時(shí)間序列分析模型課件 (2)

1、4-3-1 時(shí)間序列的基本概念一、時(shí)間序列1、含義：指被觀察到的依時(shí)間為序排列的數(shù)據(jù)序列。2、特點(diǎn)： （1）現(xiàn)實(shí)的、真實(shí)的一組數(shù)據(jù)，而不是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中做實(shí)驗(yàn)得到的。既然是真實(shí)的，它就是反映某一現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，因而，時(shí)間序列背后是某一現(xiàn)象的變化規(guī)律。 （2）動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)。2010年11月17日-2011年4月8日上證綜指二、時(shí)間序列分析 時(shí)間序列分析：是一種根據(jù)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)和規(guī)律的統(tǒng)計(jì)方法。其基本思想：根據(jù)系統(tǒng)的有限長(zhǎng)度的運(yùn)行記錄（觀察數(shù)據(jù)），建立能夠比較精確地反映序列中所包含的動(dòng)態(tài)依存關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，并借以對(duì)系統(tǒng)的未來進(jìn)行預(yù)報(bào)Wold分解定理（1938）對(duì)于任何一個(gè)離散平穩(wěn)過程 它都可以

2、分解為兩個(gè)不相關(guān)的平穩(wěn)序列之和，其中一個(gè)為確定性的，另一個(gè)為隨機(jī)性的，不妨記作 其中： 為確定性序列， 為隨機(jī)序列， 它們需要滿足如下條件 （1） （2） （3）確定性序列與隨機(jī)序列的定義對(duì)任意序列 而言，令 關(guān)于q期之前的序列值作線性回歸 其中 為回歸殘差序列， 。 確定性序列，若隨機(jī)序列，若三、確定性時(shí)間序列分析與隨機(jī)性時(shí)間序列分析:時(shí)間序列依據(jù)其特征，有以下幾種表現(xiàn)形式，并產(chǎn)生與之相適應(yīng)的分析方法：（1）長(zhǎng)期趨勢(shì)變化 受某種基本因素的影響，數(shù)據(jù)依時(shí)間變化時(shí)表現(xiàn)為一種確定傾向，它按某種規(guī)則穩(wěn)步地增長(zhǎng)或下降。 使用的分析方法有：移動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法、模型擬和法等；（2）季節(jié)性周期變化 受季

3、節(jié)更替等因素影響，序列依一固定周期規(guī)則性的變化，又稱商業(yè)循環(huán)。采用的方法：季節(jié)指數(shù)；（3）循環(huán)變化 周期不固定的波動(dòng)變化。(4)隨機(jī)性變化由許多不確定因素引起的序列變化。隨機(jī)性變化分析: AR、MA、ARMA模型 趨勢(shì)變化分析 確定性變化分析 周期變化分析 循環(huán)變化分析時(shí)間序列分析 隨機(jī)性變化分析: AR、MA、ARMA模型 Cramer分解定理（1961）任何一個(gè)時(shí)間序列 都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分是由多項(xiàng)式?jīng)Q定的確定性趨勢(shì)成分，另一部分是平穩(wěn)的零均值誤差成分，即確定性影響隨機(jī)性影響對(duì)兩個(gè)分解定理的理解Wold分解定理說明任何平穩(wěn)序列都可以分解為確定性序列和隨機(jī)序列之和。它是現(xiàn)代時(shí)

4、間序列分析理論的靈魂，是構(gòu)造ARMA模型擬合平穩(wěn)序列的理論基礎(chǔ)。Cramer 分解定理是Wold分解定理的理論推廣，它說明任何一個(gè)序列的波動(dòng)都可以視為同時(shí)受到了確定性影響和隨機(jī)性影響的綜合作用。平穩(wěn)序列要求這兩方面的影響都是穩(wěn)定的，而非平穩(wěn)序列產(chǎn)生的機(jī)理就在于它所受到的這兩方面的影響至少有一方面是不穩(wěn)定的。 確定性時(shí)序分析的目的克服其它因素的影響，單純測(cè)度出某一個(gè)確定性因素對(duì)序列的影響推斷出各種確定性因素彼此之間的相互作用關(guān)系及它們對(duì)序列的綜合影響4-3-2 時(shí)間序列趨勢(shì)分析目的有些時(shí)間序列具有非常顯著的趨勢(shì)，我們分析的目的就是要找到序列中的這種趨勢(shì)，并利用這種趨勢(shì)對(duì)序列的發(fā)展作出合理的預(yù)測(cè)

