湖北省宜昌市2021-2022學年高考數(shù)學一模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1半徑為2的球內有一個內接正三棱柱，則正三棱柱的側面積的最大值為（ ）ABCD2某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是( )ABCD3在關于的不等式中，“”是“恒成立”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既

2、不充分也不必要條件4我國古代數(shù)學家秦九韶在數(shù)書九章中記述了“三斜求積術”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角所對的邊分別為，則的面積.根據此公式，若，且，則的面積為（ ）ABCD5已知集合A，B=,則AB=ABCD6已知，則的大小關系是（ ）ABCD7已知是雙曲線的左、右焦點，是的左、右頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，則的漸近線方程為（ ）ABCD8已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ）AB1C2D39在直角梯形中，點為上一點，且，當?shù)闹底畲髸r，( )AB2CD10已知橢圓內有一條以點為中點的弦，則直線的方程為( )ABCD11已知定義在上的偶函數(shù)，當時，設，則（ ）ABCD12展開項中的常數(shù)項為A

3、1B11C-19D51二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13如圖，在長方體中，E，F(xiàn)，G分別為的中點,點P在平面ABCD內，若直線平面EFG，則線段長度的最小值是_.14根據如圖所示的偽代碼，若輸出的的值為，則輸入的的值為_.15設Sn為數(shù)列an的前n項和，若an0，a1=1，且2Sn=an（an+t），nN*，則S10=_.16已知，則_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）為了加強環(huán)保知識的宣傳，某學校組織了垃圾分類知識竟賽活動.活動設置了四個箱子，分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片

4、上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機抽取張，按照自己的判斷將每張卡片放入對應的箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得分，投放錯誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.從所有參賽選手中隨機抽取人，將他們的得分按照、分組，繪成頻率分布直方圖如圖：（1）分別求出所抽取的人中得分落在組和內的人數(shù)；（2）從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機選取名選手，以表示這名選手中得分不超過分的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.18（12分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，求C；若，求，的面積19（12分）運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工

5、具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時，每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元（），運輸?shù)穆烦虨镾（千米）.設用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用（包括運費和損耗費）分別為（元）、（元）、（元）.（1）請分別寫出、的表達式；（2）試確定使用哪種運輸工具總費用最省.20（12分）已知動圓過定點，且與直線相切，動圓圓心的軌跡為，過作斜率為的直線與交于兩點，過分別作的切線，兩切線的交點為，直線與交于兩點（1）證明：點始終在直線上且；（2）求四邊形的面積的最小值21（12分）中國古代數(shù)學經典數(shù)書九章中，將底面為

6、矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中，底面ABCD是矩形.平面，以的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點D），交PC于N（異于點C）.（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫出它每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22（10分）如圖, 在四棱錐中, 底面是矩形, 四條側棱長均相等.（1）求證：平面;（2）求證：平面平面.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】設

7、正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長與高分別為，利用，可得，進一步得到側面積，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖所示.設正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長與高分別為，則，在中，化為，當且僅當時取等號，此時.故選：B.【點睛】本題考查正三棱柱與球的切接問題，涉及到基本不等式求最值，考查學生的計算能力，是一道中檔題.2D【解析】根據三視圖判斷出幾何體為正四棱錐，由此計算出幾何體的表面積.【詳解】根據三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為.側面的高為，所以側面積為.所以該幾何體的表面積是.故選：D【點睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查錐體表面積的計算，屬于基礎題.3C【解析】討論

8、當時，是否恒成立；討論當恒成立時，是否成立，即可選出正確答案.【詳解】解：當時，由開口向上，則恒成立；當恒成立時，若，則 不恒成立，不符合題意，若 時，要使得恒成立，則 ，即 .所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點睛】本題考查了命題的關系，考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關系時，一般分成兩步，若，則推出 是 的充分條件；若，則推出 是 的必要條件.4A【解析】根據，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【詳解】由得，即，即，因為，所以，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選：A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運

9、算求解的能力，屬于中檔題.5A【解析】先解A、B集合，再取交集。【詳解】,所以B集合與A集合的交集為，故選A【點睛】一般地，把不等式組放在數(shù)軸中得出解集。6B【解析】利用函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，可得，再利用對數(shù)運算性質比較a,c進而可得結論.【詳解】依題意，函數(shù)與函數(shù)關于直線對稱，則，即，又，所以，.故選：B.【點睛】本題主要考查對數(shù)、指數(shù)的大小比較，屬于基礎題.7D【解析】根據為等腰三角形，可求出點P的坐標，又由的斜率為可得出關系，即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖，因為為等腰三角形，所以，,，又，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，屬于中檔題

10、.8B【解析】根據整體的奇偶性和部分的奇偶性，判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，故，也即，化簡得，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查根據函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，屬于基礎題.9B【解析】由題，可求出，所以，根據共線定理，設，利用向量三角形法則求出，結合題給，得出，進而得出，最后利用二次函數(shù)求出的最大值，即可求出.【詳解】由題意，直角梯形中，可求得，所以點在線段上， 設 ， 則，即，又因為所以，所以，當時，等號成立.所以.故選：B.【點睛】本題考查平面向量線性運算中的加法運算、向量共線定理，以及運用二次函數(shù)求最值，考查轉化思想和解題能力.10C【解析】設，則，

