彈性力學(xué)-第三章ppt課件

1、第三節(jié) 位移分量的求出第四節(jié) 簡(jiǎn)支梁受均布荷載第五節(jié) 楔形體受重力和液體壓力例題第一節(jié) 逆解法與半逆解法 多項(xiàng)式解答第二節(jié) 矩形梁的純彎曲第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答31 逆解法和半逆解法 多項(xiàng)式解法當(dāng)體力為常量，按應(yīng)力函數(shù) 求解平面應(yīng)力問題時(shí)， 應(yīng)滿足 按 求解 多連體中的位移單值條件。 (c) S = 上應(yīng)力邊界條件, A內(nèi)相容方程 對(duì)于單連體，(c)通常是自然滿足的。只須滿足(a),(b)。 由 求應(yīng)力的公式是(d)2 .逆解法 (Inverse method) 先滿足(a),再滿足(b)。步驟:(e)逆解法 先找出滿足 的解 在給定邊界形狀S下，由式(b)反推出 各邊界上的面力， 代

2、入(d), 求出 從而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和應(yīng)力。 逆解法 逆解法沒有針對(duì)性，但可以積累基本解答。例1逆解法 設(shè)圖中所示的矩形長(zhǎng)梁，l h，試考察應(yīng)力函數(shù) 能解決什么樣的受力問題？yxol h/2 h/2 ( l h)解：按逆解法。 1. 將 代入相容方程，可見 是滿足的。 有可能成為該問題的解。 2. 由 求出應(yīng)力分量 因此，在 的邊界面上，無任何面力作用，即 3. 由邊界形狀和應(yīng)力分量反推邊界上的面力。 在主要邊界（大邊界） 上， xy h/2 h/2l在x = 0，l的次要邊界（小邊界）上，xy h/2 h/2l 在x = 0,l 小邊界上的面力 如下圖中(a) 所

3、示，而其主矢量和主矩如(b)所示。 (a)(b)FFM=Fl 由此，可得出結(jié)論：上述應(yīng)力函數(shù)可以解決懸臂梁在 x = 0 處受集中力F作用的問題。F例3 二次式 ，分別表示常量 的應(yīng)力和邊界面力。如圖示。例2 一次式 對(duì)應(yīng)于無體力， 無面力，無應(yīng)力狀態(tài)。故應(yīng)力函數(shù)加減 一次式，不影響應(yīng)力。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c對(duì)于圖示1/4圓薄板，試考察應(yīng)力函數(shù) 能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫出邊界面上的面力分量（弧面上用法向和切向表示）作 業(yè) 代入 ，解出 ；3.半逆解法(Semi-inverse method) 步驟：半逆解法 由應(yīng)力(d)式，推測(cè) 的函數(shù)形式；

4、假設(shè)應(yīng)力的函數(shù)形式（根據(jù)受力情況，邊界條件等）；(d) 由式（d），求出應(yīng)力；半逆解法 校核全部應(yīng)力邊界條件（對(duì)于多連體， 還須滿足位移單值條件）。 如能滿足，則為正確解答；否則修改假設(shè)，重新求解。思考題半逆解法1. 在單連體中，應(yīng)力函數(shù)必須滿足哪些條件？逆解法和半逆解法是如何滿足這些條件的？2. 試比較逆解法和半逆解法的區(qū)別。半逆解法解題的基本步驟逆解法解題的基本步驟單連體3-2 矩形梁的純彎曲 梁lh1，無體力，只受M作用（力矩/單寬，與力的量綱相同）。本題屬于純彎曲(Pure bending)問題。 問題提出 h/2 h/2lyx ( l h)oMM 由逆解法得出，可取 ，且滿足 求應(yīng)力