5、常用方法趨勢(shì)擬合法平滑法趨勢(shì)擬合法趨勢(shì)擬合法就是把時(shí)間作為自變量，相應(yīng)的序列觀察值作為因變量，建立序列值隨時(shí)間變化的回歸模型的方法 分類線性擬合非線性擬合線性擬合使用場(chǎng)合長(zhǎng)期趨勢(shì)呈現(xiàn)出線形特征模型結(jié)構(gòu)非線性擬合使用場(chǎng)合長(zhǎng)期趨勢(shì)呈現(xiàn)出非線形特征 參數(shù)估計(jì)指導(dǎo)思想能轉(zhuǎn)換成線性模型的都轉(zhuǎn)換成線性模型，用線性最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)實(shí)在不能轉(zhuǎn)換成線性的，就用迭代法進(jìn)行參數(shù)估計(jì) 常用非線性模型時(shí)間序列預(yù)測(cè)法 時(shí)間序列預(yù)測(cè)法可用于短期預(yù)測(cè)、中期預(yù)測(cè)和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。根據(jù)對(duì)資料分析方法的不同，又可分為：簡(jiǎn)單序時(shí)平均數(shù)法、加權(quán)序時(shí)平均數(shù)法平滑法 平滑法是進(jìn)行趨勢(shì)分析和預(yù)測(cè)時(shí)常用的一種方法。它是利用修勻技術(shù)，削弱短期隨

6、機(jī)波動(dòng)對(duì)序列的影響，使序列平滑化，從而顯示出長(zhǎng)期趨勢(shì)變化的規(guī)律簡(jiǎn)單平均數(shù)法 :也稱算術(shù)平均法。即把若干歷史時(shí)期的統(tǒng)計(jì)數(shù)值作為觀察值，求出算術(shù)平均數(shù)作為下期預(yù)測(cè)值。這種方法基于下列假設(shè)：“過去這樣，今后也將這樣”，把近期和遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)等同化和平均化，因此只能適用于事物變化不大的趨勢(shì)預(yù)測(cè)。如果事物呈現(xiàn)某種上升或下降的趨勢(shì)，就不宜采用此法。加權(quán)平均數(shù)法: 就是把各個(gè)時(shí)期的歷史數(shù)據(jù)按近期和遠(yuǎn)期影響程度進(jìn)行加權(quán)，求出平均值，作為下期預(yù)測(cè)值。移動(dòng)平均法基本思想假定在一個(gè)比較短的時(shí)間間隔里，序列值之間的差異主要是由隨機(jī)波動(dòng)造成的。根據(jù)這種假定，我們可以用一定時(shí)間間隔內(nèi)的平均值作為某一期的估計(jì)值 分類n期中心移動(dòng)

7、平均n期移動(dòng)平均移動(dòng)平均期數(shù)確定的原則事件的發(fā)展有無周期性以周期長(zhǎng)度作為移動(dòng)平均的間隔長(zhǎng)度 ，以消除周期效應(yīng)的影響對(duì)趨勢(shì)平滑的要求移動(dòng)平均的期數(shù)越多，擬合趨勢(shì)越平滑對(duì)趨勢(shì)反映近期變化敏感程度的要求 移動(dòng)平均的期數(shù)越少，擬合趨勢(shì)越敏感移動(dòng)平均預(yù)測(cè)比較：Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + + apYn-p = 4-3-4 隨機(jī)時(shí)間序列模型一、隨機(jī)時(shí)間序列模型 的基本概念及其適用性一、時(shí)間序列模型的基本概念 隨機(jī)時(shí)間序列模型（time series modeling）是指僅用它的過去值及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所建立起來的模型，其一般形式為 Yn=F(Yn-1, Yn-2, , n) 建立具體的時(shí)間序列模型，

