2022年新高考一卷數(shù)學(xué)試題詳細(xì)解析

1、2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新高考 = 1 * ROMAN I卷）數(shù) 學(xué)注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3請(qǐng)保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。若集合，則A BC D【答案】D【解析】集合，集合，故選D2若，則A B C D【答案】D【解析】對(duì)原式

2、兩邊同時(shí)乘以得：，即，所以，即故選D3在中，點(diǎn)在邊上，記，則A B C D【答案】B【解析】因?yàn)?，又因?yàn)椋?，即故選B4南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)，已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為A BC D【答案】C【解析】由題意，代入棱臺(tái)體積，公式可得：故選C5從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為ABCD【答案】D【解析】總事件數(shù)共，第一個(gè)數(shù)取2時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是；第一個(gè)數(shù)取3時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是；第一個(gè)數(shù)取4時(shí)，第

3、二個(gè)數(shù)可以是；第一個(gè)數(shù)取5時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是；第一個(gè)數(shù)取6時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是；第一個(gè)數(shù)取7時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是；所以6記函數(shù)的最小正周期為若，且的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則ABCD【答案】A【解析】，的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則有，且，所以，則；解得，由得，故7設(shè)，則ABCD【答案】C【解析】令，；，所以，所以，所以，令，所以，所以，所以，所以，所以8已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，其各頂點(diǎn)都在同一球面上若該球的體積為，且，則該正四棱雉體積的取值范圍是ABCD【答案】C【解析】記三棱錐高與側(cè)棱夾角為，高為，底面中心到各頂點(diǎn)的距離為，則，故，令，故，即，二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每

4、小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9已知正方體，則A直線與所成的角為B直線與所成的角為C直線與平面所成的角為D直線與平面所成的角為【答案】ABD【解析】在正方體中，因?yàn)?，所以平面，所以，故選項(xiàng)A，B均正確；設(shè)，因?yàn)槠矫妫灾本€與平面所成的角為，在直角中，故，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；直線與平面所成的角為，故選項(xiàng)D正確綜上，答案選ABD10已知函數(shù)，則A有兩個(gè)極值點(diǎn)B有三個(gè)零點(diǎn)C點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心D直線是曲線的切線【答案】AC【解析】，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)與，又，所以只有一個(gè)零點(diǎn)；由可知，點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心；曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以答案選AC11已知

5、為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線：（）上，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，則A的準(zhǔn)線為B直線與相切CD【答案】BCD【解析】由題意可知：，所以拋物線：，故的準(zhǔn)線為，故A不對(duì)；由得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為2，所以切線方程為，故直線與相切，所以B正確；過(guò)點(diǎn)的直線設(shè)為，交于兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別設(shè)為，聯(lián)立直線與方程可得，所以有，且，即，進(jìn)一步可得，此時(shí)又，所以C正確；，又，故D正確；綜上，答案選BCD12已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記若，均為偶函數(shù)，則A B C D【答案】BC【解析】由為偶函數(shù)可知關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由為偶函數(shù)可知：關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，結(jié)合，根據(jù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)可知關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，根據(jù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)可知：關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，綜上，函數(shù)與均

6、是周期為2的周期函數(shù)，所以有，所以A不正確；，故，所以C正確，所以B正確；又，所以，所以D不正確故選BC 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)（用數(shù)字作答）【答案】【解析】原式等于，由二項(xiàng)式定理，其展開(kāi)式中的系數(shù)為寫(xiě)出與圓和都相切的一條直線的方程_【答案】，或，或（答對(duì)其中之一即可）【解析】由圖可得，兩圓外切，且均與直線相切。另過(guò)兩圓圓心的直線的方程為，可得與交點(diǎn)為由切線定理得，兩圓另一公切線過(guò)點(diǎn)，設(shè)，由點(diǎn)到直線距離公式可得，解得，即另由于兩圓外切，因此在公切點(diǎn)處存在公切線與垂直，解得若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是_【答案】【解析】易得曲線不過(guò)原點(diǎn)

7、，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為：可得切線方程為，又切線過(guò)原點(diǎn)，可得，化簡(jiǎn)得（），又切線有兩條，即方程有兩不等實(shí)根，由判別式，得，或已知橢圓，的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是_【答案】13【解析】橢圓離心率為，不妨設(shè)，且為正三角形，則直線斜率由等腰三角形性質(zhì)可得，由橢圓性質(zhì)得的周長(zhǎng)等價(jià)于另設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得由弦長(zhǎng)公式得，即，四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（10分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列（1）求得通項(xiàng)公式；（2）證明：【解析】：（1），所以，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所

