高等數(shù)學(xué)(經(jīng)管類)下及課后習題答案

1、- - - -習題7-1.指出下列各點所在的坐標軸、坐標面或卦限：4(2, 1,-6), B(0, 2, 0), C(-3, 0,5), )(1, -1, -7).解：A在V卦限，B在y軸上，C在xOz平面上，D在VHI卦限。.已知點M(-l, 2, 3),求點A/關(guān)于坐標原點、各坐標軸及各坐標面的對稱點的坐標. 解：設(shè)所求對稱點的坐標為y, Z)，則由x-l=0, y+2=0, 2+3=0,得到點M關(guān)于坐標原點的對稱點的坐標為：(1, -2, -3).(2)由l-1, y+2=0, z+3=0,得到點M關(guān)于x軸的對稱點的坐標為：(-1, -2, -3).同理可得：點M關(guān)于y軸的對稱點的坐標為

2、：(1, 2,-3)；關(guān)于z軸的對稱點的坐標 為：(1, -2, 3).(3)由1, y=2, z+3=0,得到點M關(guān)于xOy面的對稱點的坐標為：(-1, 2, -3). 同理，M關(guān)于yOz面的對稱點的坐標為：(1, 2, 3)： M關(guān)于zOx面的對稱點的坐標為: (-1, -2, 3).在z軸上求與兩點4(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距離的點.解：設(shè)所求的點為M(0, 0, z),依題意有|MAF=|M8F，即 (_4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.14解之得Z=U，故所求的點為M(0, 0,.證明以M(4,3,l),%(5,

3、2,3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解：由兩點距離公式可得|mm= 6,|%=6所以以%(7,1,2),%(5,2,3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.設(shè)平面在坐標軸上的截距分別為。=2,人-3,c=5,求這個平面的方程.解：所求平面方程為1 +三+自=1。 2 33.求通過大軸和點(4,一3,一1)的平面方程.解：因所求平面經(jīng)過x軸，故可設(shè)其方程為Ay+Bz =0.又點(4,-3,1)在平面上，所以-3A-B=0.即B=3A代入并化簡可得y-34 =0.求平行于)，軸且過Mi(lQO),兩點的平面方程.解：因所求平面平行于)，軸，故可設(shè)其方程為Ax+Cz+D=0.又點和都在平面上

4、，于是A + D = 0C + D = 0 *可得關(guān)系式：A=C=O,代入方程得：一反一次+。=0.顯然。#0,消去D并整理可得所求的平面方程為x+z1=0.方程爐+)口+不一2v+4v=0表示怎樣的曲面？解：表示以點(1,-2, 0)為球心，半徑為質(zhì)的球面方程。.指出下列方程在平面解析幾何與空間解析幾何中分別表示什么幾何圖形？ (1)工一2)=1；(2) j2+/=1 ：(3) 2爐+3)2=1：(4)=爐.解：(1)表示直線、平面。(2)表示圓、圓柱面。(3)表示橢圓、橢圓柱面。(4)表示拋物線、拋物柱面。習題7-2.下列各函數(shù)表達式：已知危療/+）已求#y）；（2）已知75-），67）

5、= /+）吃求及1）.解：（1） f（x- y,同=（x-+ 煙= X2 一沖 + y20 0可得-1X1yNl 或y （,y）| -IWxWl且）后1或yK-1,表示兩條帶形閉域。（3）由l-x0 x-y0可得X1y x故所求的定義域為。=*）| %21且），1,表示*0丫平面上直線7=乂以下且橫坐 標xNl的部分。（4）由-13-a-2-v219ffho可得2 x2 + y2 4)，? =*)| 2 x2 + y2 4且)10y-解:（1）當點P（xj）沿直線廣日趨于點（0。時，有11H1 -a也o)x+y(-1顯然，此時的極限值隨的變化而變化。因此，函數(shù)兒tj)在(0,0)處的極限不存在

6、。 (2)當點沿曲線y =趨于點(0。時，有Um 二= lim 小 /=冷 gf。X + 廠 I (Jr + l)x K- +1顯然，此時的極限值隨我的變化而變化。因此，函數(shù)兒tj)在(0,0)處的極限不存在。.計算下列極限：小 1+yr sm(xy)lunj；(2) lim r-o % +、，刃 xy-l小 . sin(x3 + y3)/八 r Jxy + 4-2Imi -(4) lim .3 jf o.o)x + y(mo. o)x y解：(1)因初等函數(shù)/(%)，)=芳在(0,1)處連續(xù)，故有1mg4=2-v-*o x+y 0 + 1 )T1,、 sin(Ay)sm(xy)lun = l

7、im v = 35yfO,3) X ,ZO.3) xvrsiii(x3 + y3). sin(.d + y3),lim - = lun 一一(廠-xy+ v) = 0a.yfo x+y x3 + y3小 r 巧 + 4-2(7 + 4- 2)(y/xy + 4 + 2)11lun = lun = lun i=-。(ar oj xy “,y)f o, o) x)Jxy + 4 + 2)區(qū)y)f。, o)Jxy + 4 + 2 45.3下列函數(shù)的連續(xù)性:x，y)= x+y， 。(2) f(x,y) = ix2+y20,*,)，) = (0,0)(x,y) = (0,0)解：(1) liin = l