8、需解決如下三個(gè)問題： (1)模型的具體形式 (2)時(shí)序變量的滯后期 (3)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的結(jié)構(gòu) 例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)（ n =n），模型將是一個(gè)1階自回歸過程AR(1)： Yn=aYn-1+ n這里， n特指一白噪聲。 一般的p階自回歸過程AR(p)是 Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + + apYn-p + n (*) (1)如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一個(gè)白噪聲(n=n)，則稱(1)式為一純AR(p)過程（pure AR(p) process），記為 Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + + apYn-p +n (2)如果n不是一個(gè)白噪聲，通常認(rèn)為它是一個(gè)q階的移動(dòng)平均（m

9、oving average）過程MA(q)： n=n - c1n-1 - c2n-2 - - cqn-q 該式給出了一個(gè)純MA(q)過程（pure MA(p) process）。 一般的p階自回歸過程AR(p)是 Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + + apYn-p + n (1) 將純AR(p)與純MA(q)結(jié)合，得到一個(gè)一般的自回歸移動(dòng)平均（aunoregressive moving average）過程ARMA（p,q）： Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + + apYn-p + n - c1n-1 - c2n-2 - - cqn-q 該式表明：（1）一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以通過一個(gè)

10、自回歸移動(dòng)平均過程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來解釋。（2）如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會(huì)隨著時(shí)間的推移而變化，那么我們就可以通過該序列過去的行為來預(yù)測(cè)未來。 這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的優(yōu)勢(shì)所在。 需要說明的是，在上述模型的平穩(wěn)性、識(shí)別與估計(jì)的討論中，ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項(xiàng)。 如果包含常數(shù)項(xiàng)，該常數(shù)項(xiàng)并不影響模型的原有性質(zhì)，因?yàn)橥ㄟ^適當(dāng)?shù)淖冃?，可將包含常?shù)項(xiàng)的模型轉(zhuǎn)換為不含常數(shù)項(xiàng)的模型。 下面以一般的ARMA(p,q)模型為例說明。 對(duì)含有常數(shù)項(xiàng)的模型 方程兩邊同減/(1-a1-ap)，則可得到 其中二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件 自回歸移

11、動(dòng)平均模型（ARMA）是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（AR）和移動(dòng)平均模型（MA）是它的特殊情況。 關(guān)于這幾類模型的研究，是時(shí)間序列分析的重點(diǎn)內(nèi)容：主要包括模型的平穩(wěn)性分析、模型的識(shí)別和模型的估計(jì)。 1、AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性，可通過它所生成的隨機(jī)時(shí)間序列的平穩(wěn)性來判斷。 如果一個(gè)p階自回歸模型AR(p)生成的時(shí)間序列是平穩(wěn)的，就說該AR(p)模型是平穩(wěn)的， 否則，就說該AR(p)模型是非平穩(wěn)的?？紤]p階自回歸模型AR(p) Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + + apYn-p +n 則稱多項(xiàng)式方程 (z)= (1-a1z- a2z2-apzp)

12、=0為AR(p)的特征方程(characnerisnic equanion)。 可以證明，如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于1），則AR(p)模型是平穩(wěn)的。 例4.3.1 AR(1)模型的平穩(wěn)性條件。對(duì)1階自回歸模型AR(1)方程兩邊平方再求數(shù)學(xué)期望，得到Xn的方差由于Yn僅與n相關(guān)，因此，E(Yn-1n)=0。如果該模型穩(wěn)定，則有E(Yn2)=E(Yn-12)，從而上式可變換為：在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負(fù)的常數(shù)，從而有 |a|1。 而AR(1)的特征方程的根為 z=1/a AR(1)穩(wěn)定，即 |a| 1，意味著特征根大于1。注意對(duì)比一下差分方程的穩(wěn)定性?差分方程的特征方程與特征根

13、?例6.3.2 AR(2)模型的平穩(wěn)性。 對(duì)AR(2)模型 方程兩邊同乘以Yn，再取期望得： 又由于于是 同樣地，由原式還可得到于是方差為 由平穩(wěn)性的定義，該方差必須是一不變的正數(shù)，于是有 a1+a21, a2-a11, |a2|1這就是AR(2)的平穩(wěn)性條件，或稱為平穩(wěn)域。它是一頂點(diǎn)分別為（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。 對(duì)應(yīng)的特征方程1-a1z-a2z2=0 的兩個(gè)根z1、z2滿足： z1z2=-1/a2 , z1+z2 =-a1/a2 AR(2)模型解出a1，a2由AR(2)的平穩(wěn)性，|a2|=1/|z1|z2|1，有于是| z2 |1。由 a2 - a1 1可推出同樣