5、 (a) 求解步驟： 本題是平面應(yīng)力問題,且為單連體，若按 求解， 應(yīng)滿足相容方程及 上的應(yīng)力邊界條件。 檢驗(yàn)應(yīng)力邊界條件，原則是: 邊界條件 b.后校核次要邊界（小邊界），若不能精確滿足應(yīng)力邊界條件，則應(yīng)用圣維南原理，用積分的應(yīng)力邊界條件代替。 a.先校核主要邊界（大邊界），必須精確滿足應(yīng)力邊界條件。主要邊界 從式(a)可見，邊界條件(b)均滿足。滿足。次要邊界 x=0, l,(c)主要邊界 h/2 h/2lyxoMM次要邊界用兩個(gè)積分的條件代替 主要邊界 h/2 h/2lyxoMM 的邊界條件無法精確滿足。次要邊界 x=0, l, 當(dāng) 時(shí)，即使在 邊界上面力不同于 的分布，其誤差僅影響梁的

6、兩端部分上的應(yīng)力。式(d)的第一式自然滿足，由第二式得出最終得應(yīng)力解(e) 如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程已經(jīng)滿足，且除了最后一個(gè)小邊界外，其余的應(yīng)力邊界條件也都分別滿足。則我們可以推論出，最后一個(gè)小邊界上的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）必然是滿足的，因此可以不必進(jìn)行校核。試對(duì)此結(jié)論加以說明。思考題3-3 位移分量的求出 在按應(yīng)力求解中，若已得出應(yīng)力，如何求出位移？以純彎曲問題為例，已知試求解其位移。問題提出1. 由物理方程求形變求形變2. 代入幾何方程求位移求位移 對(duì)式(a)兩邊乘 積分, 對(duì)式(b)兩邊乘 積分 , 求位移 再代入(c) , 并分開變量， 上式對(duì)任意的 x , y

7、 都必須成立，故兩邊都必須為同一常量 。求位移由此解出求位移得出位移為3.待定的剛體位移分量 ，須由邊界約束條件來確定。由邊界約束條件來確定剛體位移分量 ，Simply supported beamCantilever beam？2.代入幾何方程，積分求 ； 歸納：從應(yīng)力求位移步驟：3.由邊界約束條件確定確定剛體位移分量由物理方程求出形變；2. 鉛直線的轉(zhuǎn)角 故在任一截面x 處，平面截面假設(shè)成立。純彎曲問題的討論：1. 彎應(yīng)力 與材料力學(xué)的解相同。3.縱向纖維的曲率 同材料力學(xué)的結(jié) 果。故在純彎曲情況下，彈性力學(xué)解與材料力 學(xué)解相同。 思考題2. 試證明剛體位移 實(shí)際上表示彈性體中 原點(diǎn)的平移

8、和轉(zhuǎn)動(dòng)分量，并應(yīng)用本節(jié)的解答加以 驗(yàn)證。 提示：微分體的轉(zhuǎn)動(dòng)分量為彈性力學(xué)中關(guān)于純彎曲梁的解答，與材料力學(xué) 的解答在應(yīng)力、形變等方面完全 一致。由此 是否可以說在純彎曲情況下材料力學(xué)中的平截 面假設(shè)成立？3-4 簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁 ，受均布荷載 及兩端支撐反力 。問題yxoll h/2 h/2現(xiàn)采用此假設(shè)。按半逆解法求解。 假設(shè)應(yīng)力分量。由材料力學(xué)因?yàn)橐驗(yàn)樗?，可假設(shè)所以，可假設(shè)因?yàn)樗?，可假設(shè)yxoll 由應(yīng)力分量推出應(yīng)力函數(shù)的形式。由對(duì) x 積分，對(duì)x再積分，(a)半逆解法 將 代入相容方程，求解 :相容方程對(duì)于任何 均應(yīng)滿足,故的系數(shù)均應(yīng)等于0，由此得三個(gè)常微分方程。半逆解法式(b)

9、中已略去對(duì)于 的一次式。將式(b)代入式(a)，即得 。(b)半逆解法解出: 對(duì)稱性條件由于結(jié)構(gòu)和荷載對(duì)稱于 軸，故 應(yīng)為 的偶函數(shù)， 為 x的奇函數(shù)，故 。 由 求應(yīng)力。半逆解法 在無體力下，應(yīng)力公式如書中式( f ), (g),(h)所示。yxoll 考察邊界條件。由此解出系數(shù)A , B , C , D 。 主要邊界主要邊界yxoll次要邊界次要邊界由此解出H，K.另一次要邊界(x= -l )的條件，自然滿足。應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分條件，yxoll不滿足最后應(yīng)力解答：應(yīng)力應(yīng)力的量級(jí)當(dāng) 時(shí), x l 同階， y h 同階. 第一項(xiàng) 同階,（與材料力學(xué)解同）;第二項(xiàng) 同階, （彈性力學(xué)的