8、以當(dāng)時(shí)，所以，即（）；累積法可得：（），又滿足該式，所以得通項(xiàng)公式為（2）18（12分）記的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知（1）若，求；（2）求的最小值【解析】（1）由已知條件得： 所以，即，由已知條件：，則，可得，所以，2）由（1）知，則，由正弦定理 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為 19（12分）如圖，直三棱柱的體積為，的面積為求到平面的距離；設(shè)為的中點(diǎn)，平面平面，求二面角的正弦值【解析】（1）設(shè)到平面的距離為，所以，所以，所以到平面的距離為取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平?，則，所以，因?yàn)橹比庵?，所以，因?yàn)?，所以平面，所以，由，所以，以為軸，為軸，為軸，建立如圖

9、所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，平面BDC的法向量設(shè)為，平面BDA的法向量設(shè)為，所以，所以，設(shè)，則，所以，所以，設(shè)二面角 的平面角為，則，所以二面角的正弦值為20（12分）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類(lèi)）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱(chēng)為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)査了100人（稱(chēng)為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組60對(duì)照組1090（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，表示事件“選到的人患有該疾病”

10、，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為（ = 1 * roman i）證明：；（ = 2 * roman ii）利用該調(diào)査數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（ = 1 * roman i）的結(jié)果給出的估計(jì)值附：，【解析】（1）假設(shè)患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣沒(méi)有差異，則，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異； （2）（ = 1 * roman i） ，得證；（ = 2 * roman ii）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，則，所以21（12分）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0（1）求的斜率；（2）若，求的面積【答案】（1）

11、的斜率為0；（2）的面積為【解析】解析：（1）將點(diǎn)代入雙曲線方程得，化簡(jiǎn)得得，故雙曲線方程為由題顯然直線的斜率存在，設(shè)，設(shè)，則聯(lián)立直線與雙曲線得：，故，化簡(jiǎn)得：，故，即，而直線不過(guò)點(diǎn)，故（2）由，得，不妨設(shè)直線的傾斜角為銳角且為， eq oac(,1)當(dāng)均在雙曲線的左支時(shí)，得到，此時(shí)與漸近線平行，與雙曲線左支無(wú)交點(diǎn)。 eq oac(,2)當(dāng)均在雙曲線的右支時(shí)，由，得，即，聯(lián)立及得，進(jìn)而解出：，代入直線得，故，而，由，故.22（12分）已知函數(shù)和有相同的最小值.（1）求；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【解析】（1）， = 1 *

12、 GB3 時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即沒(méi)有最小值.該類(lèi)情況應(yīng)舍去. = 2 * GB3 時(shí)，在上小于0，在上大于0，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處有最小值為，所以在上小于0，在上大于0，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處有最小值為，因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?所以有，即因?yàn)椋陨鲜降葍r(jià)于，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增又因?yàn)榍?，所?（2）證明：由（1），且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且. = 1 * GB3 時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意； = 2 * GB3 時(shí)，此時(shí)，與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1； =

13、3 * GB3 時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)：即證明有2個(gè)零點(diǎn)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，（令，則，）所以明在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為.其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)：即證明有2個(gè)零點(diǎn)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，（令，則，）所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為.再次，證明存在使得：因?yàn)?，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時(shí)取則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列：因?yàn)椋裕?/p>

14、又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，即，所以同理，因?yàn)?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，所以，又因?yàn)?，所以，即直線，與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.試卷點(diǎn)評(píng)歐陽(yáng)才學(xué)2022年高考數(shù)學(xué)落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，體現(xiàn)高考改革的要求。試卷突出數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，強(qiáng)化基礎(chǔ)考查，突出關(guān)鍵能力，服務(wù)“雙減”政策，助力基礎(chǔ)教育提質(zhì)增效。1.考查雙基，體現(xiàn)能力 試卷近一半的題目都屬于常規(guī)的基礎(chǔ)題型，從考查的知識(shí)點(diǎn)來(lái)看，也都是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)。但題目的考法更加靈活，如果學(xué)生平時(shí)只是一味刷題，不注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的理解和思維能力的培養(yǎng)，在很多基礎(chǔ)題目上也會(huì)翻車(chē)。如選擇第5題，考查學(xué)生對(duì)古典概型的計(jì)算，有的