14、的結(jié)果。 對(duì)高階自回模型AR(p)來說，多數(shù)情況下沒有必要直接計(jì)算其特征方程的特征根，但有一些有用的規(guī)則可用來檢驗(yàn)高階自回歸模型的穩(wěn)定性： (1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是： a1+a2+ap1 (2)由于ai(i=1,2,p)可正可負(fù)，AR(p)模型穩(wěn)定的充分條件是： |a1|+|a2|+|ap|1 對(duì)于移動(dòng)平均模型MR(q)： Yn=n - c1n-1 - c2n-2 - - cqn-q 其中n是一個(gè)白噪聲，于是 2、MA(q)模型的平穩(wěn)性 當(dāng)滯后期大于q時(shí)，Yn的自協(xié)方差系數(shù)為0。因此:有限階移動(dòng)平均模型總是平穩(wěn)的。 由于ARMA (p,q)模型是AR(p)模型與MA(q)模型的組合

15、：Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + + apYn-p + n - c1n-1 - c2n-2 - - cqn-q 3、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性 而MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此ARMA (p,q)模型的平穩(wěn)性取決于AR(p)部分的平穩(wěn)性。 當(dāng)AR(p)部分平穩(wěn)時(shí)，則該ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。 最后: （1）一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機(jī)過程或模型； （2）一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列通常可以通過差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對(duì)差分后平穩(wěn)的時(shí)間序列也可找出對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程或模型。 因此，如果我們將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然

16、后用一個(gè)平穩(wěn)的ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說該原始時(shí)間序列是一個(gè)自回歸單整移動(dòng)平均（aunoregressive innegraned moving average）時(shí)間序列，記為ARIMA(p,d,q)。 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化方法:趨勢(shì)項(xiàng)和季節(jié)性的典型差分處理方法 1. 恒定趨勢(shì) 即總的趨勢(shì)保持在同一水平，均值 0。引入算子，定義為： =（1 B), 即 xt = xt - xt-1 可以消除恒定趨勢(shì)。例如 IBM 股票模型用 xt =（1 - 1B) a t 更為合適。有恒定趨勢(shì)的模型有一個(gè)極點(diǎn)的絕對(duì)值接近為 1 。2. 線性趨勢(shì)總趨勢(shì)按照線性規(guī)律增減，即模型有兩個(gè)極點(diǎn)的絕對(duì)值

17、接近為1的情況。用算子 : 2 = ( 1 B )2 可以消除線性趨勢(shì)，例如：2 xt =（1 - 1B) a t 3. 多項(xiàng)式趨勢(shì)有多個(gè)極點(diǎn)的絕對(duì)值接近于1 , 引入算子 : 3 = ( 1 B )3 例如：3 xt =（1 - 1B - 2 B 2）a t4. 季節(jié)性 有的時(shí)間序列按照一定的周期波動(dòng),例如月平均溫度是按照 12個(gè)月的周期波動(dòng)的，每小時(shí)用電量按照24小時(shí)的周期變化，稱為季節(jié)性。為消除季節(jié)性的影響，引入算子s = 1 B s例如，航空公司的模型AR（13，13）模型中的參數(shù)1 12 的數(shù)值都很小，而接近于零，用周期為12的模型為合適。由于該時(shí)間序列不僅有周期為12的季節(jié)性，而且

18、還有恒定趨勢(shì)，所以用以下模型最合適：12 = (1 B)( 1 B 12) xt =(1 - 1B ) (1 - 12 B 12) a t 平穩(wěn)性數(shù)列趨勢(shì)性數(shù)列 經(jīng)典回歸模型的問題： 迄今為止，對(duì)一個(gè)時(shí)間序列Yn的變動(dòng)進(jìn)行解釋或預(yù)測(cè)，是通過某個(gè)單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)行的，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有一定的模型結(jié)構(gòu)，因此也常稱為結(jié)構(gòu)式模型（snrucnural model）。 然而，如果Yn波動(dòng)的主要原因可能是我們無法解釋的因素，如氣候、消費(fèi)者偏好的變化等，則利用結(jié)構(gòu)式模型來解釋Yn的變動(dòng)就比較困難或不可能，因?yàn)橐〉孟鄳?yīng)的量化數(shù)據(jù)，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。這時(shí)因果關(guān)

