應(yīng)用題(一)教師版

1、應(yīng)用題（一）（一）圓弧上的動點問題例1.（2013蘇州期中18題16分）如圖所示，有一塊半徑長為1米的半圓形鋼板，現(xiàn)要從AOB中截取一個內(nèi)接等腰梯形部件ABCD，設(shè)梯形部件ABCD的面積為y平方米.（I）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：設(shè)CD=2x（米），將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；設(shè).BOC-rad），將y表示成二的函數(shù)關(guān)系式（II）求梯形部件ABCD面積y的最大值.【難點分析】（1）根據(jù)題目要求，分別利用長度和角度作為變量來建立函數(shù)關(guān)系（2）對函數(shù)最值的計算【突破策略】對于圓弧上的動點，考慮建系、選擇長度和角度作為變量建模，對于最值問題可以通過求導(dǎo)來解決【解析】如圖所示,以直徑AB所在的直線為【解

2、析】如圖所示,以直徑AB所在的直線為x軸,線段AB中垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系，過點C作CE_AB于E,系，過點C作CE_AB于E,TCD=2x,OE=x(0：x：1),CE二1-x2y=*AB+CD)CE=*(2+2x)j1x2=(x+1)山_x2(0ex1).BOC-v(0),OE二cosCE二si,211y=；(AB|：jCD)CE(22cosr)sinv-(1cosr)sinr(0w:-),(方法1)y=、.,(x1)2(1-x2)H4-2x32x1,令t=-x4-2x32x1,t=MX3-6x22=-2(2x33x2-1)=-2(x1)2(2x-1),令t=0,x=丄,x=1（舍

3、）當(dāng)0：xJ時,t.0,函數(shù)在（0,-）上單調(diào)遞增222當(dāng)1:x:1時，t：0,二函數(shù)在（1,1）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=1時，t有最大值2227162716ymax3.34答:梯形部件ABCD面積的最大值為孕平方米.(x1)壬_2x_1-x2J-x2令y=o,2x2x1=0,(2x-1)(x1)=0,x=i,x=1(舍).2當(dāng)0：x：1時2當(dāng)0：x：1時2y0,函數(shù)在(0,1）上單調(diào)遞增2TOCo1-5hz1當(dāng)x：1時，y：0,函數(shù)在（丄,1）上單調(diào)遞減，2所以當(dāng)時，ymax=學(xué)24答：梯形部件ABCD面積的最大值為3-3平方米4（方法3）y=（sinvsinvcosv）=（sinv）（sin

4、vcost）222二costcosv-sin)-2coscos)-1,令八。，得cw,服它，cos=令八。，得cw,服它，cos=-1(舍),當(dāng)0時,3y.0,函數(shù)在（0,）上單調(diào)遞增3當(dāng)時，y*0,.函數(shù)在（二二）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)仁一時，ymax23234答:梯形部件ABCD面積的最大值為33平方米.4【畫龍點睛】圓、半圓、扇形的內(nèi)接問題，通常兩種解題策略：一、利用長度建立等量關(guān)系,二、利用角度來建立數(shù)學(xué)模型（圖（3）就是2013南京二模）如圖，某廣場中間有一塊扇形狀綠地OAB，其中O為扇形所在圓的圓心，/AOB=60.廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路：在AB上選一點C,過C修建與OB平

5、行的小路CD，與OA平行的小路CE問C應(yīng)選在何處，才能使得修建的道路CD與CE的總長最大，并說明理由.【解析】由題意知，四邊形ODCE是平行四邊形.AOB=60.ODC=120.連結(jié)OC,設(shè)OC=r2/16方法一：設(shè)0D=x,OE二y,則CE二x,CD二y在ODC中，由余弦定理，得222oOC=ODDC-2ODDCcos1202=x2y2xy所以(xy)2二r2xy_r2(亍)210分解得y_3?r,當(dāng)且僅當(dāng)33xfr時取等號,所以23y的最大值為33此時C弧AB的中點.答：點C應(yīng)選在弧AB的中點處，才能使得修建的道路總長最大.14分方法二：設(shè).COA=.0：J:：:60.所以.OCD=60-