8、iin (x- v) = 0= 0.0)cm。x+y (x,y)ro,o)所以於，田在(0.0)處連續(xù).11m M =山y(tǒng)* =空 區(qū)之*以-+廠廠+公廠i+k- 該極限隨著k的取值不同而不同，因而兒t,y)在(0,0)處不連續(xù).6.下列函數(shù)在何處間斷？Z=，;(2) Z =111.尸一廠解：(l)z在(x,y)|兇=3 處間斷.(2)z 在(x,y)| 父 + y2i 處間斷.習題7-31.求下列函數(shù)偏導(dǎo)數(shù): (1)乞=爐+3h+丁3；(3) z=ln(x-3y)：,(5) N=Z;3吟 X(4) z =xy +hixy(x 0t y 0.x * 1)解：(2)(6) z/ = cos(x2

9、-y2 + e:) 1 = 3+3y,g = 3x + 3r，5)1 - y+X 111 yr= &不 1- X+ TVA = 上沖 + T= 我備，, 2 z yMXA*In XV-X = T 二 F z- y 曳&6)%-手卷小。s*= sin(廠一)廣 += 2y sin(廠-廠 + ez).= -sm(j2 - y2 + 6-：)(一)=廠 siii(,v2 - y2 +二)下列函數(shù)在指定點處的偏導(dǎo)數(shù):(1)段,yK2一研尸，求EQ,2)， 1,2)；(2)/(x ,y) = aictan +：；求 fx (1,0) x - /(x/( = In+ )+ sina,-l)e：皿丁+7

10、；求力(1,2)；解：/。,)/)=山*一)憶)，求人(2,0,l)Jv(2,(M),工(2,0,1) = -2,2 (p, V)= 0.03,2/25,5000) = -2, Q、(25,5000) = 0.03.經(jīng)濟含義：價格為25和收入為5000時，如果價格不變，而收入增加1個單位，商品 的需求量將增加0.03；如果收入不變，而價格增加1個單位，商品的需求量將減少2.習題7-41.求下列函數(shù)的全微分:(1) z=4Ay3+5xV：w=ln(x)7):u =x +sin- + ev:解：所以=4/+10,|= l2xy2 + 30 x2ydz = 2y3 (2 + 5xy3 )dx + 6

11、x)2 (2 + 5xy3 )dy.(2)_y& if，卞 yjl-x2-y2 5所以 dz= . A =dx + _l=dv./-x2-y2/-x2-y2加二 i=一z 加一1)布 一 x-)w，不一 丹一義友 - x-枕所以 加=提&+恚dy+言也dll . dll 1 y , yZ dll K 法=10= 5C0S3+ze ,五=,所以 clvi = dx + (-i cos + z 靖)dv + yezdz.計算函數(shù)在點(3, 1)處的全微分.解：新k卷所以 dz = yxv-1dv + x- lii.vdy.dz|(”)=心+ 31n3dv.求函數(shù)z=.9在點Q，3)處，關(guān)于.()，

12、y=0.2的全增量與全微分.解：冬=以冬=、,所以多 =3,圖 =2,Z * Ai + 圖 Av = 0.3 + 0.4 = 0.7& 25 Mdzc 3. = 3dv + 2dy.計算(L04) I。?的近似值.設(shè)函數(shù) f(x,y)=xy.x= 1 ,)2, A a-0.04, v=0.02.1,3)= 13=1 /G，,)=)/皿；以 1,2)=2 蘇(1,2)=0.由二元函數(shù)全微分近似計算公式(7-18),得(1.05) 3 02 1+2 X 0.04+0 X 0.02= 1.08.設(shè)有一個無蓋圓柱形玻璃容器，容器的內(nèi)高為20 c?，內(nèi)半徑為4 cm,容器的壁與底 的厚度均為0cm,求容

13、器外殼體積的近似值.解：解設(shè)圓柱的直徑和高分別用工,)，表示，則其體枳為于是，將所需的混凝土量看作當x+入 =8+2X0，R尸20+0.1與尸8, y=20時的兩 個圓柱體的體積之差也不考慮底部的混凝土)，因此可用近似計算公式 VdV=fx(x,y) x+fy(x,y) A y.又人(X,)=暴工/ (，)=兀/，代入 l8, )-20,。=0.2,A.y=0.l,得到AV dV = 1x8x20 x0.2 +1x82x0.1 = 17.6/r 55.264. (/h3).因此，大約需要55.264戶的混凝土.習題7-51.求下列函數(shù)的全導(dǎo)數(shù):(1)(2)(3)設(shè)2=爐心，而v=cosf,求導(dǎo)

14、數(shù)樂;Qt設(shè)z=arctan(z/v),W =31,尸4爐,求導(dǎo)數(shù)黑； 設(shè)z=，yy+sm/,而產(chǎn)ev=cosf,求導(dǎo)數(shù)生.解:/1 改_ &出，上仇dv歷=而方+加由=3/4.2/+ 2/心.(_smf)= 6m3ks_2smk3Xc。，dz _ dz du dz dv加=而后+說&=-_-3 + - 12%+ (“ V)- + (“ V)-=門(1-4孫l + (3x-4?Xdz _ 次 d v dz d V &dt dx dt dy dt dt=ye +r ( sin/) + cosf= cost el sin，+ cos/2.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(其中/具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)):(1)設(shè) F

15、，而 =xsin),v=xcosy,求弟和年；解:設(shè)求*和會設(shè) u=f(x,y,z)=e:+2y+i:,z=x2cosy,求普和餐；設(shè)卬=人-x2y, xy2z),求答dw_ dw_dy dz/IX di 次 du .改 dv c 2、. z 2 c 、(1)茨=而布 + 說布=(2.r )smy + ( -2項cosy=(x2 siii 2y- x2 cos2 y) siii y + (x2 sin? y - x2 siii 2y) cos y譏二譏du、&ady - dii dy 和 dydy9r=(2uv - v2 Jacos y - (i2 - 2uv)x siii ydz=(x2 s

