廣州市海珠區(qū)高二下學期期末聯考數學(理)試題

1、廣州市海珠區(qū)高二下學期期末聯考數學（理）試題海珠區(qū)2013-2014學年下學期期末聯考試題 高二數學本試卷共4頁，20小題，滿分150分.考試用時12吩 鐘.注意事項：.答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己 的學校、班級、姓名、考室號、座位號填寫在答題卡 上；填寫考生編號，并用2B鉛筆把對應號碼的標號涂 黑。.選擇題每小題選出答案后，用 2B鉛筆把答題卡對應題 目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再 選涂其他答案，不能答在試卷上。.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案 必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內的相應位置上；如 需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案； 不

2、準使用鉛筆和涂改液。不按要求作答的答案無效。.考生必須保持答題卡的整潔，考試結束，將答題卡交 回監(jiān)考老師，試卷自己保管。.本次考試不允許使用計算器。選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求 的.1.下列求與運算正確的是A. sin x cosxB.cosx sin xD.已知a是實數,i是純實數，則a等于A. 2B.C.D.已知向量(3,1,2), b(x, y, 4),且 a /b,則 xA. 8B.C.D.已知橢圓21（a 0）與雙曲線人41有相同的焦點，則a的值為（）B.,10C.10D.4.設集合M xx 3 ,Nx x(x 3)

3、,那么aeM”是a匕N” 的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件6.在高臺跳水運動，運動員相對于水面的高度h （單位：m）與起跳后的時間t （單位：s）存在函數關系h（t）4.9t2 6.5t10,則瞬時速度為1m/s的時刻是（）A. 55s98B.65 s98C.55 -s49D.65一 s49“薦2 1 加x 1”.下列選項中，說法正確的是（A.命題“若x2 1,則x 1 ”的否命陋: .命題“我m2 bm2,則a b ”的逆命眥真命題.C.命題 “x R,x2 x 1 0” 的否混：a R,x02 x0 1 0”. ID.命題“若x y ,

4、則cosx cosy ”的逆否命題為真命題. 228.拋物線y2 2x的焦點為F ,其準線經過雙曲線與41（a 0,b 0）的左頂點，點 a bM為這兩條曲線的一個交點，且|MF|2,則雙曲線的離心率為（ TOC o 1-5 h z A. 10 B. 2 C.5 D.522二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分.、-3 c.止積分 x dx =.0.在二項式（2x1）6的展開式中，含x2項的系數是.x.從5本不同的書中選3本送給3名同學，每人各1本，則不同的送法有 種.（用數字作答）第13題.已知隨機變量X的分布列是X012Pt0.4t則DX .右圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱

5、頂離水面2米，水4米，水位上升1米后，水面寬 米.若等差數列an的公差為d,前n項和為S.則數列 盤 為等差數列，公差為-.n2類似地，若正項等比數列 bn的公差為q,前n項和為工.則數列 式 為等比數列，公差為三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.(本小題滿分12分)在 ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且A、B、C成等差 數列，(I )求B的值；(H)若a、b、c成等比數列，求證：ABC為等邊三角形.(本小題滿分12分)已知函數f(x) x3 ax2 bx(a,b R)的圖像過點P(1,f (1),且在點P處的切線方程為y 8x

6、6.(I )求a,b的值；(n)求函數f(x)的單調區(qū)間.(本小題滿分14分)已知A盒中有2個紅球和2個黑球.B盒中有2個紅球和3個黑球，現從A盒與B盒中 各取一個球出來再放入對方盒中.(I )求A盒中有2個紅球的概率；(H )求A盒中紅球數 的分布列及數學期望.(本小題滿分14分)如圖，在等腰直角三角形 RBC中， RBC 90, RB BC 2 .點A、D分別是 PB, RC的中點，現將 RAD沿著邊AD折起到 PAD位置，使PA AB ,連結 PB , PC .(I )求證:BC PB ;(H)求二面角A CD P的平面角的余弦值.KAB第18題.(本小題滿分14分)在平面直角坐標系中，

7、直線l的方程為y1 ,過點A 0,1且與直線l相切的動圓的圓心為點M ,記點M得軌跡為曲線E.(I)求曲線E的方程;(H)若直線y kx 1與曲線E相交于B, C兩點，過B點作直線l的垂線，垂足為D, O為坐標原點，判斷D, O, C三點是否共線？并證明你的結論.(本小題滿分14分)已知函數f(x) xln x 1kx上方，求實數k的取值范(I )若x 0時，函數y f (x)的圖像包在直線圍;_111(H)證明：當時 n , ln(n 1) 一 一一2 3 4海珠區(qū)2013-2014學年下學期期末聯考參考答案及評分標準、選擇題（每小題5分，共8小題，共40分）題號12345678答案CBCD