6、k在ODC中，根據(jù)正弦定理，得ODsinOCDCDsinCODOCsinODCODCD即sin(60-J)sinvsin120所以O(shè)D=rsin(60-v),CD=rsin=32，3_所以CECD=ODCDrsin(60-v)sinr323r(sin60cos-cos60sin)sin旳3r(sin60ocos亠cos60sin=)=23rsin(60oJ)310分Cn50000r5因為0660.所以606+6sf若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，a最大？/D*【難點分析】本題是與角有關(guān)的最值應(yīng)用問題，難點在于如何用題中所給變量表示出角:-的三角函數(shù)值?！就黄撇呗浴恳?、在三角形中利

7、用解三角形直接求解與:-:的相關(guān)三角函數(shù)值;二、通過和差構(gòu)造出所求角，利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行求解。和差構(gòu)造出所求角，利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行求解。HhI解析】（1）由AD=ta得A礦，同理:ABHtan:Hhh.ADAB=DB，故得，解得：HtanPtaetanPhtan二tan：-tan:41.24=124。因此，算出的電視塔的高度H是124m。H(2)由題設(shè)知d=AB，得tan,tandH_H-htan：-tan：_d_d-HH-hdtaWtan：伽廠dhHhADDBhdd2H(H-h)hd.H(H-h)。d.d.HIHh)_2、.h(H-h),(當(dāng)且僅當(dāng)d-H(H二h)r1

8、25121=55、5時，取等d號）,當(dāng)d=55,5時，tan(-J最大。CJIQJI0.，則0,22因為y=tanx在（二二）上是增函數(shù)，.當(dāng)d=55.5時，-最大。2故所求的d是55、.5m?！井孆堻c睛】求解與角度大小相關(guān)的應(yīng)用題，首先簡化相關(guān)幾何背景圖形，其次，如果所求角可以直接在圖形中直接用相關(guān)條件求解，則往往利用解三角形或三角函數(shù)定義進(jìn)行求解；否則，則通過角的組合，結(jié)合三角函數(shù)和差角公式求解。變題1.（蘇北三市（徐州、淮安、宿遷）2013屆高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷）如圖,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9cm和15cm,從建筑物AB的頂

9、部A看建筑物CD的視角CAD=45.求BC的長度；（2）在線段BC上取一點P（點P與點B,C不重合）,從點P看這兩座建筑物的視角分別為.APB=,.DPC?，問點P在何處時，.二，】最??？【解析】作AE_CD,垂足為E,則CE=9,DE=6,設(shè)BC=x,tanCAD=tan(CAE+DAE)二tan/CAE+tanZDAE-tanZCAEtanZDAEt=15.6-27,當(dāng)t(0,156-27)時,f(t)：0,f(t)是減函數(shù);當(dāng)t(15.6-27,18)Cf(t)二27+t2-t2+18t-135f(t)二2t2+54t-2723(t2-18t+135)2廠(t)=0,因為0CA運送至A處

10、，貨物從D處至C處運行速度為V,從C處至A處運行速度為3v.為了使運送貨物的時間t最短，需在運送前調(diào)整運輸裝置中DCB-：的大小.（1）當(dāng)二變化時，試將貨物運行的時間t表示成二的函數(shù)（用含有v和丨的式子）；（2）當(dāng)t最小時，C點應(yīng)設(shè)計在AB的什么位置？【難點分析】與三角形有關(guān)的最值應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于找準(zhǔn)圖形中的邊角關(guān)系，確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一個三角形中求解?！就黄撇呗浴咳怯嘘P(guān)的最值問題，如果無法直接通過三角恒等變換來解決，可以通過求導(dǎo)來解決【解析】(1)在BCD中；.BCD-HB,BD=13BCIsin(120-旳.3l

11、,CD2sin日AC二AB-BClSin(12“則些CB_Isin（120）亠,（二“3vv3v3vsinv2vsinv（2）t（-注）.丄.衛(wèi)蘭6vsin日2vsin6v6vsin二10分1-3cos二令mH3C-，則m(R2sin廿sinf11令m()=0得cos，設(shè)cos033JT2兀，貝(廣0)時，m(v)：0；-(%)時mp)0331lJ6+4cos二時mL)有最小值2.2，此時BCl.3876+4答：當(dāng)BCl時貨物運行時間最短.12分14分15分【畫龍點睛】與角度有關(guān)的應(yīng)用題，首先要找對邊角關(guān)系，其次要對三角公式熟記于心變題1.（2013江蘇卷18題16分）如圖，游客從某旅游景區(qū)的