10、修正項(xiàng)）應(yīng)力的量級(jí)應(yīng)力的量級(jí)當(dāng) 時(shí), x l 同階， y h 同階.同階, （與材料力學(xué)解同）應(yīng)力的量級(jí)同階, （材料力學(xué)中不計(jì)）當(dāng) 時(shí), 量級(jí)的值很小,可以不計(jì)。應(yīng)力與材料力學(xué)解比較:最主要量級(jí) , 和次要量級(jí) ,在材料力學(xué)中均已反映，且與彈性力學(xué)相同。最小量級(jí) , 在材料力學(xué)中沒有。 當(dāng) 時(shí), 僅占主項(xiàng) 的1/15 ( 6 %) ,應(yīng)力比較中的彈性力學(xué)修正項(xiàng)：彈性力學(xué)與材料力學(xué)的解法比較:應(yīng)力比較 彈性力學(xué)嚴(yán)格考慮并滿足了A內(nèi)的平衡微分方程 ,幾何方程和物理方程,以及S上的所有邊界條件(在小邊界上盡管應(yīng)用了圣維南原理,但只影響小邊界附近的局部區(qū)域)。 材料力學(xué)在許多方面都作了近似處理,所以

11、得出的是近似解答。幾何條件中引用平截面假定 沿 為直線分布；例如：邊界條件也沒有嚴(yán)格考慮；平衡條件中沒有考慮微分體的平衡，只 考慮 的內(nèi)力平衡；材料力學(xué)解往往不滿足相容條件。 對(duì)于桿件，材料力學(xué)解法及解答具有足夠的精度； 對(duì)于非桿件，不能用材料力學(xué)解法求解，應(yīng)采用彈性力學(xué)解法求解。當(dāng)問題中的y軸為對(duì)稱軸時(shí)，試說明 和 應(yīng)為x的偶函數(shù)，而 應(yīng)為x的奇函數(shù)。思考題對(duì)于梁的彎曲問題，試回憶在材料力學(xué) 中是如何考慮平衡條件的？ 3. 試說明從彈性力學(xué)得出的解答（3-6）不 符合平面截面假設(shè)。 4. 材料力學(xué)的解答往往不滿足相容條件， 為什么？3-5 楔形體受重力及液體壓力 設(shè)有楔形體，左面垂直，頂角為

12、，下端無限長(zhǎng)，受重力及齊頂液體壓力。oyxn用半逆解法求解。因?yàn)閼?yīng)力 , 而應(yīng)力的量綱只比高一次（L），所以應(yīng)力 (x , y 一次式）,= 即可假設(shè)應(yīng)力為x , y 的一次式。（1）用量綱分析法假設(shè)應(yīng)力:（2）由應(yīng)力 關(guān)系式， 應(yīng)為x,y的三次式，（3） 滿足相容方程（4）由 求應(yīng)力，（5）考察邊界條件-本題只有兩個(gè)大邊 界，均應(yīng)嚴(yán)格滿足應(yīng)力邊界條件。 x=0 鉛直面，解出解出斜邊界上，須按一般的應(yīng)力邊界條件來表示，有其中由式（b)解出a、b,最后的應(yīng)力解答,應(yīng)力水平截面上的應(yīng)力分布如圖所示。楔形體解答的應(yīng)用: 作為重力壩的參考解答； 分縫重力壩接近平面應(yīng)力問題； 在壩體中部的應(yīng)力，接近楔形