16、in 2y - x2 cos2 y)xcos y + (x2 siii2 y - x2 siii2y),vsm y 令u = 3x2 + y2,v = 4x + 2y,貝業(yè)=uv.= VMv-16x+Mvlnu-4=6x(3/+ y2 r1 +4(3x2 4-)廣lii(3x2 + y2)& dz dii dz dv v-i 1 p .)去=W27 + + =vu 2y + u In”-2 ox on dy ov dy,=2y(3x2 + y2 + 2(3/ + y2, lii(3x2 + y2)OM一& -母=1+*.證：#,（2 - /）- 2x, = /（X2 - /）-2y2f x2

17、- y2）.J所以）謹+少詈=y/，-y2） 2x+-WCv2-r）-2y2fx2 -/）=刈.言心+礦號）7）嚼礦（鴻所以啥+啥=My+/ （?）+/（，（-；）+五”+礦（煮）勺=z+町. 9T.求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)（其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：八 x + yz = arctan=；1-xy(2)門叫(3) z=yXy)解：由第3題可知冬=1廢=上.ox 1 + a - oy 1+ 廠+ird2Z_ -2x d2z _ -2y d2z _ d2Z _Q (2) 與=*lnyLE = ln,D1Qi.oxx dy故受=嚴f y-4-嚴In vX ,小-JTx奈= lnx(lnx-l)y2,

18、5江=棄=1 yz + Inx .產(chǎn)t lny-A = l ya + lnxlny).axdy ovex x x x9rJ導(dǎo)=力+力2%,| =力-%2)，.故 第=)(九)+ 九 2戈)+ 2/2 +2x(啟 y + f22 2x) = yi + 4xyfl2 + 4x2f21 + 2f2.奈=x(Jnx- fl2 2y)- 2f2-2y(f2lx - f22 2y) = x2/1 - 4xyfn +4y2f22- 2f2.0廠= /i + y(fnxyfi2)+ 2x(力 M - 2 比 2)= fi + -9九 + (2廠2y)fl2 4x)22.9rJ7.求由下列方程所確定的隱函數(shù)Z=

19、)的偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)，旨： （1）爐+產(chǎn)匕2-&=0：- -(2)3一3x歸L解：兩邊同時對x求偏導(dǎo)得2k + 2z冬-4空=0,故冬兩邊同時對y求偏導(dǎo)得2)，+ 2z旨-4旨=0,故圻言廠 JJ/(2)兩邊同時對x求偏導(dǎo)得3F經(jīng)-3)，(z +室)=0,故蚤=一1_ox ox dx 3二一31兩邊同時對V求偏導(dǎo)得故g =贅鼻.習題7-6.求下列函數(shù)的極值: (1)八)=0+,36與4 18工-39y+16 ；解:(1)先解方程組0,又A0,所以函數(shù)在(6, 5)處有極小值共6, 5尸-90.(2)先解方程組一3二=fyy) = 3x-3y- = 0得駐點為(0,0),(1,1)./= -6.丫, 4

20、 (%, y) = 3,啟(x,)，) = -6y,在點(0，0)處，=AC-=-90,又A0,所以函數(shù)在(1, 1)處有極大值式1, 1)=2.求函數(shù)fix,y)=x22xy-2y在矩形區(qū)域)=(x)|04S3,0W)W2上的最大值和最小 值.解：(1)先求函數(shù)在。內(nèi)的駐點，解方程組A(x，y) = 2x 2y = 0(x,y) = -2x + 2 = 0得唯一駐點(1,1),且人1,1)=1.(2)再求兒tj)在。的邊界上的最值.在邊界x =0,04 42上，X,)=2)，因此最大值為人0,2尸4,最小值為式0,0)=0； 在邊界入=3,04/2上,/,)，)=%+9,因此最大值為八3,0

21、)=9,最小值為犬3,2)=1； 在邊界 =0,0 x3上，危,丁尸如，因此最大值為3,0)=9,最小值為人0,0)=0； 在邊界y =2,0 x3上，/,尸入，-4x+4,因此最大值為人3,2尸1,最小值為2,2)=0： (3)比較上述得到的函數(shù)值，從而得到八3,0尸9為最大值，的,0)=0為最小值.求函數(shù)/(x尸3大斗3尸一.F在區(qū)域。W16上的最小值.解：(1)先求函數(shù)在。內(nèi)的駐點，解方程組 ,fx (x, y) = 6x + 6y- 3x2 = 0 x,y) = 6y = 0得駐點(0,0), (2,0),且穴0,0)=0,人2,0)=4.(2)再求人xj)在D的邊界上的最值.在邊界/

22、+)只=16上，氏v,y)=48爐，因此最大值為八0,4)=48,最小值為八4,0尸-16；(3)比較上述得到的函數(shù)值，從而得到大0,4)=48為最大值，44,0尸-16為最小值.求下列函數(shù)的條件極值：(l)Z=xy, x+y=l：u=x2y+2z, x2+)r+r= L解：(1)作拉格朗口函數(shù)L(x,y, X)=x)h-1(x+y 1).寫出方程組Lv =)- + A = 0 Lv = x + 幾=0L3 =x+ y-l = O得到p(另)，因此,Z=q在尸(另)處取得最大值:.(2)作拉格朗口函數(shù)L(x,y,z, A )=x-2y-2z +4(爐+)+尸-1).寫出方程組L = 1 + 2

