課例函數(shù)的概念課堂實錄

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載2.1.1函數(shù)的概念一、地位和作用函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)概念之一，函數(shù)也是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)概念初中建立的函數(shù)概念是：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么，我們就說y是x的函數(shù)其中x稱為自變量這個定義從運動變化的觀點出發(fā)，把函數(shù)看成是變量之間的依賴關(guān)系從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，最初的函數(shù)概念幾乎等同于解析式后來，人們逐漸意識到定義域與值域的重要性，而要說清楚變量以及兩個變量間變化的依賴關(guān)系，往往先要弄清各個變量的物理意義，這就使研究受到了一定的限制如果

2、只根據(jù)變量觀點，那么有些函數(shù)就很難進(jìn)行深入研究例如對這個函數(shù)，如果用變量觀點來解釋，會顯得十分勉強(qiáng)，也說不出x的物理意義是什么但用集合、對應(yīng)的觀點來解釋，就十分自然進(jìn)入高中，學(xué)生需要建立的函數(shù)概念是：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作yf（x），xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f（x）|xA叫做函數(shù)的值域?qū)W習(xí)必備歡迎下載這個概念與初中概念相比更具有一般性實際上，高中的函數(shù)概念與初中的函數(shù)

3、概念本質(zhì)上是一致的不同點在于，表述方式不同高中明確了集合、對應(yīng)的方法初中雖然沒有明確定義域、值域這些集合，但這是客觀存在的，也已經(jīng)滲透了集合與對應(yīng)的觀點與初中相比，高中引入了抽象的符號f（x）f（x）指集合B中與x對應(yīng)的那個數(shù)當(dāng)x確定時，f（x）也唯一確定另外，初中并沒有明確函數(shù)值域這個概念函數(shù)概念的核心是“對應(yīng)”，理解函數(shù)概念要注意：兩個數(shù)集間有一種確定的對應(yīng)關(guān)系f，即對于數(shù)集A中每一個x，數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應(yīng)涉及兩個數(shù)集A，B，而且這兩個數(shù)集都非空；這里的關(guān)鍵詞是“每一個”“唯一確定”也就是，對于集合A中的數(shù)，不能有的在集合B中有數(shù)與之對應(yīng)，有的沒有，每一個都要有而且，在集合B

4、中只能有一個與其對應(yīng)，不能有兩個或者兩個以上與其對應(yīng)函數(shù)概念中涉及的集合A，B，對應(yīng)關(guān)系f是一個整體，是集合A與集合B之間的一種對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)該從整體的角度來認(rèn)識函數(shù)。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，幾乎每一章都貫穿著函數(shù)的思想，可以說函數(shù)思想是整個高中數(shù)學(xué)的“綱”，是基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)語言，這一章涉及到的一些重要的思想方法，對學(xué)好高中數(shù)學(xué)起著重要的作用。二、學(xué)情分析學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了函數(shù)的概念，也學(xué)習(xí)了一些初等函數(shù)，如正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)，但函數(shù)概念對學(xué)生來說很抽象，通過一次函數(shù)和二次函數(shù)的函數(shù)模型為載體，溝通初高中數(shù)學(xué)內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)由初中數(shù)學(xué)向高中數(shù)學(xué)的平穩(wěn)過渡。學(xué)習(xí)必備歡迎下載三、教學(xué)

5、目標(biāo)1知識目標(biāo)（1）會用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)；（2）會判斷給定的對應(yīng)是否是函數(shù)，會判斷兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)。2能力目標(biāo)（1）通過實例的探究，讓學(xué)生體會用集合與對應(yīng)關(guān)系來刻畫函數(shù)概念的作用；（2）通過大量實例，讓學(xué)生用集合和對應(yīng)語言概括函數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、分析總結(jié)的能力。3情感目標(biāo)通過師生、生生互動，讓學(xué)生體會成功的喜悅，培養(yǎng)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的態(tài)度。四、教學(xué)重點和難點重點：函數(shù)概念的理解難點：對函數(shù)符號y=f(x)的理解五、教學(xué)方法與教學(xué)手段教學(xué)方法：通過大量實例的探究，讓學(xué)生體會函數(shù)概念的形成過程。教學(xué)手段：采用多媒體輔助教學(xué)，增強(qiáng)直觀性，增大課容量，提高效率。六、課堂教學(xué)實錄（一