19、系的回歸模型及其預(yù)測(cè)技術(shù)就不適用了。2、時(shí)間序列分析模型的適用性 例如，時(shí)間序列過去是否有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，如果增長(zhǎng)趨勢(shì)在過去的行為中占主導(dǎo)地位，能否認(rèn)為它也會(huì)在未來的行為里占主導(dǎo)地位呢？ 或者時(shí)間序列顯示出循環(huán)周期性行為，我們能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？ 在這些情況下，我們采用另一條預(yù)測(cè)途徑：通過時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過去行為的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而對(duì)時(shí)間序列未來行為進(jìn)行推斷。 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來預(yù)測(cè)未來的變化趨勢(shì)。 使用時(shí)間序列分析模型的另一個(gè)原因在于： 如果經(jīng)濟(jì)理論正確地闡釋了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，則這一結(jié)構(gòu)可以寫成類似于ARMA(p,q)式的時(shí)間序

20、列分析模型的形式。三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別 所謂隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別，就是對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列，找出生成它的合適的隨機(jī)過程或模型.即判斷該時(shí)間序列是遵循一純AR過程、還是遵循一純MA過程或ARMA過程。 所使用的工具主要是時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（aunocorrelanion funcnion，ACF）及偏自相關(guān)函數(shù)（parnial aunocorrelanion funcnion， PACF ）。 1、AR(p)過程 (1)自相關(guān)函數(shù)ACF 1階自回歸模型AR(1) Yn=aYn-1+ n 的k階滯后自協(xié)方差為：=1,2,因此，AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)為 =1,2, 由AR(1)的

21、穩(wěn)定性知|a|1，因此，k時(shí)，呈指數(shù)形衰減，直到零。這種現(xiàn)象稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶（infinine memory）。 注意， a0時(shí)，呈振蕩衰減狀。 回憶一:自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù) 回憶二:自相關(guān)函數(shù)：當(dāng)t,s取遍所有可能的整數(shù)時(shí)，就形成了時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)，它描述了序列的自相關(guān)結(jié)構(gòu)。它的本質(zhì)等同于相關(guān)系數(shù)。對(duì)于平穩(wěn)過程: Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + n該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方差1, 2分別為階自回歸模型AR(2) 類似地,可寫出一般的k期滯后自協(xié)方差： (K=2,3,)于是,AR(2)的k 階自相關(guān)函數(shù)為： (K=2,3,)其中 :1=a1/(1-

22、a2), 0=1如果AR(2)穩(wěn)定，則由a1+a21知|k|衰減趨于零，呈拖尾狀。至于衰減的形式，要看AR(2)特征根的實(shí)虛性.一般地，p階自回歸模型AR(p) Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + apYn-p + nk期滯后協(xié)方差為: 從而有自相關(guān)函數(shù) : 可見，無論k有多大， k的計(jì)算均與其到p階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)，因此呈拖尾狀。 如果AR(p)是穩(wěn)定的，則|k|遞減且趨于零。 其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平穩(wěn)的條件知，|zi|p，Yn與Yn-k間的偏自相關(guān)系數(shù)為零。 AR(p)的一個(gè)主要特征是:kp時(shí)，k*=Corr(Yn,Yn-k)=0 即k

23、*在p以后是截尾的。一隨機(jī)時(shí)間序列的識(shí)別原則：若Yn的偏自相關(guān)函數(shù)在p以后截尾，即kp時(shí)，k*=0，而它的自相關(guān)函數(shù)k是拖尾的，則此序列是自回歸AR(p)序列。 在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本偏自相關(guān)函數(shù)rk*是總體偏自相關(guān)函數(shù)k*的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)kp時(shí)，rk*不會(huì)全為0，而是在0的上下波動(dòng)。但可以證明，當(dāng)kp時(shí)，rk*服從如下漸近正態(tài)分布: rk*N(0,1/n)式中n表示樣本容量。 因此，如果計(jì)算的rk*滿足 需指出的是，我們就有95.5%的把握判斷原時(shí)間序列在p之后截尾。 對(duì)MA(1)過程 2、MA(q)過程 可容易地寫出它的自協(xié)方差系數(shù)： 于是，MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)為：可