23、Ax = 0L、= 2 + 2 Ay = 00,)0)下，函數(shù)C(x,y)= 1000+8.Fx)h- 12)(元)的條件極值問題.令L(x,y,x) = 1000 + 8/一町 + 12y2 + A(x +y- 42)由 Lx = 16.x-y+ 2 = 0,L =-x+ 24y + 2 = 0, x + y = 42 得 x=25,y=17.根據(jù)問題本身的意義及駐點的唯一性知，當投入兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為25件和17件時, 可使成本最低.某公司通過電視和報紙兩種媒體做廣告，已知銷售收入R(單位:萬元)與電視廣告費%(單位:萬元)和報紙廣告費)，(單位:萬元)之間的關(guān)系為?(x,y)=15+l

24、 4x+3 2y_8xy2好1 Oy2，(1)若廣告費用不設(shè)限，求最佳廣告策略.(2)若廣告費用總預(yù)算是2萬元，分別用求條件極值和無條件極值的方法求最佳廣告策 略.解：令R、= 14-8)，-4%=0,4=32-8%一20)，= 0.得唯一駐點(1.5,1).由此可知，當 電視廣告費為1.5萬元，報紙廣告費為1萬元時，廣告策略最佳。(2)問題是在約束條件x+y=2(%0, y0)下，函數(shù)R(x,y)=15+14x+32y-3x)-2x2-10/的條件極值問題.令=15 + 14x + 32y8.x)-2v210y2 + A(x +y-2)由 Lx =14-8y-4x + 2 = 0,Ly =

25、-8x+ 32-20y + 2 = 0,x+ y = 2解得40.75, y=L 25.由此可知,當電視廣告費為0. 75萬元，報紙廣告費為1.25萬元 時，廣告策略最佳。由x+y=2,可得y =2-x,代入R得R(x,y)=-4 x2+6x+39令凡=0,得x=0.75.因此 y=L25.復(fù)習題7(.設(shè) z=5+f 西 7,且已知尸1 時,E 則/。)=(x + l)3l,Z = +X-L解：由)=1 時，z=x，得/(Wt)=xT令玄一 =t.得X= (f + 1)3,因止 1/(。= (/ + 1)3 L即/(X)=(X + 1)3 _ 1 , Z = yy + X-1. v3.設(shè)/(x

26、,y) = (x + y)xy +1 +1)=09.設(shè) z/=e3r y,而爐+產(chǎn)尸一y=f+2,求 華解:由尸尸KjT+2,可得2哼+張2碎一所以dx = 2/ +1 dy = 21 - 2xdi 一 2x +1 di - 2a+ 1 叱 du _ du dx du dy _ 2 3x-v 2Z + 1 3x-v 2/ 2X 囚此， = ；一一二 + 一；i- = 3e -e ,dt dx dt dv dt 2x +12x + l9r令 f = 0,得工=-2, y = -4 或y = 1, y = T.- - -故學(xué)=或0.d/ z=o 331。.設(shè)2或?qū)τ煞匠膛c斗及+應(yīng)所確定，求與, M

27、, dx dx- dxdy解：兩邊同時對x求偏導(dǎo)，得、，+，室+2 +入箋=0,因此冬=-江,由對稱性可得型=-。. , ox ex ox x+ ydy x+ y8 j 尋 5+y)-(y+Z)= 一言(x+)_y_Z_2y + 2zdx2 (x+ y)2(x+ y)2(x+ y)2a(i+副、+y) - (y+z)Q -言)5+y)- y - 12,oxdy(x + y)2(x + y)2(x + y)2.設(shè)大M具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足B+M=1,又g(%,y)=/by,(1-/), dir &廠“2試證空+=/+廣 以-卞-證：設(shè)=何#=4()尸),則 g(x,) = /(#).則 包_

28、=更久 笠包=或 冬 型_=或曳 笠 dx - dii dx dv dx di 拉廠 dy du dy 和而2 )/.(X, y) = 4職 (x, y) = 2x2 +1,/y在點(0，1)處,=AC0=6X1-OO,又A0,所以函數(shù)在(0, 1)處有極小值人0, 1尸0.(8).v-2y.設(shè) 4=e- v+/(A2y) 且已知 時，Z=/,則左= 解：令y = 0得工)=/一爐,因此，z =，+ (x-2yf-e所以導(dǎo)=/ + 2(%-2y)-2 .設(shè)j(x,y,z)=exyz2，其中片空,)是由1+y+z+xyz=。確定的隱函數(shù),則人(0,1，-1)= 解：由+y + z + ；9Z =

29、 0可得 1+史+ (2 + %冬) = 0.故導(dǎo)=-產(chǎn).OX 1 + XV9TA(X，y, z) = y(exz2 + e 2 第=y(exz2 - 2exz 哥Ga1 r xy因此 (0,1,-1) = 1.3.設(shè)Z=ln(4+6),則工邑+ )，邑= 丫 dx dy解.&_&-& +6 8 加+6，所以的+ 丫 &-24+4)-1所以,友+曠”.設(shè)2 = 1/(刈，)+ 式丫+)，)”其中/；8具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則烏 = xox cy解:舟=一城/+95)+ygQ+y)，繇=V+ 5)+Q+g。+y)+yg ”(x+y)C1X CyX=fxy)+g (x + y)+yg (x+y) -

30、.函數(shù)/(x,y) = eG鏟在點(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在的情況是(C ).A B C D以0,0),以0,0)都存在以0,0)存在，(0,0)不存在 以0,0)不存在，力(0,0)存在京0,0)，欣),0)都不存在解：力(0,0)= lun*r0/(O + Ax, 0) 一 (0,0)=11m止=二11m 軍不存在, jo Ax ao Ay0,0 + )-”0,0) 11m 而TAv-o Ay=Inn J* 二 ono AyA B C D.設(shè)F(x, y), g(x,力均為可微函數(shù)，且殳(x, y)N0,已知(用,必)是F(x, y)在約束條件 g(禺力=0下的一個極值點，下列結(jié)論正確的是(