12、景點處下山至C處有兩種路徑.一種是從沿A直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后,乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m經(jīng)測量，cosA=1213cosC(1)求索道AB的長;問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短?為使兩位游客在C處相互等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?【解析】法一：（1）3*cosA,cosC-5：0：A：.二,0:B二,0:C:54.sin

13、A,sinC=1357AB+C二二6353124.sinB二sinA+C=sinAcosC+cosAsinC二+13513565ACABBCrsinBsinCsinAAb=sAC=-651260=1040msinB563sinABC=AC=500sinB設(shè)乙出發(fā)tt乞8分鐘后，甲到了D處，乙到了E處則有AD=50t+100AE=130t根據(jù)余弦定理DE2=AE2AD2-2AEADcosA22即DE-7400t-14000t1000014000=352740037DE2有最小值10分2507437設(shè)甲所用時間為t甲，乙所用時間為t乙，乙步行速度為V乙由題意t甲=126050由題意t甲=12605

14、0126min5t乙=2+竺+1+500=11+型min130V乙V乙12分一11+型314分解不等式得1250乞V乙乞6254314二為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在_詈罟范圍內(nèi)16分法二：解：(1)如圖作BDLCA于點D,設(shè)BD=20k,則DC=25k,AD=48k,AB=52k，由AC=63k=1260m知：AB=52k=1040m.(2)設(shè)乙出發(fā)x分鐘后到達(dá)點M此時甲到達(dá)N點，如圖所示.貝AM=130 x,AN=50(x+2),由余弦定理得：MN=AM+AN2AM-ANCosA=7400 x2-14000 x+10000,35其中0wx0.F2xvco

15、s2G2x-2xcos2Gjt4sineS=irvsm2fti2a2鈿舄錮訕2所以，AABC茴積的量大值為匚竺1當(dāng)且僅當(dāng)裝二y時取到.4sin9(2)-AC=ri5,n為定值).BC=2c(定值，由DB+DC=l=2aia=|li知點D在畑(:曲焦點的橢回上*S磁,=如格祜2咲定值.只需也DBC面積最大，需此時點DllBC的距離量大，即D必為橢凰短軸頂點.、ecD面積的最c*因此，四邊積的童大價芮如啊5沁憲確定點乩Ci使BC1.由(2)ADBCJ等腰三埔?guī)艜r，四邊形ACDB面積最大.確定ABCD的那狀，使氐匚少別在AM、AN上滑動，且肌保持定值，由(1)知駅時”四邊形MDE面積量大*此時AAC

16、DiABD，ZCAD=ZEAD=O(且CD=BD=.1l4由(1)的同樣方法知，AD=AC0tt三角形AS面積質(zhì)大，質(zhì)大値趟耳兀_ran-1r所以，四iiACDB商積最大值為.Stan-鞏固練習(xí):(2013徐州、宿遷市三模16分)已知一塊半徑為r的殘缺的半圓形材料ABC,O為半圓1的圓心，OC=S,殘缺部分位于過點C的豎直線的右側(cè).現(xiàn)要在這塊材料上截出一個直角2三角形，有兩種設(shè)計方案：如圖甲，以BC為斜邊；如圖乙，直角頂點E在線段0C上,且另個頂點D在AB上.要使截出的直角三角形的面積最大，應(yīng)該選擇哪一種方案？請說明理由并求出截得直角三角形面積的最大值（第17題甲圖）3rsin:，2【解析】如

17、圖甲，設(shè).DBC3r則BDcos：，DC2所以Sabdc9sin2i1692r16當(dāng)且僅當(dāng)此時點D到BC的距離為此時點D到BC的距離為33r，可以保證點D在半圓形材料ABC內(nèi)部,因此按照圖甲方案得到直角三角形的最大面積為92r16（第17題甲圖）如圖乙，設(shè).EOD-v,則OEcost,DE二rsinr,所以sabde=12（1+cos8）sinT,日引n,n232、1212,設(shè)f（v）r（1cosRsin則f（?。﹔（1cos；）（2cos八1）,22當(dāng)日En,-時，f0,所以9=-時，即點E與點C重合時，TOCo1-5hz3233応2BDE的面積最大值為r833292因為rr,816所以選擇