24、見，當(dāng)k1時(shí)，k0，即Xn與Xn-k不相關(guān)，MA(1)自相關(guān)函數(shù)是截尾的。 MA(1)過程可以等價(jià)地寫成n關(guān)于無窮序列Xn，Xn-1，的線性組合的形式：或（*） (*)是一個(gè)AR()過程，它的偏自相關(guān)函數(shù)非截尾但卻趨于零，因此MA(1)的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但卻趨于零的。 注意: (*)式只有當(dāng)|1時(shí)才有意義，否則意味著距Xn越遠(yuǎn)的X值，對(duì)Xn的影響越大，顯然不符合常理。 因此，我們把| |q時(shí)， Xn與Xn-k不相關(guān)，即存在截尾現(xiàn)象，因此，當(dāng)kq時(shí)， k=0是MA(q)的一個(gè)特征。 于是：可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開始一直為0來判斷MA(q)模型的階。 與MA(1)相仿，可以驗(yàn)證MA(q

25、)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但趨于零的。 MA(q)模型的識(shí)別規(guī)則：若隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)截尾，即自q以后，k=0（ kq）；而它的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則此序列是滑動(dòng)平均MA(q)序列。 同樣需要注意的是：在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本自相關(guān)函數(shù)rk是總體自相關(guān)函數(shù)k的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)kq時(shí)，rk不會(huì)全為0，而是在0的上下波動(dòng)。但可以證明，當(dāng)kq時(shí)，rk服從如下漸近正態(tài)分布: rkN(0,1/n)式中n表示樣本容量。 因此，如果計(jì)算的rk滿足：我們就有95.5%的把握判斷原時(shí)間序列在q之后截尾。 ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)，可以看作MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混

26、合物。 當(dāng)p=0時(shí)，它具有截尾性質(zhì)； 當(dāng)q=0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)； 當(dāng)p、q都不為0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì) 從識(shí)別上看，通常： ARMA(p，q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）可能在p階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱（spikes），但從p階滯后項(xiàng)開始逐漸趨向于零； 而它的自相關(guān)函數(shù)（ACF）則是在q階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱，從q階滯后項(xiàng)開始逐漸趨向于零。 3、ARMA(p, q)過程 四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì) AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計(jì)方法較多: （1）最小二乘估計(jì)； （2）利用自相關(guān)函數(shù)的直接估計(jì)。 （3） 下面有選擇地加以介紹。結(jié)構(gòu)階數(shù)模型識(shí)別確定估計(jì)參數(shù) AR(p)模型

27、的Yule Walker方程估計(jì) 在AR(p)模型的識(shí)別中，曾得到 利用k=-k，得到如下方程組： 此方程組被稱為Yule Walker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數(shù)a1,a2,ap與自相關(guān)函數(shù)1,2,p的關(guān)系， 利用實(shí)際時(shí)間序列提供的信息，首先求得自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值 然后利用Yule Walker方程組，求解模型參數(shù)的估計(jì)值由于 于是 從而可得2的估計(jì)值 在具體計(jì)算時(shí)，可用樣本自相關(guān)函數(shù)rk替代。五、模型的檢驗(yàn) 由于ARMA(p,q)模型的識(shí)別與估計(jì)是在假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一白噪聲的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此，如果估計(jì)的模型確認(rèn)正確的話，殘差應(yīng)代表一白噪聲序列。 如果通過所估計(jì)的模型計(jì)算

