，則4.在平面直角坐標(biāo)系中，角，的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，它們的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱.若，則的最小值為A. B. C. D.5.已知正四棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，側(cè)棱長(zhǎng)為，則此正四棱臺(tái)的體積為A. B. C. D.6.如圖所示，某同學(xué)為了測(cè)量某塔高度，在塔對(duì)面筆直的臨江大道上的三點(diǎn)，，處測(cè)得其頂點(diǎn)的仰角分別為，，（即點(diǎn)，，為水平地面上共線的三點(diǎn)），且米，則該塔的高度（）米A. B. C. D.7.在中，，，，，則的值為A. B. C. D.8.如圖，圓錐的底面直徑為2，高為4，過線段上的一點(diǎn)作平行于底面的截面，以截面為底面挖出一個(gè)圓柱，則該圓柱表面積的最大值為A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，則下列說法正確的是A.若，則B.若，則為等腰三角形C.若，則是鈍角三角形D.若，，，則有且僅有一個(gè)解10.已知復(fù)數(shù)的虛部大于0，且滿足，，則A. B. C. D.11.在正方體中，，為中點(diǎn)，以為球心的球的半徑為，則下列說法正確的是A.當(dāng)時(shí)，球的球面與該正方體的面沒有公共點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，球的球面與該正方體的棱有12個(gè)公共點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，球的球面與該正方體的棱共有24個(gè)公共點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，該正方體的表面被球截得的所有弧長(zhǎng)之和為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)________.13.已知銳角，滿足，則式子的取值范圍為________.14.某同學(xué)癡迷數(shù)學(xué)，于夢(mèng)中夢(mèng)到一神奇多面體，其可由兩個(gè)正交的全等正四面體組合而成（每一個(gè)四面體的各個(gè)面都過另一個(gè)四面體的三條共點(diǎn)的棱的中點(diǎn)）.如圖，若正四面體棱長(zhǎng)為2則該組合體的表面積為________；該組合體的外接球體積與兩正交四面體公共部分的內(nèi)切球體積的比值為________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟.15.（滿分13分）已知向量，，且滿足.（I）求的值；（II）若，求的值.16.（滿分15分）如圖，直三棱柱的體積為4，是的中點(diǎn).（I）求證：平面；（II）若的面積為，求點(diǎn)到平面的距離.17.（滿分15分）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，.（I）求的面積；（II）若，求的值.18.（滿分17分）在長(zhǎng)方體中，，，，，，，分別為，，，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（II）點(diǎn)在矩形內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，若平面，求運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度；（III）點(diǎn)在矩形內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，若直線平面，求的最小值.19.（滿分17分）設(shè)次多項(xiàng)式，若其滿足，則稱這些多項(xiàng)式為切比雪夫多項(xiàng)式.例如：由可得切比雪夫多項(xiàng)式.；由可得切比雪夫多項(xiàng)式.（I）求切比雪夫多項(xiàng)式；（II）請(qǐng)利用求的值.（III）若在內(nèi)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，求的值.

五校聯(lián)考數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)答案及評(píng)分細(xì)則一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.題號(hào)12345678答案ABDCACAB二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.題號(hào)91011答案ABABDBCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.題號(hào)121314答案（2分）27（3分）四、解答題：本題共5小題，共77分.15.（滿分13分）解：（1）法一：由，得 2分因?yàn)?4分所以，解得為所求. 6分法二：由 1分得 4分兩邊平方得. 5分所以為所求. 6分（2）由（1）知. 7分因?yàn)? 8分所以. 9分所以解得，. 11分所以為所求. 13分16.（滿分15分）解：（I）證明：連接，交于點(diǎn)，連接 1分因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn). 2分所以是的中位線. 3分所以 4分因?yàn)槠矫妫矫?6分所以平面. 7分（II）設(shè)的面積為，棱長(zhǎng)的長(zhǎng)度為，到平面的距離為因?yàn)橹比庵捏w積. 8分因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)所以的面積為 9分所以三棱錐的體積 11分因?yàn)榈拿娣e為所以由得 13分，解得.所以到平面的距離為 15分17.（滿分15分）解：（I）由，得所以 1分由正弦定理，，得所以由，得 3分所以 4分由，得 5分所以的面積 6分（II）由余弦定理得 7分化簡(jiǎn)得 8分方法一：邊運(yùn)算設(shè)的外接圓的半徑為由正弦定理得，，所以，解得所以 10分所以 11分所以 12分所以 13分由，得 14分所以 15分方法二：邊運(yùn)算由正弦定理，得 10分所以 11分所以 12分所以 13分由，得 14分所以 15分方法三：角運(yùn)算由（I）知，所以化簡(jiǎn)得 8分因?yàn)?10分所以 13分由，得 14分所以由正弦定理得 15分18.（滿分17分）解：（I）證明：連接和因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)所以是的中位線所以 1分在長(zhǎng)方體中，所以四邊形是平行四邊形所以 2分所以 3分所以，，，四點(diǎn)共面，即平面得證. 4分（II）取線段的中點(diǎn)，連接在中，，分別是，的中點(diǎn)所以是的中位線，即同理可證在長(zhǎng)方體中，因?yàn)樗?，即，，，四點(diǎn)共面 6分法一：性質(zhì)定理因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面所?7分所以點(diǎn)的軌跡是線段（不含兩個(gè)端點(diǎn)）由，得運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為. 8分法二：客觀事實(shí)因?yàn)槠矫?，平面，且平面平面所?7分所以點(diǎn)的軌跡是線段（不含兩個(gè)端點(diǎn)）由，得運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為. 8分（III）連接，，由，分別為，的中點(diǎn)，得是的中位線，所以因?yàn)槠矫?，平面所以平?9分在長(zhǎng)方體中，所以四邊形是平行四邊形所以因?yàn)槠矫?，平面所以平?10分因?yàn)?，平面，所以平面平?11分所以當(dāng)時(shí)，由平面，得平面即點(diǎn)的軌跡是線段（不含兩個(gè)端點(diǎn)） 13分如圖所示，將沿翻折與在同一平面要使最小，只需，，三點(diǎn)共線，此時(shí)最小值為線段的長(zhǎng)度在長(zhǎng)方體中，，，，，設(shè)，在中，由余弦定理得，由得在中，，所以在中，由余弦定理得所以的最小值為. 17分19.（滿分17分）解：（I）因?yàn)?1分 2分 3分所以切比雪夫多項(xiàng)式為所求.