13、體的解答。 重力壩規(guī)范規(guī)定的解法 材料力學(xué)解法（重力法）. 重力壩的精確分析，可按有限單元法進(jìn)行。思考題 重力法是按應(yīng)力求解的，試回憶應(yīng)力分量 必須滿足哪些條件？在重力法中考慮了哪些條件？第三章例題例題1例題2例題3例題4例題8例題7例題6例題5圖3-5ydyyxl h/2 h/2o例題1設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不計(jì),圖3-5，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。解： 本題是較典型的例題，已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù) ，可按下列步驟求解。1. 將 代入相容方程，顯然是滿足的。2. 將 代入式(2-24)，求出應(yīng)力分量?？疾爝吔鐥l件： 主要邊界 上應(yīng)精確滿足式(2-15), h/2

14、h/2lxy 在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的邊界條件代替。注意x=0是負(fù)x面，圖3-5中表示了負(fù)x面上的 的正方向，由此得： h/2 h/2lxy由(a),(b) 解出 最后一個(gè)次要邊界條件(x=l上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。代入應(yīng)力公式，得例題2 擋水墻的密度為 ，厚度為b,圖示,水的密度為 ，試求應(yīng)力分量。yox解：用半逆解法求解。假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。 因?yàn)樵?y=-b/2邊界上， y=b/2 邊界上， ，所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi) 沿x 向 也是一次式變化，即 2. 按應(yīng)力函數(shù)的形式，由 推測(cè)

15、的形式，所以3. 由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。代入 得要使上式在任意的x處都成立，必須 代入 ，即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中已略去了與應(yīng)力無關(guān)的一次式。 4. 由應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。將 代入式(2-24) ,注意 ， 體力求得應(yīng)力分量為考察邊界條件：主要邊界 上,有得得得yox由上式得到求解各系數(shù)，由得得得得由此得又有代入A,得在次要邊界（小邊界）x=0上，列出三個(gè)積分的邊界條件：由式(g),(h)解出yox代入應(yīng)力分量的表達(dá)式得最后的應(yīng)力解答：例題3已知試問它們能否作為平面問題的應(yīng)力函數(shù)？解： 作為應(yīng)力函數(shù)，必須首先滿足相容方程，將 代入，(a) 其中A= 0，才可能成為應(yīng)力函數(shù)；(b)必須滿足 3

16、(A+E)+C=0,才可能成為應(yīng)力函數(shù)。bbAyxhOFFb/2圖中所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力F和力矩 的作用，試用應(yīng)力函數(shù)例題4求解圖示問題的應(yīng)力及位移，設(shè)在A點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角均為零。解：應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解：(1) 校核 相容方程 ，滿足.(2) 求應(yīng)力分量 ，在無體力時(shí)，得(3) 考察主要邊界條件，均已滿足bbAyxhOFFb/2考察次要邊界條件，在y=0上，滿足。得得bbAyxhOFFb/2 上述應(yīng)力已滿足了 和全部邊界條件，因而是上述問題的解。代入，得應(yīng)力的解答，(4) 求應(yīng)變分量，(5) 求位移分量，將u,v代入幾何方程的第三式，兩邊分離變量，并全都等于 常數(shù)，即從上式分別積分

17、，求出代入u,v, 得再由剛體約束條件，得得得bbAyxhOFFb/2代入u,v,得到位移分量的解答在頂點(diǎn)x=y=0，例題5 圖中矩形截面的簡(jiǎn)支梁上，作用有三角形分布荷載。試用下列應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。yxo h/2 h/2l 解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解：(1) 將 代入相容方程，由此，(2) 代入應(yīng)力公式，在無體力下，得(3) 考察主要邊界條件yxo h/2 h/2l對(duì)于任意的x值，上式均滿足，由此得(a)(b)(c)(d)yxo h/2 h/2l由(3)+(4)得由(3)-(4)得由(5)-(1)得(e)(4) 考察小邊界上的邊界條件(x=0),由得由式(2)和(6)解出（f）yxo h/2 h/2l另兩個(gè)積分的邊界條件，顯然是滿足的。yxo h/2 h/2l 于是將各系數(shù)代入應(yīng)力表達(dá)式，得最后的應(yīng)力解答。 讀者試校核在x=l的小邊界上，下列條件是滿足的，例題6矩形截面的柱體受到頂部的集中力 和力矩M的作用，不計(jì)體力，試用應(yīng)力函數(shù)求解其