31、D )若Jo)=O,則%(跖%)=。若 /t(Ao,yo)=o,則 fa jo) R o 若 &(Xo ,yo)H 0,則亦(Xo Jo)=o 若 A(Xo,yo)WOJA(XoJo)WO解：作拉格朗日函數(shù)L(x, y, 4) = f(x, y) + 4g(x, y)，則有4 (x, y ) = A ( %, Vo)+ 2 g,i(%，%)=。，Ly(x, y,4) = 4 (%，先)+ 皈(%, %) = 0 由于 gy(x,y)HO,所以當力(XoJo)KO, 71H 0,因此Xgv(,yo) * o ,從而亦(Xo,yo)#O.設(shè)函數(shù)=兒1 j,z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且=(x,y)是由e”一

32、心=尤所確定的隱函數(shù)，求d.解：由ze，可得/ + a-Z =導(dǎo)/+ %爐冬.故冬=同理曰=一 .OX ax ax e + ze /夕 + z -因此 du = fxdx+ fydy + fzdz=f.、dx + f,dy + f:(:二 dx - v?：力) / + ze e + ze=( + f： X + (/v 一 人二)力,e + zee + z 夕.設(shè)函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且.y=y(x),z=z(x)分別由卜,列兩式確定: 八gm Ysing.“ -xy = 2,e =L dr,du dF解：由 e。一呼=2,可得*(y + 咪)一(y + x% = 0,因此；:一，由, = J:半人

33、可得d=蜘，因此% =.故那= + /+工第=_ JJ (a + ydcr. DD(2)在 D 內(nèi)，l4x+yW2, iO lii(x + y) hr (x + y),JJln(x + y)da JJhi(x + y)Yda DD習題8-21.畫出枳分區(qū)域，并計算下列二重積分:JJ(a- +y)do ,其中 D 為矩形閉區(qū)域：|l,|y|： - x)da = J； dyg (x2 + y2 - x)dx = jj (等-1 y2 )dy D-124_1 32 = A3968-06(4)(6)因為被積函數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù)，且D關(guān)于x軸對稱，所以e l 4% 0 = 2(一).D小 In yda

34、= J：可 x In ydy = jv(ylii y| ； - In y| ；)&=帽公眄凈I用眄力小亭鈍*DA2D112.將二重枳分JJ7(x,y)d?；癁槎畏e分(兩種次序)其中枳分區(qū)域。分別如下: D(1)以點(0,0),(2,0),(14)為頂點的三角形；(2)由直線y=x及拋物線產(chǎn)4x所圍成的閉區(qū)域;- - -(3)由直線yn2及雙曲線y =：所圍成的閉區(qū)域； 由曲線尸爐及尸1所圍成的閉區(qū)域.解： J/Q(x,y)力 +力=力&C可;y)dy = Jo 力J； J(& y)dx.不(2) J1 力J(x, y)dx+,4/*，)岫=對(，)力.yyxJi My)力=力6/).交換下列

35、二次積分的積分次序：(D(2)J；dy/(%,y)dx；(3)J；dx(x,yMy；(4) J；dyj；/(x,)、WK + J：dyJ：(x,yMx .解：(1)J；辦1；/5,力小=(小/(工,，)辦.J；/(“，) =，時：f(x9y)dy.Ji dxC力力=力J： /5Wx 工力廠 /3 v) + J：力廣 f(x, y)dx = J；可 J /(M y)dy.求由平面.O,v=(U=l,尸1所圍成的柱體被平面z=0及2x+3)h-t=6截得的立體體積.解：V = d.x (6 - 2x - 3y)dy = J (6 - 2x -1) Jx = 1.求由平面.v=O,v=O/+jT所圍

36、成的柱體被平面z=0及曲面W+F=6-z截得的立體體積. 解：V = 城T (6 -A-2- y2 )dy=6(l-x)-(l-x)x2-馬當 =,.習題8-31.畫出積分區(qū)域，把二重積分化為極坐標系下的二次積分，其中積分區(qū)域。D是：(1) C+y2 (0)：(2) x2+y22xlr+y24；(4) OWyWlxQWxWl.=J;7 J /(r cos 8、r sm O)rdr.解：(1) jj f(x, y)da = J； dej； f(r cos 8j sill d)rdr. L,y)do = J； de J： /(，cos 6,r sin O)rdr.(2)Jj7a D JJ/U DJ

37、J/(x, y)d(j = dejE仙 f(rcos 0/sin 0)rdr. D.把下列枳分化為極坐標形式，并計算枳分值： J；力10E(xf)：(2)可Rxfdx；解:段產(chǎn)7+力去d珂卜萼也戶仆J：時嚴二一爐等(cose)=T/含或cose)-4(cose).在極坐標系下計算下列二重積分：0，=叫其中D是圓形閉區(qū)域:好+.儼W1： DJJln(l+/ +儼)47,其中D是由圓周爐+9=1及坐標軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉 D區(qū)域；(3)Jjt ar ct an其中。是由圓周爐+產(chǎn)=1/4尸=4及直線)=0,Jr所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；JJJ-7而其中O由圓周爐+尸=心(心。所闈成. D

38、解： JJeg dcr = J； ddj；/川廠=2乃： = (e-l).42 3 _ 32 264(2) JJhi(l + x2 +)，2)da = JJ.1 廣：0今 A R COS 0 .“JR T可。v/?2 - r- rdr = - - J- |(/?- - r-) - dO=一疆(R3 slif _ 外“=哈4.求由曲面z=x2+y2與z = ylx2 + y2所圍成的立體體積.解：兩條曲線的交線為9+儼=1,因此，所圍成的立體體積為: 9Tv = 0 次 + 戶(F + y2)da=d0r-r)rdr =* D習題8-4.計算反常二重積分巾-dx辦，其中O： eo,y2x. D.