15、學(xué)生不理解互質(zhì)的定義，便無(wú)從下手；第9題對(duì)正方體中異面直線和線面角的考查，無(wú)需計(jì)算就能得分；再比如解答題第20題（1），考查的是獨(dú)立性檢驗(yàn)，實(shí)際上是代入公式進(jìn)行計(jì)算即可輕松解決此題。2.關(guān)注應(yīng)用，體現(xiàn)素養(yǎng) 數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的結(jié)合一直是高考的熱點(diǎn)，今年的試卷也一如既往的將數(shù)學(xué)知識(shí)融于實(shí)際情境之中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。如第4題以我國(guó)的重大建設(shè)成就“南水北調(diào)”工程為背景，考查學(xué)生的空間想象、運(yùn)算求解能力，試題引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)主義建設(shè)的成果，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感，體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。3.知識(shí)綜合，區(qū)分度高 由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，高考數(shù)學(xué)出現(xiàn)知識(shí)間的綜合。如函數(shù)與數(shù)列的結(jié)合，切線與不等式的結(jié)合，三角變形公式與解三

16、角形的結(jié)合等等。另外，少數(shù)幾個(gè)較難的題目也體現(xiàn)了良好的區(qū)分度，如8、16、21、22題對(duì)學(xué)生的思維能力都有較高的要求。第16題體現(xiàn)了特殊與一般的思想，20（2）題以條件概率作為背景為命題的切入點(diǎn)，要求學(xué)生證明等式這對(duì)學(xué)生的就是一個(gè)不小的考驗(yàn)，其次要概率估計(jì)值的計(jì)算讓學(xué)生犯難了；22題作為全卷最后一道題目，第22題重視基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵能力的考查，在數(shù)學(xué)知識(shí)層面、數(shù)學(xué)能力層面和創(chuàng)新思維層面都有所體現(xiàn)，具有較好的選拔功能。本卷有一定的創(chuàng)新性，平時(shí)的立體幾何第一問(wèn)考查的是證明，解析幾何第一問(wèn)考查的是求曲線方程等都有所改變，因此想要在高考中拿到高分，只有深刻挖掘題目背后的原理和內(nèi)涵，才能更好的把握住數(shù)

17、學(xué)的本質(zhì)，需要在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上學(xué)好數(shù)學(xué)。 試卷點(diǎn)評(píng)范世祥今年是數(shù)學(xué)新高考全國(guó)卷的第三年，由教育部考試中心（2022年現(xiàn)已更名為教育部教育考試院）統(tǒng)一命制的2022年全國(guó)新高考 = 1 * ROMAN I卷數(shù)學(xué)試卷，試卷遵循普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）的基本要求，試題落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔和育人導(dǎo)向作用。試卷結(jié)構(gòu)保持不變，試題穩(wěn)定適度創(chuàng)新。試題重視數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突出理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)作用，突出對(duì)關(guān)鍵能力的考查。試題體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要

18、求，難度設(shè)計(jì)科學(xué)合理，貫徹“低起點(diǎn)、多層次、高落差”的科學(xué)調(diào)控策略，命制了適合不同學(xué)生水平的試題。充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)試題的選拔功能和積極導(dǎo)向作用?！暗推瘘c(diǎn)”注重基礎(chǔ)。試卷在選擇題、填空題、解答題起始部分起點(diǎn)低、入口寬，從數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法入手，面向全體學(xué)生。如試卷第15題、第910題、第1314題、第1719題，都是注重考查基礎(chǔ)知識(shí)、回歸教材的特點(diǎn)?！岸鄬哟巍蓖伙@思維。試題重視難度和思維的層次性，數(shù)學(xué)概念的理解、基本數(shù)學(xué)方法的掌握、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成等與思維水平有高度的關(guān)聯(lián)性，給學(xué)生更廣闊的思考空間、更多的思考角度以及基于自己認(rèn)知水平的發(fā)現(xiàn)和探索解題方法的不同平臺(tái)。如試卷第 題、第 題、第 題具有多種解法，體現(xiàn)解題方法的多樣性，給不同層次的學(xué)生提供多種分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的途徑?！案呗洳睢狈?wù)選才。試題的難度設(shè)計(jì)不僅有層次性，而且在思維的靈活性、深刻性，方法的綜合性、