6、）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)問題1：初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)，請同學(xué)說說什么是函數(shù)?學(xué)生1:函數(shù)有解析法，圖像法教師：她說的這個是什么？學(xué)生齊答函數(shù)的表示方法，請問函數(shù)還給你們留下了什么印象。學(xué)生2：函數(shù)有兩個變量：自變量，因變量。學(xué)生3：學(xué)過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)。學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)生4:在一個變化過程中,有兩個變量x和y,如果給定了一個x值，相應(yīng)地就能確定唯一的一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)。其中x是自變量，y是因變量。（總結(jié)：初中函數(shù)的概念強(qiáng)調(diào)在變化過程中，是以運動變化的觀點來描述變量之間的依賴關(guān)系。）教師：同學(xué)生說的非常好，這些都是與函數(shù)有關(guān)系的知識，有函數(shù)的表示方法、有具體的函數(shù)

7、、還有函數(shù)的概念。（二）概念的形成請看下面這兩個問題：（1）、設(shè)正方形的邊長為x，寫出面積y與邊長x的關(guān)系。（2）、設(shè)電路中電壓，寫出電流與電阻之間的關(guān)系。請問寫出的這兩個關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？學(xué)生5：是函數(shù)關(guān)系，因為每給一個邊長都能確定唯一一個面積；每給一個電流都能確定唯一的一個電阻。教師：非常好，說明同學(xué)們對函數(shù)定義理解的很深刻，請看問題2問題2：中考剛剛結(jié)束，每位同學(xué)都有一個對應(yīng)的數(shù)學(xué)成績，請看下列表格，那么這種對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？同學(xué)姓名王兆彤余辰瀟季穎希劉東寧劉龍婧譚吉數(shù)學(xué)成績102110102109102105表一學(xué)生6：上面的對應(yīng)關(guān)系不是函數(shù)，因為一個102有三個名字與之對

8、應(yīng)。教師：真棒！可以看出剛才這位同學(xué)把數(shù)學(xué)成績當(dāng)做了自變量，名字當(dāng)做了因變量；其他同學(xué)有不同看法嗎？學(xué)生7：我覺得上面的對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)，把名字當(dāng)做自變量，數(shù)學(xué)成績當(dāng)做因變量，就滿足函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)生8：我認(rèn)為不是函數(shù)關(guān)系，因為函數(shù)概念中的兩個變量必須是數(shù)值，而名字不是數(shù)值。教師：同學(xué)們討論的很激烈，那大家看看我們同意哪位同學(xué)的看法呢。顯然不是函數(shù)關(guān)系，其實我們生活中有很多這樣的對應(yīng)關(guān)系，兩個變量不是數(shù)值，那我們能不能把不是數(shù)值的量加以數(shù)字化呢？如何數(shù)字化呢？學(xué)生9：我們可以把名字用考號來表示。教師：太棒了，因此我們可以看出初中的函數(shù)概念有一定的局限性，我們有必要繼續(xù)學(xué)生函數(shù)的

9、概念，也就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的。同學(xué)考號1數(shù)學(xué)成績10221103102410951026105表二那么這個時候這種對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)嗎？自變量都取了哪些值？函數(shù)值取了哪些值？學(xué)生10：這種對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，自變量是同學(xué)的考號，函數(shù)值是學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。教師：很好，那同學(xué)們請看下面的問題。問題3：下面我們對函數(shù)關(guān)系作進(jìn)一步的分析，以便用更為確切的語言來表達(dá)函數(shù)的概念。示例1學(xué)生好奇心的指標(biāo)隨年齡增長的變化規(guī)律，下面這個圖象給出了1015歲每個年齡對應(yīng)的好奇心指標(biāo)，你能從這個圖象觀察到哪些信息？學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)生11：從圖象中看出好奇心指標(biāo)隨著年齡的增長先增加后減??；學(xué)生12：從圖象中看出年齡在1

10、0時好奇心指標(biāo)最小，在12歲時好奇心指標(biāo)最大。教師：同學(xué)們觀察的很認(rèn)真，那老師問個問題吧，圖象中涉及到幾個變量，每給一個年齡對應(yīng)幾個好奇心指標(biāo)，這種對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？學(xué)生13：圖象中涉及兩個變量，可以把年齡當(dāng)自變量，好奇心指標(biāo)當(dāng)因變量，每給一個年齡都有唯一一個好奇心指標(biāo)與之對應(yīng)，這種對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系。教師：我們學(xué)習(xí)過集合的概念可以把年齡為元素構(gòu)成的集合稱為，把所有好奇心指標(biāo)構(gòu)成的集合稱為，我們用集合的語言描述這種對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生14：可以描述成對于兩個集合（年齡的集合）與（好奇心指標(biāo)的集合），在中的任何一個元素x（年齡）在中都有唯一確定的Y（好奇心指標(biāo)）與它對應(yīng)。教師：我們在看看中考成績那