18、圖乙的方案，截得的直角三角形面積最大，最大值為r28(2013泰州市第一學(xué)期期末14分)如圖，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊AD為半圓的直徑，O為半圓的圓心，AB=1,BC=2,現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個等腰三角形PMN，其底邊MN丄BC.設(shè)/MOD=30。，求三角形鐵皮PMN的面積；求剪下的鐵皮三角形PMN面積的最大值.【解析】設(shè)MN交AD交于Q點TOCo1-5hz3/MQD=30MQ=,OQ(算出一個得2分)2SaPMN=MNAQ=1X3X(1+_2222(2)設(shè)/MOQ=0,茨0,n,2MQ=sin0,OQ=cos011Sapmn=MNAQ=(1+sin0)(1+cos0)=一(1+s

19、in0os0+sin0+cos0)11Sapmn=MNAQ=(1+sin0)(1+cos0)=一(1+sin0os0+sin0+cos0).11分令sin0+cos0=t令sin0+cos0=t1,2,Sapmn=12(t+1+t2-10=，當(dāng)t=2Sapmn的最大值為43+2占4.CP1B(2012南通18題16分)如圖，矩形ABCD中，AB=3,AD=2,一質(zhì)點從AB邊上的點F0出發(fā)，沿與AB的夾角為二的方向射到邊BC上點P后，依次反射(入射角與反射角相等)到邊CD、DA和AB上的P2、p、F4處。(1)若F4與F0重合，求tanv的值；(2)若F4落在a、F0兩點之間，且AF0=2。設(shè)t

20、an。=t，將五邊形F0F1P2F3F4的面積S表示為t的函數(shù)，并求S的最大值。分析：為了刻畫點P0,R,F2,P3,P4位置，設(shè)PB=X，通過四個相似的直角三角形結(jié)合角日2表示RB,RC,F2C,P2D,P3D,PjAPqA,再由題意分別推算tan&=和多邊形的面積，在3得出多邊形面積時用矩形面積減去四個直角三角形的面積解：(1)設(shè)P0B_Xf，貝URB_x0tanv,PC_2x0tanv.2分P2CPC2xotand_2xo,P2D=3Xo2.4分tan日tan日tan日tan日P3D=(3x0)tanj-2,F3A=4-(3x0)tann,4AP4(3xo).6分tan由于R與Po重合，

21、ARF0B=3，所以亠=6，即tanv-.8分tan日34(2)由(1),可知AF4=-4.tan82因為P4落在A、Po兩點之間，所以2:tand：-1,即-:t：-1.10分32S四邊形ABCDS舌BP-PCP?_S厘DP3_S理AP4TOCo1-5hz1121214=6-tan(2-tanR-1一4-(4tanv-2)-(4-4tanv)-422tan2tan2tanv(24、(12=58-34tan32-17t.14分Itan日丿Jt丿,212由于5，所以3-17ttW322(7t晉=32451.16分故S的最大值為32-4,51.如圖，代B為相距2km的兩個工廠，以AB的中點O為圓心

22、，半徑為2km畫圓弧。MN為圓弧上兩點，且MA_AB,NB_AB，在圓弧MN上一點P處建一座學(xué)校。學(xué)校P受工廠A的噪音影響度與AP的平方成反比，比例系數(shù)為1,學(xué)校P受工廠B的噪音影響度與BP的平方成反比，比例系數(shù)為4。學(xué)校P受兩工廠的噪音影響度之和為y，且設(shè)AP二xkm。(1)求y=f(x)，并求其定義域；(2)當(dāng)AP為多少時，總噪音影響度最小?AP二xkm。(1)求y=f(x)，并求其定義域；(2)當(dāng)AP為多少時，總噪音影響度最小?解:(I)連接OP,，在AOPPM中，由余弦定理得：-1._:丨：m,在厶BOP中，由余弦定理得，-,7_-|.-,4分.匸11.1/.，則丁AP-+,.6分BP1/10-?，貝U.：一224(H)令-14(f+10