電工電子技術(shù)課件：第三十一講 邏輯代數(shù)基本關(guān)系

1、電工電子技術(shù)第三十一講主要內(nèi)容：1.邏輯代數(shù)基本關(guān)系2.公式化簡法3.卡諾圖化簡法4.2.5邏輯代數(shù) 邏輯代數(shù)（又稱布爾代數(shù)），它是分析設(shè)計(jì)邏輯電路的數(shù)學(xué)工具。雖然它和普通代數(shù)一樣也用字母表示變量，但變量的取值只有“0”，“1”兩種，分別稱為邏輯“0”和邏輯“1”。這里“0”和“1”并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種相互對立的邏輯狀態(tài)。 邏輯代數(shù)所表示的是邏輯關(guān)系，而不是數(shù)量關(guān)系。這是它與普通代數(shù)的本質(zhì)區(qū)別。1. 常量與變量的關(guān)系一、 邏輯代數(shù)運(yùn)算法則2. 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算法則自等律0-1律重疊律還原律互補(bǔ)律交換律2. 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算法則普通代數(shù)不適用！證:結(jié)合律分配律A+1=1 A A=

2、A.110011111100反演律列狀態(tài)表證明：AB00011011111001000000吸收律(1) A+AB = A (2) A(A+B) = A證明：A+AB = A（3）（4）（5）（6）二、 邏輯函數(shù)的表示方法表示方法邏輯式邏輯狀態(tài)表邏輯圖卡諾圖下面舉例說明這四種表示方法。例：有一T形走廊，在相會處有一路燈，在進(jìn)入走廊的A、B、C三地各有控制開關(guān)，都能獨(dú)立進(jìn)行控制。任意閉合一個(gè)開關(guān)，燈亮；任意閉合兩個(gè)開關(guān)，燈滅；三個(gè)開關(guān)同時(shí)閉合，燈亮。設(shè)A、B、C代表三個(gè)開關(guān)（輸入變量）；Y代表燈（輸出變量）。 1. 列邏輯狀態(tài)表設(shè)：開關(guān)閉合其狀態(tài)為“1”，斷開為“0”燈亮狀態(tài)為“1”，燈滅為“0

3、”用輸入、輸出變量的邏輯狀態(tài)（“1”或“0”）以表格形式來表示邏輯函數(shù)。三輸入變量有八種組合狀態(tài)n輸入變量有2n種組合狀態(tài) 0 0 0 0 A B C Y0 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1 2. 邏輯式取 Y=“1”( 或Y=“0” ) 列邏輯式取 Y = “1” 用“與”“或”“非”等運(yùn)算來表達(dá)邏輯函數(shù)的表達(dá)式。(1)由邏輯狀態(tài)表寫出邏輯式對應(yīng)于Y=1，若輸入變量為“1”，則取輸入變量本身(如 A )；若輸入變量為“0”則取其反變量(如 A )。一種組合中，輸入變量之間是“與”關(guān)系， 0 0 0 0 A B C Y0 0 1 1

4、0 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1各組合之間是“或”關(guān)系 2. 邏輯式反之，也可由邏輯式列出狀態(tài)表。 0 0 0 0 A B C Y0 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1 最小項(xiàng) 在n變量的邏輯函數(shù)中，若m為包含n個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且這n個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項(xiàng)。 n變量的最小項(xiàng)應(yīng)有2n個(gè)。 輸入變量的每一組取值都使一個(gè)對應(yīng)的最小項(xiàng)值為等于1。 3. 邏輯圖YCBA&1CBAA B CA B CA B CA B CABCCBACBACBAY

5、+=邏輯表達(dá)式和邏輯圖可以相互推到出來例1：化簡應(yīng)用邏輯代數(shù)運(yùn)算法則化簡（1）并項(xiàng)法例2：化簡（2）配項(xiàng)法同一邏輯關(guān)系可以用不同的表達(dá)式描述，哪個(gè)最簡單？具有相鄰性具有相鄰性吸收律例3：化簡（3）加項(xiàng)法（4）吸收法吸收例4：化簡例5：化簡吸收吸收吸收吸收應(yīng)用卡諾圖化簡卡諾圖:是與變量的最小項(xiàng)對應(yīng)的按一定規(guī)則排列的方格圖，每一小方格填入一個(gè)最小項(xiàng)。（1）最小項(xiàng)： 對于n輸入變量有2n種組合, 其相應(yīng)的乘積項(xiàng)也有2n個(gè)，則每一個(gè)乘積項(xiàng)就稱為一個(gè)最小項(xiàng)。其特點(diǎn)是每個(gè)輸入變量均在其中以原變量和反變量形式出現(xiàn)一次，且僅一次。如：3個(gè)變量，有8種組合，最小項(xiàng)就是8個(gè)，卡諾圖也相應(yīng)有8個(gè)小方格。在卡諾圖的行

6、和列分別標(biāo)出變量及其狀態(tài)。4.3.1 邏輯函數(shù)的化簡 (2) 卡諾圖BA0101二變量BCA0010011110三變量下腳標(biāo)：二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)編號AB00011110CD00011110四變量任意兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)之間只有一個(gè)變量改變( 2)卡諾圖（a)根據(jù)狀態(tài)表畫出卡諾圖如:ABC00100111101111將輸出變量為“1”的填入對應(yīng)的小方格,為“0”的可不填。 0 0 0 0 A B C Y0 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1( 2)卡諾圖（b)根據(jù)邏輯式畫出卡諾圖ABC00100111101111將邏輯式中的最小項(xiàng)分別用“

7、1”填入對應(yīng)的小方格。如:注意：如果邏輯式不是由最小項(xiàng)構(gòu)成，一般應(yīng)先化為最小項(xiàng)，或按例7方法填寫。( 3)應(yīng)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)ABC00100111101111例6.用卡諾圖表示并化簡。解：(a)將取值為“1”的相鄰小方格圈成圈，步驟1.卡諾圖2.合并最小項(xiàng)3.寫出最簡“與或”邏輯式(b)所圈取值為“1”的相鄰小方格的個(gè)數(shù)應(yīng)為2n，(n=0,1,2)( 3)應(yīng)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)ABC00100111101111解：三個(gè)圈最小項(xiàng)分別為：合并最小項(xiàng)寫出簡化邏輯式卡諾圖化簡法：保留一個(gè)圈內(nèi)最小項(xiàng)的相同變量，而消去相反變量。00ABC100111101111解：寫出簡化邏輯式多余AB0001111

8、0CD000111101111相鄰例6. 應(yīng)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)(1)(2)解：寫出簡化邏輯式AB00011110CD000111101例7. 應(yīng)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)111111111 含A均填“1”注意：1.圈的個(gè)數(shù)應(yīng)最少2.每個(gè)“圈”要最大3.每個(gè)“圈”至少要包含一個(gè)未被圈過的最小項(xiàng)。邏輯化簡的功能： 1.對已知邏輯圖的分析，簡化輸出表達(dá)式以得到真值表，確定邏輯功能。 2.對已知邏輯功能，通過真值表得到表達(dá)式，化簡表達(dá)式可得到簡化功能電路。例：分析下圖的邏輯功能 (1) 寫出邏輯表達(dá)式Y(jié) = Y2 Y3= A AB B AB.A B.A B.A.A BBY1.AB&YY3Y2.(2) 應(yīng)用邏輯代數(shù)化簡Y = A AB B AB. = A AB +B AB.= AB +AB反演律 = A (A+B) +B (A+B).反演律 = A AB +B AB. (3) 列邏輯狀態(tài)表ABY001 10011