11、個表格，按照上述集合語言，我們把誰看成集合，誰是集合，請用上面的集合語言敘述一遍。同學(xué)考號1數(shù)學(xué)成績10221103102410951026105學(xué)生15：把學(xué)生考號為元素，看成集合，數(shù)學(xué)成績?yōu)樵乜闯杉?，集合中的任意一個元素（考號）在集合中都有唯一確定的元素（成績）與它對應(yīng)。A=1，2，3，4，5，6B=102，110，109，105學(xué)習(xí)必備歡迎下載教師：通過前面幾個例子的分析，能構(gòu)成函數(shù)的這幾個對應(yīng)關(guān)系有什么共同的特點嗎？（1）有兩個集合A、B，而且非空數(shù)集；（2）A中的任何一個元素x，在B中有唯一確定的數(shù)y與它對應(yīng)。教師：由此可以看出，我們生活中存在很多量不是數(shù)值，但通過數(shù)字化，都可以

12、用函數(shù)來研究，這就是高中要學(xué)習(xí)函數(shù)概念的必要性。你能用集合和對應(yīng)的語言從新刻畫函數(shù)的概念嗎？1、函數(shù)的定義：設(shè)A，是兩個非空的數(shù)集，對于A中的任意數(shù)x，按照某種對應(yīng)關(guān)系f，都有唯一確定的數(shù)y與它對應(yīng)，則這種對應(yīng)關(guān)系叫做集合A上的一個函數(shù)。記作yfx,xA注意：定義中的關(guān)鍵信息：非空數(shù)集；任意數(shù)x；對應(yīng)關(guān)系；唯一確定的數(shù)y；對應(yīng)關(guān)系就是對x的作用方式。(其實學(xué)生對f不理解，太抽象了，舉特殊例子說明)2、函數(shù)的表示方法：列表法；圖象法；解析法（三）提取信息，準(zhǔn)確應(yīng)用定義1、下列表達(dá)方式可以看成函數(shù)有哪些？教師：根據(jù)函數(shù)的定義，如何判斷給定的表達(dá)式是否是函數(shù)呢？學(xué)生：一給定兩個非空數(shù)集；二按照某個對

13、應(yīng)關(guān)系，任給一個x都有唯一的y與之對應(yīng)。學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1）（2）（3）（4）（5）f(x)x（x0）學(xué)生：（1）、（3）、（4）是函數(shù)關(guān)系（2）（5）不是函數(shù)關(guān)系，因為任給一個x會有兩個y與之對應(yīng)了。教師：非常好，觀察仔細(xì)，定義把握準(zhǔn)確。（6）這種對應(yīng)關(guān)系滿足函數(shù)關(guān)系嗎？Xy132537495學(xué)生：（6）不是函數(shù)關(guān)系，因為5沒有找到值與之對應(yīng)。教師：很好，找的很準(zhǔn)確。（7）f(x)x3(x0)學(xué)生：（7）不是函數(shù)關(guān)系，0 x3根式?jīng)]有意義,也就是集合A中的元素有剩余，找不到數(shù)值與其對應(yīng)。教師：非常好，關(guān)注了函數(shù)的定義域。（8）f(x)x31x是函數(shù)嗎？學(xué)生：（8）不是函數(shù)關(guān)系，因為X的取值范圍是空集，而定義中兩個集合是非空數(shù)集。教師：回答的非常準(zhǔn)確。（9）f(x)=1(xR)學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)生：（9）是函數(shù)關(guān)系，是常數(shù)函數(shù)。學(xué)生獨立完成，學(xué)生講解示范，教師點評。2、判斷下列哪個函數(shù)與y=x是同一函數(shù)（）(1)f(x)(x)2(2)f(x)x33(3)f(x)x2(4)f(x)x2x學(xué)生：我認(rèn)為答案應(yīng)選（2），因為一直Y=X是我們學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)，定義域為全體實數(shù)，而（1）的定義域是自變量大于或等于零，（3）的自變量是全體實數(shù)，但它的值域是大于或等于零；（）的定義域不等于零；所以選（）教師：（）的值域是大于或等于