39、計算反常二重積分!,其中6 ,1儼21.解：1. J； dxj： exydy = J； (e-2x - e-x-a )dx = - - J 1+ 所以 JJe-s&-力=吧(-Jzl + 1-ea) = i DaZ由呵:曾=2嗎一壺），得,洋廣典2嗚素）=加復(fù)習題83).將二重積分0/(工。)小工，化為二次枳分(兩種次序都要)，其中積分區(qū)域。是: D I % I Wl, I y I W2;(2)由直線yr及拋物線.儼=4%所W成.解： dxj(x,y)力=二辦j：/(x,y)dx.dxj：4/(x, y)d), =J：力中(x,y).交換下列兩次積分的次序：(l/dyf(x,y)dx;,2。

40、pJlax-x2(24。ivjo /(A-,y)dy ；3) J； & J； f(x, y )dy + J； dxf(x,y )dv .解： J；dyJ,fa，y)dx = J：dx/(x,y)dy.(la JZav-.t&a m+JMt：Q)(呵。yy=J網(wǎng)f,洶.3) dq；/(x,y)d.v + jdq：/(x,y)dy = J；dyJ：/(x,y)dv.3.計算下列二重積分： JJe% , O： | x | Wl, I y I Wl;DJJxdj dy ,)由直線y= 1力=2及1圍成；DJj (x - l)d. dv ,) 由 y=x 和 y=x 闈成：DJj(x2 + y2)d.r

41、dv ,。: I x I + I y I Wl;DJJ -i-sin yda, O 由 y ? = 戈與 y=x 圍成；JJ(4-x -y)da , O 是圓域 O+yiWR?； D解： JJev+vda = jdxjexdy = (ex+l -edx = (ex -exl) =(e-)2. TOC o 1-5 h z D111-1jjx2ydxdy = jdxx2ydy = |(/ X =.D1(3)JJ(A-W.v = J；dxJ；(A-lXv =於+ V)dx WT + 卜 W .DJJ (丁 + )/心dy = 46 dx(X2 + y 2 )dyDiPc 24.V3 , k , z1

42、 z2x3 x2 1、1 2= 4j(2x -x + -)dx = 4( + -x)()= -.- - -JJ sin yd cr = jjdx =r(sin y- - y sm y)dy TOC o 1-5 h z O )燈”2 22=f2 sin ydv + f2 yd (cos y) = 1 + (ycos y - sin y)| 2 =1.Jo . Jon , 0 乃JJ(4-x- y)dcr = J； d。：(4-rcos6 rsinO)rdr = J：2R(cos0 + sillO)d0Dr3=2R淚 一 (sm 0 - cos 0).已知反常二重積分J卜e-：do收斂，求其值.其

43、中。是由曲線.v=4F與.v=9f在第一 D象限所圍成的區(qū)域.解：設(shè)。，是由曲線y = 4x=9/和)，=4(40)在第一象限所圍成.則|Jxerdcr2= I -；y -力=-高Q-d b =高-高 e所以 JJdcr = Inn JJxe-dcr =.da- Da.計算 J e-v cLv .解：由第四節(jié)例2以及y = e*是偶函數(shù)，可知匚e*dY = J7.求由曲面之=0及4-r-尸所圍空間立體的體積.解：曲面=0和Z=4-.F-V的交線為爐+.儼=4.因此，所圍空間立體的體積為:JJ (4 - x2 - y2 )drdy =ddj； (4 - r2 )rdr = 2乃(8 -q)=84

44、. D.已知曲線.v=liu，及過此曲線上點(e, 1)的切線)，=%.(1)求由曲線.v=hu，直線)，= ：和.v=0所圍成的平面圖形。的面積； e(2)求以平面圖形O為底，以曲面e),為頂?shù)那斨w的體積.1 =_3 o-T 2解：(1) S = |- 1ii.xz/x = -1-(x1iix-a)|=-1 .2) V = J；外edx = J；(/ 一 yey)dy = - yey + ey)(8)1.交換枳分次序： J：dxfj(x，)M)；7。)辦； J：4Vrx ；辦.解：時；/()力=1悶*5,)，)去. J：辦j；/g燦=J)q：j(x，y)dv 匕?！眡, y)dy = J

45、0W(%, y)dx + 力埠/。，y)力=J；力J； /a,)，)去+力伊(x,y)dx .計算枳分aq； 2 ； ?力.開 汕夕 . a開 二inS解：J。杰:2 dy = JJ d/：e c?s rdr = 4 d 8/：e cos Odr計算枳分力?vdx.Jo 71+廠+ )廣解：廣公J心=丘切向出/Jo - J,v 1 + x2 + v- J 1 + r2 J。 JoJo +廣9r廣三1In 7= J；3E sinearctan 忘*，= + J；arctan 訴 d(cos 夕)令 cos 0 = t,則原式=竽 + jj aictanyJr =+ jj aictaiiy-Jr