8、BADA、填空題（每小題5分，共6小題，共30分） TOC o 1-5 h z 9.910. 24011.6012.0.6132 214.,q三、解答題（共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小題滿分12分）證明：（I ）由A、B、C成等差數列，有2B=A C ,2分因為A、B、C為ABC的內角，所以ABC ,3分B 一4 分3（H ）由a、b c成等比數列，b2 ac ,6分由余弦定理可得，b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac, 8分2.代入得 a c ac ac, IP a c =0 ,因此 a=c , 10分從而A=C ,由此可得，ABC-,

9、 11分3所以ABC為等邊三角形.12分16.（本小題滿分12分）解：（I） 丁點 P 在切線上，. f（1） 2.；a b 1.1 分又函數圖象在點P處的切線斜率為8,f8,2分又 f(x) 3x2 2ax b,3 分 2ab 5.解方程組，可得a 4, b 3 .(H)由(I )得 f(x) 3x2 8x 3,1 令f (x) 0解得x 3或x -31 由f(x) 0 ,可得x 3或x ;31 由 f(x) 0,可得 3 x -.3函數f (x)的單調增區(qū)間為(，3),(- 34分6分8分9分10分、一，一、,1八）,單調減區(qū)間為（3,-）. 12分3.（本小題滿分14分）解：（I） A盒

10、與B盒中各取一個球出來再放入對方盒中后,A盒中還有2個紅球有下面兩種情況:互換的是紅球，將該事件記為A,則:C4c5互換的是黑球，將該事件記為A2,則:A2c2c3c4c5310故A盒中有2個紅球的概率為A210(D)A盒中紅球數的所有可能取值為3.因而c2c3c4c513）； Pc2c2c4c512分的分布列為:123P311102513分 E31101910AB14分.（本小題滿分14分）解：（I）二點A、D分別是RB、RC的中點, TOC o 1-5 h z .AD/BC, 1分PA AD , ； PA BC ,2 分BC AB, PA AB A,3 分平面PAB.4分: PB 平面 P

11、AB ,. BC PB .5 分（n）法1:取RD的中點F ,連結AF、PF . 6分RA AD 1,； AF RC.: AP . AB, AP AD , AP 平面 RBC .8 分 TOC o 1-5 h z v RC 平面 RBC ,RC AP .9 分AF AP A, . RC 平面 PAF . 10 分PF 平面 PAF , . RC PF .11 分11 -22 2在 Rt/XRAD 中，AF -RD %,RA AD 一/AFP是二面角A CD P的平面角.12分222.22,6-在 RtA PAF 中，PF JPA AF - ,13 分2、2AF 。3而角A CD P的平面角，c

12、os AFP *.-14分PF_632建立如圖所示的空間直角坐標系(0, 0, 1).7 分法 2:由題意知 AP，AB,AP，AD, AB，AD ,則 D (-1, 0, 0) , C (-2, 1,0), P. DC= (1, 1, 0) , DP= (1, 0,8分設平面PCD的法向量為n- x,y,z ,1),則：9分1, 10 分11分 TOC o 1-5 h z n DC x y 0 h?n DP x z 0令 x 1 ,得 y 1,z n= (1, 1, -1).顯然，PA是平面ACD的一個法向量，PA= (0,0, 1).12分n PA 1,3 .cos=.13 分n| |PA

13、| V3 133而角A CD P的平面角的余弦值是 . 14分319.(本小題滿分14分)(I )解法1:由題意，點M到點A的距離等于它到直線l的距離,故點M的軌跡是以點A為焦點，l為準線的拋物線.2分曲線E的方程為x2 4y.分4解法2:設點M的坐標為x,y，依題意，得|MF |y 1 ,即 G y 1 2 y 1 ,2 分 化簡得x2 4y.曲線E的方程為x2 4y.分(H)答：D,O,C三點共線.5分證明：設點B,C的坐標分別為x1,y1 , x2,y2 ,6分依題意得，x2 4yi,x2 4y2. 7分由 y2 kx 1, 消去 y 得 x2 4kx 4 0,9 分解得肌4k 4s 2

14、k 2L.x 4y,2x1 x2 4k, x1x24. 1 分2X2直線OC的斜率k0c在4x2,12分x2 x24直線OD的斜率koD x2,13分x14 koc koD,故D,O,C三點共線. 14分 20.（本小題滿分14分）解：（I ）當x 0, 時，函數y f（x）的圖像包在直線y kx上方,等價于當x 0, 時，xlnx 1 kx恒成立，1分xln x 11即k ln x 一恒成立，2分xx111x1 一令 g x lnx,x 0, ，則 gx - 2- 3分xx x x1.當x 1, 時，g x 0,故gx In x 一在1,上遞增，x- .當x 0,1時，g x 0,故g x In x 在0,1上遞減，4分x，,1-x x 0, 時，g x g 115 分所以實數k的取值范圍是,16分（n）證明1（構造函數法）：. g 1為g x In x 一在區(qū)間0, 上的極小值，僅有一個極值點故為最小值，1由（1）知當 x 0 , x 1 時，xln x 1 x,即 ln x1一 8分x10分11分即得 ln(n 1) ln nln 2ln 11,ln 32ln2ln(n 1)In n12分ln(n1)(ln(n1)In n)(ln nln(n1)(ln2