28、的樣本殘差不代表一白噪聲，則說明模型的識(shí)別與估計(jì)有誤，需重新識(shí)別與估計(jì)。 在實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)，主要檢驗(yàn)殘差序列是否存在自相關(guān)。1、殘差項(xiàng)的白噪聲檢驗(yàn) 可用QLB的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行2檢驗(yàn)：在給定顯著性水平下，可計(jì)算不同滯后期的QLB值，通過與2分布表中的相應(yīng)臨界值比較，來檢驗(yàn)是否拒絕殘差序列為白噪聲的假設(shè)。 若大于相應(yīng)臨界值，則應(yīng)拒絕所估計(jì)的模型，需重新識(shí)別與估計(jì)。 2、AIC與SBC模型選擇標(biāo)準(zhǔn) 另外一個(gè)遇到的問題是，在實(shí)際識(shí)別ARMA(p,q)模型時(shí)，需多次反復(fù)償試，有可能存在不止一組（p,q）值都能通過識(shí)別檢驗(yàn)。 顯然，增加p與q的階數(shù)，可增加擬合優(yōu)度，但卻同時(shí)降低了自由度。 因此，對(duì)可能的適當(dāng)?shù)哪Ｐ?/p>

29、，存在著模型的“簡(jiǎn)潔性”與模型的擬合優(yōu)度的權(quán)衡選擇問題。 其中，n為待估參數(shù)個(gè)數(shù)（p+q+可能存在的常數(shù)項(xiàng)），n為可使用的觀測(cè)值，RSS為殘差平方和（Residual sum of squares）。 在選擇可能的模型時(shí)，AIC與SBC越小越好 顯然，如果添加的滯后項(xiàng)沒有解釋能力，則對(duì)RSS值的減小沒有多大幫助，卻增加待估參數(shù)的個(gè)數(shù)，因此使得AIC或SBC的值增加。 需注意的是：在不同模型間進(jìn)行比較時(shí)，必須選取相同的時(shí)間段。 常用的模型選擇的判別標(biāo)準(zhǔn)有：赤池信息法（Akaike informanion crinerion，簡(jiǎn)記為AIC）與施瓦茲貝葉斯法（Schwarnz Bayesian cr

30、inerion，簡(jiǎn)記為SBC）： 由第一節(jié)知：中國(guó)支出法GDP是非平穩(wěn)的，但它的一階差分是平穩(wěn)的，即支出法GDP是I(1)時(shí)間序列。 可以對(duì)經(jīng)過一階差分后的GDP建立適當(dāng)?shù)腁RMA(p,q)模型。 記GDP經(jīng)一階差分后的新序列為GDPD1，該新序列的樣本自相關(guān)函數(shù)圖與偏自相關(guān)函數(shù)圖如下： 例6.4.3 中國(guó)支出法GDP的ARMA(p,q)模型估計(jì)。 圖形：樣本自相關(guān)函數(shù)圖形呈正弦線型衰減波，而偏自相關(guān)函數(shù)圖形則在滯后兩期后迅速趨于0。因此可初步判斷該序列滿足2階自回歸過程AR(2)。 自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)的函數(shù)值： 相關(guān)函數(shù)具有明顯的拖尾性； 偏自相關(guān)函數(shù)值在k2以后，可認(rèn)為：偏自相關(guān)函數(shù)

31、是截尾的。再次驗(yàn)證了一階差分后的GDP滿足AR(2)隨機(jī)過程。設(shè)序列GDPD1的模型形式為 有如下Yule Walker 方程： 解為： 用OLS法回歸的結(jié)果為： （7.91) (-3.60) r2=0.8469 R2=0.8385 DW=1.15 有時(shí)，在用回歸法時(shí)，也可加入常數(shù)項(xiàng)。 本例中加入常數(shù)項(xiàng)的回歸為： （1.99） （7.74） （-3.58） r2 =0.8758 R2 =0.8612 DW.=1.22 模型檢驗(yàn) 下表列出三模型的殘差項(xiàng)的自相關(guān)系數(shù)及QLB檢驗(yàn)值。 模型1與模型3的殘差項(xiàng)接近于一白噪聲，但模型2存在4階滯后相關(guān)問題，Q統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)也得出模型2拒絕所有自相關(guān)系數(shù)為零的假設(shè)。因此: 模型1與3可作為描述中國(guó)支出法GDP一階差分序列的隨機(jī)生成過程。用建立的AR(2)模型對(duì)中國(guó)支出法GDP進(jìn)行外推預(yù)測(cè)。 模型1可作如下展開： 于是，當(dāng)已知n-1、n-2、n-3期的GDP時(shí)，就可對(duì)第n期的GDP作出外推預(yù)測(cè)。 模型3的預(yù)測(cè)式與此相類似，只不過多出一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)。 對(duì)2001年中國(guó)支出法GD