46、=+ (/aictaiiy+ 111(1 + r) 2=華+建23皿無+5149一華=坐01加】無+414 322、224222 2 4.設(shè)函數(shù)本)在區(qū)間0,1上連續(xù)，且J；/(x)dx=A,求乙*)/(3”)，.解：設(shè)8(x) = /(x),則/)以=/(1)一F(0)=41對/a)/(y)dy= /a)F(i) - 尸(%)心=產(chǎn)例；%)心一 尸( (尸)=尸(1)4- ：=/(1)4-1(1)-尸(0月FQ) + 尸(0月=FQ)A 亨 A/(1) g AF(0)= |AF(1)-F(O) = .計算jjxd(7 其中D是由直線y=0,v=l及雙曲線x2y2=l所圍成的閉區(qū)域. D解：肝

47、yd o = 2, dyjfx2ydx = | J； y(l + y2)+y2dy D= |(i+r)(i+r)=|(i+r)=(4x/2-i).計算心打.2C解：jj eydy = j； dyj； ey dx = J；yeydy =.證明J：dxj： (% - y)z,-2 f (y)dy =- 廣()油，其中為大于1的正整數(shù). 證：gq：(x-獷2/()，)dy = J：力，(x y)n-2f(y)dx=J：告(曠 It =占- y(y)S習題971.判定下列級數(shù)的收斂性：(1)(2) 占；(3) 山占；(4) X(-l)w2；“1 十1 十！ .1(5) 詈弟.7|-1 -0 十工解：(

48、1)S = t(Vk + l-樂) = dn + IT，則 hmS = lim(TTl) = +oo，級數(shù) Jf*發(fā)散。(2)由于廣L =J1,因此原級數(shù)是調(diào)和級數(shù)去掉前面三項所得的級數(shù)，而在 念 + 3 占一個級數(shù)中增加或刪去有限項不改變級數(shù)的斂散性，所以原級數(shù)發(fā)散。 TOC o 1-5 h z (3 ) S” =土111 二 2 111/7 111(/7 +1) = 111 1 111(7? +1) = 111(7? +1),則 k=l +1k=lUmS = lim-lii(/7+l) = -oo,級數(shù)發(fā)散。“TOO”TOO22& (4)S=.一 =，一，A=l,2,3,；因而hmS 不存

49、在，級數(shù)發(fā)散。0 , ii = 2kJ8(5)級數(shù)通項為 =一，由于山113 =1=0,不滿足級數(shù)收斂的必要條件, +1-X 原級數(shù)發(fā)散。(6)級數(shù)通項為乙=屋與，而limS”不存在，級數(shù)發(fā)散。 2+1 -O 2.判別卜.列級數(shù)的收斂性，若收斂則求其和:所以該級數(shù)的和為 /1113S = Inn Sn = 11111(x )=-,x f、2 22 32 TOC o 1-5 h z (2)由于=-一,則( +1)( + 2) 2 ( +1) ( +1)(/ + 2)g&(%+1)(+2) 2&(&+!) (%+1)(%+2)1 212 (+1)(+2)1所以該級數(shù)的和為S = lull Sn =

50、 Inn=-a tx2 2 (+1)(/7 +2)4fi=l/?(/1 +1)(/7+ 2).7rsin (3)級數(shù)的通項為由于 hmsin/-=hm(-x-) = -0, 2n g 2n x 222/7不滿足級數(shù)收斂的必要條件，所以原級數(shù)發(fā)散。1 , =4攵或7 = 4攵+10 , =必+2或 =4女+3(4)由于Sn = cos=n Z /ok=0z因而hmS不存在，原級數(shù)發(fā)散。 “TOO習題9-21.判定下列正項級數(shù)的斂散性：(1)( +1)(/1 + 2)、7（4）；II + 134-1(5) 3-5 7(2/7 +1) 4 710(3n + l)00冷;”1 3n-i 2(10)00

51、XK-1力飛蚱; “-1f/i-i解:（1）由于0( +1)(+ 2) n2，而級數(shù)“上 念-收斂，由比較判別法知 TOC o 1-5 h z 001V收斂。念( +1)( + 2)13(2)因為 lim J(： + 5)= lull 一n2X1收斂，由比較判別法的極限形式知:收斂。n=l 。心2 +5）11X 1（3）若。=1,通項“= 士，級數(shù)$、一顯然發(fā)散；1 + 4”2 1 +。”若0 a 1,有hm / = 11111 = 1,不滿足級數(shù)收斂的必要條件,級數(shù)Y- 一 x + 屋 + a發(fā)散；若有o 1 ,所 jx2( + 1)2lim3十1以由比值判別法知，級數(shù)發(fā)散。( +1 嚴1十

52、 1( + 1)!lim 上之=hin -“TOC= lim=lHn(l + -),t =el,所以由比值判別法知,級數(shù)發(fā)散。X小3x3x7xx(2 + 1)(7)通項% =,4x4xl0 xx(3+l)3x5x7xx2(m4-1) + 1m Imid = Inn 4x4xlx.x3(+1)+ 1 jg un ”fc 3x5x7xx(2 + l) 4x4xl0 x x(3+l)比值判別法知，級數(shù)收斂。.2(+ 1) + 1 2/=hm -=一 1，所以由一 x 3( + 1)4-13+1Ji1(2+1(8)通項/=一，則hm/旦=lim3” X U X F= 1hii = il,所以由比值判別

53、X 33法知，級數(shù)收斂。（9）通項/=絲-,則hm 2廠 一( + 1)于 90+ir 二lim . “T0C (!)lull(+12/r+l=000 hoc 7T7T(11)由于02sm,2x = 7r-3” -32 丫3論知級數(shù)尸2 sin三收斂。n=lJn2+1,=lun = - “+=- 2n-l 11 2/7-1n+1 2/7 + 1lkn = lim -x 2/7 1=o .由萊布尼茲判別法知（-a殺收斂但Z丁二發(fā)散，故ZLD,ir條件收斂。；r-i 2 T.!2 - 1由于*而級數(shù)京收斂，所以 2n=l L=收斂,故洽常=1 (1 1) , 2絕對收斂。十 siiinx（3）由于