11、相減得到，解得答案.【詳解】設，設直線斜率為，則，相減得到：，的中點為，即，故，直線的方程為：.故選：.【點睛】本題考查了橢圓內點差法求直線方程，意在考查學生的計算能力和應用能力.11B【解析】根據偶函數(shù)性質，可判斷關系；由時，求得導函數(shù)，并構造函數(shù)，由進而判斷函數(shù)在時的單調性，即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，所以所以;當時，則，令則，當時，則在時單調遞增，因為，所以，即，則在時單調遞增，而，所以，綜上可知，即，故選：B.【點睛】本題考查了偶函數(shù)的性質應用，由導函數(shù)性質判斷函數(shù)單調性的應用，根據單調性比較大小，屬于中檔題.12B【解析】展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的，所

12、以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項為常數(shù)項，有3種情況：（1）5個括號都出1，即；（2）兩個括號出，兩個括號出，一個括號出1，即；（3）一個括號出，一個括號出，三個括號出1，即；所以展開項中的常數(shù)項為，故選B.【點睛】本題考查二項式定理知識的生成過程，考查定理的本質，即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】如圖，連接，證明平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上. 當時.線段的長度最小，再求此時的得解.【詳解】如圖，連接， 因為E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點，所以，平面，則平面.因為，所以同理得平面

13、，又.所以平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.在中，故當時.線段的長度最小，最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查空間位置關系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14【解析】算法的功能是求的值，根據輸出的值，分別求出當時和當時的值即可得解【詳解】解：由程序語句知：算法的功能是求的值，當時，可得：，或（舍去）；當時，可得：（舍去）綜上的值為：故答案為：【點睛】本題考查了選擇結構的程序語句，根據語句判斷算法的功能是解題的關鍵，屬于基礎題1555【解析】由求出.由，可得，兩式相減，可得數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即求.【詳解】由題

14、意，當n=1時，當時，由，可得，兩式相減，可得，整理得，即，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，.故答案為：55.【點睛】本題考查求數(shù)列的前項和，屬于基礎題.16【解析】首先利用，將其兩邊同時平方，利用同角三角函數(shù)關系式以及倍角公式得到，從而求得，利用誘導公式求得，得到結果.【詳解】因為，所以，即，所以，故答案是.【點睛】該題考查的是有關三角函數(shù)化簡求值問題，涉及到的知識點有同角三角函數(shù)關系式，倍角公式，誘導公式，屬于簡單題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）所抽取的人中得分落在組和內的人數(shù)分別為人、人；（2）分布列見解析，.【解析】（1）將分別乘以區(qū)

15、間、對應的矩形面積可得出結果；（2）由題可知，隨機變量的可能取值為、，利用超幾何分布概率公式計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，并由此計算出隨機變量的數(shù)學期望值.【詳解】（1）由題意知，所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有（人），得分落在組的人數(shù)有（人）.因此，所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有人，得分落在組的人數(shù)有人；（2）由題意可知，隨機變量的所有可能取值為、，所以，隨機變量的分布列為：所以，隨機變量的期望為.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖計算頻數(shù)，同時也考查了離散型隨機變量分布列與數(shù)學期望的求解，考查計算能力，屬于基礎題.18 (1)(2)【解析】由已知利用正弦定理，同角

16、三角函數(shù)基本關系式可求，結合范圍，可求，由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得，結合范圍，可求A，根據三角形的內角和定理即可解得C的值由及正弦定理可得b的值，根據兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值，進而根據三角形的面積公式即可求解【詳解】由已知可得，又由正弦定理，可得，即，即，又，或舍去，可得，由正弦定理，可得，【點睛】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的余弦函數(shù)公式，三角形的內角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式等知識在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題19（1），.（2）當時，此時選擇火車運輸費最??；當時，此時選擇飛機運輸費用最??；當時，此

17、時選擇火車或飛機運輸費用最省.【解析】（1）將運費和損耗費相加得出總費用的表達式.（2）作差比較、的大小關系得出結論.【詳解】（1），.（2）， 故，恒成立，故只需比較與的大小關系即可，令，故當，即時，即，此時選擇火車運輸費最省，當，即時，即，此時選擇飛機運輸費用最省.當，即時，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【點睛】本題考查了常見函數(shù)的模型，考查了分類討論的思想，屬于基礎題.20（1）見解析（2）最小值為1【解析】（1）根據拋物線的定義，判斷出的軌跡為拋物線，并由此求得軌跡的方程.設出兩點的坐標，利用導數(shù)求得切線的方程，由此求得點的坐標.寫出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，根據韋達定

18、理求得點的坐標，并由此判斷出始終在直線上，且.（2）設直線的傾斜角為，求得的表達式，求得的表達式，由此求得四邊形的面積的表達式進而求得四邊形的面積的最小值【詳解】(1)動圓過定點，且與直線相切，動圓圓心到定點和定直線的距離相等，動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，軌跡的方程為：，設，直線的方程為：，即：，同理，直線的方程為：，由可得：， 直線方程為：，聯(lián)立可得：， ，點始終在直線上且；（2）設直線的傾斜角為，由（1）可得：， 四邊形的面積為：，當且僅當或，即時取等號，四邊形的面積的最小值為1.【點睛】本小題主要考查動點軌跡方程的求法，考查直線和拋物線的位置關系，考查拋物線中四邊形面積的最值的計算，考查運算求解能力，屬于中檔題.21（1）證明見解析，是，；（2）【解析】（1）根據是球的直徑，則，又平面， 得到，再由線面垂直的判定定理得到平面，進而得到，再利用線面垂直的判定定理得到平面.（2）以A為原點，所在直線為x，y，z軸建立直角坐標系，設，由，解得，得到，從而得到，然后求得平面的一個法向量，代入公式求解.【詳解】（1）因為是球的直徑，則，又平面， ，.平面，平