54、(4)由于(lYM-UinC “+n + xXi,Hill M = lull !( + l) + x 8- n + x8=0.由萊布尼茲判別法知W“-1叱收 n + x=，發(fā)散（女+工0）,故fa條件收斂。（7）由于Sln(2 A) 而級數(shù)收斂，所以W “=1 - =/?!sm(2 x)az!-1, 川“g sin（2nX）.收斂，故宮一去絕對收斂。(8)因為X 11X12 sin sin 依= cos(k )x cos(k + )x = cos cos(k + )x,2 ik=i2222當 xe（o,i）時,Xsin工0,故得到 2”cos cos(4 + -)xysmlcc =I2sinE

55、2oo單調(diào)遞減趨于零，由狄利所以級數(shù)sin工的部分和數(shù)列當x e （0,1）時有界，而數(shù)列 n=loo -克雷判別法推得級數(shù)工型竺 收斂。71=12.設(shè)級數(shù)f q：及都收斂，證明級數(shù)fq也及fa/i也都收斂.n-1n-171-1CO證：由于級數(shù)及都收斂，則級數(shù)Xn-1M-l=in-12=收斂。,所以由比較判別法知級數(shù)WJo/J收斂，即級數(shù)絕對收斂。/|=1習題9-4.求下列幕級數(shù)的收斂域:(1)(3)(5)8“：-08”/I-0 z 十(+2)” ；解：（1）因為p= Inn=11111(6) 觸-1)”.! = 1,故收斂半徑R = = 1.當x = l時，原級數(shù)顯然發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂

56、域為（一1,1）。（+1）!(2)因為p= hin n*oc(+1嚴=Imi nT* H:lull: -X(77 + )lim1,1Y1+- n故收斂半徑H = e。當x=e時，原級數(shù)為 P1 1 1-1 + - -xe = l,即n=l“2%=e，級數(shù)不滿足級數(shù)收斂的必要條件，因此原級數(shù)發(fā)散；當x = e時，原級數(shù)為月（一1）“二e，同樣不滿足級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為- nn=Inn(3 )因為p2蘇- 1= lmi- = 1 ,故收斂半徑R = - = 2.當x = 2時，原級數(shù)為此時原級數(shù)收斂：當x = 2時，原級數(shù)為-a 2( +1)-200k此時原級數(shù)收

57、斂。因此，原級數(shù)的收斂域為2,2 念-2 +1lim=lunoc（1嚴丫2”+32+ 3?r+l(-1)2/7 + 1于是，當/ 1,即X1，即X1時，原級數(shù)發(fā)散：故原級數(shù)收斂半徑為火=1。當x = l時，原級數(shù)為相上也，此時原級數(shù)收斂；當x = -l y 2+1時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為一 1。. 2 + 11(5)因為p = lim 口色=lim ，D = lim -=,故收斂半徑R 二工=2?！皉g| an I g - x2(+l)2p當x = 0時，原級數(shù)為此時原級數(shù)發(fā)散；當x = 4時，原級數(shù)為211.,此時 原級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為4,0）。11

58、3故收斂半徑H=士。當p 222十1(6)因為p = lim= lim “十1二lim = 2 , TOC o 1-5 h z rg Cl2nfIV原級數(shù)為T二，此時原級數(shù)收 后(2)fa+M-0 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 0 1時，原級數(shù)為k，此時原級數(shù)發(fā)散：當工=時, 念21 3斂。因此，原級數(shù)的收斂域為/,/）。.求下列幕級數(shù)的和函數(shù)：（1）（t）” j/l-l11解：（1）所給幕級數(shù)收斂半徑為R=l,收斂區(qū)間為（一1,1）。因為，在區(qū)間（一1,1）內(nèi)成立OOn=01-X則所以（2）=-111(1 + X) , X (1,1)。X

59、，=2x yxk H-0 = I dx = 111(1 X) , xe ( L1)V n Jo 1-X TOC o 1-5 h z 0000000000(2 + l)x = 2ynx +yxn =x,+n=0n=0n =0/r=l=0 x e (-1)2x 11 + x；I=(1 x)2 1-x (1-x)200(2) ZH-l.求卜列級數(shù)的和:8 I（1）yi； 七?-IE解：（1）由于歸白=;占,KI）I n=l 4一1n=ln=Q n=Q，一人則= ；1n產(chǎn)，xe（Tl）。，2 1Jo l-x 2 1 - x所以12舟*1；用溜=怒/1|；9 邛卜蘆邛奧啕72（2）因為( +1)片=x(

60、+l)x11 n=ln=lx e (-1,1)所以泮*舊=吃=8。I ，n=lZ/ I12J習題9-5- #- -.將下列函數(shù)展開成X的累級數(shù):cos?5；(2) smj；(3) xe-：;士；(5)*7) Oarcsmx解:/、. X 1 + COSX 11?/ cos- - = - + - (-1)222 26(WXG(-cO.oO)；r 8吟=(-1)幺 =0一=日金工出i I=o- n=o ”2+l XI XU=0r2n+l22n+1 (2/7 + 1)!一，X(8,孫XG (-cO.oo)；1oc00(4) 7T = (/)” =沙，xe(-l,l)： 1一入=0n=0(5C一)=一